(浙江专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象单元测试

第三单元函数及其图象单元测试
范围:函数及其图象限时:45分钟满分:100分
一、选择题 (每小题5分,共35分)
1.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,),以原点为中心,将点A顺时针旋转 0°得到点A',则点A'的坐标为()
A.(,1)
B.(,-1)
C.(2,1)
D.(0,2)
2.已知A,B两地相距3千米,小黄从A地到B地,平均速度为4千米/时,若用x表示行走的时间(小时),y表示余下的路程(千米),则y关于x的函数解析式是()
A.y=4x(x≥0)
B.y=4x-3x≥
C.y=3-4x(x≥0)
D.y=3-4x0≤x≤
3.已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图D3-1所示,则函数y=ax+b与y=的图象为()
图D3-1
图D3-2
4.已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4),下列说法正确的是()
A.反比例函数y2的解析式是y2=-
B.两个函数图象的另一个交点坐标为(2,-4)
C.当x<-2或0<x<2时,y1<y2
D.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
5.如图D3-3,点P是以AB为直径的半圆上的动点,CA⊥AB,PD⊥AC于点D,连结AP,设AP=x,PA-PD=y,则下列函数图象能反映y与x之间关系的是()
图D3-3
图D3-4
6.如图D3-5,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0<x1<1.下列四个结论:①abc<0;②2a-c>0;③a+2b+4c>0;④+<-4,正确的个数是()
图D3-5
A.1
B.2
C.3
D.4
7.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为()
A.1或-2
B.-2或2
C.2
D.1
二、填空题(每小题6分,共36分)
8.将抛物线y=2x2的图象,向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为.
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图D3-6所示,若M=4a+2b,N=a-b.则M,N的大小关系为M N.(填“>”“=”或“<”)
图D3-6
10.在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,4),作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为.(点C不与点A重合)
11.如图D3-7,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点.当△PAB的周长最小时,S△PAB= .
图D3-7
12.正方形A1B1C1A2,A2B2C2A3,A3B3C3A4,…,按如图D3-8所示的方式放置,点A1,A2,A3,…和点B1,B2,B3,…分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上.已知A1(0,1),点B1(1,0),则C5的坐标是.
图D3-8
13.如图D3-9,菱形ABCD的顶点A在函数y=(x>0)的图象上,函数y=(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称,且过B,D两点,若AB=2,∠BAD= 0°,则k= .
图D3-9
三、解答题(共29分)
14.(14分)快车从甲地驶向乙地,慢车从乙地驶向甲地,两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶,途中快车休息1.5小时,慢车没有休息.设慢车行驶的时间为x小时,快车行驶的路程为y1千米,慢车行驶的路程为y2千米.图D3-10中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系,线段OD表示y2与x之间的函数关系.
请解答下列问题:
(1)求快车和慢车的速度;
(2)求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式;
(3)线段OD与线段EC相交于点F,直接写出点F的坐标,并解释点F的实际意义.
图D3-10
15.(15分)在平面直角坐标系中,将二次函数y=ax2(a>0)的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图D3-11所示的抛物线,该抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),OA=1,经过点A的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,△ABD的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式;
(2)抛物线上的动点E在一次函数图象的下方,求△ACE面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
(3)若点P为x轴上任意一点,在(2)的结论下,求PE+PA的最小值.
图D3-11
【参考答案】
1.A
2.D
3.C [解析]由二次函数的图象可知,a<0,b>0,c<0.当a<0,b>0,c<0时,一次函数y=ax+b 经过第一、二、四象限;反比例函数y=
位于第二、四象限,选项C 符合.故选C . 4.C
5.C [解析]设☉O 的半径为r ,过点O 作OE ⊥AP ,则△ADP ∽△OEA ,∴ =
. ∵AP=x ,∴AE=
2,∴PD= ,∴y=PA-PD=x- 22
,为开口向下的抛物线,故选C .
