数学分析正项级数

x(n
),
根据推论1,当 0 < x <1时级数收敛;当 x>1时级数发
散; 而当 x = 1时, 所考察的级数是 n, 它显然也是
发散的.
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
31
在比式判别法中，若极限不存在,则可应用上、 下极限来判别收敛性．
推论 2 设∑un 为正项级数，且
1 n
发散
.
例5. 判别级数 ln1
n1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
n
n2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出机动 目录 上页 下页 返回 结束
上一页 下一页 主 页 返回 退出
22
推论 1（比式判别法的极限形式） 设∑un 为正项级数，且
lim un1 q , u n
n
⑴ 若 q < 1 , 则级数∑un 收敛； ⑵ 若 q > 1 , 则级数∑un 发散； ⑶ 若 q = 1 , 则此判别法失效．
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
上一页 下一页 主 页 返回 退出
21
⑵ 由于当 n > N0 时，有
un1 1 , un
于是
un1 un ,
从而 un1 un un1 uN0 1 , 即当 n > N0 时，有 un uN0 1 , 所以当 n 时，un 的极限不可能为零． 因此级数∑un 发散．
2022年9月30日9时15分
当
1
2), )n
n
lim
n
ln(n (1
1
2) )n
,
原级数也发散．
n
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
30
例9 讨论级数 nxn1( x 0) 的敛散性.
解 因为
un1 un
(n 1)xn nx n1
x
n1 n
⑴ 若存在正整数 N0 ，使得当 n > N0 时，成立
un1 q ,
(7)
un
则级数∑un 收敛．
⑵ 若存在正整数 N0 ，使得当 n > N0 时，成立
un1 1 ,
(8)
un
则级数∑un 发散．
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
20
证 (1) 不妨设不等式 (7) 对一切 n 1 成立，于是有
2n
n1
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
28
ln(n 2)
例8 判别级数的敛散性： n1 (a 1 )n n
(a 0).
解
lim n
n
un
n
lim
n
ln(n 2) a1
1 lim n ln( n 2), a n
n
n 2 时, n 2 en , 从而有
N 0, 当n N时, l un l
vn
(l )vn un (l )vn (n N )
由比较原则, (1), (2) 得证.
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
14
对于 (3) 若 lim un v n
n
M 0 ,
N 0, 当n N时, un M vn
n1 n1 x p
d
x
1 p 1
1 (n 1) p1
n
1
p1
考1虑强2 p1级1数 n22
p1(n1113)
1
pp11
np11
n的p1部1分 (和n
1 1)
p1
n
n k 1
k
1
p 1
(k
1 1) p1
1
(n
1 1) p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
2022年9月30日9时15分
un1 q q 1 q 1 1 ,
un
2
2
由定理 12.7 知级数∑un 发散．
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
24
例 6 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
解
(1)
un1 un
上一页 下一页 主 页 返回 退出
3
定理 12.6 设 ∑un 和 ∑vn 是两个正项级数， 若存在N > 0, 使得对一切 n > N , 都有
un vn 则 ⑴ 若级数 ∑vn 收敛，则级数 ∑un 收敛； ⑵ 若级数 ∑un 发散，则级数 ∑vn 发散．
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
1 n ln(n 2) n n,
由于 lim n n 1, n
lim n ln(n 2) 1,
n
lim n
n
un
1. a
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
29
当 a 0 即 0 1 1时, 原级数收敛； a
当 0 a 1即 1 1时, 原级数发散； a
un Mvn (n N ) ,
由比较原则, (3) 得证.
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
15
是两个正项级数,
(1) 当0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0 且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
特别取
收敛，
n2
1 n
1
收敛．
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
8
考察级数
1
,
n
1 2
因为
1 n 1
1 n
,
2
1
且 n1 n
所以
1
n
1 2
发散．
发散，
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
9
例2.
讨论
p
级数
1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
u2 q , u3 q , , un q , .
u1
u2
un1
将上述 n 1 个不等式按项相乘，可得
u2 u3 u1 u2
un qn1 un1
即 un u1qn1 .
当 0 < q < 1 时，等比级数 qn1 收敛，所以由比较 n1
判别法，可得级数∑un 收敛．
2022年9月30日9时15分
26
1
(3) n1 (2n 1) 2n
lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比式判别法失效, 改用比较原则
(2n
1 1)
2n
1 n2
,
级 数
n1
1 n2
收 敛,
故级数
1
收 敛.
n1 2n (2n 1)
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
27
例7
判别级数的敛散性：
n1
n
cos2 2n
n
3
.
