2017-2018年湖北省武汉六中高二(下)3月月考数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年湖北省武汉六中高二（下）3月月考数学试卷（文
科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每个小题只有一个正确选项）1．（5分）复数＝（）
A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i
2．（5分）已知复数的实部和虚部相等，则|z|＝（）A．2B．3C．D．
3．（5分）复数z满足（S为虚数单位），则|z|＝（）
A．B．C．1D．2
4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）
A．y＝B．y＝cos x C．y＝ln（x+1）D．y＝2﹣x
5．（5分）已知回归方程y^＝2x+1，而试验得到一组数据是（2，4.9），（3，7.1），（4，9.1），则残差平方和是（）
A．0.01B．0.02C．0.03D．0.04
6．（5分）函数y＝xe x的最小值是（）
A．﹣1B．﹣e C．D．不存在
7．（5分）某商品的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是＝﹣
3.2x+a，则实数a＝（）
A．30B．35C．38D．40
8．（5分）若x＝3是函数f（x）＝（x2+ax+1）e x的极值点，则f（x）的极大值为（）A．﹣2e B．﹣2e3C．2e3D．6e﹣1
9．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（2）＝2，且对于任意x∈R，都有，则不等式f（log2x）＞2log2x﹣2的解集为（）
A．{x|0＜x＜4}B．{x|﹣4＜x＜0}C．{x|x≥4}D．{x|x＜4} 10．（5分）已知函数f（x）＝2xe x﹣ax2﹣2ax在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，1]C．[e，+∞）D．[1，+∞）11．（5分）函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0 12．（5分）已知直线x﹣y＝0是函数f（x）＝图象的一条切线，且关于x的方程f（x）＝t恰有一个实数解，则（）
A．t∈{2}B．t∈（﹣∞，0]C．t∈（﹣∞，0]∪{2}D．t∈（﹣∞，2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）复数||＝．
14．（5分）函数y＝f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x﹣8，则＝．
15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是．
16．（5分）已知f1（x）＝sin x﹣cos x，记f2（x）＝f1'（x），f3（x）＝f2'（x），…，f n（x）＝f n﹣1'（x）（n∈N*，n≥2），则＝
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．（10分）已知函数f（x）＝x（2x2﹣3x﹣12）+5．
（1）求曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程；
（2）求函数y＝f（x）在区间[0，3]的最大值和最小值．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣与x＝1时都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
19．（12分）设函数．
（1）若，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围
20．（12分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x+；（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
21．（12分）已知函数f（x）＝x3+x2﹣2ax﹣1，f′（﹣1）＝0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对于任意的x∈[﹣2，0），都有f（x）≤bx+3，求b的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝+alnx．
（1）若x＝1是f（x）的极值点，试研究函数f（x）的单调性，并求f（x）的极值；（2）若f（x）≥0在（0，e）上恒成立，求实数a的取值范围．
2017-2018学年湖北省武汉六中高二（下）3月月考数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每个小题只有一个正确选项）1．（5分）复数＝（）
A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i
【解答】解：＝＝＝i，
故选：A．
2．（5分）已知复数的实部和虚部相等，则|z|＝（）A．2B．3C．D．
【解答】解：，
∵复数的实部和虚部相等，
∴﹣b＝﹣3，即b＝3．
∴．
故选：D．
3．（5分）复数z满足（S为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．2
【解答】解：∵，
∴z＝，
则|z|＝．
故选：B．
4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）
A．y＝B．y＝cos x C．y＝ln（x+1）D．y＝2﹣x
【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；
∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；
B．y＝cos x在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；
C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y＝ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；
