江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试题(含答案解析)

江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高三下学期第二次模拟考
试数学试题
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数1212i,2i z z a =-=+(其中i 为虚数单位,a ∈R ).若12z z ⋅是纯虚数,则a =（ ） A.-4
B.-1
C.1
D.4
2.直线tan
205
x y π
+-=的倾斜角为( )
A.
5
π
B.310
π C.710
π D.
45
π 3.有6名男教师和5名女教师,从中选出2名男教师、1名女教师组成一个支教小组,则不同的选法共有( ) A.60种
B.70种
C.75种
D.150种
4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且51115,46a a S =+=,则310a a ⋅是{}n a 中的( ) A.第28项
B.第29项
C.第30项
D.第32项
5.在ABC 中,已知30,2B c ︒
∠==,则“b =是“45C ︒∠=”成立的( )条件
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充分必要
D.既不充分也不必要
6.已知双曲线2
2:14
x C y -=,直线:10l x y -+=.双曲线C 上的点P 到直线l 的距离最小,则点P 的横坐标为( )
C.
D. 7.若命题:“,R a b ∃∈,使得cos cos a b b a --”为假命题,则a ,b 的大小关系为（ ） A.a b <
B.a b >
C.a b
D.a b
8.设实数,,a b c 满足22
1a b c +,则a b c ++的最小值为（ ）
A.
12
-
B.12
-
C.2
-
D.-1
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.
9.下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为( ) A.方差
B.平均数
C.中位数
D.众数
10.已知不等式(
)
2
(3)0ax x b +-对任意(0,)x ∈+∞恒成立,其中,a b 是整数,则a b +的取值可以为( )
A.-4
B.-2
C.0
D.8
11.直线l 与抛物线2
:2(0)C x py p =>相交于,A B 两点,过,A B 两点分别作该抛物线的切线,与直线
y p =-均交于点P ,则下列选项正确的是( )
A.直线l 过定点(0,)p
B.,A B 两点的纵坐标之和的最小值为2p
C.存在某一条直线l ,使得APB ∠为直角
D.设点(0,2)Q p 在直线l 上的射影为H ,则直线FH 斜率的取值范围是(,)-∞⋃+∞
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知集合{}
21560,cos 2M x x x N x x ⎧⎫
=-+=<-⎨⎬⎩⎭
∣,则M N ⋂=___________.
13.设1,
()2(1),1
x f x x x <<=-⎪⎩若()(1)f a f a =+,则
1f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
___________. 14.在长方体1111ABCD A B C D -中,14,2,,AB BC BB E F ===分别是棱11,AB A D 的中点,则平面CEF 截该长方体所得的截面为___________边形,截面面积为___________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,已知棱AB ,AD ,AP 两两垂直,长度分别为1,2,2,若DC AB λ=,且向量
PC 与BD (1)求实数λ的值;
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.
16.（15分）已知向量cos (cos ,sin ),(,)sin ,os m x x n x x x x =-=-∈R .设()f x m n =⋅. (1)求函数()f x 的单调递增区间;
(2)在ABC 中,若()1,2,f BAC AB BC BAC ∠===
∠的平分线交BC 于点D ,求AD 长.
17.(15分)在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12,2F F 分别是椭圆的左、右焦点,过2F 作两条互相垂直的直线12,l l ,直线1l 与C 交于A ,B 两点,直线2l 与C 交于D ,E 两点,且
12AF F 的周长是4+
(1)求椭圆C 的方程; (2)当3
2
AB DE =
时,求ODE 的面积. 18.(17分)设函数()()ln ,f x x a x x a a =--+∈R . (1)若0a =,求函数()f x 的单调区间; (2)若22
0e
a -
<<,试判断函数()f x 在区间()22e ,e -内的极值点的个数,并说明理由; (3)求证:对任意的正数a ,都存在实数t ,满足:对任意的(,),()1x t t a f x a ∈+<-.
19.(17分)“踩高跷,猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统,发展“地推经济”,在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.
(1)某商户借“灯谜”活动促销,将灯谜按难易度分为B 、C 两类,抽到较易的B 类并答对购物打八折优惠,抽到稍难的C 类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下:在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片,其中3张写有A 字母,3张写有B 字母,2张写有C 字母,顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片,若抽到写有A 的卡片,则再抽1次,直至取到写有B 或C 卡片为止.求该顾客取到写有B 卡片的概率.
