人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(答案解析)

一、选择题
1．定义域为,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，其导函数为()f x '，当
02
x π
≤<
时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式
()cos 4f x x π⎛⎫
<⋅ ⎪⎝⎭
的解集为（ ）
A ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫
--⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ B ．,42ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫
-
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫
-
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2．已知函数(),0,
,0.lnx x f x kx x >⎧=⎨≤⎩
，若0x R ∃∈使得()()00 f x f x -=成立，则实数k 的取
值范围是（ ） A ．(],1-∞
B ．1,e
⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．[)1,-+∞
D ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
3．下列不等式错误的是（ ）
A ．ln 32<
B ．3ln 2e <
C ．ln π<
D ．15<
4．已知函数()32
2
213x f x ax bx c ++=+，函数()f x 的两个极值点分别在区间()0,1与
()1,2内，则2+a b 的取值范围为 （ ） A ．()3,1-- B ．()2,1--
C ．()1,-+∞
D ．()3,-+∞
5．已知奇函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且()11f =-，则“1x >-”是“()1xf x <”
的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件.
6．函数
tan 22tan y x x =-4
2x π
π⎛⎫<< ⎪⎝⎭的最大值为（ ）
A ．-
B ．3
C ．0
D ．3-
7．已知变量()()12,0,0x x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（e 2.71828=为自然对数的底数）（ ）
A ．e
B C ．
1
e
D ．1
8．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的
11
2[,]2
x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（e ，4）
B ．（e 1
4
+
，4] C ．（e 1
4
+
，4） D ．（
1
4
，4] 9．已知()'f x 是定义在上的函数()f x 的导函数，且2(1)(1)x
f x f x e +=-，当1
x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断正确的是（ ） A ．()()5
23e f f ->
B ．()()5
23f e f ->
C ．()()523e f f <-
D ．()()5
23f e f >-
10．已知函数()32
114332
f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤
B ．24m ≤≤
C ．2m ≤
D ．4m ≤
11．已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（ ） A ．1
B ．2
C ．2
D ．3
12．已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()
()x f x g x e
=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）
A ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．()()0,1,4,+∞
C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(0,4)
二、填空题
13．已知曲线()3
2
351f x x x x =+-+，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切于点
P ，则点P 的横坐标为______________.
14．若函数()ln a
f x x x
=+（a 为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a 的取值范围是________. 15．定义在()2
2
π
π
-
，上的奇函数()f x 的导函数为
()'f x ，且(1)f 0=．当0x >时，
()tan ()0f x x f x '+>，则不等式()0f x <的解集为________
16．曲线()1
x
f x e x
=-
在点()()1,1f 处的切线的方程为_______. 17．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对任意的(0,)x ∈+∞，都有
[]2()log 3f f x x -=，则函数()f x 的图象在1
ln 2
x =
处的切线的倾斜角为________. 18．已知函数()f x sinx cosx =+，()'f x 是()f x 的导函数，若()()00'2f x f x =，则
20
200
12sin x cos x sin x +=-______．
19．已知函数()f x axlnx =，()x 0,∞∈+，其中a 为实数，()f'x 为()f x 的导函数，若
()f'e 2(e 2.71828==⋯是自然对数的底数)，则a 的值为______．
20．函数()f x 的定义域和值域均为()0,∞+，()f x 的导函数为()f x '，且满足
()()()2f x f x f x '<<，则()
()
20182019f f 的取值范围是____________．
三、解答题
21．已知函数()2()2x
x f x xe a x a R ⎛⎫
=-+∈ ⎪⎝⎭
.
（1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性.