D.；
∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．
故选：D．
5．（5分）已知回归方程y^＝2x+1，而试验得到一组数据是（2，4.9），（3，7.1），（4，9.1），则残差平方和是（）
A．0.01B．0.02C．0.03D．0.04
【解答】解：当x＝2时，y^＝5，
当x＝3时，y^＝7，
当x＝4时，y^＝9．
∴s^1＝4.9﹣5＝﹣0.1，e^2＝7.1﹣7＝0.1，
e^3＝9.1﹣9＝0.1．
∴＝（﹣0.1）2+（0.1）2+（0.1）2＝0.03．
故选：C．
6．（5分）函数y＝xe x的最小值是（）
A．﹣1B．﹣e C．D．不存在
【解答】解：求导函数，可得y′＝e x+xe x，令y′＝0可得x＝﹣1
令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1
∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增
∴x＝﹣1时，函数y＝xe x取得最小值，最小值是
故选：C．
7．（5分）某商品的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是＝﹣
3.2x+a，则实数a＝（）
A．30B．35C．38D．40
【解答】解：由表中数据知，
＝×（9+9.5+10+10.5+11）＝10，
＝×（11+10+8+6+5）＝8，
代入回归直线方程＝﹣3.2x+a中，
求得实数a＝+3.2＝8+3.2×10＝40．
故选：D．
8．（5分）若x＝3是函数f（x）＝（x2+ax+1）e x的极值点，则f（x）的极大值为（）A．﹣2e B．﹣2e3C．2e3D．6e﹣1
【解答】解：函数f（x）＝（x2+ax+1）e x的导数为f′（x）＝（x2+ax+1+2x+a）e x，
由x＝3是函数f（x）＝（x2+ax+1）e x的极值点，
可得f′（3）＝（16+4a）e3＝0，
解得a＝﹣4，
可得f′（x）＝（x2﹣2x﹣3）e x，
则﹣1＜x＜3时，f（x）递减；x＞3或x＜﹣1时，f（x）递增，
可得f（x）的极大值为f（﹣1）＝6e﹣1，
故选：D．
9．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（2）＝2，且对于任意x∈R，都有，则不等式f（log2x）＞2log2x﹣2的解集为（）
A．{x|0＜x＜4}B．{x|﹣4＜x＜0}C．{x|x≥4}D．{x|x＜4}
【解答】解：∵，
∴f′（x）＜2
设g（x）＝f（x）﹣2x，
∵∴g′（x）＝f′（x）﹣2＜0，
∴g（x）为减函数，
又f（2）＝2，
∴g（2）＝f（2）﹣2×2＝﹣2，
∵f（log2x）＞2log2x﹣2，
∴f（log2x）﹣2log2x＞﹣2，
∴g（log2x）＞g（2）
∴log2x＜2＝log24，
∴0＜x＜4，
则不等式f（log2x）＞2log2x﹣2的解集为（0，4），
故选：A．
10．（5分）已知函数f（x）＝2xe x﹣ax2﹣2ax在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，1]C．[e，+∞）D．[1，+∞）
【解答】解：f（x）＝2xe x﹣ax2﹣2ax，x∈[1，+∞），
f′（x）＝2（x+1）（e x﹣a），
∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即2（x+1）（e x﹣a）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∵x≥1，∴x+1≥2＞0，
∴e x﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立，
∵x≥1，
∴e x﹣a≥e﹣a，
∴e﹣a≥0，解得：a≤e，
故选：A．
11．（5分）函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0
【解答】解：∵f（x）图象过原点，
∴f（0）＝0，即＝0，∴b＝0．
∵f（x）的定义域为R，∴c＞0．
∵当x＞0时，f（x）＞0，当x＜0时，f（x）＜0，
∴a＞0，
故选：A．
12．（5分）已知直线x﹣y＝0是函数f（x）＝图象的一条切线，且关于x的方程f（x）＝t恰有一个实数解，则（）
A．t∈{2}B．t∈（﹣∞，0]C．t∈（﹣∞，0]∪{2}D．t∈（﹣∞，2]【解答】解：f（x）＝导数为
f′（x）＝，
取切点（m，n），
则n＝，m＝n，＝1，
∴m＝，a＝2e．
∴f（x）＝，
f′（x）＝，
函数f（x）在（0，e）上单调递增，（e，+∞）上单调递减，
f（1）＝0，x→+∞，f（x）→0，
由于f（e）＝2为极大值，f（1）＝0，
关于x的方程f（x）＝t恰有一个实数解
即为当函数g（x）＝f（x）﹣t恰有一个零点时，
则t≤0或t＝2，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）复数||＝1．
【解答】解：||＝．
故答案为：1．
14．（5分）函数y＝f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x﹣8，则＝﹣．
【解答】解：函数y＝f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x﹣8，
可得f（2）＝4﹣8＝﹣4，f′（2）＝2，
即有＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是y＝2x．
【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，
设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（x）＝f（﹣x）＝e x﹣1+x，
则f′（x）＝e x﹣1+1，
f′（1）＝e0+1＝2．
∴曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2＝2（x﹣1）．
即y＝2x．
故答案为：y＝2x．
16．（5分）已知f1（x）＝sin x﹣cos x，记f2（x）＝f1'（x），f3（x）＝f2'（x），…，f n（x）
＝f n﹣1'（x）（n∈N*，n≥2），则＝
【解答】解：根据题意，f1（x）＝sin x﹣cos x，