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜,规定只能取一次,并且只可以向前走,不能回头,他在街道上一共会遇到
n 条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同）,最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等,小明准备采
用如下策略:不摘前(1)k k n <条灯谜,自第1k +条开始,只要发现比他前面见过的灯谜适合的,就摘这条灯谜,否则就摘最后一条.设k tn =,记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为P . ①若4,2n k ==,求P ;
②当n 趋向于无穷大时,从理论的角度,求P 的最大值及P 取最大值时t 的值. (取111ln 1
1n k k n k
+++
=+-)
2023-2024学年度第二学期高三年级模拟考试
数学
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.A
2.D
3.C
4.C
5.B
6.D
7.B
8.B
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.
9.BCD
10.BD
11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分.
12.2,33π⎛⎤
⎥⎝⎦
13.6 14.五四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)解:依题意,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -则
(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ,
因为DC AB λ=,所以(,2,0)C λ,……………………………………2分 (1)从而(,2,2),(1,2,0)PC BD λ=-=-,
则cos ,||||PC BD PC BD PC BD λ⋅<>=
==
⋅,……………………………………4分 解得2λ=;……………………………………6分 (2)易得(2,2,2),(0,2,2)PC PD =-=-, 设平面PCD 的法向量(,,)x y z =n ,
则0PC ⋅=n ,且0PD ⋅=n ,
即0x y z +-=,且0y z -=,所以0x =,
不妨取1y z ==,则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)=n ,…………………………………………9分 又易得(1,0,2)PB =-,
故cos ,
|||PB PB PB ⋅<>=
==⋅n n n |,………………………………………………12分
所以直线PB 与平面PCD .………………………………………………13分
16.(15分)解:(1)由2
()cos sin (sin )f x x x x x =--
22cos sin cos x x x x =-+2cos2x x =+
122cos22x x ⎫=+⎪⎝⎭
2sin 2,6x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭……………………………………………………………………………………4分
令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
<+
<+
,则3
6
k x k π
π
ππ-
<<+
,
所以函数的单调递增区间为,,3
6k k k π
πππ⎛
⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
Z .…………………………………………7分 （2）因2sin 216x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭,因为0BAC π<∠<,所以132666
BAC πππ
<∠+<, 即526
6BAC π
π∠+
=
,故3
BAC π
∠=;…………………………………………………………9分 由余弦定理得2
422cos606b b ︒
+-⨯⨯⨯=,即2
220b b --=,
所以1b =(负舍),……………………………………………………………………………11分 所以ABC
ABD
ACD
S
S
S
=+,
即
111
21)sin602sin301)sin30222
AD AD ︒︒︒⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯, 所以2AD =.………………………………………………………………………………………15分
17.(15分)解:(1)由e =
，知c a =，所以c =
，……………………………2分
因为12PF F
的周长是4+
所以224a c +=+分
所以2,a c ==
,故2221b a c =-=,
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.…………………………………………………………6分 (2)分析知直线1l 的斜率存在,且不为0,设1l 的方程为
:x my =+, 与椭圆方程联立:
22
14x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
,
得221104
4m y y ⎛⎫++-= ⎪
⎝⎭,……………………………8分
()2122241;44
m AB y y m m +=-==++
同理:()2222
14141
1144
m m DE m m ⎛⎫
+ ⎪+⎝⎭==++,……………………………………………………10分 所以()
()22
22
414134214m m m m
++=⨯++,解得2
2m =,…………………………………………12分 所以4
3
DE =
,直线2l
的方程为y x =-,
所以d =
故1423ODE
S
=
⨯=分 18.(17分)解:(1)当0a =时,()ln ,()ln f x x x x f x x '
=-=, 令()0,1f x x '
==,列表分析
故()f x 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞.………………………………4分
(2)()()ln ,()ln a
f x x a x x a f x x x
'
=--+=-
,其中0x >,
令()ln g x x x a =-,分析()g x 的零点情况.
