一元多项式 环的扩张定理
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一元多项式环的扩张定理
一元多项式环的扩张定理是数学中的一个定理，它描述了如何通过添加一个新的元素，使原本的一元多项式环扩张成为一个更大的环。
该定理是代数学中重要的工具，被广泛应
用于代数几何学、数论、代数编码理论等领域。
一元多项式环指的是所有次数小于等于n的多项式组成的集合，其中n为一个正整数
并且不含变量x的任意幂。
具体来说，一个一元多项式环可以表示为P<sub>n</sub>[x]，其中P<sub>n</sub>是一个包含n个元素的多项式环。
该环的加法和乘法定义如下：
- 加法：f(x) + g(x) = h(x)，其中h(x)是次数小于等于n的多项式，且h(x)的系数为f(x)和g(x)对应项的系数之和。
- 乘法：f(x) × g(x) = h(x)，其中h(x)是次数小于等于2n的多项式。
现在假设我们向P<sub>n</sub>[x]中添加一个新的元素a，那么我们得到的新集合可
以表示为P<sub>n</sub>[x, a]。
这个新集合上的加法和乘法也分别可以这样定义：
然而，我们希望确保新集合P<sub>n</sub>[x, a]是一个环，也就是说，集合中的元
素满足环的基本性质，包括结合律、交换律、分配律等等。
在这种情况下，一元多项式环的扩张定理告诉我们，如果a是一个代数元，也就是说，a满足某个多项式方程f(a) = 0（其中f(x)是P<sub>n</sub>[x]中的一个多项式），那么P<sub>n</sub>[x, a]就是一个环。
具体来说，这个定理包含如下两个步骤：
定理1：如果a是一个代数元，那么存在一个次数小于等于n的多项式f(x)使得f(a) = 0。
证明：假设f(a) ≠ 0，那么我们可以将f(a)表示为一个关于a的分式p(a)/q(a)，其中p(x)和q(x)是P<sub>n</sub>[x]中的多项式，且q(a) ≠ 0。
由于p(a)和q(a)都是次
数小于等于n的多项式，因此它们的系数的乘积可以表示为关于a的多项式的线性组合，
这意味着存在一个次数小于等于n的多项式g(x)，使得p(a)q(x) - p(x)q(a) = q(a)g(x)。
因此，我们可以得到f(x) = q(x)g(x) - p(x)，其中f(x)是满足f(a) = 0的多项式。
定理2：如果a是一个代数元，那么P<sub>n</sub>[x, a]是一个环。