高考数学(理科)高频错题测试卷及答案

高考数学（理科）高频错题测试卷及答案（2套）
测试题一
满分：150分
时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷(选择题)
一、单选题(本题共12题，每小题5分，共60分) 1．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.2857】 已知复数112i
z
i
+=
-，其中
为虚数单位，则z 的虚部为( )
A ．
15 B ． -
15
C ．-
15
i D ．
15
i 2．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.2899】 “2x ≠2”是“2x ≠1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.5179】 下列说法正确的是( ) A ．若，则
B ．若，则向量与夹角为锐角
C ．“”的否定是“”
D ．在
中，若，则
4．【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.5893】 函数
的部分图像可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.6251】 已知0.2
57log 2,log 2,0.5
a b c ===，则a ,b,c 的大小关系为( )
A ．b<a <c
B ．a <b<c
C ．c<b<a
D ．c<a <b
6．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.1071】 关于函数
有下述四个结论:( ) ①f(x) 在区间(-1,3) 单调递增 ②()y f x =的图像关于直线x=1对称
③()y
f x =的的图像关于(1,0)对称 ④
()f x 的值域为R
其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
7．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.3768】 下列函数中，以为周期且在(0，)上单调递增的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.2368】 执行如图所示的程序框图，若输入t 的值为100，则输出S 的值为( ) A ．3
B ．
43
C ．
1
2
D ．12
9．【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.5132】
将6名公务员(4男2女)平均分成两个小组，分别安排到甲、乙两个地区进行扶贫工作，若女公务员不能分在同一组，则不同的分配方案种数为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．10 10.【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.6491】 把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到
2sin()y x ωϕ=+(0,||)2
π
ωϕ><的图象(部分图象如图所示)，则
()y f x =的解析式为( )
A ．()2sin(2)6
f x x π
=+
B ．()2sin()6f x x π=+
C ．()2sin(4)6
f x x π=+
D ．()2sin()6
f x x π
=-
11．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.4035】
已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =．函数
|1|()(13)x g x e x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.1754】
若为函数相邻的两个极值点，且在处分别取得极小值和极大值，则定义
为函数f(x) 的一个极优差．函数
的所有
极优差之和为( ) A ．
B ．
C ．
D ．
第II 卷(非选择题)
二、填空题(本题共4题，每小题5分，共20分) 13．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.6786】
n S 是等比数列{}n a 的前
项和，2
2
106
3,a a a ==，则6S =___________． 14．【2019年山东省名校试题】【年级得分率：0.5614】
如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile 的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30︒、相距20 n mile 的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB 前往处救援，则cos θ的值为________________． 15．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.4928】 若a 是第三象限角，且
，则
=_____________．
16．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.2943】
已知数列{}n a 的各项均为正数，且对任意*n ∈N ，均有()()1221n n n a a a a a ++⋅⋅⋅+=+，若数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则
122020
111
S S S ++⋅⋅⋅+=________．
三、解答题(第17题10分，第18-22题每题12分，共70分) 17．【2019年山西省名校试题】【年级得分率：0.3056】 在梯形ABCD 中，∠ABC=∠BCD=90°，∠BAD=45°，AB=2，AD=3， (1)求对角线AC 长； (2)求sin ∠CAD 的值。

