2020-20201学年苏科版八年级上学期第一次检测数学试题 含答案

八年级上学期第一次数学试题
一．选择题（本大题共有6小题，每小题2分，共12分．）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．等腰三角形的一个角是100°，则其底角是（）
A．40°B．100°C．80°D．100°或40°3．把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（）
A．B．C．D．
4．如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC＝3，AB＝4，则DE的长为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．在△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）
A．25 B．7 C．25或7 D．25或16
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
7．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了一个定理，这是我国古代数学的骄傲．这个定理就是定理．
8．在直角三角形中，斜边长为10cm，则斜边上的中线长为．
9．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是cm．10．如图，沿直线AD折叠，△ACD与△ABD重合，若∠B＝50°，则∠CAD＝度．
11．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是cm2．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝30cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC 于D、E两点．
（1）若∠C＝70°，则∠BEC＝；
（2）若BC＝20cm，则△BCE的周长是cm．
13．如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB＝2cm，则点P到OA的距离是cm．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，已知AB＝10，BC＝16，则AD 的长为．
15．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有个．
16．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝s时，△POQ 是等腰三角形．
三、解答题（本大题共有8小题，共58分）
17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C 在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）在直线l上找一点P，使PB′+PC的长最短；
（3）若△ACM是以AC为腰的等腰三角形，点M在小正方形的顶点上．这样的
点M共有个．
18．先尺规作图，后进行计算：
如图，△ABC中，∠A＝105°．
（1）试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到∠ABC两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若∠ACP＝30°，则∠PBC的度数为°．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC＝AB．
20．如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF ＝90°，AF＝3，AE＝4．
（1）求边BC的长；
（2）求出∠BAC的度数．
21．已知：如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，BD与AE交于点F，CD＝BE．
（1）求证：BD＝AE；
（2）求证：∠AFD＝60°．
22．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点．EF ⊥BD，垂足为F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若AC＝26，EF＝5，求BD的长．
23．如图，已知：∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，点P在射线OC上．点E在射线OA上，点F在射线OB上，且∠EPF＝90°．
（1）如图1，求证：PE＝PF；
（2）如图2，作点F关于直线EP的对称点F′，过F′点作FH⊥OF于H，连接EF′，F′H与EP交于点M．连接FM，图中与∠EFM相等的角共有个．
24．如图1，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠D＝90°，AD＝BC＝6，AB
＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE翻折得△AD′E．（1）当D′点落在AB边上时，∠DAE＝°；
（2）如图2，当E点与C点重合时，D′C与AB交点F，
①求证：AF＝FC；
②求AF长．
（3）连接D′B，当∠AD′B＝90°时，求DE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．等腰三角形的一个角是100°，则其底角是（）
A．40°B．100°C．80°D．100°或40°【分析】等腰三角形的一个角为100°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【解答】解：当100°为顶角时，其他两角都为40°、40°，
当100°为底角时，等腰三角形的两底角相等，由三角形的内角和定理可知，底角应小于90°，故底角不能为100°，
所以等腰三角形的底角为40°、40°．
故选：A．
3．把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（）
A．B．C．D．
【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及剪三角形的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状．
【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边．再结合C点位置可得答案为C．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC＝3，AB＝4，则DE的长为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】BE为∠ABC的角平分线，∠EBC＝∠ABE，CD为∠ACB的角平分线，则∠ACD＝∠DCB，因为BC∥DE，根据平行线的性质，内错角相等，可得出AD ＝AC，AB＝AE，所以DE＝AD+AE＝AB+AC，从而可求出DE的长度．
【解答】解：由分析得：∠EBC＝∠ABE，∠ACD＝∠DCB；
根据平行线的性质得：∠DCB＝∠CDE，∠EBC＝∠BED；
所以∠ADC＝∠ACD，∠ABE＝∠AEB，则AD＝AC，AB＝AE；
所以DE＝AD+AE＝AB+AC＝3+4＝7；
故选：B．
5．在△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据等边三角形的判定判断即可．
【解答】解：①根据等边三角形的定义可得△ABC为等边三角形，结论正确；
②根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；
③一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角
