北师版九年级数学下册第一章1.4.2解直角三角形的八种常见类型

类型
Ⅱ.如图②，当∠BAC 为锐角，AB＝AC 时，在 Rt△ ABD 中， ∵BD＝1，tan ∠ABD＝ 3， ∴AD＝ 3，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2－ 3.
Ⅲ .如图③，当 BC＝AC 时，∵tan∠ABD＝ 3，∴∠ABD＝60°.在 Rt△ ABD 中，∠A＝90°－∠ABD＝30°.∵BC＝AC，∴∠CBA＝∠A＝30°.
(2)若a＝4，求b及∠B的值． b＝tana A＝tan 460°＝433，∠B＝90°－ ∠A＝30°.
类型
3．【中考·岳阳】某太阳能热水器的横截面示意图如图所
示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，
且 OB ＝ OD ， 支 架 CD 与 水 平 线 AE 垂 直 ， ∠ BAC ＝
∴∠BCD＝60°.在 Rt△ BCD 中，BD＝1，∠BCD＝60°，tan∠BCD＝BCDD，
∴C1D＝tan60°＝
3.∴CD＝
3 3.
综上所述，CD 的长为 2＋
3或 2－
3或
3 3.
类型
6．如 图 ， 已 知△ABC是等腰 直角三角形 ，∠ ABC＝ 90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD，BD， 过点D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E. (1)若△ABD是等边三角形，求DE的长；
解：∵tan A＝ab＝ 3，∴∠A＝60°， ∴∠B＝30°.∴c＝2b＝12 5.
类型
(2)a＝10 3，b＝10.
解：∵tan A＝ab＝ 3，∴∠A＝60°， ∴∠B＝30°.∴c＝2b＝20.
类型
2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠A， ∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)若c＝10，求a，b的值； 解：a＝c·sinA＝10·sin 60°＝5 3，b＝ c·cos A＝10·cos 60°＝5；
类型
解：∵△ABD 是等边三角形，AB＝10. ∴AD＝AB＝10.∵DH⊥AB，∴AH＝12AB＝5. ∴DH＝ AD2－AH2＝ 102－52＝5 3. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°. ∴∠AEH＝45°，∴EH＝AH＝5. ∴DE＝DH－EH＝5 3－5.
类型
(2)若 BD＝AB，且 tan∠HDB＝34，求 DE 的长．
类型
设 CD＝x，则 DB＝6－x.在 Rt△ ABD 中，AD2＝AB2－DB2， 在 Rt△ ACD 中，AD2＝AC2－CD2，∴AB2－DB2＝AC2－CD2.
∵AB＝4，AC＝5，∴42－(6－x)2＝52－x2，解得 x＝145.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
15
∴在 Rt△ ACD 中，cos
∠ACB＝CADC＝
∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.
(1)求支架CD的长； 解：在 Rt△ CDE 中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm， ∴CD＝DE·cos 30°＝80× 23＝40 3(cm)． 故支架 CD 的长为 40 3 cm.
类型
(2)求真空热水管AB的长(结果保留根号)．
解：在 Rt△ OAC 中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，
解：∵DH⊥AB 且 tan ∠HDB＝34， ∴可设 BH＝3k(k>0)，则 DH＝4k，DB＝5k. ∵BD＝AB＝10，∴5k＝10，解得 k＝2. ∴DH＝8，BH＝6，∴AH＝4. 又易知 EH＝AH＝4，∴DE＝DH－EH＝4.
类型
7．如图，在△ABC中，AD，CE是高，AB＝4，
AC＝5，BC＝6，求cos∠DEB． 解：∵AD，CE 是△ ABC 的高，∴∠ADB ＝∠CEB＝90°. ∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB， ∴BBDE＝BBAC，即BBDA＝BBEC. ∵∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC. ∴∠ACB＝∠DEB.
类型
4．【中考·上海】如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°， D 是边 AB 的中点，BE⊥CD 交 CD 的延长线于点 E.已知 AC＝15，cosA＝35.求： (1)线段CD的长； 解：在 Rt△ ACB 中，cos A＝AACB＝35，
即A15B＝35，解得 AB＝25，∵D 是边 AB
类型
5．已知 BD 为等腰三角形 ABC 的腰 AC 上的高，BD ＝1，tan∠ABD＝ 3，求 CD 的长． 解：分三种情况： Ⅰ.如图①，当∠BAC 为钝角，AB＝AC 时， 在 Rt△ ABD 中， ∵BD＝1，tan ∠ABD＝ 3， ∴AD＝ 3，AB＝2， ∴AC＝2，∴CD＝2＋ 3.
的中点，∴CD＝A2B＝225.
类型
(2)sin∠DBE的值．
解 ： 由 (1)可 得
AD
＝
BD
＝
CD
＝
25 2
，
由
勾
股
定
理
知
CB ＝
AB2－AC2 ＝ 20. 设 DE ＝ x ， EB ＝ y(x>0 ， y>0) ， 则
yx2＋＋x2225＝2＋6245y2，＝400，解得xy＝＝1722，. ∴sin ∠DBE＝DBDE＝275.
BS版九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形 第2课时 解直角三角形的八种常见类型
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1．在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的 对边分别为 a，b，c.根据下列条件解直角三角形． (1)a＝6 15，b＝6 5；
4 5
＝34.
∵∠ACB＝∠DEB，∴cos ∠DEB＝34.
类型
8．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿 BE折叠得△BFE，点F落在边AD上． (1)求证：△ABF∽△DFE.
证明：由题意可得∠A＝∠D＝∠C＝∠BFE ＝90°，∴∠ABF＝90°－∠AFB，∠DFE＝ 180°－∠BFE－∠AFB＝90°－∠AFB. ∴∠ABF＝∠DFE.∴△ABF∽△DFE.
∴OC＝AC·tan 30°＝165× 33＝55 3(cm)，OA＝coAs3C0°＝
165 3
＝
110
3 (cm) ． ∴ OD ＝ OC － CD ＝ 55
3 － 40
3＝
2
15 3(cm)．∴AB＝OA－OB＝OA－OD＝110 3－15 3
＝95 3(cm)．故真空热水管 AB 的长为 95 3 cm.