18．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.3865】 向量
，向量与向量的夹角为
，
．
(1)求向量b r
；
(2)若
，且
，
，其中、、是
的内角，若、、依次成等
差数列，试求的取值范围．
19．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.2472】 已知数列{}n a 的前
项和为11
,2
n S a =，且当2n ≥时，1120n n n n S S S S --+-=．
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设2
11(1)4n n b S =-，证明：121112+3
n b b b ++≤K ．
20.【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.2864】 已知函数()2
sin
3sin cos f x x x x ωωω=(ω＞0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值并求出f (x )的对称轴； (2)若关于x 的方程f (x )﹣m ＝0在区间[0，
2
π
]上有两个实数解，求实数m 的取值范围． 21．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.4241】
如图在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，PA=AB=BC=3，AD=2，点M在棱PB上，且2
BM=．
(1)证明：AM//平面PCD；
(2)求平面AMC与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
22．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.0097】
已知函数f(x)=1-a x+lnx,a∈R
(1)若f(x)≤1+，求实数a的取值范围；
(2)若(1-1
3
)(1+
2
1
3
) (1)
1
3n
)<m对任意正整数n都成立，求最小的整数m的值
参考答案
1．【答案】A
【解析】，，所以的虚部为.故选A.
2．【答案】B
【解析】由≠2可得，若，则=1，故充分性不成立，显然必要性成立
3．【答案】D
【解析】对于A，当时不成立;对于B，当与同向时不成立;
对于C，“，”的否定是“，”；
对于D，若，则，由正弦定理得，所以故选D.
4．【答案】B
【解析】由题得，又，所以为偶函数，据此排除C、D;在上则有，必有，则，据此排除A;故选B.
5．【答案】A 【解析】因为
，所以，又
，所以
，而，既，由对数函数图像可知log 52>log 72，即
，所以
.故选A.
6．【答案】D
【解析】的定义域是，令
所以在
1，3)单调递增，
在单调递增，且值域为.
又因为
， 所以
所以①③④正确，②)是错误的. 7．【答案】A 8．【答案】A
【解析】程序运行如下：3S =，1n =；43S =，2n =；1
2
S =，3n =；2S =-，4n =；3S =，5n =；…，此程序的S 值4个一-循环．若输入t 的值为100，则当101n =时，输出相应的S 的值，此时S 的值为3．
9．【答案】B
【解析】现将6名公务员按要求分成两组共21
42
22
C C 6A =种方法．再将这两组安排到两个地区有2种方法，故共有6212⨯=种分配方案．
10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】D
13．【答案】 【解析】因为为等比数列，所以
即
∴又
∴
∴
14．【答案】
15．【答案】
【解析】
16．【答案】
4040
2021
【解析】当1n =时，2
1112a a a =+，又10a >，∴11a =，
当2n …
时，()2
122n n n a a a a a ++⋅⋅⋅+=+，()2
121112n n n a a a a a ---++⋅⋅⋅+=+，两式相减得22
11
2n n n n n a a a a a --=+--，∴()
()22110n n n n a a a a ----+=， ∴()()()1110n n n n n n a a a a a a ---+--+=，
又10n n a a -+>，∴11n n a a --=，∴{}n a 是等差数列，其公差为1， ∵11a =，∴(
)
*
n a n n =∈N .故()
12
n n n S +=
， 所以
()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，122020111111112122320202021S S S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦40402021=
.
17．【答案】见解析 【解析】（1）在梯形ABCD 中，作DE ⊥AB ，垂足为E, 由AD=3，∠BAD=45°得AE=DE=
在直角三角形ABC 中，AB=2
，BC=DE,AC 2=AB 2+BC 2=,∴AC=
（2）法一：在△ACD 中，CD=BE=AB AE=，∴cos ∠CAD= =
∴sin ∠CAD=
法二：在Rt △ABC 中，cos ∠BAC=，sin ∠BAC=.sin ∠CAD=sin （45-sin ∠BAC ）=（cos ∠BAC-sin ∠BAC ）=(
)=
.
18．【答案】见解析 【解析】（1）设，则，且，
联立方程，解得或，
或
； （2）
，且
，
，、、依次成等差数列，
. ，
.
，则
，
， ，
，故
的取值范围为
.
19．【答案】见解析 【解析】(1)因为，故
，
所以数列{}是首项为，公差为2的等差数列， 所以，所以
.
所以当
时，
.
所以.
(2)由(1)知，故.所以. 所以
.
20．【答案】见解析
【解析】（1）由题意，函数()21cos 23
sin 3cos 22wx f x wx wx wx wx -==
1
sin(2)62
wx π=-+
所以函数()f x 的最小正周期为
22w p p =，∴1w =，即()1sin(2)62
f x x π=-+．
（2）在区间[0,
]2
π
上，则52[,
]6
66x π
ππ
-
∈-
，则1
sin(2)[,1]62
x π-∈-， 即()3
[0,]2
f x ∈，关于x 的方程()0f x m -=在区间[0,]2
π
上有两个实数解，
则()f x 的图象和直线y m =在区间[0,]2
π
上有两个不同的交点，则3
12
m ≤<
． 21．【答案】见解析 【解析】（1）由题意，侧面是等腰直角三角形，
，
作
交于，连接.因为
，
所以，又，，，所以，且， 四边形是平行四边形，，又平面，所以平面。

