第4章-MATLAB符号运算

simplify与simple命令
• simplify普遍使用于表达式化简。此外，还可以 使用simple函数进行化简； • simplify 函数可以对包含和式、根式、分数、 乘方、指数、对数、三角函数等的表达式化简； • 而simple 函数的目标是寻找最少字符的表达式。 • 例：Jacobi矩阵的Jacobian行列式。
findsym函数的例
syms a b c x >> f=sym('a*x^2+b*x+c'); >> findsym(f,1) %确定符号表达式首选的一个 变量 ans = x >> findsym(f,2) %确定符号表达式首选、次选 的2个变量 ans = x,c
符号微积分运算
• diff(f) 对符号表达式f进行微分运算，符号变量由前面 的规则确定； • diff(f,a) f对指定变量a进行微分运算； • diff(f,n)或diff(f,a,n) 计算f对默认变量或指定变量a 的n 阶导数,n是正整数； • int(f) 对于符号变量f代表的符号表达式，求f关于默认 变量的不定积分； • int(f,v) 计算f关于变量v的不定积分； • int(f,a,b)或int(f,v,a,b) 量v从a到b的定积分。 计算f关于默认变量或指定变
符号变量的定义
使用符号变量之前，应先对其予以声明，命令格式如下： • syms 变量名列表（其中各个变量名用空格分隔，不能 用逗号分隔） 如： syms x a • sym (‘变量名’) • 随后输入的 y = ax和y = a*sin(x) 就成了符号函数； f= ' sin(y)^2 ' 则定义了f为一个符号表达式； eq = ' a-y^2 =0 ' 定义了eq为一个符号方程。 如: sym（' y ' ） 经上述定义后，x， y， a已成为符号变量。
• 显然，在积分常数默认为零时，所得结果就是原式。 • 程序： >> syms x y y1 y2 >> y='1/(x^2+4*x+3)*sin(x)'; >> y1=diff(y,x) y1 = -/(x^2+4*x+3)^2*sin(x)*(2*x+4)+1/(x^2+4*x+3)*cos(x) • 所得结果与原式形式上不同，但对其使用simplify函数进 行化简处理，即可得到与原来相同的函数形式。 %括号内默认变量x可以不写
符号替换的例
• 以符号变量'2'替换符号表达式f中的'a' ： >> f=sym('sin(1/3*a*pi)'); >> subs(f, '2','a') ans =sin(1/3*(2)*pi) 此例的ans中，2仍然是符号变量。 • 以数值2替换符号表达式f中的'a' ： >> f=sym('sin(1/3*a*pi)'); >> subs(f,2,'a') ans =0.8660 此例得到了符号表达式f在符号变量'a' 等于2时的数值。
符号替换
• 符号变量的替换：subs函数 • 该命令适用单个符号矩阵、符号表达式、符号 代数方程和微分方程中的的变量替换，命令格 式如下： • subs(S, new) 用新变量new 替换S中的默认变量 • subs(S, new, old) 用新变量new替换S中的指定变量old • 注意，如果新变量是符号变量，必须将新变量 名以' new ' 形式给出。
4.3 解微分方程
• MATLAB中dsolve函数既可以解符号微分方程， 也可以解普通微分方程； • 规定用符号“D”表示微分, “ D2，D3，…， Dn ” 相应表示2阶、3阶、…、n阶微分； • 如不加声明，则默认符号变量为t ； d y dy • D2y代表 dt ，Dy代表 dt ； • 由于这一原因，在解微分方程时，D不用作符 号变量。 • 如果还有初始条件，则用另外的方程说明。
解代数方程（续）
2. 求解形如f(x) = q(x)方程的解
• 命令形式：S = solve(' f(x) = q(x) ' ) • 注意，左边的字母不能使用x，因为x已经被用作符号 变量。 • 如对于方程 cos 2x + sin x =1 S = solve(' cos2x + sinx = 1 ' ) 将给出x的四个解。 • 此例中，如将方程写为 cos 2x + sin x –1 = 0 则可在定义符号表达式S1 = cos 2x + sin x –1后，直接使 用solve(S1)求解。
>> x = dsolve('(Dx)^2+x^2=1','x(0)=0') x= [-sin(t)] [ sin(t) ]
