高考数学一轮复习第4章第2讲平面向量基本定理及坐标表示课件理

考点三 平面向量共线的坐标表示(高频考点) 平面向量共线的坐 标表示是高考的常考内容，多以选择题或 填空题的形式出现，难度较小，属容易题． 高 考对 平面 向量 共线 的坐 标表 示的 考查 主要有 以下 三个命 题角度： (1)利用 两向量共线求参数； (2)利用 两向量共线的条件求向量坐标； (3)三点 共线问题．
的条件是( C )
A． k＝－ 2 C． k＝ 1
B． k＝1 2
D． k＝－ 1
(3)(2016·邯郸一模)已知向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(ma
＋nb)∥(a－2b)，则mn 等于( C )
A．2
B．－2
C．－1
1 D.
2
2
解析：(1)由题意得 x2－1×4＝0，解得 x＝±2.当 x＝2 时，a ＝(2，1)，b＝(4，2)，此时 a，b 方向相同，不符合题意， 舍去；当 x＝－2 时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，此时 a，b 方向相反，符合题意． (2)若点 A、B、C 不能构成三角形，则向量A→B，A→C共线， 因为A→B＝O→B－O→A＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，A→C＝O→C －O→A＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以 1×(k＋ 1)－2k＝0，解得 k＝1.
(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝__(_x_2－___x_1，__y_2_－__y_1)__，
|A→B|＝___（__x_2_－__x_1_）__2＋__（__y_2_－__y_1）__2____________．
解析：(1)B→C＝3P→C＝3(2P→Q－P→A)＝6P→Q－3P→A＝(6，30)－ (12，9)＝(－6，21)． (2)因为|O→C|＝2，所以|O→C|2＝1＋c2＝4， 因为 c＞0，所以 c＝ 3. 因为O→C＝λO→A＋μO→B， 所以(－1， 3)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，
所以 λ＝－1，μ＝ 3.
2．有关平面向量的两类本质 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法 则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法 则是运算的关键．
1．已知 e1，e2 是不共线的非零向量，则以下向量可以作为 基底的是( C ) A． a＝ 0， b＝ e1＋ e2 B． a＝ 3e1＋ 3e2， b＝ e1＋ e2 C． a＝ e1－ 2e2， b＝ e1＋ e2 D． a＝ e1－ 2e2， b＝ 2e1－ 4e2
解析：法一：设 C(x，y)，则A→C＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以xy＝＝－－24，，从而B→C＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故 选 A. 法二：A→B＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， B→C＝A→C－A→B＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选 A.
考点二 平面向量的坐标运算 已知 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设A→B ＝a，B→C＝b，C→A＝c，且C→M＝3c，C→N＝－2b. (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求 M、N 的坐标及向量M→N的坐标．
[解]由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为 mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， 所以－6m＋n＝5， 解得m＝－1，
[解析] (1)因为 a∥b，所以 sin 2θ＝cos2θ，2sin θcos θ ＝cos2θ. 因为 0＜θ＜π2 ，所以 cos θ＞0， 得 2sin θ＝cos θ，tan θ＝12. (2)法一：由 O，P，B 三点共线，可设O→P＝λO→B＝(4λ，4λ)， 则A→P＝O→P－O→A＝(4λ－4，4λ)．
2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝_(_x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2_) __，a－b＝_(_x_1－___x_2，__y_1_－__y_2)_，
λa＝_(_λx_1_，__λ_y_1_) __，|a|＝____x_21_＋__y21___．
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则 来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向 量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通 过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.
2.(1)在△ABC 中，点 P 在 BC 上，且B→P＝2P→C，
又A→C＝O→C－O→A＝(－2，6)，由A→P与A→C共线，得(4λ－4)×6 －4λ×(－2)＝0，解得 λ＝34，所以O→P＝34O→B＝(3，3)， 所以 P 点的坐标为(3，3)．
法二：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，因为O→B＝(4，4)，且O→P 与O→B共线，所以x＝y，即 x＝y.