也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；
④根据判定定理2可得△ABC为等边三角形，结论正确．
故选：D．
6．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）
A．25 B．7 C．25或7 D．25或16
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，﹣4|＝0，
∴（a﹣3）2，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝
＝，
∴直角三角形的第三平方为25或7，
故选：C．
二．填空题（共10小题）
7．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了一个定理，这是我国古代数学的骄傲．这个定理就是勾股定理．
【分析】根据题意即可得到这个定理就是勾股定理．
【解答】解：这个定理就是勾股定理，
故答案为：勾股．
8．在直角三角形中，斜边长为10cm，则斜边上的中线长为5cm．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵直角三角形斜边长为10cm，
∴斜边上的中线长为5cm．
故答案为：5cm．
9．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是17 cm．【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17cm．
故答案为：17．
10．如图，沿直线AD折叠，△ACD与△ABD重合，若∠B＝50°，则∠CAD＝40 度．
【分析】根据折叠的性质可知，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC＝90°，继而即可求出∠CAD的度数．
【解答】解：∵沿直线AD折叠，△ACD与△ABD重合，
∴∠B＝∠C＝50°，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝40°．
故答案为：40．
11．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是 5 cm2．
【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：＝5（cm），
∴阴影部分的面积＝5×1＝5（cm2）；
故答案为：5．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝30cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC 于D、E两点．
（1）若∠C＝70°，则∠BEC＝80°；
（2）若BC＝20cm，则△BCE的周长是50 cm．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，再由三角形内角和定理求出∠A的度数，根据线段垂直平分线的性质求出AE＝BE，故可得出∠ABE的度数，进而可得出结论；
（2）根据AE＝BD可知，BE+CE＝AE+CE＝AC，由此可得出结论．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC＝30cm，∠C＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°，
∴∠BEC＝180°﹣∠C﹣∠EBC＝180°﹣70°﹣30°＝80°．
故答案为：80°；
（2）∵由（1）知AE＝BE，
∴BE+CE＝AE+CE＝AC＝30cm，
∵BC＝20cm，
∴△BCE的周长＝AC+BC＝30+20＝50（cm）．
故答案为：50．
13．如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB＝2cm，则点P到OA的距离是 2 cm．
【分析】过点P作PD⊥OA于点D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD＝PB，从而得解．
【解答】解：过点P作PD⊥OA于点D，
∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB＝2cm，
∴PD＝PB＝2cm，
故答案为2．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，已知AB＝10，BC＝16，则AD 的长为 6 ．
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD的长，再利用勾股定理得出AD 的长．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，AB＝10，BC＝16，
∴BD＝DC＝8，
∴在Rt△ABD中，
AD＝＝＝6．
故答案为：6．
15．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有
3 个．
【分析】根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可．
【解答】解：如图：
共3个，
故答案为：3．
16．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝或10 s时，△POQ是等腰三角形．
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；
（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．
【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即10﹣2x＝x，
解得，x＝s；
（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（x﹣5）＝x，
解得，x＝10s
故答案为s或10s．
三．解答题（共8小题）
17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C 在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）在直线l上找一点P，使PB′+PC的长最短；
（3）若△ACM是以AC为腰的等腰三角形，点M在小正方形的顶点上．这样的点M共有 4 个．
【分析】（1）依据轴对称的性质得到各顶点，进而得出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）依据两点之间，线段最短，连接B'C交直线l于点P，则PB′+PC的长最短；
（3）分别以点A和点B为圆心，AB长为半径画弧，即可得到符合条件的点M．【解答】解：（1）如图所示，△AB′C′即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）如图所示，符合条件的点M共有4个，
故答案为：4．
18．先尺规作图，后进行计算：
如图，△ABC中，∠A＝105°．
（1）试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到∠ABC两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若∠ACP＝30°，则∠PBC的度数为15 °．
【分析】（1）作BC的垂直平分线和∠ABC的平分线，它们的交点为P点；
（2）设∠PBC＝x，利用角平分线的定义得到∠ABC＝2∠PBC＝2x，利用线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，则∠PCB＝∠PBC＝x，然后根据三角形内角和定理可计算出x的值．
【解答】解：（1）如图，点P为所作；
