湖南省岳阳市岳阳县第一中学高二数学下学期入学考试试

侧视图
6 3
1
俯视图
3 正视图
第7题图
2016年岳阳县一中高二二期入学考试试题
数 学（理）
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1．已知复数z 对应的点落在虚轴上且满足13z -=，则z 为（ ） A ．2i ± B ．2i C ．2
2i ± D ．22i -
2．sin 20cos10cos 200cos80-=o
o
o
o
（ ） A ．32-
B ．3
2
C ．12-
D ．12
3．已知{
}
{
}
2
2,1,log U R A y y x B x y x ===-==
，则A B =I ( )
A ．(1,1)-
B ．(,1)-∞
C ．(,1]-∞-
D ．[1,)+∞
4．已知直线1(3)(3)10l k x k y -+-+=：
与22(3)230l k x y --+=：垂直，则k 的值是（ ）
A ．2或3
B ．3
C ．2
D ．2或3-
5.已知数列{}n a 的前n 项的和n S 满足：n m n m S S S ++=，且11a =，那么10a =（ ） A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 6．命题甲：1sin 2
α≠
；命题乙：30α≠o 且150α≠o
，则甲是乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分条件也不必要条件
7．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是（ ） A ．8π
B ．9π
C ．10π3．
D ．16π
3
C
O
A
B
D
第11题图
8．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(1,2)
D ．[2,)+∞
9．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ）
A ．减少1.99%
B ．增加1.99%
C ．减少4%
D ．不增不减
10. 已知双曲线C : )0(122
22>>=-b a b
y a x ,以右焦点F 为圆心，OF 为半径的圆交双
曲线两渐近线于点N M 、 (异于原点O ),若23MN a =,则双曲线C 的离心率是
（ ）
A ．2
B ． 3
C ． 2
D ．13+ 11．如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上的点，60CBA ∠=o
，30ABD ∠=o
，
CD xOA yBC =+u u u r u u u r u u u r
，则x y +的值为（ ）
A ．3-
B ．0
C ．1
D ．33
-
12．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对(0,)x ∀∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方程()()2f x f x '-=的解所在的区间是（ ） A ．（0，
12） B ．（1
,12
） C ．（1，2） D ．（2，3） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分．）
13．我校高二年级张三同学到科伦制药总厂进行研究性学习，收集到该制药厂今年前5个
月份x 1 2 3 4 5 y （万盒） 4 4 5 6 6
张三同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+，根据收集到的表中数据已经正确计算出ˆ0.6b
=，请你根据上述数据估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数为 万盒．
14．在数列{}n a 中，已知111,24n n a a a -==+, 则数列{}n a 的通项公式为 ．
15.若,x y 满足约束条件10
0290
x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是 .
16．随机地向区域⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤≤2040x y x y 内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与
该点连线的倾斜角不大于4
π
的概率是 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标与半径；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
18．（本小题满分12分）
已知函数()3)sin()()2
f x x x π
πωωω=---＞0的图像上两相邻最高点的坐
标分别为,2)34
(),2,3(
ππ。

（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC 中，c b a ,,分别是角A,B,C 的对边，且()2f A =求
2b c
a
-的取值范围。

19．（本小题满分12分）
数列{}n a 中，已知11a =，2n ≥时，11122
333
n n n a a --=
+-．数列{}n b 满足：1*3(1)()n n n b a n N -=+∈．
（Ⅰ）证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令1n n n c b b +=，记数列1n c ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，求n S 的取值范围. 20．（本小题满分12分）
由四个直角边为2的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形ACDEF ，沿AD 折起，使平面ADEF ⊥平面ACD ．
（I ）求证：FB AD ⊥；
（II ）求二面角C EF D －－的正切值．
21．（本小题满分12分）
已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、
2PF 构成等差数列．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线l ：m kx y +=与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M 、N 是直线l
上的两点，且l M F ⊥1，l N F ⊥2．求四边形21MNF F 面积S 的最大值．
22．（本小题满分12分）
设a 为实数，函数()22,.x
f x e x a x R =-+∈． （Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当0x >且ln 21a >-时，2
()2(1)21f x x a x a >-+++．
2016年岳阳县一中高二二期入学考试试题
M
y
O
N
l
x
F 1
F 2
A
B
A
B
C
C
D
D
E E
F
F
图1
图2
数 学（理）
数学（理）答案及评分标准
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
提示：
5.令1,9n m ==，得：
1910S S S +=，所以：10109111a S S S a =-===； 6.利用等价命题的“逆否命题”进行判断； 10.依题中条件作图如右，可得：
222)3c c a =+， 展开得：42
2
2233a c c a b =-++，化简得： 22330a b -
=，所以有：2223()30c b b --=
2b =， 所以：2
2
2
2
344()c
b c a ==-，得：
22
4c a =，故：2e =.
