28.1 锐角三角函数 课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版

2 A＝___4___．
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例 3 如图28.1－3，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，如果 2AB＝3BC，求∠B 的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定 义的前提是在直角三角形中”这一特 征，用“构造直角三角形法”求解.
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解：过点A作AD⊥BC于点D，如图28.1－3，
学习目标
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
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知识点 1 锐角三角函数
1. 正弦、余弦、正切
名称
定义
符号语言
在Rt△ABC中，∠C＝
90°，∠A的对边与斜 在Rt△ABC
正弦
边的比叫做∠A 的正 中，∠C＝
弦 ，记 作 sin A，即 sin A＝∠A斜的边对边
90°，sin ＝ac
A.
4 3
B.
3 4
C.
3 5
D.
4 5
解题秘方：引入参数，用这个参数表示出三角形的
三边长，再用定义求解.
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解：由sin A＝BACB＝45，可设BC＝4k(k>0)，则AB＝5k. 根据勾股定理，得AC＝3k， ∴ tan B＝ABCC＝34kk＝34. 答案：B
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技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角 函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助 元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时要 约去辅助元.
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2－1. [期中·盐城射阳县]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，
sin
A＝13，则cos
22 A＝___3___，tan
正切
边的比叫做∠A的正 中，∠C＝
切，记作tan A，即 tan A＝∠∠AA的的对邻边边
90°，tan ＝ab
A
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图示
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注意 (1)正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的，求值
时，要先找到角所在的直角三角形； (2)sin A，cos A，tan A反映了直角三角形的边与角的关
知2－讲
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(2)csoins AA＝tan A.
知2－讲
证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知
sin A＝ac ，cos A＝bc，tan A＝ab. ∴csoins AA＝ ac÷bc＝ac·bc＝ab， ∴csoins AA＝tan A.
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深度理解 1. 锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出. 2. 锐角三角函数定义
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知识点 2 锐角三角函数之间的关系(拓展)
1.同一锐角的三角函数之间的关系 (1)sin2 A＋cos2 A＝1. 证明：如图28.1－6，
由锐角三角函数的定义可知sin A＝ac， cos A＝bc，∴ sin2 A＋cos2 A＝ac22＋bc22＝a2＋c2 b2. 又∵ a2＋b2＝c2，∴ sin2 A＋cos2 A＝1 .
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方法点拨：已知直角三角形的任意两边长求某个锐角 的三角函数值时，运用数形结合思想, 首先画出符合题意 的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知的边长，最后 结合锐角三角函数的定义求该锐角三角函数值.
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1－1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
168
∴BE＝11638.
∴sin∠BAC＝ABBE＝
13 15
＝5665.
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例 4 [中考·淄博] 如图28.1－4 是由边长相同的小正方形组 成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点 上. 线段AB，PQ相交于点M. 则图中∠QMB的正切值是( )
A.
1 2
B. 1
C. 3
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∵ AB＝AC，∴ BD＝DC.∵ 2AB＝3BC，∴BACB＝32. 设AB＝AC＝3k(k>0)，则BC＝2k. ∴ BD＝CD＝k，
∴AD＝ AB2－BD2＝ (3k)2－k2＝ 8k2＝2 2k.
∴ sin B＝AADB＝23k2k＝232，cos B＝BADB＝3kk＝13， tan B＝ABDD＝2 k2k＝2 2.
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∴△ ANM∽△ ACB，∴AACN＝AAMB . ∵ AN＝3，AM＝4，∴A3C＝A4B，∴AACB＝34． 设AC＝3k(k>0)，则AB＝4k，∴ BC＝ AB2－AC2＝ 7k.
∴
cos
B＝BACB＝
47kk＝
7 4
．
答案：D
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5－1.[期中·福州鼓楼区]如图，在⊙O中，直径AB＝6，AB 与 弦 CD 相 交 于 点 E ， 连 接 AC ， BD ， 若 AC ＝ 2 ， 则 1 cos D的值为___3____．
sin A=cos(90°－∠A)，cos A=sin(90°－∠A).
Байду номын сангаас 感悟新知
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证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知sin A＝ ac，sin B＝bc，cos A＝bc，cos B＝ac，∴ sin A＝cos B， cos A＝sin B.
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(2)在 △ABC中，如果∠A＋∠B＝90°，那么tan A·tan B＝1. 证明：如图28.1－6，由锐角三角函数的定义可知tan A
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解：方法1：∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠ACB＝90°， ∴△ANM∽△ACB，∴∠B＝∠AMN． 在Rt△ AMN中，AN＝3，AM＝4， ∴ MN＝ AM2－AN2＝ 42－32＝ 7 ．
∴
cos
B＝cos∠AMN＝MAMN＝
7 4
．
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方法2：∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠ACB＝90°，
已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos A的值为( C )
A.
3 5
B.
3 4
C.
4 5
D.
4 3
1－2. [中考·滨州] 在Rt△ABC中， ∠C＝90 °，AC＝5，BC 12
＝12，则sin A＝___1_3____．
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例 2 在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，则tan B＝( )
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(2)取值范围：0<sin A<1 ，0<cos A<1，tan A>0.
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特别解读 由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边
长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且正 弦值和余弦值小于1.
