2021-2022学年江苏省徐州市铜山区九年级(上)期中数学试卷(附详解)

2021-2022学年江苏省徐州市铜山区九年级（上）期中数
学试卷
1.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30°，则∠B的
度数为()
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
2.甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，
其方差如下表：
选手甲乙丙丁
方差0.0230.0180.0200.021
则这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是()
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
3.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球
无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是()
A. 1
4B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
4.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若
圆C与直线AB相切，则r的值为()
A. 2cm
B. 2.4cm
C. 3cm
D. 4cm
5.已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这
个圆锥的底面半径为()
A. 12.5cm
B. 25cm
C. 50cm
D. 75cm
6.将抛物线y=x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线
为()
A. y=(x+3)2+5
B. y=(x−3)2+5
C. y=(x+5)2+3
D. y=(x−5)2+3
7.若函数y=x2−2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是()
A. b<1
B. b>1
C. 0<b<1
D. b<1且b≠0
8.如图⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，∠ACB=
90°，则∠EDF的度数为()
A. 25°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
9.数据1，2，4，5，2的众数是______．
10.抛物线y=3(x−1)2+8的顶点坐标为______．
11.某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作
为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是______分．12.在−3，−2，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=ax2+4x−2中a的
值，则该二次函数图象开口向上的概率是______．
13.在一个不透明的口袋内放入红球8个，黑球4个，黄球n个，这些球除颜色外无任何
，则放入口袋中的黄球个数是差别，摇匀后随机摸出一个恰好是黄球的概率为1
5
______．
14.如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，
分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周长等
于______ cm．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6.若以AC所在
直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧
面积等于______．
16.过圆O内一点P的最长的弦、最短弦的长度分别是10cm，8cm，则OP=______cm．
17.若二次函数y=x2+bx−5的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x2+bx−5=
2x−13的解为______．
18.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，
与x轴一个交点是(3,0)，给出下列结论：①ac<0；②b2−
4ac>0；③2a−b=0；④a−b+c=0.其中正确的结
论是(填写序号)______．
19.如图，已知△ABC是锐角三角形．
(1)利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O.(保留作图痕迹)
(2)利用直尺与圆规画出(1)中经过点B的⊙O的切线l.(保留
作图痕迹)
20.甲、乙两名射击选手各自射击十组，按射击的时间顺序把每组射中靶的环数值记录
如下表：
选手
12345678910组数
甲98908798999192969896
乙85918997969798969898
(1)根据上表数据，完成下列分析表：
平均数众数中位数方差极差
甲94.59616.6512
乙94.518.65
(2)如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛，应选哪一个？为什么？
21.将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)若随机地抽取一张，则抽到数字恰好为1的概率是______ ；
(2)请你通过列表或画树状图分析：先随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回)，
再抽取一张作为个位上的数字，求组成的两位数能被4整除的概率．
22.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交点C，点A坐标为
(−2,0)，点B坐标为(2,0)，且△ABC的面积为6．
(1)求点C的坐标；
(2)求该二次函数的表达式．
23.已知二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)
(1)求该函数的关系式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求
△OA′B′的面积．
24.如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC
于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．
(1)求证：OD⊥DE．
(2)若∠BAC=30°，AB=8，求阴影部分的面积．
25.已知函数y=−x2+(m−1)x+m(m为常数)．
(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是______．
A.0B.1C.2D.1或2
(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上．
(3)当−2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
26.如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，ÂE=ÂB，BE分
别交AD、AC于点F、G．
(1)判断△FAG的形状，并说明理由；
(2)如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE 于点F，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，若BG=26，BD−DF=7，求AB的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴∠B=180°−90°−30°=60°．
故选D．
根据直径所对的圆周角为90°，可得∠C的度数，再利用三角形内角和定理进行计算．此题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理，题目比较简单．
2.【答案】B
【解析】解：∵S乙2<S丙2<S丁2<S甲2，
∴这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是乙．
