大震前地震活动标度不变性的特征变化

大震前地震活动标度不变性的特征变化
李强;孙业君
【摘要】近年来,大震前地震活动标度不变性的特征变化研究引起了人们的极大关注.然而,由于不同地区的地震活动特点不同,要获得这种特征变化并不容易.本文首先介绍了这方面研究的重要进展,这些进展对地震预报和地震活动性的研究者来说有
很大的参考价值.其次,讨论了几种标度不变性方法(局域标度特性、多重分形谱、Hurst指数分析和分形维数方法)的优缺点.最后,提出了有关该研究的建设性建议:当人们试图通过标度不变性方法获取大震前的前兆信息或地震活动分形特征时,需要
考虑方法的优缺点以提高地震预报效能,否则地震预报效能会大大降低.
【期刊名称】《国际地震动态》
【年(卷),期】2018(000)003
【总页数】13页(P3-15)
【关键词】地震活动;标度不变性;异常变化
【作者】李强;孙业君
【作者单位】江苏省地震局,南京 210014;江苏省地震局,南京 210014
【正文语种】中文
【中图分类】P315.5
引言
众所周知，天然地震系统和实验室中的岩石断裂系统具有标度不变性的特征[1-13]。

大震前地震活动标度不变性的特征变化研究曾经是地球物理中令人关注的课题。

到目前为止，这方面的研究已取得了一些大的进展。

例如，地震活动多重分形时空特征的分析结果表明，大震前存在奇异性谱和广义分维谱的异常变化[14-20]。

天然
地震、岩石力学实验和岩爆的研究结果显示，大破裂前存在分形维数的异常变化[21-25]。

对大震前后局域标度性质特征变化的研究结果表明，地震孕育过程和局
域标度性质特征变化之间有可能存在着一定的关联性[26]。

大震前后的Hurst指数研究结果显示，大的内陆地震前地震时间间隔序列的Hurst指数出现下降[27]。

此外，一些研究结果建议，将大震前分形维度和Hurst指数的下降、广义分维谱的
特征变化作为大破裂前的前兆信息来看待[16，28-35]。

然而，不同标度不变性方法有其自身的长处和短处。

一些方法仅能给出地震活动单一分形的描述[36]，而另一些方法能充分给出地震活动非均匀分形性质的描述[37-38]。

此外，地震活动多
重分形谱、分形维数和Hurst指数特征变化的研究结果是相对成熟的，因为大震
前有特征变化的震例较多，而局域标度性质特征变化的研究结果[26，39-41]是试验性的、不成熟的，因为到目前为止有该特征变化的震例较少。

本文将介绍大震前地震活动标度不变性特征变化的一些重要研究进展，并讨论不同标度不变性方法的优缺点，目的是为了促进地震预报和地震活动性方面研究人员的工作有效性。

1 地震活动的多重分形谱
多重分形谱包括广义分维谱和奇异性谱。

由于奇异性谱与广义分维谱是密切相关的，本文重点介绍广义分维谱（即Dq-q关系曲线）方面的研究进展。

地震活动广义分维谱的算法是基于关联积分[38]。

多重分维数Dq的计算通过以下的关联积分得到[18]：
其中，Cq（r）是q阶广义关联函数，定义为：
式中，N为数据点的数量，r为标度半径，Θ（s）为海维塞德阶跃函数，为两个数据点Xi和Xj之间的距离。

如果序列具有分形性质，Cq（r）呈幂律。

这样，Dq 值可通过计算logCq（r）与logr关系图中直线段的斜率来获得。

Roy等[19]研究了伊朗及邻近地区3个大震（1978年9月16日MW7.8地震，2003年12月26日MW6.8地震和1979年5月10日MW7.7地震）前的地震活动的广义分维谱特征，发现在震前短时间内出现了前兆性的地震丛集图像，并有潜力用于评估未来大震发生的可能性。