22．已知函数32()2(,)f x x ax bx a b R =+++∈在1x =-与3x =处均取得极值. （1）求实数a ，b 的值；
（2）若函数()f x 在区间(),21m m -上单调递减，求实数m 的取值范围. 23．设函数2
2()ln 2
x f x k x =-，0k >．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x
在区间(1,上仅有一个零点． 24．已知函数32121()332
a f x ax x x +=
++， （1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；
（2）是否存在正实数a ，使得函数()f x 在区间[1,1]-上为减函数？若存在，请求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 25．已知函数()2
ln f x x x
=
+. （1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）求函数()f x 在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
26．2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入[]()
4,8x x ∈万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x 万元赞助费后，商品的销售量将增加到
2102y x λ⎛
⎫=⋅- ⎪+⎝⎭
万件，[]0.6,1λ∈为气象相关系数，若该销售商出售y 万件商品还需
成本费()40530x y ++万元．
（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p 万元与平台投入的赞助费x 万元的关系式；（注：总利润=赞助费+出售商品利润）
（2）若对任意[]4,8x ∈万元，当入满足什么条件时，该销售商才能不亏损？
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 引入()()cos f x g x x =
，得()g x 是奇函数，由导数得()g x 在0,2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上的单调性，从而得()g x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上的单调性，不等式转化为()()4
g x g π<，由单调性可得解．
【详解】
∵()()0f x f x +-=且,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝
⎭，∴()f x 是奇函数， 设()()cos f x g x x =
，则02x π≤<时，2()cos ()sin ()0cos f x x f x x
g x x
'+'=
<，∴()g x 在0,2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
是减函数． 又()f x 是奇函数，∴()()cos f x g x x
=
也是奇函数，因此()g x 在(,0]2π
-是递减，
从而()g x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是减函数，
不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭为()4
cos cos 4
f f x x ππ
⎛⎫ ⎪
⎝⎭<，即()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴42x ππ<<．
故选：B ． 【点睛】
本题考查用导数确定函数的单调性解不等式，解题关键是引入新函数()
()cos f x g x x
=
，然后由已知条件确定奇偶性，单调性．引入的新函数可根据要求的式的形式变换，可根据条件结合导数的运算法则确定．
2．D
解析：D 【分析】
由已知建立方程，反解出k ，将问题转化为求函数值域问题，然后利用函数的性质求出最值即可求解. 【详解】
由题意可得：存在实数0
0x ≠，使得()()00 f x f x -=成立，
假设00x >，则00x -<， 所以有00ln kx x -=， 则0
ln x k x =-
， 令()ln x
h x x
=-， 则()2
ln 1
x h x x
-'=
， 令()0h x '>，即ln 1x >， 解得x e >，
令()0h x '<，即ln 1x <， 解得0x e <<，
则()h x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增， 所以()()()ln 1
min e h x h x h e e e
≥==-=-， 所以1
k e
≥-， 故选：D. 【点睛】
关键点睛：本题考查了分段函数的存在性问题，构造函数，利用导函数求最值是解决本题
的关键.
3．C
解析：C 【分析】 引入函数()ln x
f x x
=，利用导数确定它的单调性，然后由单调性判断各选项． 【详解】 考查函数()()2
ln 1ln ,x x
f x f x x x -='=
由()0f x '>，得0x e << 由()0f x '<得x e >，
所以()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 选项:
32A e <<,
()
2f
f <ln 2
2<，
ln 32∴<
故本选项正确，不符合题意； 选项B ：
22e <()(
f e f ∴>
即
ln
e e >
3ln 2e ∴<故本选项正确，不符合题意； 选项:
C e e π<<
f
f ∴<
<
ln π∴>
故本选项错误，符合题意； 选项D
154e << 154e <<
()4
f f
∴>
2ln
>=
15
∴>
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查实数的比较大小．解题关键是引入函数
ln
()
x
f x
x
=，由导数确定它的单调性，由单调性可判断各选项．
4．B
解析：B
【分析】
求得()22
f x x ax b
'=++，根据题意可得出
()
()
()
00
10
20
f
f
f
'
'
'
⎧>
⎪
<
⎨
⎪>
⎩
，利用不等式的基本性质可求得2
+
a b的取值范围.
【详解】
由()
3
2
2
2
1
3
x
f x ax bx c
++
=+，求导()22
f x x ax b
'=++，
因为函数()
f x的两个极值点分别在区间()
0,1与()
1,2内，
即方程220
x ax b
++=的两个根分别在区间()
0,1与()
1,2内，
即
()
()
()
020
1120
24220
f b
f a b
f a b
⎧=>
⎪
=++<
⎨
⎪=++>
'
'
⎩
'
，则
21
2
b
a b
a b
>
⎧
⎪
+<-
⎨
⎪+>-
⎩
，
所以，()
22
a b a b b
+=++>-.
