(完整word版)有理数和代数式的复习

有理数一
(一）、正数和负数
1、负数的意义
负数是由实际的需要而产生的,如:某地气温是8℃,由于强冷空气南下，气温下降了12℃，则该地区这时的实际气温是（8－12）℃，但在算术中这个差是不存在的,实际上这个气温是客观存在的,为了解决这个“不够减”的矛盾，引入一个新数——负数，即(8－12)℃=－4℃,表示零下4℃．
2、相反意义的量与正数
为了表示具有相反意义的量,把其中一种意义的量规定为正，另一种与它意义相反的量规定为负,正的量
记为“＋”,如＋6，＋2。

5,…叫正数;负的量记做“－”，像－4，－6这类带有负号的数叫负数；“0”既不是正数，也不是负数,是正数与负数的界限，规定零是最小的自然数。

自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示．
3、有理数的概念及分类
4、字母a的意义
用字母 a表示有理数时：
(1）a〉0时，a表示正数，－a表示负数；
(2)a<0时，a表示负数，－a表示正数.
(3）a≥0时，a表示非负数.
(二）、数轴
1、数轴的意义
数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、长度单位称数轴的三要素，这三者缺一不可．
2、数轴的画法
3、利用数轴比较有理数大小．
建立了数轴后，就可以用数轴上的点表示有理数，原点表示的数是0,正有理数用原点右边的点表示,负有理数用原点左边的点表示，即用数轴上的点表示有理数的口诀为：左负右正，原为零，所有的有理数都可在数轴上找到对应的点。

由数轴知，数轴上的两个有理数中，右边的数总比左边的数大，因此有理数大小比较的规律是：正数大于 0,零大于一切负数，负数小于零,正数大于一切负数。

（三）、相反数
1、相反数的意义
（1)代数意义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数,0的相反数是0。

（2）几何意义:在数轴上的原点两旁,离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数。

（3）性质：互为相反数的和为0，即a＋b=0a、b两数互为相反数。

（4）符号：在一个数前面加“－”号表示这个数的相反数,如数a的相反数是－a.
2、多重符号的化简
化简带有多重符号的数的关键是结合数轴理解相反数，按由内到外的顺序去括号，
如：－［－（－3）]=－(+3)=－3。

(四)、绝对值
1、绝对值的意义：一个数a的绝对值,就是数轴上表示数a的点与原点的距离,记作|a|.
（1）绝对值的代数意义是一个正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值表示的是这个数离开原点的距离，记做|a｜，离原点越远,数的绝对值越大.
（3）绝对值是非负数,即|a｜≥0.互为相反数的两数绝对值相等：｜a|=｜－a|。

2、绝对值的求法:在处理绝对值符号时,应首先确定绝对值里面的数的正、负性，若是非负数，则直接去掉绝对值符号;若是负数，则去掉绝对值符号后，前面加负号,即
二、重、难点剖析
本部分的难点是数轴和绝对值,下面就这两个知识点进行讲解 .
例 1、如图所示,所画的数轴正确的是（）
例 2、（1) 指出数轴上的点A、B、C、D、E各表示什么数。

例 3、（1）已知|a|=4，|b|=3，且a〈b,求的值。

（2)若a与b同号,求的值。

例 4 、根据一个有理数的绝对值的非负性回答：
(1)若｜x｜=－x，求x的取值范围；（2）若|m－n|=n－m，求m与n的大小关系。

(3）若｜x－2｜＋|y－4｜=0，求x2＋y2的值.
一、重点知识归纳及讲解
1、数轴我们进初中以后学到的一个重要概念，我们知道有理数均可以用数轴上的点来表示，结合数轴，还可以更深刻地理解相反数的意义：从数轴上看，在数轴上原点的两旁，到两原点距离相等的两个点所表示的两个数是互为相反数，其中包含着0的相反数是0的道理．一个数的绝对值的意义，更离不开“数轴"这个工具，我们知道在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,因为距离是正数或0,所以有理数的绝对值是非负数,即｜a|≥0，利用数轴可以表示相反数和绝对值的几何意义．
2、利用数轴这个数学工具,还可以比较有理数的大小．
（1）我们知道,在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大，因此，有理数大小比较的法则是:正数都大于零,负数都小于零，正数大于负数.
（2）两个负数，绝对值大的反而小。