11.建立直角坐标系转化为坐标求解；
解析：()()CD xOA yBC xOA y OC OB x y OA yOC =+=+-=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
设1OA =
，建立如图所示坐标系，则(1CD =-u u u r
，
(1,0)OA =-u u u r ，1(,22OC =-u u u r ，
1(()(1,0)(,22
x y y -=+-+-,
得：2
2
x y =⎧⎨=-⎩
故0x y +
=．
)
12.由题2()log f x x C -=（C 为常数），则2()log f x x C =+
故22[()log ]()log 3f f x x f C C C -==+=，得2C =，故2()log 2f x x =+，
记21
()()()2log ln 2
g x f x f x x x '=
--=-
在(0,)+∞上为增函数 且112ln 21(1)0,(2)10ln 22ln 22ln 2
g g -=-
<=-=>, 故方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是（1，2）． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.6.8万盒
14. 1
524n n a -=-g
15.[1,4] 16.
132
三、解答题：（本大题共6小题，共75分）
17.解：（1）由22650x y x +-+=得()2
234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0；半径2r =．………4分 （2）设(),M x y ，则
∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴ 11C M AB k k ⋅=-即
13y y
x x
⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为2
23953243x y x ⎛⎫⎛⎫
-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．………10分
18.解：（Ⅰ）)6
sin(2cos sin 3)(π
ωωω-
=-=
x x x x f
由题意知,2T πω==．………………4分
（Ⅱ）,2)(=A f 即,1)6
2sin(=-
π
A 又6
116
26
π
π
π
<
-
<-
A , 3
,2
6
2π
π
π
=
=
-
∴A A ． ………………8分
)6
sin(2]sin 2)32[sin(332sin sin 2sin 2C C C A C B a c b -=--=-=-π
π. ………………10分
,3
20π
<<C Θ )1,2()6
sin(22,662-∈-=-∴
<
-<
-
∴C a c b C π
π
ππ ………………12分
19.解答： (Ⅰ)方法1：由2n ≥时，11122333n n n a a --=+-得，1112
1(1)33
n n n a a --+=++
两边同时乘以1
3
n -得，1
213
(1)3(1)2n n n n a a ---+=++，即2n ≥时，12n n b b -=+
故{}n b 是公差为2的等差数列．
又0
1322b =⨯=， 所以22(1)2n b n n =+-=． ………………6分 方法2：2n ≥时，12
113(1)3(1)n n n n n n b b a a -----=+-+，代入11122333
n n n a a --=
+- 整理得1
2n 1111121
3()3(1)2333
n n n n n n b b a a -------=++-+=，故{}n b 是公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由(Ⅰ)知：2,22(1)4(1),n n b n c n n n n =∴=+=+g
所以：
111114(1)41n c n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
； 则：11141n S n ⎛⎫=
- ⎪+⎝⎭，………………10分 所以：11
84
n S ≤<………………12分
20.证明：
法一：（I ）作FO ⊥AD 于O ，连OB. ………………1分 ∵等腰直角三角形AFD, ∴点O 为AD 的中点.