综上所述，2
+
a b的取值范围是()
2,1
--.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：
（1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
结合图象得出关于参数的不等式组求解.
5．B
解析：B 【分析】
根据奇函数的定义和单调性可确定()f x 和()f x '的符号，由奇偶性定义可知()g x 为偶函数，利用导数可确定()g x 单调性；根据()()111g g =-=，利用单调性可求得()1xf x <的解集，根据推出关系可确定结论. 【详解】
()f x 为(),-∞+∞上的奇函数，∴()00f =，
又()f x 单调递减，∴当0x <时，()0f x >；当0x >时，()0f x <，且()0f x '≤， 令()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，()g x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()0xf x ≤；当0x <时，()0xf x <；()()g x xf x ∴=-，
()()()()()g x f x xf x f x xf x '''∴=--=-+⎡⎤⎣⎦
当0x ≥时，()0f x ≤，()0g x '∴≥，()g x ∴在[)0,+∞上单调递增， 由偶函数对称性知：()g x 在(],0-∞上单调递减；
()()()1111g g f =-=-=，∴由()()1g x xf x =<得：11x -<<，
()()1,11,≠
-⊂-+∞，∴“1x >-”是“()1xf x <”的必要不充分条件.
故选：B. 【点睛】
结论点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， 则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．
6．A
解析：A 【分析】
化简可得32
2tan 1tan x
y x
=-，令tan t x =，()1,t ∈+∞，则3221t y t =-，求出函数导数，利用导数判断函数的单调性即可求出最值. 【详解】
可得322
2tan 2tan tan 22tan 2tan 1tan 1tan x x
y x x x x x =-=-=--， 令tan t x =，则()1,t ∈+∞，则3
2
21t y t
=-，
则()()
()
()
()
223222
2
2261222311t t t t t t y t t --⨯--'=
=
--，
当(t ∈时，0y '>，函数单调递增，
当)
t ∈+∞时，0y '<，函数单调递减，
所以当t =
时，(
)3
max 2
21y ⨯
=
=--.
故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键是利用换元法将函数化为3
2
21t y t
=-，然后利用导数讨论其单调性即可求出最值.
7．A
解析：A 【分析】
不等式两边同时取对数，然后构造函数()ln x
f x x
=，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论. 【详解】
21122112ln ln x x x x x x x x <⇒<，()12,0,,0x x m m ∈>，
12
12
ln ln x x x x ∴
<恒成立， 设函数()ln x
f x x
=
，12x x <，()()12f x f x <， ()f x ∴在()0,m 上为增函数，函数的导数()2
1ln x
f x x -'=
， ()00f x x e '>⇒<<，即函数()f x 的增区间是()0,e ，
则m 的最大值为e . 故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数研究函数的单调性，本题的关键点是对已知等式变形，
211212211212ln ln ln ln x x x x x x x x x x x x <⇒<⇒
<，转化为求函数()ln x f x x
=的单调区间. 8．B
解析：B 【分析】
结合导数和二次函数的性质可求出()f x 和()g x 的值域，结合已知条件可得[0e 4[]a ⊆-,，1
)4
a -，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】
解：g （x ）=x 2e x 的导函数为g ′（x ）=2xe x +x 2e x =x （x +2）e x ，当0x =时，()0g x '=， 由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ， 所以对于任意的2[1,1]x ∈-，2()[0,e]g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴， 又1
0202
-
-<-，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-， 则函数2
()f x x a =-+在[12
-
，2]上的值域为[a –4，a ]，且函数f （x ）在11[,]22-，
图象关于y 轴对称，在（1
2
，2]上，函数()f x 单调递减．由题意，得[0e 4[]a ⊆-,，1
)4
a -， 可得a –4≤0<e <1
4
a -，解得e 14+<a ≤4．
故选:B ． 【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是
12()()f x g x =这一条件的转化.