2．已知向量 a＝(1，m)，b＝(m，2)，若 a∥b，则实数 m 等
于( C )
A．－ 2
B. 2
C．－ 2或 2
D．0
3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量A→C
＝(－4，－3)，则向量B→C＝( A ) A．(－7，－4) C．(－1，4)
B．(7，4) D．(1，4)
44 又A→P＝(x－4，y)，A→C＝(－2，6)，且A→P与A→C共线， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得 x＝y＝3， 所以 P 点的坐标为(3，3)．
(1)向量共线的两种表示形式
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b
⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件 而定，一般情况涉及坐标的应用②. (2)两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外， 利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数 的值．
点 Q 是 AC 的中点，若P→A＝(4，3)，P→Q＝(1，5)，则B→C等
于( B )
A．(－2，7)
B．(－6，21)
C．(2，－7)
D．(6，－21)
(2)(2016·开封月考)平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1，0)，
B(0，1)，C(－1，c)(c＞0)，且|O→C|＝2，若O→C＝λO→A＋μO→B， 则实数 λ，μ的值分别是____－__1_，____3_______．
1.(2016·阜 阳 一 模 )在 梯 形 ABCD 中 ， 已 知
AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点．若A→B 4
＝λA→M＋μA→N，则 λ＋μ＝_____5___．
解析：法一：由A→B＝λA→M＋μA→N，得A→B＝λ·12(A→D＋A→C)＋μ·12
(A→C＋A→B)，则μ2－1A→B＋2λA→D＋2λ＋μ2A→C＝0， 得μ2－1A→B＋λ2A→D＋λ2＋μ2· A→D＋21A→B＝0， 得14λ＋34μ－1A→B＋λ＋μ2A→D＝0.
1＝6－y， y＝5.
考点一 平面向量基本定理及其应用
在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中 4
点．若A→C＝λA→E＋μA→F，其中 λ，μ∈R，则λ＋μ＝____3____．
[解析]选择A→B，A→D作为平面向量的一组基底，则A→C＝A→B＋
A→D，A→E＝12A→B＋A→D，A→F＝A→B＋12A→D，
－3m＋8n＝－5， n＝－1.
(3)设 O 为坐标原点， 因为C→M＝O→M－O→C＝3c， 所以O→M＝3c＋O→C＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以 M(0，20)．又因为C→N＝O→N－O→C＝－2b， 所以O→N＝－2b＋O→C＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以 N(9，2)．所以M→N＝(9，－18)．
3．平面向量共线的坐标表示
设 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ， 其 中 b≠0 ， a∥b ⇔ ___x_1y_2_－__x_2_y1_＝__0_____．
1．辨明三个易误点 (1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的． (2)注意运用两个向量 a，b共线坐标表示的充要条件应为 x1y2 － x2 y1＝ 0. (3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完 全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的 信息．
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个_不__共__线___向量，那么对于这
一平面内的任意向量 a，有__且__只__有__一对实数λ1，λ2，使 a ＝ _λ_1_e_1＋___λ2_e_2___．
其中，不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的 一组___基__底___．
4．(2015·高考江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为___－__3___．
解析：因为 ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
所以2m＋n＝9， m－2n＝－8，
所以m＝
2， 所以
n＝5，
m－n＝2－5＝－3.
5．(必修4 P90例3改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)， B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为___(1_，__5_)_． 解析：设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4，1)＝(5－x，6－y)， 即4＝5－x，解得x＝1，
又因为A→B，A→D不共线，所以由平面向量基本定理得
14λ＋34μ－1＝0，
λ＝－45，
λ＋μ2＝0，
解Байду номын сангаасμ＝58.
所以 λ＋μ＝45.
法二：如图，连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T，
由已知易得 AB＝45AT， 所以45A→T＝A→B＝λA→M＋μA→N. 因为 T，M，N 三点共线，所以 λ＋μ＝45.
(1)(2014·高考陕西卷)设 0＜θ＜π，向量 a＝(sin 2
2
1
θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若 a∥b，则 tan θ＝____2____．
(2)已知点 A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O 为坐标原点，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为__(_3_，__3_)_．
3.(1)(2016·广州一模)设向量 a＝(x，1)，b＝(4，
x)，若 a，b 方向相反，则实数 x 的值为( D )
A． 0
B．± 2
C． 2
D．－ 2
(2)已知向量O→A＝ (1， － 3)，O→B＝ (2，－ 1)，O→C＝ (k＋ 1， k
－2)，若 A、B、C 三点不能构成三角形，则实数 k 应满足
又A→C＝λA→E＋μA→F＝12λ＋μA→B＋λ＋21μA→D，
于是得
12λ＋μ＝1，
即
λ＋12μ＝1，
λ＝23，
故
μ＝23，
λ＋μ＝43.
若将本例中“A→C”改为“B→D”，则 λ＋μ 为
何解值：？因为B→D＝A→D－A→B＝(A→E＋E→D)－(A→F＋F→B) ＝A→E－A→F－1A→B＋1A→D
(3)由题意得 ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)， 因为 (m a＋ nb)∥ (a－ 2b)，所以－ (2m－n)－ 4(3m＋ 2n)＝ 0， 所以mn ＝－12.
22 ＝A→E－A→F－1(A→B－A→D)
2 ＝A→E－A→F－1D→B，
2 所以B→D＋1D→B＝A→E－A→F，
2 即B→D＝2A→E－2A→F，
所以 λ＝2，μ＝－2，即 λ＋μ＝0.
用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量 的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方 便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.