（2）由底面，可得，，又，所以，，两两互相垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，得各点坐标如下：
.
所以，设平面的法向量为， 则，令
，得
，，所以； 向量
，设平面
的法向量为，
，令
得
，
，所以
设平面与平面所成锐二面角为，则
所以平面
与平面
所成锐二面角的余弦值等于。

22【答案】见解析
【解析】（1）f （x ）≤1+x 2化为,
令g （x ）=
,则g'（x ）=
,
g'（1）=0，x>1时，x 2>1，lnx>0,1-x 2-lnx<0，g'（x ）<0, 0<x<1时，x 2<1，lnx<0,1-x 2-lnx>0，g'（x ）>0，
∴g （x ）的单调增区间为（0,1]，单调减区间为[1，+∞），
∴g （x ）≤g （1）=,∴a ≥，即a ∈[-1，+∞） （2）当a=1时，f （x ）=1-x+1nx,f'（x ）=
+=
∴x ≥1时，f`（x ）≤0，f （x ）是减函数，
∴x>1时，f`（x ）=1-x+lnx<f （1）=0，lnx<x-1， 取x=1+，则ln （1+）<1+
=,
∴ln （1+）+ln （1+）+…+ln （1+）<++…+=
∴（1+）（1+）…（1+）<，
∵（1+）（1+）…（1+）≥1+=,1<<=2，
∴满足条件的最小的整数m的值为2。

测试题二
满分：150分时间：120分钟
姓名：_________班级：_________考号：_________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题( 本题共12题，每小题5分，共60分)
1．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.5732】
命题“”的否定是( )
A．不存在， B．存在，
C．， D．对任意的，
2．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.5909】
已知是虚数单位，若为实数，则实数的值为( )
A．1 B．-2 C．-1 D．0
3．【2019年山东省名校试题】【年级得分率：0.4189】
已知函数,则“”是“在f(x)在(2,4)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.4242】
已知等差数列的前n项和为,且成公比为q的等比数列,则q等于( )
A．1或2 B．2 C．1 D．2或4 5．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.5909】
若,则( )
B．
6．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.6757】
已知定义在R上的函数f(x)满足,且f(x)在[1,+∞)上单调递增,则( ) A．f()<f()<f() B．f(O．20.3)<f(log30.5)><f(4．1)
C．f()<f()<f() D．f()<f()<f()
7．【2019年山西省名校试题】【年级得分率：0.6212】
已知则,b,c的大小关系为( )
A．c>b>B．b>>c C．c>>b D．>c>b 8．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.3514】
将曲线
上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x )
的图象，则下列说法错误．．的是( ) A ．g(x )的图象关于直线
对称
B ． g(x )在[0，π]上的值域为[0,]
C ． g(x )的图象关于点(,0)对称
D ． g(x )的图象可由y=cos x +的图象向右平移个单位长度得到 9．【2019年山东省名校试题】【年级得分率：0.4268】
在区间
上单调，则的取值范围( ) A ．
B ．
C ．
D ．
10.【2019年山西省名校试题】【年级得分率：0.4848】
如图,M 、N 分别为边长为1的正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点,将正方形沿对角线AC 折起,使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中,以下结论错误的是( ) A ．MN //平面ABD
B ．异面直线A
C 与B
D 所成的角为定值
C ．存在某个位置,使得直线A
D 与直线BC 垂直 D ．三棱锥M -ACN 体积的最大值为
11．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.3714】 已知函数()y f x =的周期为2，当[]0,2x ∈时，()()2
1f x x =-，如果()()5log 1g x f x x =--，
则方程()0g
x =的所有根之和为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
12．【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.3636】 已知函数
,给出下列结论:①f (x )是周期函数；②f (x )是奇函数；③
是函数f (x )的一个单调递增区间；④若
,则
；⑤不等式
的解集为
,则正确结论的序号是( )
A ．①②④
B ．①②③④
C ．②③
D ．①②③⑤
第II 卷( 非选择题)
二、填空题( 本题共4题，每小题5分，共20分) 13．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.5972】 设>0，若曲线y ＝x 与直线x ＝，y ＝0所围成封闭图形的面积为2，则＝________． 14．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.1818】
已知实数x,y满足则z=|x-y|的取值范围为________．
15．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.0854】
函数，且对任意实数x都有f(x)=f(2-x)(∈R)，则_________ ．16．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.0303】
已知函数,若函数f(x)有且只有4个不同的零点,则实数m的取值范围是________．
三、解答题( 第17题10分，第18-22题每题12分，共70分)
17．【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.6054】
△ABC的内角A,B,C,所对的边分别为,b,c,已知∆ABC的面积为S=1
6
b2tanA
(1)证明:b=3c cosA
(2)若tanA=2,= 22，求S。