9．A
解析：A 【分析】
构造函数()
()x
f x
g x e =
，由(1)(1)g x g x -=+，可得()g x 的图象关于直线1x =对称， 利用导数研究函数的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】
构造函数()()x
f x
g x e
=
，因为2(1)(1)x
f x f x e +=-，所以11(1)(1)x x f x f x e e +-+-=， 则(1)(1)
g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，
因为当1x >时，()()f x f x '>，所以()()
()0x
f x f x
g x e ''
-=>，
所以()g x 在(1,)+∞上单调递增， 所以有(3)(2),(2)(3)g g g g ->->，
即
3223(3)(2)(2)(3)
,f f f f e e e e
---->>， 即5
(3)(2)e f f ->，5
(2)(3)e f f ->， 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数，属于中档题.
10．D
解析：D 【分析】
求出函数的导数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，即可得结果 【详解】 解：由()32
114332f x x mx x =
-+-，得'2()4f x x mx =-+， 因为函数()32
114332
f x x mx x =
-+-在区间[]1,2上是增函数， 所以240x mx -+≥在[]1,2上恒成立， 得4
m x x
≤+恒成立
因为44x x +
≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号，
所以4m ≤， 故选：D 【点睛】
此题考查导数的应用，考查函数最值的求值，考查基本不等式应用，考查转化思想，属于中档题
11．B
解析：B 【分析】
根据函数()x
f x e =与函数()ln
g x x =互为反函数，将问题转化为求函数()x
f x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果. 【详解】
因为函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，
所以||MN 的最小值为函数()x
f x e =的图象上的点M 到直线y x =的距离的2倍，即为
函数()x
f x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两
倍，
因为()x f x e '=，所以函数()x f x e =的图象上与直线y x =平行的切线的斜率
01x k e ==，所以00x =，所以切点为(0,1)，它到直线y x =的距离
d =
=
所以||MN 故选：B. 【点睛】
本题考查了互为反函数的图象的对称性，考查了导数的几何意义，属于中档题.
12．B
解析：B 【分析】
结合函数图象比较()f x 与()f x '的大小，求出()()0f x f x -<′成立的x 的范围，求出
()g x 的导数，判断其与0的关系即可.
【详解】
结合图象：()01x ∈，和()4x ∈+∞，
时，()()f x f x '<，即()()0f x f x -<′， 而()()()0x
f x f x
g x e -=<′′，故()g x 在()0,1，()4,+∞递减，
故选B ． 【点睛】
本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断()f x 与()f x '的大小是解题的关键，属于中档题.
二、填空题
13．0或或【分析】设切点的坐标由求出切线方程把代入切线方程可求得切点坐标【详解】设的坐标为过点的切线方程为代入点的坐标有整理为解得或或故答案为：0或或【点睛】本题考查导数的几何意义求函数图象的切线方程要
解析：0或1-或53
【分析】
设切点P 的坐标，由P 求出切线方程，把(1,0)代入切线方程可求得切点坐标． 【详解】
设P 的坐标为(
)
32
,351m m m m +-+，2
()9101f x x x +'=-，
过点P 的切线方程为(
)()
32
2
3519101()m m m m x y m m +-+=+---，
代入点()1,0的坐标有()()()3
2
2
35191011m
m m m
m m --+-+=+--，
整理为323250m m m --=，
解得0m =或1m =-或53
m =， 故答案为：0或1-或53
. 【点睛】
本题考查导数的几何意义．求函数图象的切线方程要分两种情况：
（1）函数()y f x =图象在点00(,)P x y 处的切线方程，求出导函数，得出切线方程000()()y y f x x x '-=-；
（2）函数()y f x =图象过点00(,)P x y 处的切线方程：设切线坐标11(,)x y ，求出切线方程为111()()y y f x x x '-=-，代入00(,)x y 求得11,x y ，从而得切线方程．
14．【分析】首先设切点坐标利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率从而可得将问题转化为与存在两个不同的交点通过导数研究的图象从而得到的取值范围【详解】由题意得的定义域为且设切点坐标为则过原点
解析：102⎛⎫
⎪⎝⎭
，
【分析】
首先设切点坐标00
0,ln a x x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率，从而可得0002ln a x x x =-，将问题转化为2y a =与ln y x x x =- 存在两个不同的交点，通过导数研究()g x 的图象，从而得到a 的取值范围. 【详解】
由题意得()f x 的定义域为()0+∞，
，且()21a
f x x x
'=-，设切点坐标为0000,ln ,0a x x x x ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭，则过原点的切线斜率002
000ln 1a x x a k x x x +==-，整理得0002ln ,a x x x =-存在两条过原点的切线，∴0002ln a x x x =-存在两个不同的解.设
()ln g x x x x =-，则问题等价于2y a =于()y g x =存在两个不同的交点，又