（2）设∠PBC＝x，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC＝2x，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+x+30°+105°＝180°，解得x＝15°．
即∠PBC的度数为15°．
故答案为15．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC＝AB．
【分析】（1）由AB＝AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B＝∠C＝30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC＝120°，而∠DAB＝45°，则∠DAC ＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°；
（2）根据三角形外角性质得到∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，而由（1）得到∠DAC＝75°，再根据等腰三角形的判定可得DC＝AC，这样即可得到结论．【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；
（2）证明：∵∠DAB＝45°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴DC＝AC，
∴DC＝AB．
20．如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF ＝90°，AF＝3，AE＝4．
（1）求边BC的长；
（2）求出∠BAC的度数．
【分析】（1）根据勾股定理求出EF，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，结合图形计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得，EF＝＝＝5，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝12；
（2）∵EA＝EB，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
由三角形内角和定理得，∠EAB+∠B+∠EAF+∠FAC+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°．
21．已知：如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，BD与AE交于点F，CD＝BE．
（1）求证：BD＝AE；
（2）求证：∠AFD＝60°．
【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△BCD即可解决问题；
（2）利用全等三角形的性质即可解决问题；
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∠ABE＝∠C＝60°，
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE．
（2）∵△ABE≌△BCD，
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠AFD＝∠ABF+∠BAE＝∠ABF+∠CBD＝∠ABC＝60°．
22．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点．EF ⊥BD，垂足为F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若AC＝26，EF＝5，求BD的长．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，
∴BE＝DE＝AC；
（2）∵BE＝DE，EF⊥BD，
∴BD＝2BF，
∵BE＝AC，AC＝26，
∴BE＝13，
∵EF＝5，
∴BF＝＝＝12，
∴BD＝2BF＝24．
23．如图，已知：∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，点P在射线OC上．点E在射线OA上，点F在射线OB上，且∠EPF＝90°．
（1）如图1，求证：PE＝PF；
（2）如图2，作点F关于直线EP的对称点F′，过F′点作FH⊥OF于H，连接EF′，F′H与EP交于点M．连接FM，图中与∠EFM相等的角共有 4 个．
【分析】（1）过P作PG⊥OB于G，PH⊥AO于H，判定△PEH≌△PFG（AAS），即可得出PE＝PF；
（2）依据轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到与∠EFM相等的角．
【解答】解：（1）如图1，过P作PG⊥OB于G，PH⊥AO于H，则∠PGF＝∠PHE ＝90°，
∵OC平分∠AOB，PG⊥OB，PH⊥AO，
∴PH＝PG，
∵∠AOB＝∠EPF＝90°，
∴∠PFG+∠PEO＝180°，
又∵∠PEH+∠PEO＝180°，
∴∠PEH＝∠PFG，
∴△PEH≌△PFG（AAS），
∴PE＝PF；
（2）由轴对称可得，∠EFM＝∠EF'M，
∵F'H⊥OF，AO⊥OB，
∴AO∥F'F，
∴∠EF'M＝∠AEF'，
∵∠AEF'+∠OEF＝∠OFE+∠OEF＝90°，
∴∠AEF'＝∠OFE，
由题可得，P是FF'的中点，EF＝EF'，
∴EP平分∠FEF'，
∵PE＝PF，∠EPF＝90°，
∴∠PEF＝45°＝∠PEF'，
又∵∠AOP＝∠AOB＝45°，且∠AEP＝∠AOP+∠OPE，
∴∠AEF'+45°＝45°+∠OPE，
∴∠AEF'＝∠OPE，
∴与∠EFM相等的角有4个：∠EF'M，∠AEF'，∠EFO，∠EPO．
故答案为：4．
24．如图1，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠D＝90°，AD＝BC＝6，AB ＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE翻折得△AD′E．（1）当D′点落在AB边上时，∠DAE＝45 °；
（2）如图2，当E点与C点重合时，D′C与AB交点F，
①求证：AF＝FC；
②求AF长．
（3）连接D′B，当∠AD′B＝90°时，求DE的长．
【分析】（1）由△ADE≌△AD′E知∠DAE＝∠D′AE，结合D′点落在AB边上知∠DAE+∠D′AE＝90°，从而得出答案；
（2）①由折叠得出∠ACD＝∠ACD′，再由AB∥CD得出∠ACD＝∠BAC，从而得知∠ACD′＝∠BAC，据此即可得证；
②设AF＝FC＝x，则BF＝10﹣x，在Rt△BCF中，由BF2+BC2＝CF2得到关于x 的方程，解之可得；
（3）分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．
【解答】解：（1）由题意知△ADE≌△AD′E，
∴∠DAE＝∠D′AE，
∵D′点落在AB边上时，∠DAE+∠D′AE＝90°，
∴∠DAE＝∠D′AE＝45°，
故答案为：45；
（2）①如图2，由题意知∠ACD＝∠ACD′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴∠ACD′＝∠BAC，
∴AF＝FC；
②设AF＝FC＝x，则BF＝10﹣x，
在Rt△BCF中，由BF2+BC2＝CF2得（10﹣x）2+62＝x2，
解得x＝6.8，即AF＝6.8；
（3）如图3，
∵△AD′E≌△ADE，
∴∠AD′E＝∠D＝90°，
∵∠AD′B＝90°，
∴B、D′、E三点共线，
又∵△ABD′∽△BEC，AD′＝BC，
∴△ABD′≌△BEC，
∴BE＝AB＝10，
∵BD′＝＝＝8，
∴DE＝D′E＝10﹣8＝2；
如图4，
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
∵，
∴△ABD″≌△BEC，
∴BE＝AB＝10，
∴DE＝D″E＝8+10＝18．
综上所知，DE＝2或18．。