而等腰直角三角形ABD ，∴BO ⊥AD, 而FO ∩BO=O ，
∴AD ⊥平面FOB, ∴FB ⊥AD ………………5分
（Ⅱ）∵等腰直角三角形ADB 和等腰直角三角形CDB,
∴∠ADC=90°， ∴CD ⊥AD ………………7分 又 ∵平面ADEF ⊥平面ACD ，平面ADEF ∩平面ACD=AD ， ∴CD ⊥平面ADEF. 作DM ⊥FE ，连接MC ，
∠DMC 即为二面角C-EF-D 的平面角. ………………10分 在直角三角形MDC 中，∠MDC=90°，MD=1 , DC=2 ,
∴tan ∠DMC=2 , ∴二面角C-EF-D 的正切值为2. ………………12分
法二：（1）作FO ⊥AD 于O ，连OB ，∵平面ADEF ⊥平面ACD ，∴FO ⊥平面ADC. ∵等腰直角三角形AFD, ∴点O 为AD 的中点.而等腰直角三角形ABD ，∴BO ⊥AD 如图，建立空间直角坐标系，
∴(0,0,1),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0),(2,0,1)F A D C D E ---……………2分
(2,0,0),(0,1,1)0AD FB AD FB AD FB =-=-=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r
Q g ………………(5分）
（2）显然平面DEF 的法向量1(0,1,0)n =u r
， ………………7分
平面CEF 中，(2,0,0)(1,2,1)FE FC =-=--u u u r u u u r
,
∴平面CEF 的法向量2(0,1,2)n =u u r
， ………………10分 ∴125
cos(,)5
n n =u u r u u r ∴12tan(,)2,n n =u u r u u r ∴二面角C-EF-D 的正切值为2. ………………12分
21解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=．
Q 1122PF F F PF 、、构成等差数列，
∴1122224a PF PF F F =+==， 2a =．
又1c =Q ，2
3b ∴=．
A B
A C C D D E E
F F 图1 图2 M
O
x y z
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +
=。

………………（5分） （Ⅱ）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程22
3412x y +=中，
得01248)34(2
22=-+++m kmx x k ．
由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2
2
2
2
644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=， 化简得：
2243m k =+． ………………（6分）
设112
1k m
d F M k -+==+，
222
1
k m
d F M k +==+， ………………8分 （法一）当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则12tan d d MN θ-=⨯，12
d d MN k
-∴=
，
22121212222218
()13221
14
m m d d d d S d d m k k k m m --=+====-++
+，
………………10分
Θ2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，334
3
131=+>+
m m ，32<S ． 当0=k 时，四边形12F MNF 是矩形，23S =．
所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为23.………………12分
（法二）Θ2222
2
2
2
1
222222()2(53)
()()1111
k m k m
m k k d d k k k k -+++++=+==++++， 2221222223331111
m k k m k m
k d d k k k k --+++=⋅===++++．
221212()MN F F d d ∴=--2212122
4(2)1
d d d d k =-+-=+．
四边形12F MNF 的面积121
()2S MN d d =+)(1
1212d d k ++=，………………10分
2
2
221222122
)
1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S 12)211(4162
2≤-+-=k ． 当且仅当0k =时，2
12,23S S ==max 23S =
所以：四边形12F MNF 的面积S 的最大值为3 ………………12分
22. （Ⅰ）解：()20,ln 2x
f x e x '=-≥∴≥因为：；
(,ln 2]()x f x ∈-∞所以，当时，单调递减；[ln 2,)()x f x ∈+∞当时，单调递增. ()(,ln 2][ln 2,)f x -∞+∞故：单调递减区间是，单调递增区间是.……………3分 ()()(ln 2)22ln 22.f x f x f a =-+极小值由上可得只有极小值，且＝……………5分
（Ⅱ）证明：要证明：2
()2(1)21f x x a x a >-+++， 只需证明：2
222(1)21x
e x a x a x a -+>-+++， 即证明：221)x
e x ax >-+(，
构造函数：2
()(21)x
g x e x ax =--+， ∴()22()x
g x e x a f x '=-+=，……………7分
由（Ⅰ）知：()()22ln 2222(ln 2)f x f x a a ==-+=+-最小值极小值， 又ln 21a >-，即：ln 210a -+>，
∴()22ln 222(ln 21)0f x a a =-+=-+>最小值， ∴()0f x >，
∴()22()0x g x e x a f x '=-+=>， ∴()g x 在0x >上单调递增，……………9分 ∴()(0)0g x g >=， ∴()0g x >，
即：221)x
e x ax >-+(，
故：2
()2(1)21f x x a x a >-+++.……………12分。