()1ln 1ln ,g x x x =--=-'∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当()1,x ∈+∞ 时，()0g x '<，()g x 单调递减，()()max 11g x g ∴==.又当0x →时，()0g x →；当x →+∞时，()-g x →∞，若2y a =于()y g x =存在两个不同的交点，
则021a <<.解得10,
2a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
. 故答案为：10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】
关键点点睛：一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解：
直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；
分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解；
数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻求找“临界”情况，特别注意边界值的取舍；
15．【分析】引入新函数它是偶函数由导数可确定它的单调性通过解不等式或求得的解【详解】设是奇函数则是偶函数时单调递增∴时单调递减又时则时则综上原不等式的解集为【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性
解析：(),10,12π⎛⎫
--⋃ ⎪⎝⎭
【分析】
引入新函数()()sin g x f x x =，它是偶函数，由导数可确定它的单调性，通过解不等式
()0<g x 或()0>g x 求得()0f x <的解．
【详解】
设()()sin g x f x x =，()f x 是奇函数，则()g x 是偶函数，
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时， ()()()()()()sin cos cos tan 0g x f x x f x x x f x x f x ''+=+'=>()g x 单调递增，
∴,02x π⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，()g x 单调递减，
又(1)(1)sin10g f ==，(1)(1)0g g -==，
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，sin 0x >，则()0f x <⇔()0<g x 01x ⇔<<， ,02x π⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭时，sin 0x <，则()0f x <⇔()0>g x 12
x π⇔-<<-， 综上，原不等式的解集为(),10,12π⎛⎫
--⋃ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查用导数研究函数的单调性，解题关键是根据已知不等式引入函数()()sin g x f x x =，首先确定它的奇偶性，然后用导数确定它在
0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的单调性，从而可得它在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上的单调性，然后通过()g x 的单调性解相应的不等式得原不等式的解．
16．【分析】求得函数的导数得到结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由
题意函数可得所以即所求切线的斜率为又由所以所求切线的方程为可得即所以所求切线的方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义 解析：20ex x y +--=
【分析】
求得函数的导数()21
'x
f x e x
=+
，得到()'11f e =+，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】
由题意，函数()1x
f x e x =-
，可得()21'x
f x e x
=+，所以()'11f e =+， 即所求切线的斜率为1k e =+，
又由()11f e =-，所以所求切线的方程为()()1'1y f k x f -=-⎡⎤⎣⎦， 可得()()()111y e e x --=+-，即()()()111y e e x e --=+-+. 所以所求切线的方程为20ex x y +--=. 故答案为：20ex x y +--=. 【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及曲线在某点处的切线方程的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
17．【分析】设则求得的值进而得到的解析式然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解【详解】设则因为为单调函数故不随的变化而变化即是常数又切线斜率为1所以倾斜角为∴答案为:【点睛】本题考查利用换元 解析：45︒
【分析】
设2()log t f x x =-，则()3f t =，求得t 的值，进而得到()f x 的解析式，然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解. 【详解】
设2()log t f x x =-，则()3f t =.
因为()f x 为单调函数，故t 不随x 的变化而变化即t 是常数. 又2()log f x x t =+，，2log 3t t +=，2t =，
2()log 2f x x =+，1
()ln 2f x x '=，11ln 2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭
，切线斜率为1， 所以倾斜角为45︒. ∴答案为:45︒. 【点睛】
本题考查利用换元法和方程思想求函数的解析式，利用导数的几何意义研究函数的切线问题，涉及对数函数的导数公式和导数的运算，属小综合题，关键点在于利用换元法和方程
思想求得函数的解析式，在于对数函数的导数公式的准确性掌握，难度一般.