例4-11 二阶微分方程
注意，有两个初始条件
>>y = dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0', 'x'); >>simplify(y) y= -2/3*cos(x)^2+1/3+4/3*cos(x)
求极限
命令形式 • LIMIT(F,x,a) 取符号表达式F 在 x 趋于a时的极 限 • LIMIT(F,a) 按前面说过的规定自动搜索F中的 符号变量，求其趋于a时F的极限 • LIMIT(F) 指定了 a = 0 为极限点 • LIMIT(F,x,a,‘right’) 或 LIMIT(F,x,a,‘left’) 规定 了x趋于a的方向，也即用于取左极限或右极限
( ∫ xe − xy dx )dy ∫
• 程序：
>> syms x y >> s='x*exp(-x*y)'; >> f=int(int(s),y)
• 结果为 f =1/y*exp(-x*y)
进一步的例子
• 给定函数 y =
dy 1 sin x，求 ∫ ( )dx 。 dx x 2 + 4x + 3
解方程组
3. 解代数方程组
• 命令格式：solve(S1,S2) • 注意，其中S1，S2是方程的符号表达式。 • 例：求解
x 2y2 = 0 y x − = α 2
• 程序：
>>syms x y alpha >>[x,y] = solve(x^2*y^2,x-y/2-alpha) 执行后将返回符号变量x，y的解，各4个。注意，返回 的解即使是数字量，仍然是符号变量。
第4章 MATLAB的符号运算功能
从20世纪90年代初，MathWorks公司和加拿大的 Maple公司合作，结合加拿大Waterloo大学开发的符号 运算软件，在MATLAB 5.1以后的版本提供了一个较完 善的Symbolic Math工具箱。 利用Symbolic工具箱，可以进行各种针对符号对 象或解析式的数学运算，如微积分运算，代数、 微分方程求解，线性代数和矩阵运算，以及 Laplace变换、Fourier变换和Z变换。
% jacobian函数的调用格式
% z是符号矩阵 % 直接对det(z)简化 % Jacobi行列式的值，仍为符号变量
4.3 求解方程和方程组
1. 求解形如S = f(x) = 0的代数方程
• 命令形式：solve(S)，其中S 为符号表达式 • 例：求解方程S = a*x^2 + b*x + c = 0。 >>syms a b c x >>S = a*x^2 + b*x + c; >>solve(S) ans = [1/2/a*((b^2-4*a*c)^(1/2))] [1/2/a*(-b- (b^2-4*a*c)^(1/2))]
符号矩阵的直接定义
• 也可以通过sym函数，用与普通矩阵定义类似的格式定 义一个符号矩阵。如 syms a b c d x 定义了变量a b c d x为符号变量，则再键入 A=sym('[a b;c d] ' ） 就定义了[a b;c d]为符号矩阵，其结果为： A= [a b] [c d] • 符号矩阵可以进行加、减、乘、除运算。命令格式分 别为 symadd(A,B) ，symsub(A,B)，symmul(A,B)，symdiv(A,B)。
符号微分运算的例
•
>> syms x n %定义符号变量x和n >> f=x^n； %定义符号表达式f >> diff(f,x) %符号表达式f对x求导 ans = x^n*n/x >> diff(f,n) %注意，是f对符号变量n求导 ans = x^n*log(x) >> df2=diff(f,x,2) %计算f对符号变量x的二阶导数 df2 = x^n*n^2/x^2-x^n*n/x^2
4.4 傅里叶变换，拉普拉斯变换和Z变换
• • • • • • fourier( ) ifourier( ) laplace( ) ilaplace( ) ztrans( ) iztrans( ) 傅里叶变换； 傅里叶反变换； 拉普拉斯变换； 拉普拉斯反变换； Z变换； Z反变换。
4.2 符号微积分运算
符号运算的操作对象规定 • 符号变量只检索单个小写英文字母； • 但i，j不被认为是符号变量； • 首选符号变量为x； • 其余字母的优先次序：靠近x的字母优先，且x之后的 x x 字母优先。 • 如运算中指定了操作对象，按指定对象进行操作。 • 工具箱还提供了findsym函数来确定表达式中的符号变 量及优先次序。