3、有理数的加法法则
（1)同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数的和为0；
（3)一个数与0相加,仍得原数．
4、有理数加法步骤分两步：
第一步，确定和的符号；
第二步，求和的绝对值．
5、利用加法交换律和结合律可以简化计算,通常有以下几种结合的方法：
（1）同号的数放在一起相加；
（2)互为相反数的两个数放在一起；
（3）同分母的分数放在一起;
（4)和为整数的数在一起相加．
6、加法的交换律：a＋b=b＋a，加法的结合律:（a＋b)＋c=a＋（b＋c)。

三、难点知识剖析
1、M国股民A上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周每日该股票的涨跌情况：
（1）星期三收盘时，每股多少元？
(2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
2、已知|a｜=5，｜b|=3，且｜a－b｜=b－a,求a＋b的值。

§4有理数的减法和加法混合运算
(一)、知识点归纳
1、有理数的减法
（1）有理数的减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数 .这个法则用式子可以表示为a－b=a＋（－b）.
(2）有理数的减法运算
有理数的减法，不像算术里那样直接相减，而是把它转化为加法,借助于加法进行计算。

因此，掌握有理数减法的关键是正确地将减法转变为加法.再按有理数的加法法则计算。

注意两个“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号(变为相反数）,牢记一个“不变"，被减数与减数的位置不能交换，也就是说,减法没有交换律。

2、有理数
(1）代数和:几个正数或负数的和称代数和，在代数和里把加号及加号前的括号省去不写的简写形式，简写后的代数和的符号都是性质符号,而运算符号“＋"均已省略。

如－5－2＋3－5实际表示－5，－2，＋3，－5的和。

（2）有理数加减混合运算的步骤：首先变减为加，再写成省略加号的形式，然后利用加法交换律和结合律简化计算。

（3)使用加法交换律交换数的位置时,要连同数前面的符号一起交换。

（4）利用交换律的结合律进行简化计算时应遵循几条法则：
①正数和负数分别结合相加；
②分母相同或易于通分的分数结合相加；
③和为整数的结合相加；④互为相反数的结合相加 .
（二)、例题讲题
例 1、计算：
例2.
例 3、若|a｜=3,｜b|=1，|c|=5，且|a＋b|=a＋b，|a＋c｜=－（a＋c），求a－b＋c的值.
例 4、如果|ab－2|＋|b－1｜=0，试求：a,b的值.
§5有理数的乘除
（一)、有理数乘法的法则及运算律
1、有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得零 .
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时,积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

几个数相乘，有一因数为零,积就为零.
2、运算定律
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

即ab=ba。

(2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

(3)乘法分配律:一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与两个数相乘,再把积相加.即a(b＋c)=ab＋ac. （二）、有理数的除法法则
1、有理数的除法法则
法则 1:除以一个数等于乘以这个数的倒数,0不能作除数；
法则 2：两数相除,同号得正，异号得负，并把绝对值相除,零除以任何一个不等于零的数都得零。

2、倒数的意义
乘积是 1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数，0没有倒数。

二、重点知识归纳及讲解
1、计算
例 1、
三、难点知识剖析
例 4、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为2，求5x－－cd的值。

§6列代数式
(一）、知识点讲解
1、用字母表示数
用字母表示数是代数的一个重要特点，有了用字母表示数的知识，使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示出来：如,长方形的长为acm，宽为bcm，长方形的面积是abcm2;一件商品的单价为a 元，买了b件，则总价为ab元；将一笔钱存入银行，每月可获利息a元，存了b个月,则共获利息ab 元，这里同用代数式ab，但它却表示了不同的实际意义。

2、代数式
（1）代数式的定义：
代数式是数与数之间、数与字母之间，字母与字母之间用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连结起来的式子.
（2）代数式的规范书写：
书写代数式时应注意以下原则：
①代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写,如6×b常写作6·b或6b。

但数与数相乘不遵循此原则，如6×8不能省略乘号，否则就写成了68，也不宜将“×”改为“·”，否则就写成了6·8，容易与6.8混淆。

②数字与字母相乘时，数字写在字母前面,而有理数又要写在无理数前面,如6b一般不写作b6,2πr2不写作π2r2。

③除法运算写成分数形式，如 1÷a，通常写作（a≠0）。

④相同字母相乘,一般不把每个因数写出来,而是写成幂的形式,如 a·a写作a2，a·a·a写作a3.
3、列代数式
在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁,更具一般性,但列代数式的关键是正确分析数量关系,弄清运算顺序,掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了,增加到，除、除以等概念。