6.C [解析]①∵抛物线开口向上,∴a>0, ∵抛物线对称轴在y 轴的右侧,∴-
2
>0, ∴b<0,
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,∴c>0, ∴abc<0,所以①正确;
②∵图象与x 轴交于两点(x 1,0),(2,0),其中0<x 1<1, ∴
2 02
<- 2
<2 1
2
,∴1<- 2 < 2,由- 2 <
2
可得,b>-3a , ∵当x=2时,y=4a+2b+c=0,∴b=-2a-12
c , ∴-2a-1
2c>-3a ,∴2a-c>0,故②正确;
③由4a+2b+c=0得2b=-4a-c ,∴a+2b+4c=a-4a-c+4c=3c-3a=3(c-a ), ∵c>0,a>0,∴a+2b+4c 与0不能确定关系,故③错误; ④∵- 2
>1,∴2a+b<0,∴(2a+b )2>0,4a 2+b 2+4ab>0,4a 2+b 2
>-4ab , ∵a>0,b<0,∴ab<0,∴ 2
2
<-4,即 +
<-4,故④正确. 故选C .
7.D [解析]原函数可化为y=a (x+1)2
+3a 2
-a+3,对称轴为直线x=-1,又已知当x ≥2时,y 随x 的增大而增大,所以a>0,抛物线开口向上,因为-2≤x ≤1时,y 的最大值为9,结合对称轴及增减性可得,当x=1时,y=9,代入可得,a 1=1,a 2=-2,又因为a>0,所以a=1.
8.y=2(x+1)2
-2 [解析]将抛物线y=2x 2的图象,向左平移1个单位,再向下平移2个单位, 所得图象的解析式为:y=2(x+1)2
-2.故答案为:y=2(x+1)2
-2. 9.< [解析]当x=-1时,y=a-b+c>0,
当x=2时,y=4a+2b+c<0,
∴M-N=4a+2b-(a-b )=4a+2b+c-(a-b+c )<0,即M<N ,故答案为:<. 10.(2,4)或(-2,0)或(-2,4) [解析]如图所示: ∵点A (2,0),B (0,4),∴OB=4,OA=2,
∵△BOC 与△AOB 全等,∴OB=OB=4,OA=OC=2,∴C 1(-2,0),C 2(-2,4),C 3(2,4).
11.12
[解析]解方程组
1, 2- ,得: 1 1, 1 2, 2 , 2
∴A (1,2),B (4,5),
作点A 关于y 轴的对称点A',连结A'B 交y 轴于点P.
则A'(-1,2).
设直线A'B 的解析式为y=kx+b ,则 - 2, ,解得:
,
1
,
∴直线A'B :y=
x+1
.
∴当△PAB 的周长最小时,点P 的坐标为0,1
. 设直线AB 与y 轴的交点为C ,则C (0,1), ∴S △PAB =S △PCB -S △PCA =1
2×
1
-1×4-12× 1
-1×1=12
.
12.(47,16) [解析]易知C 1(2,1),C 2(5,2),C 3(11,4),C 4(2 , ),… ∵C 1的横坐标:2=21
,纵坐标:1=20
,
C 2的横坐标:5=22+20,纵坐标:2=21, C 3的横坐标:11=23+21+20,纵坐标:4=22, C 4的横坐标:23=24+22+21+20,纵坐标:8=23,
…
依此类推,C 5的横坐标:25
+23
+22
+21
+20
=47,纵坐标:24
=16,
∴C 5(47,16).
13.6+2 [解析]作出直线AC ,过A ,B 分别作x 轴的垂线,垂足为G ,H ,过A 作AE ⊥BH 于E ,
∵函数y=
(k>3,x>0)的图象关于直线AC 对称, ∴直线AC 的解析式为y=x , ∴设A (x ,x ).