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(3)写法：①当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表 示时，习惯上省略角的符号“∠”，如：sin A，cos A，tan A，sin α ，cos α ，tan α 等； ②当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角 的符号“∠”不能省略，如：sin∠ABC不能写成sinABC， cos∠1不能写成cos 1等.
D. 2
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思路引导：
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解： 如图28.1－4，过点P作PC∥AB，连接QB并延长，交 PC于点C，则∠QMB＝∠QPC. 易知CP，CQ分别为两个正方形的对角线， ∴∠PCQ＝45°＋45°＝90°，
∴ tan∠QMB＝tan∠QPC＝QPCC＝2. 答案：D
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系，是两条边的比值，没有单位.
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2. 锐角三角函数：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角 三角函数.
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特别提醒 sin A，cos A，tan A都是一个完整的符号，不能
写成sin·A，cos·A，tan·A.
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特别说明 (1)定义理解：①由相似的知识可知，sin A，cos A，tan A
A
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图示
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续表
名称
定义
符号语言
余弦
在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A的邻边与斜 边的比叫做∠A的余
在Rt△ABC 中，∠C＝
弦，记作cos A，即 90°，cos A
cos A＝∠A斜的边邻边
＝bc
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图示
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续表
名称
定义
符号语言
在Rt△ABC中，∠C＝
90°，∠A的对边与邻 在Rt△ABC
＝ab，tan B＝ba，∴ tan A·tan B＝ab·ba＝1 .
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例 6 已知α 为锐角，且sinα＝153 ，求cosα ，tanα的值. 解题秘方：紧扣“同一锐角的三角函数之间的关 系”求解.
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解：∵ sin2α ＋cos2α＝1，sinα＝153 ， ∴ cos2α＝1－sin2α＝1－12659 ＝116494. ∵α 为锐角，∴ 0＜cosα＜1 . ∴ cosα＝1132.
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3－1. 如图，在锐角三角形ABC中，AB＝15，BC＝14， S△ ABC＝84，求：
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(1)tan C的值；
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解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
∵S△ ABC＝12BC·AD＝84，BC＝14， ∴12×14×AD＝84，解得 AD＝12.
在 Rt△ ABD 中，AB＝15，∴BD＝ AB2－AD2＝ 152－122
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例 1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别 为a，b，c. 已知a＝6，b＝8，求出∠A的三角函 数值 . 解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解.
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解：如图28.1－2，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，a＝6，b＝8， ∴ c＝ a2＋b2＝ 62＋82＝10. ∴ sin A＝ac＝160＝35，cos A＝bc＝180＝45， tan A＝ab＝68＝34.
速记口诀： 正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜， 正切等于对比邻，函数特点要牢记.
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2. 互余两角的三角函数之间的关系
知2－讲
(1)在△ABC中，如果∠A＋∠B＝90°，那么sin A＝cos B，cos
A＝sin B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值
；一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
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特别提醒：正方形网格的两个隐含条件 (1)任何格点之间所连的线段都是某个正方形或长方形 的边或对角线，所以任何格点之间所连的线段长度都能求 出；(2)利用正方形的性质，容易得到一些特殊的角，如 45°角，90°角等.
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4－1. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B， O都在正方形网格的格点上，则∠AOB的正弦值是 ( )B
的值与三角形的大小无关，只与∠A的大小有关； ②因为当∠A确定时，sin A，cos A，tan A都只有唯一确 定的值与其对应，所以sin A，cos A，tan A都是以∠A为 自变量的函数，统称为∠A的锐角三角函数.
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特别解读 如图28.1－1， 在Rt△ABC中，sin A＝BABC. 在Rt△AB′C′中，sin A＝BA′BC′′. 易知△ABC∽△AB′C′，∴BACB＝BA′BC′′. ∴sin A的值与三角形的大小无关.
C. tan 30°·tan 60°＝1 D. sin230°＋cos230°＝1
解题秘方：紧扣“sinα＝cos(90°－α)，tanα·tan(90°－ α)＝1”进行判断．
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解：A. cos 60°＝sin 30°，故该选项错误； B. sin 15°＝cos 75°，故该选项正确； C. tan 30°·tan 60°＝1，故该选项正确； D. sin230°＋cos230°＝1，故该选项正确. 答案：A
A.
10 10 3
C.
1 3
B.
10 10
D.
1 2
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例 5 [期末·淮安淮阴区] 如图28.1－5，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN ＝3，AM＝4，则cos B的值为( )
A.
3 5
B.
4 5
C.
3 4
D.
7 4
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解题秘方：紧扣“角相等则其三角函数值也相等”这 一特征，用“等角转换法”将所要求的角的三角函数值转 换为直角三角形中与该角相等的角的三角函数值．
＝9. ∴CD＝CB－BD＝14－9＝5.∴tan C＝DADC＝152.
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(2)sin A的值． 解：如图，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E.
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在△ ADC 中，∵∠ADC＝90°，AD＝12，CD＝5，
∴AC＝ AD2＋CD2＝ 122＋52＝13.
又∵S△ ABC＝12AC·BE＝84，
5 ∴ tanα＝csoins αα＝1132＝152 .
13
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6－1. 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，3sin A－ 3＝0，则cos
6
2
A的值为______3，tan A的值为______2．
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例 7 下列各式中，不成立的是( )
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A. cos 60°＝2sin 30° B. sin 15°＝cos 75°