18．【2019年山东省名校试题】【年级得分率：0.5539】
己知数列{n}的前n项和为S n,且满足3n=2S n+n,(n∈N*)．
(1)求证{n+}是等比数列，并求{n}的通项公式；
(2)记b n=(-1)n log3(2n+1),数列{b n}的前n项和为T n,求T n。

19．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.3371】
某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8．0米(精确到0.1米)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，
0.10，0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7．
( 1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；
( 2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况．
若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，
记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列．
( 3) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在
9．5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远
的概率．
20.【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.6791】
在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，
∆ACD 与∆ACB 是边长为2的等边三角形BE=2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上． ( 1) 求证：DE ∥平面ABC ；
( 2) 求二面角E-BC-A 的余弦值．
21．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.3829】 已知椭圆C ： +=1(>0,b>0)
的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2任作一条与两坐标轴都不垂直的直线，与椭圆C 交于两点，且∆ABF 2的周长为8．当直线AB 的斜率为
3
4
时，AF 2与x 轴垂直． ( 1) 求椭圆C 的标准方程；
( 2) 在x 轴上是否存在定点M ，总能使MF 1平分∠AMB?说明理由． 22．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.3452】
已知函数()x x x f 2ln +=，())(2
x x a x g +⋅=
( 1) 若2
1
=
a ，求)()()(x g x f x F -=的单调区间； ( 2) 若)()(x g x f ≤恒成立，求a 的取值范围。

参考答案
1.C
【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“”的否定是：，．
故选：C．
2．C
【解析】
为实数，，得．
故选：C。

3．B
【解析】
若f(x)在(2,4)上单调递增,则=,即在(2,4)上恒成立.
又在(2.4)上单调递增,则,所以.
故“"是f(x)在(2.4)上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B.
4．A.
【解析】
成公比为q的等比数列，,又为等差数列,
即即d=0或公比或或2 故选：A.
5．D.
【解析】
故选：D。

6．B
【解析】
依题意可得,f(x)的图象关于直线x=1对称.
因为,,∈(4,8),f(x)在[1,+∞)上单调递增，
所以f()<f()<f().
故选：B。