（二）例题剖析
例 3、用代数式表示： (1）比x大5的数的20％；
（2)与5a的差是b的2倍的数；
(3）a、b、c三数的积与a、b、c三数立方和的差;
（4)被3除余1的数；
(5）百位数是a，十位数是5，个位数字是b的三位数。

例 4、用代数式表示：
(1）浓度为20%的盐水为a千克，加盐m千克后盐水浓度为_________；
（2）一根蜡烛长为20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧t小时后蜡烛的长为_________;
(3）轮船往返相距S千米的A、B两地,轮船在静水中每小时行a千米，水流速度为每小时b千米，则
往返A、B两地一次需要____________小时；
（4）某市为鼓励市民节约用水,对水费作了如下规定：每户居民月用水量不超过20吨，则每吨按0。

5元收费，超过20吨，则超过的部分每吨按0。

8元收费，若某户居民某月用水30吨，则应交水费___________元；若某户居民每月用水x吨（x>20），则应缴纳水费___________元。

§7代数式的值、整式（1）
一、重、难点知识归纳
1、求代数式的值应注意以下几个问题:
(1）若代数式中省略了乘号、代入数值后应添上“×"号;
(2）若代入的值是负数或分数时，应添上括号;
（3）注意解题格式规范，应写成“当……时,原式=……"的形式；
（4)代数式的字母可取不同的值，但所取的值不应该使所在的代数式或实际问题无意义。

2、正确理解单项式的有关概念
(1)单项式的定义
数与字母的乘积组成的代数式为单项式,单独一个数或一个字母也是单项式，如6,a都是单项式.因此,单项式只能含有乘法以及以数字为除数的除法运算,不能含有加减运算，更不能含有以字母为除式的除法运算。

(2)单项式的系数
单项式中的数字因数叫单项式的系数，如－2xy2的系数为－2。

单项式的系数为1或－1时，通常省略不写,但“－"号不能省略.如1ab写成ab，－1ab写成—ab.
（3）单项式的次数
一个单项式，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如5x2y4的次数为6（2＋4=6）.一个单项式的次数是几，我们习惯上又称作这个单项式是几次单项式。

如5x2y4是六次单项式。

单项式中字母的指数为1时，1省略不写，但计算单项式次数时不能丢掉，或误认为是0。

如5xy2的次数是1＋2=3，而不是2。

3、理解并掌握多项式的有关概念
（1)多项式的意义
几个单项式的和叫做多项式。

多项式中含有加减运算，也可以含有乘方，乘除运算,但不能含有以字母
为除式的除法运算，如不是多项式。

（2）多项式的项
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 .其中，不含字母的项,叫做常数项.常数项在多项式中次数最
低.多项式有几项，我们习惯上又称为“几项式”，如是二项式.
（3）多项式的次数
多项式中，次数最高项的次数叫做多项式的次数 .如x2＋1－3x4的次数是4。

因x2＋1－3x4是由单项式x2，1,－3x4三项组成的。

因此,x2＋1－3x4又可称作“四次三项式".
4、多项式的排列
(1)升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做多项式按这个字母的升幂排列. (2)降幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做多项式按这个字母的降幂排列。

5、整式的意义
单项式与多项式统称为整式 .整式中不能含有以字母为除式的除法运算.
三、例题剖析
例1、已知|a＋2|＋(b＋3）2=0，求代数式3ab＋2ab2－4a2b的值。

例2、（1）已知3x2－2y＋5=7，求9x2－6y－3的值。

（2）已知值.
例3、已知x=－2时，代数式ax3＋bx＋1的值为6。

那么当 x=2时，代数式ax3＋bx＋1的值为多少？例4、若2x n y4与是关于x、y的六次单项式，并且系数相等,求m n的值.
例5、回答下列问题：
（1）如果(m＋1）2x3y n－1是关于x、y的六次单项式，则m、n应满足什么条件？
（2）如果2x n＋（m－1)x＋1为三次二项式，求m2－n2的值.
（3）若多项式x2＋2(k－1）xy＋y2－k不含xy的值，求k的值.
例6、把多项式重新排列：
(1）按字母a的升幂排列；
(2）按字母b的降幂排列。

例7、已知多项式是六次四项式，单项式3x2n y5－m与该多项式的次数相同,求m、n的值及将它们的和按字母x降幂排列.。