故选B．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：列表如下：
12
123
234
由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，
所以两次记录的数字之和为3的概率为2
4=1
2
，
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；由勾股定理，得：AB2=32+42=25，
∴AB=5；
又∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴CD=r；
∵S△ABC=1
2AC⋅BC=1
2
AB⋅r；
∴r=2.4cm，
故选：B．
r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．
本题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法；斜边上的高即为圆的半径是本题的突破点
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥的计算，属于基础题．
设这个圆锥的底面半径为r，得到2πr=150⋅π⋅60
180
，然后解方程即可．
【解答】
解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr=150⋅π⋅60
，
180
解得r=25(cm)，
即这个圆锥的底面半径为25cm．
故选B．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析
式为：y=(x−5)2+3；
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：∵函数y=x2−2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
∴抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且与x轴、y轴的不能为(0,0)，
∴(−2)2−4b>0且b≠0，
解得：b<1且b≠0，
故选：D．
抛物线与x轴，y轴共有3个交点，必定与x轴有两个交点，与y轴的交点不能与x轴的交点重合，即不能为(0,0)，于是考虑b2−4ac>0，进而确定b的取值范围．
考查抛物线与坐标轴的交点的问题，需要考虑b2−4ac的符号，同时还要注意抛物线与x轴的交点不能为(0,0)，容易忽略．
8.【答案】C
【解析】解：连接OE、OF，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠C=90°，
∴∠EOF=90°，
∠EOF=45°，
∴∠EDF=1
2
故选C．
连接OE、OF，根据切线的性质求出∠OEC=∠OFC=90°，求出∠EOF=90°，根据圆
∠EOF，代入求出即可．
周角定理得出∠EDF=1
2
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，多边形的内角和定理，圆周角定理的
∠EOF．
应用，关键是求出∠EOF的度数和求出∠EDF=1
2
9.【答案】2
【解析】解：数据1，2，4，5，2中，2出现的次数最多，是2次，因此众数是2．
故答案为：2．
找出出现次数最多的数是众数．
本题考查众数的意义及求法，在一组数据中出现次数最多的数是众数．
10.【答案】(1,8)
【解析】解：∵抛物线y=3(x−1)2+8是顶点式，
∴顶点坐标是(1,8)．
故答案为：(1,8)．
已知抛物线顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)．
本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
11.【答案】88
【解析】解：∵笔试按60%、面试按40%，
∴总成绩是(90×60%+85×40%)=88分，
故答案为：88．
根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．
12.【答案】3
5
【解析】
【分析】
本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
二次函数图象开口向上得出a>0，从所列5个数中找到a>0的个数，再根据概率公式求解可得．
【解答】
解：∵从−3，−2，1，2，3五个数中随机选取一个数，共有5种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有1、2、3这3种结果，
∴该二次函数图象开口向上的概率是3
5
，
故答案为3
5
．
13.【答案】3
【解析】解：因为摇匀后随机摸出一个恰好是黄球的概率为1
5
，
所以n
8+4+n =1
5
，
解得：n=3，
经检验n=3是分式方程的解，
即黄球有3个，
故答案为：3．
根据概率公式列出关于n的分式方程，解方程即可得．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m
．
n
14.【答案】14
【解析】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB=7cm；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14cm；故△PCD的周长是14cm．
由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB 的长，然后再进行求解．
此题主要考查了切线长定理的应用，能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长，是解答此题的关键．
15.【答案】60π
【解析】解：由已知得，母线长AB=10，半径r为6，
∴圆锥的侧面积是s=πlr=10×6×π=60π．
故答案为60π．
运用公式s=πlr(其中勾股定理求解得到的母线长l为5)求解．
本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解．
16.【答案】3
【解析】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm．
∵CD⊥AB，
CD=4cm．
∴CP=1
2
根据勾股定理，得OP=√OC2−CP2=3(cm)．
故答案为：3．
根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
17.【答案】x1=2，x2=4
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数与一元二次方程.利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程即可得解．
【解答】
解：∵二次函数y=x2+bx−5的对称轴为直线x=2，
=2，
∴−b
2
得b=−4，
则x2+bx−5=2x−13可化为：x2−4x−5=2x−13，
即x2−6x+8=0，
解得，x1=2，x2=4．
故答案为：x1=2，x2=4．
18.【答案】①②④
【解析】解：抛物线开口向下，a<0，与y轴交于正半轴，c>0，
于是有：ac<0，因此①正确；
=1，得2a+b=0，因此③不正确，
由x=−b
2a
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2−4ac>0，②正确，
由对称轴x=1，抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，对称性可知另一个交点为(−1,0)，因此a−b+c=0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，
故答案为：①②④．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点，综合进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的图象与系数的关系是正确判断的前提．
19.【答案】解：(1)如图⊙O 即为所求．
(2)如图直线l ，即为⊙O 的切线．
【解析】(1)△ABC 任意两边的垂直平分的交点，即
为△ABC 外接圆的圆心．
(2)过点B 作垂直于BO 的直线l ，即为⊙O 的切线．