18．【分析】求出导函数后由可得再结合可得又化简可得代入求值可得即为所求【详解】∵∴由得∴∵由得又∴把代入得：∴故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系式解题时注意公式的灵活应用和变形同时注意整体代换在解 解析：
1115
【分析】
求出导函数后由()()00'2f x f x =可得003cosx sinx =-，再结合22
001sin x cos x +=可得
2
01
10sin x =．又化简可得220022
000
11215sin x sin x cos x sin x sin x ++=-+，代入求值可得2020111
1515
sin x sin x +=+，即为所求．
【详解】
∵()f x sinx cosx =+， ∴()'f x cosx sinx =-，
由()()00'2f x f x =，得000022cosx sinx sinx cosx -=+， ∴003cosx sinx =-， ∵
()22220000
2222
0000000001111.21212315sin x sin x sin x sin x cos x sin x sin x sinx cosx sin x sinx sinx sin x ++++===---⋅---+①
由003cosx sinx =-，得22
009cos x sin x =， 又22
001sin x cos x +=，
∴2
01.10
sin x =
② 把②代入①得：
2020111
1515sin x sin x +=+． ∴20200111
215
sin x cos x sin x +=-．
故答案为
1115
． 【点睛】
本题考查同角三角函数关系式，解题时注意公式的灵活应用和变形，同时注意整体代换在解题中的作用，属于基础题．
19．1【分析】根据题意求出函数的导数将代入计算可得解可得a 的值即可得答
案【详解】根据题意函数则函数若则解可得；故答案为1【点睛】本题考查导数的计算关键是掌握导数的计算公式属于基础题
解析：1 【分析】
根据题意，求出函数()'f x 的导数，将x e =代入计算可得()'ln 22f e a e a a =+==，解可得a 的值，即可得答案． 【详解】
根据题意，函数()ln f x ax x =，
则函数()()()''ln ln 'ln f x a x x ax x a x a =+=+， 若()'2f e =，则()'ln 22f e a e a a =+==， 解可得1a =； 故答案为1． 【点睛】
本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．
20．【分析】根据题给定条件设构造函数g （x ）=与h （x ）=再利用导数判断在（0+∞）上函数的单调性得解【详解】设g （x ）=则g （x ）=＞0∴g （x ）在（0+∞）上单调递增所以g （2018）＜g （2019 解析：21(,)e e --
【分析】
根据题给定条件，设构造函数g （x ）=()x
f x e
与h （x ）=
()2x
f x e
，再利用导数判断在（0，
+∞）
上函数的单调性得解． 【详解】 设g （x ）=
()x
f x e
，则g'（x ）=
()()
'x
f x f x e
-＞0
∴g （x ） 在（0，+∞）上单调递增，所以g （2018）＜g （2019），即
2018
(2018)
f e
＜()2019
2019f e ⇒
()()
20182019f f ＜
1e
； 令h （x ）=
()2x
f x e
，则h'（x ）=
()()
2'20x
f x f x e
-＜
∴h （x ）在（0，+∞）上单调递减，所以h （2018）＞h （2019），即
()4036
2018f e
＞
()4038
2019f e ⇒
()()
20182019f f ＞
2
1e
综上，()
()20182019f f ＜1e 且 ()()20182019f f ＞21
e
．
故答案为：(
)21
,e e --
【点睛】
本题主要考查了导数与函数的单调性以及构造法的应用，属中等难度题．解题的关键是构造
函数求函数的单调性，利用单调性解题.
三、解答题
21．（1）极大值11
2e
-，极小值0；（2）答案见解析. 【分析】
（1）当1a =时，2()2x
x f x xe x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，求导，令()0f x '=可得极值点和极值； （2）(
)
()(1)x
f x x e a '=+-，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出． 【详解】
（1）当1a =时，2()2x
x f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪
⎝⎭
，()()(1)(1)1x x x
f x e xe x e x '=+-+=+-， 令()0f x '=，得1x =-或0x =.