Caruso等[14]研究了圣海伦斯火山（Mount St.Helens）1980—2002年期间地震活动的多重分形特征，该研究重点分析了由1980年火山大爆发和1980—1986年间规模较小喷发引起的地震活动的多重分形特征。

他们发现，地震活动广义分维谱有助于我们认识两个重要的地震时间分布图像，第1个图像就是强震群的多重分形丛集特性，第2个就是Dq值在接近于1时呈非常小的变化。

同一窗长计算出的Dq值变化显示，浅层区对于岩浆的迅速侵入反应脆弱，短时间内低Dq值（大约0.3左右）的快速变化贯穿于整个喷发过程。

Dimitriu等[15]研究了希腊北部地震活跃地区的广义分维谱，该地区曾发生1995年5月阿尼（Arnea）地震序列，序列的最大地震为1995年5月4日MW5.3地震。

他们发现5.3级地震前多重分形的特征明显增强，且丛集形成不久就瓦解。

他们认为，该发现将有助于评估主震发生的大致时间。

Teotia等[20]研究了喜马拉雅山脉西北地区地震活动的广义分维谱，该地区主要包括1905年印度坎格拉（Kangra）大地震的孕震区，研究资料来自于美国地质调查局1973—2009年的地震目录，目录中包括了穆扎法拉巴德—克什米尔（Muzafrabad-Kashmir）2005 年10月MW7.6地震。

他们发现穆扎法拉巴德—克什米尔MW7.6地震前广义分维谱曲线变陡。

他们认为，该现象对于认识不同构造的大震孕震区有重要意义。

李强[17]研究了江苏及邻区4个中强地震（5.5≤M≤6.2）前后的地震活动多重分
形特征变化。

研究发现，该地区的地震活动广义分维谱和奇异性谱经历了3个变
化阶段，并分别对应于远离中强地震前的阶段、多重分形谱异常出现阶段和异常消失阶段。

图1给出了1974年4月22日溧阳5.5级地震前广义分维谱和奇异性谱的3个变化阶段。

图1a和图1d分别给出了广义分维谱和奇异性谱第一阶段（时
间为主震前的两年）。

图中显示广义分维谱的左右两端值之差较小（小于0.44）。

图1b和图1e分别给出了广义分维谱和奇异性谱的异常出现阶段（时间为主震前
7个月），图中显示广义分维谱曲线比其他两个阶段要陡（左右两端值之差大于0.58），且奇异性谱的取值范围比其他两个阶段要宽。

图1c和图1f分别给出了
广义分维谱和奇异性谱的异常消失阶段（约主震前4个月），图中显示广义分维
谱曲线左右两端值之差又再次变小。

图2给出了1979年7月9日溧阳6.0级地
震前广义分维谱和奇异性谱的3个变化阶段，异常出现的时间是主震前15个月，图2b和图2e为异常变化曲线。

图3给出了1984年5月21日黄海（勿南沙）6.2级地震前后广义分维谱和奇异性谱的3个变化阶段，异常出现时间是主震前8个月，图3b和图3e为异常变化曲线。

图4给出了1996年11月9日黄海6.1级地震前后广义分维谱和奇异性谱的3个变化阶段，异常出现时间是主震前17个月，图4b和图4e为异常变化曲线。

上述震例中广义分维谱和奇异性谱的异常变化表明，将多重分形谱应用于该地区的地震预报是有一定意义的。

图1 1974年4月22日溧阳5.5级地震前广义分维谱和奇异性谱的3个变化阶段。

（a）和（d）分别给出了地震之前2年的广义分维谱和奇异性谱；（b）和（e）分别给出了地震之前7个月广义分维谱和奇异性谱；（c）和（f）分别给出
了地震之前4个月广义分维谱和奇异性谱；图中显示（b）中的广义分维谱曲线比（a）和（c）中的要陡，（e）中的奇异性谱取值范围比其他两个要宽Kiyashchenko等[16]采用模拟受外力作用弹性体中网状裂纹扩展的方法，研究了
奇异性谱曲线的变化特征。