7．A.
【解析】
且b<0，c>0，
所以a,b,c的大小关系为c>b>a.
8．C
【解析】
因为,所以,故A,B正确.g(x)的图象关于点(,)对称,故C错误.
对于D,由的图象向右平移个单位长度得到
的图象,故D 正确.
9．C 【解析】
化简得f(x) =sin x-2+1=
cos sin x x ωω-+=
sin （）因为在区间（1,2）上单调
所以
令t x ω=-
(
)
，）
所以或或所以的取值范围是
10．C. 【解析】
选项A,因为MN //BD ，所以MN //平面ABD ，故选项A 正确:选项B,取AC 中点0,连接OB ，OD ，则AC ⊥OB ，且AC ⊥OD ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC ⊥BD ，异面直线AC 与BD 所成的角为90°，为定值，故选项B 正确;选项C,若直线AD 与直线BC 垂直，因为直线AB 与直线BC 也垂直，则直线BC ⊥平面ABD ，所以直线BC ⊥直线BD ，又因为BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB 而△OBD 为等腰三角形，
这显然不可能，故选项C 不正确:选项D ，当平面DAC ⊥平面ABC 时取最大值，
故选项D 正确.
11．D 【解析】
试题分析:在平面直角坐标系中画出函数)(x f y =及|1|log 5-=x y 的图象,结合函数的图象可以看出函数共有8个零点,且关于1=x 对称,故所有零点的和为842=⨯,应选D.
y=log 5|x-1|
x=1
6
5
4
3
2
1
O
y
x
12．D. 【解析】 因为，所以2π是f (x )的一个周期，选项①正确;因为f (-x )=-f (x )，所以f (x )是奇函数，选项②正确;当x ∈
时，
单调递增，又因为f (x )是奇函数且过原点，所以
是函
数f (x )的一个单调递增区间，选项③正确;由②③可画出函数f (x )在
上的图像，又因为
，所以f (x )的图像关于
对称,可画出函数f (x )在
上的图像，即得到函数f (x )在
上的图像，即一个周期的图像，在
上的对称中心为(0,0)和(,0)，所以在整个定义域上对称
中心为(kπ,0)(k ∈Z )，即若
,则,选项④不正确;先求不等式 在一个周期内的解集，取区间[0,2π]，因为
则
在整个定义域上则
解得，故选项⑤正确，综上，
①②③⑤正确.
13．a ＝4
9. 【解析】
由已知得S ＝⎠⎛0a
x d x ＝2332x |a 0＝2
332a
＝a 2，所以a
2
1
＝23. 所以a ＝49.
14．
【解析】 画出可行域，
只需求可行域内的点(x ,y )到直线x -y =0的距离的最值，观察可得最小值为0，
最大值为2x -y +3≥0与2x +y -5≤0的交点到直线的距离，为，故取值范围为。