本题考查作图−复杂作图、切线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)根据众数、中位数和极差的概念填充表格如下所示：
平均数 众数 中位数 方差 极差 甲
94.5 98 96 16.65 12 乙 94.5 98 96.5 18.65 13
(2)∵S 甲2<S 乙2，
∴甲的成绩比较稳定，
∴选择甲选手参加比赛．
【解析】(1)分别根据众数、中位数和极差的概念填充表格即可；
(2)根据方差即可确定选择哪位选手参加比赛．
此题主要考查了众数、中位数和极差的概念及方差在实际生活中的应用，利用方差可以确定数据的波动大小，也就是数据的稳定性，由此即可解决问题；同时该题的计算量比较大，要注意细心运算．
21.【答案】(1)1
3；
(2)解：(解法一)画树状图得：
由树状图可得，所有等可能的结果有6种，其中组成的两位数能被4整除的有2种，
∴P(能被4整除的两位数)=2
6=1
3
；
(解法二)列表法得：
由列表法可得，所有等可能的结果有6种，其中组成的两位数能被4整除的有2种，
∴P(能被4整除的两位数)=2
6=1
3
．
【解析】
解：(1)P(抽到数字恰好为1)=1
3
，
故答案为：1
3
；
(2)见答案．
【分析】
(1)利用一般列举法计算即可；
(2)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)∵A(−2,0)，B(2,0)，
∴AB=4，
∵△ABC的面积为6，
∴1
2
×4×OC=6，
解得OC=3，
∴C点坐标为(0,3)或(0,−3)；
(2)设抛物线解析式为y=a(x+2)(x−2)，
当C点坐标为(0,3)时，3=a×(0+2)×(0−2)，
解得a=−3
4
，
此时抛物线解析式为y=−3
4(x+2)(x−2)，即y=−3
4
x2+3；
当C点坐标为(0,−3)时，−3=a×(0+2)×(0−2)，
解得a=3
4
，
此时抛物线解析式为y=3
4(x+2)(x−2)，即y=3
4
x2−3；
综上所述，抛物线解析式为y=−3
4x2+3或y=3
4
x2−3．
【解析】(1)利用三角形面积公式求出OC的长，从而得到C点坐标；
(2)设交点式y=a(x+2)(x−2)，把(0,3)或(0,−3)分别代入求出对应的a的值，从而得到抛物线解析式．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
23.【答案】解：(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4
将B(2,−5)代入得：a=−1
∴该函数的解析式为：y=−(x+1)2+4=−x2−2x+3
(2)令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：(0,3)
令y=0，−x2−2x+3=0，解得：x1=−3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：(−3,0)，(1,0)
(3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧)，由(2)知：M(−3,0)，N(1,0)
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位
故A′(2,4)，B′(5,−5)
∴S△OA′B′=1
2×(2+5)×9−1
2
×2×4−1
2
×5×5=15．
【解析】(1)已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式．
(2)根据的函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标．
(3)由(2)可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象交点、图形面积的求法等知识．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
24.【答案】(1)证明：连接DB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE=CE=1
2
BC，
∴∠EDC=∠C，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ADO+∠EDC=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE；
(2)∵AB =8，∠BAC =30°，
∴AD =4√3，
阴影部分的面积=
120π×42360−12×4×2√3 =
163π−4√3．
【解析】(1)连接DB ，根据圆周角定理、直角三角形的性质证明；
(2)根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算、圆周角定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键． 25.【答案】(1)D ；
(2)y =−x 2+(m −1)x +m =−(x −
m−12)2+(m+1)24， 把x =m−12代入y =(x +1)2得：y =(m−12+1)2=(m+1)24
， 则不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y =(x +1)2的图象上；
(3)设函数z =(m+1)24，
当m =−1时，z 有最小值为0；
当m <−1时，z 随m 的增大而减小；
当m >−1时，z 随m 的增大而增大，
当m =−2时，z =14；当m =3时，z =4，
则当−2≤m ≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z ≤4．
【解析】解：(1)∵函数y =−x 2+(m −1)x +m(m 为常数)，
∴△=(m −1)2+4m =(m +1)2≥0，
则该函数图象与x 轴的公共点的个数是1或2，
故选D ；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；
(2)将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；
(3)根据m 的范围确定出顶点纵坐标范围即可．
此题考查了抛物线与x 轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性
质是解本题的关键．
26.【答案】解：(1)等腰三角形；
理由：如图1，
∵BC为直径，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，
∵ÂE=ÂB，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AF=BF，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，∴∠DAC=∠AGB，
∴FA=FG，
∴△FAG是等腰三角形；
(2)成立；
∵BC为直径，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，
∵ÂE=ÂB，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AF=BF，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，∴∠DAC=∠AGB，
∴FA=FG，
∴△FAG是等腰三角形；
(3)由(2)得：AF=BF=FG，
∵BG=26，
∴FB=13，
∴{BD−DF=7
BD2+DF2=169
解得：BD=12，DF=5，
∴AD=AF−DF=13−5=8，
∴AB=√AD2+BD2=4√13．
【解析】(1)首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠BAD+∠CAD=90°，∠C+
∠CAD=90°，从而得到∠BAD=∠C，然后利用等弧对等角等知识得到AF=BF，从而证得FA=FG，判定等腰三角形；
(2)成立，证明方法同(1)；
(3)首先根据上题得到AF=BF=FG，从而利用已知条件得到FB=13，然后利用勾股定理得到BD=12，DF=5，从而求得AD=8，最后求得AB=4√13
此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△FAG是等腰三角形，是一道难度不大的三角形和圆的结合的题目．。