他们发现，奇异性谱曲线最小值横坐标的数值在主破裂前变小，因而认为该变化包含有裂纹系统向主破裂发展时的一些有用信息。

该模拟结果也得到了日本和南加州地震活动性研究例子的支持。

图2 1979年7月9日溧阳6.0级地震前广义分维谱和奇异性谱的3个变化阶段。

（a）和（d）分别给出了地震之前2年的广义分维谱和奇异性谱；（b）和（e）
分别给出了地震之前15个月广义分维谱和奇异性谱；（c）和（f）分别给出了地
震之前8个月广义分维谱和奇异性谱；图中显示（b）中的广义分维谱曲线比（a）和（c）中的要陡，（e）中的奇异性谱取值范围比其他两个要宽
Zamani等[42]研究了美国加利福尼亚州猛犸山（Mammoth Mountain）火山地区地震活动的多重分形特征。

他们发现：火山活跃前，地震活动的奇异性谱取值范围较宽，火山活跃期间奇异性谱的取值范围变小，火山活跃期结束后奇异性谱的取值范围略有变大，但仍小于火山活动前的取值范围。

他们认为，该研究结果可帮助人们进一步认识地震活动与火山喷发的关系。

Telesca等[43]研究了位于加那利群岛的艾尔希洛岛（El Hierro）火山喷发阶段及喷发前地震活动的多重分形谱变化。

他们发现，在火山喷发前广义分维谱的左右两端之差变大。

他们认为，这种广义分维谱的左右两端之差的变化可作为火山围岩在岩浆侵入下过压导致火山大爆发的先兆。

Chamoli等[44]研究了喜马拉雅山脉的西北地区地震活动的多重分形特征。

他们
发现穆扎法拉巴德—克什米尔2005年10月MW7.6地震前中、小震活动的奇异
性谱取值范围变宽。

他们认为这反映出大震前中、小震活动的丛集性增强。

图3 1984年5月21日黄海（勿南沙）6.2级地震前后广义分维谱和奇异性谱的3个变化阶段。

（a）和（d）分别给出了地震之前2年的广义分维谱和奇异性谱；（b）和（e）分别给出了地震之前8个月广义分维谱和奇异性谱；（c）和（f）
分别给出了地震之后10个月广义分维谱和奇异性谱；图中显示（b）中的广义分
维谱曲线比（a）和（c）中的要陡，（e）中的奇异性谱取值范围比其他两个要宽地震活动多重分形谱特征变化的研究已开展了多年。

观测到大震前有多重分形谱特征变化的例子也并不少。

多重分形谱方法的优点是它能充分地描述非均匀分形特性。

然而，多重分形谱方法不擅长于自仿射分形的刻画，也不能对地震系统的局部分形特征进行描述，原因是该方法仅能提供分形系统的全局性描述。

2 关联维数和分形维数
关联维数D2的计算是广义维数Dq计算的特殊情形。

令式（1）和式（2）中的
q=2，即可得关联维数D2。

分形维数D可通过关联积分得到[38，45]。

关联积分C（r）的计算公式为[21]：
图4 1996年11月9日黄海6.1级地震前后广义分维谱和奇异性谱的3个变化
阶段。

（a）和（d）分别给出了地震之前2年的广义分维谱和奇异性谱；（b）和（e）分别给出了地震之前17个月广义分维谱和奇异性谱；（c）和（f）分别给
出了地震之前5个月广义分维谱和奇异性谱；图中显示（b）中的广义分维谱曲线比（a）和（c）中的要陡，（e）中的奇异性谱取值范围比其他两个要宽
式中，N为用来分析的数据点的数量，N（R＜r）是小于r的一个距离R范围内的数据点数量。