∴1x =-时，()f x 有极大值()12f e
-=
-， 0x =时，()f x 有极小值()00f =；
（2）()
()(1)(1)x x x
f x a e e xe x x a '=+-+=+-，
当0a ≤时，0x e a ->，由()0f x '>得1x >-， 即函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，
由()0f x '<得1x <-，即函数()f x 在(),1-∞-上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x =-或ln x a =.
①当ln 1a =-，即1a e -=时，无论1x >-或1x <-，均有()0f x '>， 又()10f '-=，即在R 上()0f x '≥，从而函数()f x 在R 上单调递增；
②当ln 1a <-，即10a e 时，
由(
)
()(1)01x
e f x x a x '=+->⇒>-或ln x a <时， 函数()f x 在()1,-+∞和(),ln a -∞上单调递增； 由(
)
()(1)0ln 1x
f x x a a e x '=+-<⇒<<-时， 函数()f x 在()ln ,1a -上单调递减； ③当ln 1a >-，即1a e ->时，
由()
()(1)0ln x
f x x e a x a '=+->⇒>或1x <-时，
函数()f x 在()ln ,a +∞和(),1-∞-上单调递增；
由()
()(1)01ln x
f x x a x a e '=+-<⇒-<<时，
函数()f x 在()1,ln a -上单调递减.
综上，当0a ≤时， ()f x 单调递增区间是()1,-+∞上， 单调递减区间是(),1-∞-上； 当10
a
e 时，()
f x 单调递增区间是(),ln a -∞,()1,-+∞，
单调递减区间是()ln ,1a -；
当1a e -=时，()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；
当1a e ->时，()f x 单调递增区间是(),1-∞-,()ln ,a +∞， 单调递减区间是()1,ln a -. 【点睛】
关键点点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．
(2)在研究函数单调性的过程中，要准确判断导数的符号，当()f x '含参时，要依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 22．（1）3a =-，9b =-；（2）(]1,2. 【分析】
（1）先对函数求导，根据极值点，列出方程求解，即可得出a ，b ，再检验，即可得出结果；
（2）根据（1）的结果，由（2）中条件，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】
（1）因为32
()2f x x ax bx =+++
所以2
()32f x x ax b '=++
因为函数()f x 在1x =-与3x =处均取得极值
所以22
3(1)2(1)033230a b a b ⎧⨯-+⨯-+=⎨⨯+⨯+=⎩ 所以39a b =-⎧⎨=-⎩
，
此时()()2
()369331'=--=-+f x x x x x ，
由()0f x '>得1x <-或3x >；由()0f x '<得13x
；
所以()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,3)-上单调递减，在(3,)+∞上单调递增， 因此()f x 在1x =-上取得极大值，在3x =上取得极小值，符合题设； 即所求实数a ，b 的值分别是3-，9-；
（2）由（1）知，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,3)-上单调递减，在(3,)+∞上单调递增，
若函数()f x 在区间(),21m m -上单调递减， 则1213m m -≤<-≤ 所以12m <≤，
即所求实数的取值范围是(]1,2. 【点睛】 思路点睛：
由函数极值（极值点）求参数时，一般需要对函数求导，根据极值的定义，结合题中条件，列出方程求解，即可得出结果.（求出的结果要，要注意进行检验） 23．（Ⅰ）()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 极小值2(12ln )
2
k k -；（Ⅱ）证明见解析． 【分析】
（Ⅰ）求函数导数，分析函数的单调性即可得极值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为2(12ln )
()2
k k f k -=，由()0f k ≤得
k k =k >.
【详解】
（Ⅰ）由22
()ln 02 ()x f x k x k >=-得222()k x k f x x x x
-'=-=
． 由()0f x '=解得x k =．
()f x 与()'f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：
()f x ↘ 极小值 ↗
所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；
()f x 在x k =处取得极小值2(12ln )()2
k k f k -=，无极大值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为2(12ln )
()2
k k f k -=．
因为()f x 存在零点，所以2(12ln )02
k k -≤，从而e k ≥．
当e k =时，()f x 在区间(1,e)上单调递减，且(e)0f =， 所以e x =
是()f x 在区间(1,e]上的唯一零点．
当e k >时，()f x 在区间(0,e)上单调递减，且1(1)02
f =>， 2e (e)02k
f -=<，
所以()f x 在区间(1,e]上仅有一个零点．
综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,e]上仅有一个零点． 【点睛】 方法点睛：
利用导数解决函数零点问题的方法：
先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；
构造新函数，将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；
分离参变量，即由()0f x =分离参变量，得()a x ϕ=，研究直线y a =与()y x ϕ=的图像的交点问题.