解
un
n cos 2 2n
n 3
n 2n
,
令
n vn 2n ,
lim vn1 v n
n
lim n 1 2n 2 n n n1
n1 lim 2n n
1 1, 2
n 收敛, 根据比较判别法， 原级数收敛．
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
7
例1 考察下列级数的收敛性．
1 n2 n 1 ,
1
1
,
n
1 2
n1 n(n 1)
解 因为
1
1
1
1
n2 n 1 n2 n n(n 1) (n 1)2 , n 2 .
且 所以
1
1
n2 (n 1)2 n1 n2
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
2
证 因为 un > 0 ，于是 Sn u1 u2 un u1 u2 un un1 Sn1 ,
所以{ Sn }是单调增加数列，
而单调增加数列收敛的充要条件是该数列有界 ． 这就证明了定理的结论．
2022年9月30日9时15分
⑴若
lim un1 q 1 , u n
n
⑵ 若 lim un1 q 1 , u n n
则级数∑un 收敛； 则级数∑un 发散．
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
n
lim
n
1
n 2n
1
并且
1 2n
收敛，
所以
2n
1
n
收敛．
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
17
例4.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
解: lim n sin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
sin
n1
一、正项级数收敛性的一般判别原则
若级数 ∑un 的各项的符号都相同，则称 ∑un 为 同号级数，若各项都是正数即 un > 0 ，则称∑un为正 项级数．对于同号级数，只须研究正项级数．
定理12.5 正项级数 ∑un 收敛的充要条件是： 部分和数列 { Sn } 有上界， 即存在 M > 0, 使得对一切正整数 n , 有 Sn M ．
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
n1
1 n
发散
,
由比较审敛法可知
p
级数
发散 .
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出机动 目录 上页 下页 返回 结束
10
2) 若 p 1,因为当
1
np
n n1
1 np
d
x
时,
1 np
1 xp
,
故
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出机动 目录 上页 下页 返回 结束
5
Sn
(1) 若强级数 收敛, 则有
因此对一切
有 Sn
由定理 1 可知, 弱级数 un 也收敛 . n 1
(2) 若弱级数
un发散,
则有
lim
n
Sn
,
n 1
因此
这说明强级数
也发散 .
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出机动 目录 上页 下页 返回 结束
11
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在N Z , 对一切 n N ,
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出机动 目录 上页 下页 返回 结束
12
推论 设 ∑un 和∑vn 是两个正项级数，若 lim un l v n
(n 1)! 1
1
0
n1
(n ),
n!
故级数
1 收 敛.
n1 n!
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
25
(2)
n!
n1 10n
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!
n1 10
(n ),
故级数
n!
n1 10n
发 散.
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
vn
1 np
,
对正项级数
un ,
可得如下结论
:
lim
n
n
p un
l
0l p 1, 0l
un 发散 un 收敛
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出机动 目录 上页 下页 返回 结束
16
例3
考察
2n
1
n
的收敛性．
因为
1
lim 2n n n 1
2n
2n
1
lim
n
2n
23
证 对任意的ε> 0 , 存在 N > 0 , 使得当 n > N 时，有
q un1 q ,
un
⑴ 若 q < 1 , 则取ε= ( 1 q ) / 2 , 于是有
un1 q 1 q 1 q 1 ,
un
2
2
由定理 12.7 知级数∑un 收敛．
⑵ 若 q > 1 , 则取ε= ( q 1 ) / 2 , 于是有
4
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
令 Sn 和 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
18
二、比式判别法和根式判别法
本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较 对象而得到的， 但在使用时只要根据级数一般项本 身的特征就能作出判断．
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
19
定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）
设∑un 为正项级数， q ( 0 < q < 1 )为常数
n
则
⑴ 当 0 < l < + 时，级数∑un 与∑vn 敛散性相同； ⑵ 当 l = 0 时，若级数∑vn 收敛，则级数∑un收敛； ⑶ 当 l = + 时，若∑vn 发散，则∑un发散．
2022年9月30日9时15分
上一页 下一页 主 页 返回 退出
13
证明
设
lim un l v n
n
0 ( l) ,
上一页 下一页 主 页 返回 退出机动 目录 上页 下页 返回 结束
6
推论 设 ∑un 和 ∑vn 是两个正项级数， 常数C > 0， 若存在N > 0, 使得对一切 n > N , 都有
un C vn 则 ⑴ 若级数 ∑vn 收敛，则级数 ∑un 收敛； ⑵ 若级数 ∑un 发散，则级数 ∑vn 发散．