如果地震活动具有分形的特征，可得到如下的表达式：
式中，D为分形维数[38]。

Lei等[24]研究了在不同压力下典型岩石样品破裂过程中声发射（AE）的前期失效损伤统计特征。

他们发现，几种典型岩石样品大破裂前的前期失效损伤发展是以关联维数下降为特征。

他们认为，这种关联维数下降的前兆变化可用来预测岩石大破裂前临界点行为。

Lu等[25]研究了岩石样品破裂发展过程（特别是接近于临界破裂的过程）的分形
维数变化。

他们发现，微裂纹空间分布的分形维数随着破裂的发展而减小。

他们的结论是，分形维数的突然下降或可作为预示一个即将发生的大破裂的前兆指标。

宣称发现强震前出现地震活动关联维数下降的地区包括伊朗及邻区[19]、喜马拉雅山脉的西北地区[20]、日本北海道地区[21]、苏门答腊地区[22]、阪神大地震震中
及附近区域[46]。

研究者们认为，通过分析地震活动分形维数的时间变化有利于获取大地震前的前兆信息。

Kiyashchenko等[16]采用模拟受外力作用弹性体中网状裂纹扩展的方法，研究了裂纹系统分数维的变化。

他们发现随着网状裂纹的扩展，裂纹和破裂的分布呈现出从随机、混沌到分形、丛集的图像。

不仅如此，一些日本和南加州地区地震活动例子的研究也支持该模拟结果。

他们的结论是，分形维数的变化包含有一些从裂纹系统到主破裂发展过程的有用信息。

Feng等[47]研究了隧洞中岩石大破裂前的微破裂（微震事件）的能量分形维数的
变化特征。

他们发现，在接近岩石大破裂前微破裂的能量分形维数增加。

他们认为，这种能量分形维数的变化可用来指导建立岩石微破裂扩展的动力预警系统以便减少岩石大破裂造成的风险。

目前为止，从岩石力学实验、岩爆到天然地震的许多研究结果表明，大破裂前关联维数或分形维数会出现下降，因而，研究结果是相对成熟的。

但该方法也有缺点：由于它仅能描述地震活动的单一分形特征，不能描述非均匀分形特征，因而，当我们用该方法分析地震活动特征时，其非均匀分形特征方面的信息将会丢失。

3 R/S Hurst 分析
R/S Hurst分析方法是由赫斯特在研究尼罗河流量时发展出来的[48]。

该方法近年来也被用来分析包括地震时间间隔序列[27]和地震频次时间序列[30，49]在内的观测到的时间序列中。

R/S Hurst分析方法如下[50-51]：
考虑一个典型的时间序列ζ（t）（t=1，2，…），对于一个正整数τ，ξ（t）均值为：
累积偏差为：
对应于时间 t（1≤t≤τ），极差 R（τ）为：
标准差为：
对应于不同的时间长度τ，无量纲的比值R/S可用如下经验关系式来表达：
式中，指数H（0≤H≤1）被称为Hurst指数。