15．- 【解析】 依题意a 为极值点
,∴.
∴∴。

16． 【解析】
f (x )有且只有4个不同的零点等价于偶函数与偶函数
的图象有且只有4个不同的
交点，即
有两个不等正根，即有两个不等正根.令
则
它在(0,2)内为
负，在(2,+∞)内为正，
在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增， 又
当x →
时，h (x )→+∞，当x →+∞时，h (x )→+∞，
.
17．（1）见解析；（2）3. 【解析】
(1)由s=12bcsinA =16
b 2tanA 得3csinA=btanA. 因为tanA=
sin A cos A ，所以3csinA=b sin A
cos A
，又因为0<A <π,所以sinA ≠0, 因此b=3ccos.A.
(2)因为tanA=2， 所以cosA=
5
5
，由(1)得2bccosA=,c=
5b 3
由余弦定理得8=b 2+c 2-2bccosA, 所以8=b 2+-，从而b 2=9.故s=16
b 2tanA=3.
18．（1）n =
123n -12；（2）T n =T n-1+b n =n-12-n=-n-1
2
【解析】
(1)当n=1时，31=2a 1+1∴1=1
当n≥2时,3n =2S n +n, 3n-1=2S n-1+n-1, 两式相减得:3n -3n-1=2n +1
∴ n =3
n-1+1,所以n +
12=3（n-1+12），{n +12
}是等比数列 ∴n +12=(1+12)·3n-1=32·3n-1∴ n =123n -12 n=1时也符合上式
∴n =123n -1
2,(n ∈N")
(2)Q b n =(-1)n ·log 3(2n +1),∴b n =(-1)n ·n
∴.当n 为偶数时，T n =(-1+2)+(- 3+4) +……+ [-(n-1)+n]=n
2
当n 为奇数时，T n =T n-1+b n =n-12-n=-n-1
2
19．（1）见解析（2）见解析（3）1
16 【解析】
(1)第6组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，测试总人数为7
0.14＝50(人)．故第4.5.6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)
(2)X ＝0,1,2，测试中成绩不合格的概率为1450＝7
25，
∴X ～B ⎝⎛⎭⎫2，725. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫18252＝324625，P (X ＝1)＝C 1
2⎝⎛⎭⎫725⎝⎛⎭⎫1825＝252625，
P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫7252＝49
625 所求分布列为
X 0 1 2
P
324625 252625 49
625
(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足的区域为⎩
⎪⎨
⎪⎧
8≤x ≤10，9.5≤y ≤10.5，事件A “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x >y ，如图．因此由几何概型概率公式知P (A )＝12×12×1
21×2＝116 20．（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）由题意知，∆ABC ，△ACD 都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接BO ，DO ，则BO ⊥AC ，DO ⊥AC ．
又∵平面平面，∴平面平面
=AC ，DO ⊂平面ACD ， 所以DO ⊥平面ABC ．作EF ⊥面ABC 于F ．由题意，点F 落在BO 上， 且∠EBF=60°，在中，3
sin 232
EF BE EBF =⋅∠=⨯
=． 在Rt ∆DOC 中，
3
sin 232
DO DC DCO =⋅∠=⨯
=． 因为DO ⊥平面ABC ，EF ⊥平面ABC ， 所以DO ∥EF ，又DO=EF ，
所以四边形DEFO 是平行四边形，
所以DE ∥OF ．又DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC ．
（2）作FG ⊥BC ，垂足为G ，连接EG ， ∵EF ⊥平面ABC ，∴EF ⊥BC ．
又∵EF∩FG=F ，FG ⊥BC ，∴BC ⊥平面EFG ．
所以BC ⊥EG ．所以∠EGF 就是二面角E-BC-A 的一个平面角． 在中，1sin 1sin 302
FG FB FBG =⋅∠=⨯︒=
． 在
中，sin 2sin 603EF EB EBF =⋅∠=⨯︒=．
在中22
1
13132cos 21313
FG EG EF FG EGF EG =+=⋅∠===， 即二面角E-BC-A 的余弦值为13
13
．
21．（1）22
143
x y +=（2）见解析
【解析】（1）因为228AB AF BF ++=，
即11228AF BF AF BF +++=
又12122AF AF BF BF a +=+=，所以48a =，2a =．
当直线AB 的斜率为3
4
时，AF 2与x 轴垂直，所以
21234AF F F = 由22221c y a b +=，且0y >，解得2
b y a =， 即2,b A
c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
又因为2a =，所以2344b c =，所以23b c =．
结合222c a b =-，解得1c =，3b =．
所以，椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=．
（2）由（1）得，()11
,0F -，设直线AB 的方程为()10x my m =-≠， ()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M s ，联立22
1
3412x my x y =-⎧⎨+=⎩
， 消去x ，整理得()22
34690m y my +--=， 所以122634my y y m +=
+，122
9
34
y y m =-+， 如果MF 1平分∠AMB ，则0AM BM k k +=，
+
=0,所以y 1(x 2-m)+ y 2(x 1-m)=0
即y 1(my 2-1)+ y 2(my 1-1)-m(y 1+y 2)=0, 所以2m y 1y 2)-(1+m)( y 1+y 2)=0,
即2m ·-(1+m)=0
则1+m=-3，
即m=-4以()4,0M -为所示求，故当()4,0M -时，总能使MF 1平分∠AMB. 22．（1）见解析（2）∞[1，+）
【解析】解：（1）()x x x x F 2
3
21ln 2+-
=的定义域为),0(+∞ 则：13(21)(2)
()22x x F x x x x
+-'=-+=-
令1
()0
2()2
F x x x '===-得，舍去 02()02()0(),2x F x x F x F x '<<>'><当时，函数单调递增当时，函数单调递减即函数的递增区间为（0）
2 +∞递减区间为（，）
（2）2
()ln 2F x x x ax ax =+-- 则(21)(1)
()x ax F x x
+-'=-
0()011
0()0()
2
1
0()01
()0a F x a F x x x a x F x a x F x a
'≤≥≤'>===-'<<>'><当时，F(x)单调递增，F(x)0不可能恒成立
当时，令得，舍去当时，函数单调递增
当时，函数单调递减
故11
()F F 0F x a a
∞≤在（0，+）上最大值为（）,即（）
恒成立 即11
ln 10a a
+-≤
11
()ln 1(1)0
11
ln 101
g a g a a
a a a
=+-=+-≤≥又单调递减，且故成立的充要条件是
所以a ∞的范围是[1，+）。