又∵点A 在y=
(x>0)的图象上,
∴x 2
=3,解得x= (负值舍去), ∴A ( , ),
∵AE ∥x 轴,∴∠AOG=∠CAE= °, ∵∠BAD= 0°, ∴∠CAB=1
2∠DAB=1 °, ∴∠BAE= 0°. 在Rt △ABE 中,∵AB=2, ∴BE=1
2AB=1,AE=
2AB= ,
∴B (2 , +1). 把B (2 , +1)代入y=
, 得k=6+2 .
14.解:(1)∵180÷2=90,180÷3=60,
∴快车的速度为90 km/h,慢车的速度为60 km/h . (2)∵途中快车休息1.5小时, ∴点E (3.5,180). ∵(360-180)÷90=2, ∴点C (5.5,360).
设EC 的函数表达式为y 1=kx+b , 则 1 0, 0,
∴
0,
-1 ,
∴y 1=90x-135(3. ≤x ≤ .5). (3)∵慢车的速度为60 km/h, ∴OD 所表示的函数表达式为y=60x.
由 0 , 0 -1 得 2, 2 0
∴点F 的坐标为
2
,270.
点F 的实际意义:慢车行驶
2小时时,快、慢两车行驶的路程相等,均为270 km .
15.[解析](1)先写出平移后的抛物线解析式,由抛物线经过点A (-1,0),可求得a 的值,由△ABD 的面积为5可求出点D 的纵坐标,代入抛物线解析式求出横坐标,由A ,D 的坐标可求出一次函数解析式;
(2)作EM ∥y 轴交AD 于M ,利用三角形面积公式,由S △ACE =S △AME -S △CME 构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;
(3)作E 关于x 轴的对称点F ,过点F 作FH ⊥AE 于点H ,交x 轴于点P ,则∠BAE=∠HAP ,利用锐角三角函数的定义可得出EP+
AP=FP+HP ,此时FH 最小,求出最小值即可.
解:(1)将二次函数y=ax 2
(a>0)的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线解析式为
y=a (x-1)2-2,
∵OA=1,
∴点A 的坐标为(-1,0),代入抛物线的解析式y=a (x-1)2
-2得,4a-2=0, ∴a=1
2,
∴抛物线的解析式为y=1
2(x-1)2
-2,
即y=1
2
x 2
-x-
2
.
令y=0,解得x 1=-1,x 2=3, ∴B (3,0), ∴AB=OA+OB=4. ∵△ABD 的面积为5, ∴S △ABD =1
2AB y D =5,
∴y D =
2,代入抛物线解析式得, 2=1
2x 2
-x-
2, 解得x 1=-2,x 2=4,
∴D 4,
2.
将D ,
2 ,A (-1,0)的坐标代入y=kx+b ,得
2,
- 0,
解得: 1
2, 12,
∴一次函数的解析式为y=12x+1
2.
(2)过点E 作EM ∥y 轴,交直线AD 于M ,如图①,设E m ,1
2m 2
-m- 2
,则M m ,12
m+
12
,
∴EM=12m+12-1
2m 2
+m+ 2=-1
2m 2
+
2m+2,
∴S △ACE =S △AME -S △CME =1
2
EM 1=1
2
×-1
2
m 2
+ 2
m+2×1=-1
(m 2
-3m-4)=-1
m- 22+2
1 ,
∴当m= 2
时,△ACE 的面积有最大值,最大值是2 1
,此时E 点坐标为 2
,-
1
.
(3)作点E 关于x 轴的对称点F ,连结EF 交x 轴于点G ,过点F 作FH ⊥AE 于点H ,交x 轴于点P ,连结PE.
∵E
2
,-1
,OA=1, ∴AG=1+ 2= 2
,EG=1
,
∴ =
21 = ,易得 =
. ∵∠AGE=∠AHP= 0°, ∴sin ∠EAG= = =
,
∴PH=AP.
∵E,F关于x轴对称,
∴PE=PF,
∴PE+AP=FP+HP,此时FH最小.∵EF=1 ×2=1 ,∠AEG=∠HEF, ∴sin∠AEG=sin∠HEF,
∵=,∴=,
∴FH=×1 =3.
∴PE+PA的最小值是3.。