()ln 1g x x '=+,令1
()0,e
g x x '==
,列表分析
min 11(),e e g x g a ⎛⎫
==-- ⎪⎝⎭
...........6分
因为22
0e
a -
<<, 所以110e e g a ⎛⎫=-
-< ⎪⎝⎭
,即11ln e 1e 0e e f a a '⎛⎫
=-=--< ⎪⎝⎭
, 而()()()()22222
221e 2e 2e 0,e 22e 0e e
a f
a a f a '
-'=--=-+≤=-
=->, 因此()f x '
在()22e ,e -有一个零点,()f x 在()
22
e ,e -内有一个极值点;
当22
0e
a -
<<时,()f x 在()22e ,e -内有一个极值点.……………………………………10分 （3）猜想：(1,1),()1x a f x a ∈+<-恒成立.……………………………………………11分
证:由(2)得()g x 在1,e
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增,
且(1)0,?
g (1)(1)ln(1)g a a a a a =-<+=++-. 因为当1x >时,1ln 1(*)x x >-
,所以1g(1)(1)101a a a a ⎛
⎫+>+--= ⎪+⎝⎭
.
故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点,设为0x . 由
知,(1,1),()max{(1),(1)}x a f x f f a ∈+<+.…………………………………………13分 又(1)ln(1)1f a a +=+-,而1x >时,()**
ln 1x x <-,
所以(1)(1)111(1)f a a a f +<+--=-=. 即(1,1),()1x a f x a ∈+<-.
所以对任意的正数a ,存在1t =,使对任意的(,)x t t a ∈+,使()1f x a <-.……………………15分 补充证明(*): 令221111
()ln 1, 1.()0x F x x x F x x x x x
'-=+
-≥=-=≥,所以()F x 在[1,)+∞上单调递增. 所以1x >时,()(1)0F x F >=,即1
ln 1x x
>-. 补充证明(**)
令1
()ln 1, 1.()10G x x x x G x x
'
=-+≥=
-≤,所以()G x 在[1,)+∞上单调递减. 所以1x >时,()(1)0G x G <=,即ln 1x x <-.……………………………………………………17分
19.(17分)解：(1)该顾客第一次取到写有B 卡片的概率为
3
8
,……………………………………..1分 该顾客第二次取到写有B 卡片的概率
3398756
⨯=,………………………………………………..2分 该顾客第三次取到写有B 卡片的概率
323387656
⨯⨯=,……………………………………………3分 该顾客第四次取到写有B 卡片的概率
321338765280
⨯⨯⨯=,………………………………………4分 该顾客取到写有B 卡片的概率为
3933218565628035
+++=；……………………………………5分 (2)①这4条灯谜的位置从第1个到第4个排序,有4
424A =种情况,………………………………7分 要摘到那条最适合灯谜,有以下两种情况:
（i ）最适合灯谜是第3个,其它的随意在哪个位置,有3
36A =种情况;
（ii ）最适合灯谜是最后1个,第二适合灯谜是第1个或第2个,其它的随意在哪个位置,有2
224A =种情况,………………………………………………………………………………………………………………9分 故所求概率为
645
2412
+=;……………………………………………………………………………………10分 ②记事件A 表示最适合灯谜被摘到,事件i B 表示最适合灯谜排在第i 个, 则()1i P B n
=
, 由全概率公式知:()()()11
1()n
n
i i i i i P A P A
B P B P A B n ====∑∑∣∣, 当1i k 时,最适合灯谜在前k 条中,不会被摘到,此时()
0i P A B =∣；
当1k i n +时,最适合灯谜被摘到,当且仅当前1i -条灯谜中的最适合那条在前k 个之中时,
此时()
1
i k
P A
B i =-∣, 所以1()ln 1
1k k
k k n
P A n k k n n k
⎛⎫=
+++
=
⎪+-⎝⎭,………………………………………………………14分 令()ln (0)x n g x x n x =
>,则11()ln n g x n x n
'=-, 由()0g x '
=,得e
n
x =
, 当0,
e n x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时,()0g x '>,当,e n x n ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭时,()0g x '
<, 所以()g x 在0,
e n ⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递增,在,e n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减, 所以max 1
()e e
n g x g ⎛⎫==
⎪
⎝⎭,所以当e n k =时,()ln k n P A n k =取得最大值1e , 从而P 的最大值为
1e ,此时t 的值为1
e
.…………………………………………………………………17分。