赵翠萍等[27]研究了中国大陆1970年以来一些大地震（M≥7）前后若干年地震时间间隔序列的Hurst指数随时间的变化。

他们发现多数大震（占75%）发生前约两年Hurst指数出现下降变化。

他们认为，Hurst指数的这种变化可作为中短期的地震前兆，并揭示大震孕震系统的地震活动从无序到有序的转变。

郭德科[30]研究了华北地区一些中、强地震前（5.0≤M≤7.8）的地震频次Hurst 指数随时间的变化。

他们发现华北地区中强地震前1～2年内Hurst指数存在小于0.87的异常特征，并且异常时间至少持续3个月以上。

他们认为，Hurst指数的异常特征可作为某些地区中强地震的预报指标。

李永强等[52]研究了中国青藏高原12个中强震（5.7≤M≤6.6）前后Hurst指数时间的变化。

他们发现其中有7个中强地震前Hurst指数出现超过3个月的连续下降变化。

他们认为，Hurst指数这种异常变化与青藏高原的地震活动特点有关。

王碧泉等[53]研究了中国大陆14个7.2级以上地震前后的地震频次Hurst指数随
时间的变化。

他们发现多数震例（约78%）中Hurst指数下降变化出现在强震发生前的几个月至一年半之间。

他们认为，这种Hurst指数下降变化对于地震预报来说有一定的意义。

李强等[49]研究了江苏及邻区中强地震（5.0≤M≤6.2）前后地震频次Hurst指数随时间的变化。

研究结果显示，一些震例中Hurst指数异常变化出现在中强地震发生前的几个月至一年多的时间段里。

图5给出了1974年4月22日溧阳5.5级地震前后Hurst指数的变化，从图中可以看出，1973年3月前Hurst指数为小幅波动变化而无明显特征变化，1973年3月开始Hurst指数呈下降变化，溧阳地震后Hurst指数回升到1973年3月以前的波动状态。

图6给出了1994年7月26日黄海5.3级地震前后Hurst指数的变化，图中显示，1993年9月前Hurst指数呈小幅波动变化，1993年9月开始Hurst指数呈下降变化，黄海5.3级地震后Hurst指数逐渐回升到1993年9月以前的水平。

图7给出了1990年2月10日常熟5.1级地震前后Hurst指数的变化，从图中可以看出，1989年3月前Hurst 指数为小幅波动变化而无特征变化，1989年3月开始Hurst指数呈下降变化，常熟5.1级地震后Hurst指数逐渐回升到1989年3月以前的小幅波动变化状态。

图8给出了1984年5月21日黄海（勿南沙）6.2级地震前后Hurst指数的变化，图中显示，1983年6月前Hurst指数呈小幅波动变化，1983年6月开始Hurst 指数呈下降变化，黄海6.2级地震后Hurst指数快速回升到1983年6月以前的水平。

根据这些研究结果，可以认为Hurst指数的上述异常变化对该地区的地震预报有重要的参考意义。

图5 1974年4月22日溧阳5.5级地震前后Hurst指数的变化
图6 1994年7月26日黄海5.3级地震前后Hurst指数的变化
图7 1990年2月10日常熟5.1级地震前后Hurst指数的变化
图8 1984年5月21日黄海（勿南沙）6.2级地震前后Hurst指数的变化
Gkarlaouni等[54]对希腊科林斯断裂带（Corinth rift）和米格多尼亚地堑（Mygdonia graben）地区的地震活动做了Hurst指数分析。

分析结果表明，大震前发生的小地震并不是完全随机的，而是具有一定的“记忆性”，后继地震的发生受前面发生情况的影响。

他们认为这种“记忆性”为人们预测未来主震的发生提供了可能。

由于Hurst指数擅长于描述地震活动的自仿射分形特征，因而可用来有效地分析大震前地震活动自仿射分形的特征变化。

Hurst指数分析的缺点是它不能用来描述非均匀分形的特性，因而若采用该方法分析地震活动性特点，非均匀分形特性将无法表达出来。

4 地震活动局域标度特性
局域标度特性方法是一种着重于分形体局域特性的典型方法。

具体方法如下[55-57]：
设 f（x）具有局域分形结构。

令
为在x0附近的变化，表示f（x）在x0附近用不同尺度度量时的变化，根据局域分形在小尺度上的自相似性（标度不变性），有
即两者只差一比例系数。

α（x0）称为局域标度指数（又称奇异性指数），它表征x0处奇异性的强度。

可以证明，f（x）在x0附近的小波变换系数之间也有类似的标度不变性。

设
是x0附近的小波变换，
是x0附近的小波变换系数在尺度变化后的表现，其中b是位移参数，a是尺度参
数。

则有
对于不同位置的点 b，用 ln|T（a，b）|对lna作图来观察变换T随尺度a的变化情况，并从 ln|T（a，b）|～lna双对数坐标图上，得出拟合直线的斜率K，由下式
即可方便地求出所在点的局域标度指数α。