则f2（x）＝f1′（x）＝cos x+sin x，
f3（x）＝f′2（x）＝（cos x+sin x）′＝﹣sin x+cos x，
f4（x）＝f′3（x）＝（﹣sin x+cos x）′＝﹣cos x﹣sin x，
f5（x）＝f′4（x）＝（﹣cos x﹣sin x）′＝﹣sin x+cos x，
以此类推，可得出f n（x）＝f n+4（x），且f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）＝0，
则＝f1（）+f2（）+f3（）＝；
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．（10分）已知函数f（x）＝x（2x2﹣3x﹣12）+5．
（1）求曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程；
（2）求函数y＝f（x）在区间[0，3]的最大值和最小值．
【解答】解：（1）将x＝1代入函数解析式得y＝﹣8，
由f（x）＝x（2x2﹣3x﹣12）+5得f'（x）＝6x2﹣6x﹣12，f'（1）＝﹣12，
所以函数在x＝1处的切线方程为y+8＝﹣12（x﹣1），即12x+y﹣4＝0；
（2）由（1）得f'（x）＝6x2﹣6x﹣12＝6（x﹣2）（x+1），
由f'（x）＝0，得x＝2，或x＝﹣1．
因为x∈[0，3]，f（0）＝5，f（2）＝﹣15，f（3）＝﹣4
所以，f max（x）＝5，f mIn（x）＝﹣15．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣与x＝1时都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，f′（x）＝3x2+2ax+b，
∵函数f（x）在x＝﹣与x＝1时都取得极值，
∴f′（﹣）＝f′（1）＝0，
∴，
解得a ＝﹣，b＝﹣2．
（2）由（1）f′（x）＝3（x +）（x﹣1），
当x变化时，f′（x），f（x）变化如下表：
﹣，
）
∴函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣），（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．19．（12分）设函数．
（1）若，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围
【解答】解：（1）定义域为x∈（0，+∞），
当时，且f'（1）＝0．
令h（x）＝﹣x+1﹣lnx，则，
故h（x）在定义域上是减函数，注意到h（1）＝0，
∴当x∈（0，1）时，h（x）＞h（1）＝0，此时f'（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜h（1）＝0，此时f'（x）＜0．
∴f（x）的极大值为f（1）＝0，无极小值．
（2）当x∈（0，+∞）时，，故，
令，∴，
由g'（x）＞0得x∈（0，e2），
由g'（x）＜0得x∈（e2，+∞），
故g（x）的最大值为，
∴，．
20．（12分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x+；（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
【解答】解：（1）由对照数据，计算得＝4.5，＝3.5，
∴＝＝0.8
∴＝0.15，
∴所求线性回归方程为＝0.8x+0.15；
（2）由（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低
90﹣（0.8×100+0.15）＝9.85（吨）．
21．（12分）已知函数f（x）＝x3+x2﹣2ax﹣1，f′（﹣1）＝0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对于任意的x∈[﹣2，0），都有f（x）≤bx+3，求b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）＝ax2+2x﹣2a，f′（﹣1）＝0，
所以a＝﹣2，
所以f′（x）＝﹣2（x+1）（x﹣2），
令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或2．
随着x的变化，f′（x）和f（x）的变化情况如下：
即f（x）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减，在（﹣1，2）上单调递增．
（Ⅱ）因为对于任意的x∈[﹣2，0），都有f（x）≤bx+3，
即bx+3≥﹣x3+x2+4x﹣1，
所以b≤﹣x2+x+4﹣，
设h（x）＝﹣x2+x+4﹣，
因为h′（x）＝﹣x+1+，
且x∈[﹣2，0），﹣x＞0，＞0，
所以h（x）在[﹣2，0）上单调递增．
所以h（x）min＝h（﹣2）＝，
∴b的取值范围为（﹣∞，]．
22．（12分）已知函数f（x）＝+alnx．
（1）若x＝1是f（x）的极值点，试研究函数f（x）的单调性，并求f（x）的极值；（2）若f（x）≥0在（0，e）上恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝+alnx，定义域为（0，+∞），则，
若x＝1是f（x）的极值点，则f′（1）＝0，即a＝1．
∴f（x）＝+lnx．．
令f′（x）＞0，则x＞1，令f′（x）＜0，则x＜1，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
∴f（x）在x＝1处取得极小值，极小值为f（1）＝1．
（2）若f（x）≥0在（0，e）上恒成立，即f（x）min≥0．
由（1）知，
（i）当a≤0时，即f′（x）＜0在（0，e）上恒成立，即f（x）在（0，e）上单调递减，则，得﹣．
（ii）当a＞0时，x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，
若，即0时，f′（x）＜0，在（0，e）上恒成立，
则f（x）在（0，e）上单调递减，∴，即0时f（x）≥0恒成立，
若0，即a时，x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，）上单调递减，在（]上单调递增，
则，得＜a≤e．
综上所述，实数a的取值范围是[﹣，e]．。