24．（1）()f x 的增区间为32⎛
⎫∞ ⎪⎝⎭-,-
，()+∞-1，，()f x 的减区间为32⎛⎫
⎪⎝⎭
-,-1；()f x 的
极大值为98
-，()f x 的极小值为7
6-；（2）不存在；答案见解析.
【分析】
（1）2a =代入函数解析式，利用导数求函数的单调区间及极值； （2）利用导数在[]1,1-小于等于零可得答案. 【详解】
（1）当2a =时，2
()(253)(1)(23)f x x x x x '=++=++，
令()0f x '=，解得1x =-或 3-
2
x =，
所以，()f x 的增区间为,2
-∞-（），1+-∞（，）
， ()f x 的减区间为3
,12-
-（）， ()f x 的极大值为39()2
8
f -=-，. ()f x 的极小值为7(1)6
f -=-.
（2）依题意：2
()(21)30f x ax a x '=+++≤在[]1,1-上恒成立，
又因为0a >，所以，0(1)0(1)0a f f ''>⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，.
得0243a a a ⎧
⎪>⎪
≥⎨⎪⎪≤-
⎩
即无解.所以，不存在满足条件的正实数a . 【点睛】
方法点睛：函数在某段区间上恒成立，可以用导数小于等于零，也可以变量分离，构造函数求最值.
25．（1）30x y +-=；（2）max 1()21f x f e e ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，()min (2)1ln 2f x f ==+ 【分析】 （1）由()2ln f x x x
=
+得()12f =，切点为()1,2，由()212
f x x x '=-，求出
()11f '=-即为斜率，即可写出在点()()1,1f 处的切线方程.
（2）根据导数判断()f x 在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的单调性，即可求出最值.
【详解】 由()2
ln f x x x
=
+得()12f =，所以切点为()1,2，
因为()212
f x x x
'=
-，所以()11f '=-， 曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2(1)1y x -=--， 即30x y +-= ，
曲线()y f x =在点()(
)
1,1f 处的切线方程为：30x y +-=. （2）()22122x f x x x x
='-=
-， 由()0f x '>得2x e <<， 由()0f x '<得
1
2x e <<， 所以()f x 在1,2e
⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，在()2,e 单调递增， 所以()min (2)1ln 2f x f ==+，
121f e e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()21f e e =+
()1f f e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以max 1()21f x f e e ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
， 综上所述：()min (2)1ln 2f x f ==+，max 1()21f x f e e ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求函数的单调性和最值，属于中档题.
26．（1）200
1004402
p x x λλ=---+，[]4,8x ∈；（2）当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损． 【分析】
（1）根据总利润=赞助费+出售商品利润和已知得解； （2）由题得()()10225x x x
λ
++在[]4,8x ∈上恒成立，设()2012f x x x
=++，利用
导数求出函数()f x 的最大值即可得解. 【详解】
（1）由题意得20204010405301022p x x x x λλ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+⋅-
-++⋅- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ 200
1004402
x x λλ=-
--+，[]4,8x ∈． （2）要使对任意[]4,8x ∈（万元）时，该销售商才能不亏损，即有0p ，变形得
()()10225x x x
λ
++在[]4,8x ∈上恒成立，
而()()210212202012x x x x x x
x
x
++++==++，
设()2012f x x x
=++，()220
1f x x =-'，
令0f
x
解得=±x ，
所以函数()f x 在4,⎡⎣单调递减，在⎡⎤⎣⎦单调递增，
()()(){}max max 4,8f x f f =，因为()()421822.5f f =<=，
所以有2522.5λ，解得0.9λ，
即当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损． 【点睛】
本题主要考查函数和不等式的应用，考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。