上述过程中，通过改变b这个参量，可得到原分形体的局域标度指数α与位置的关系。

在实际计算过程中，有必要采用反复试验法选取适合于不同地区地震活动特点的小波变换参数。

逐点计算地震时间间隔序列得到的 ln|T（a，b）|～lna曲线通常出现两种情况：一是 ln|T（a，b）|～lna关系呈近似直线状，这种情况下通过给定一个检验值经最小二乘法拟合后可以算出一个拟合直线的斜率K（若出现振荡变化附加在近似直线的情况，应将振荡点剔除后再进行拟合，否则会导致错误的计算结果），因而该点处的局域标度指数α可根据式（15）得到，并称这种性质的点为奇异点；另一种情况是 ln|T（a，b）|～lna关系曲线波动很大，无法通过拟合给出一个斜率，因而无法求得局域标度指数α，表明该点处的奇异性并不存在。

通过分析奇异点的时间分布特征，就能获得地震活动局域标度性质随时间的变化。

李强等[26，39-41]研究了中国大陆不同地区6个大震（5.8≤M≤8.0）前后地震时间间隔序列的局域标度特性随时间的变化。

研究结果显示，多数大震（占83%）前局域标度性质出现明显的特征变化，具体表现为在大震前约1～4年奇异点分布的密度增加，大震后奇异点密度又恢复到平均水平。

我们相信这种局域标度性质的特征变化对于获得有关大震前地震活动标度不变性方面的前兆信息是有所帮助的。

局域标度方法的优点是，它不仅能描述地震活动非均匀分形的性质，还可描述其局
域分形特征。

但该方法也有若干缺点：①由于采用的是逐点计算，因而计算过程较复杂，计算过程中如果不控制好累积误差，最后得到的结果偏差将是很大的；②采用反复试验法选择适合于不同地区地震活动特点的小波变换参数是一个复杂的过程，如果不能选择合适的小波变换参数，大震前的有用信息将被隐藏而显示不出来；③已有的大震前地震活动局域标度性质有特征变化的例子还很少，因而该研究的结果只是尝试性的，不能作为最终的结果。

尽管如此，地震活动局域标度性质特征变化的研究还是有一定意义的，因为研究是从一个新的理论角度出发进行的。

应当指出的是，在地震活动标度不变性方法的计算过程中，计算误差与样本数量有一定的关系。

一般的规律是：计算误差随样本数量的增加而减少；当样本数量达到200以上时，相对误差可控制在5%范围内。

5 讨论和结论
本文介绍了大震前地震活动标度不变性特征变化的一些重要研究进展，这些研究进展对于从事地震预报和地震活动性的研究人员来说有重要参考意义。

与此同时，本文还讨论了不同标度不变性方法的优缺点。

目前为止，大震前地震活动多重分形谱、关联维数和分形维数、Hurst指数有特征变化的例子已有很多，表明这些方法的研究结果是相对成熟的。

而大震前地震活动局域标度性质有特征变化的例子还很少，说明该方法的研究结果只是尝试性的，不能作为最终的结果。

多重分形谱的优点是它能充分描述分形系统的非均匀特性，但它不擅长于自仿射分形的描述，也不能对地震分形系统的局部特征进行描述。

关联维数、分形维数方法的特点是，它仅能描述地震活动单一的分形特征。

Hurst指数分析的优点是，它擅长描述地震活动的自仿射分形特征，缺点是它不能用来描述非均匀分形的特性。

局域标度方法的特点是，它不仅能描述地震活动非均匀分形的性质，还可描述其局域分形特征。

鉴于上述不同标度不变性方法的优点和缺点，可以得出这样的结论，当人们试图借助于标度不变性方法获取大震前的前兆信息或研究地震活动的分形特征时，为了提高预报效能，
应考虑方法各自的优点和缺点。

如果不考虑方法的优缺点，预报效能就会大幅下降。

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