数学堂课因“生成”而精彩

数学堂课因“生成”而精彩
摘要】课堂教学是一个动态生成的过程，只要让学生真正地动起来，教师无法
预知整个课堂的全部细节.因此，实际课堂教学中，难免会发生诸多意外，生成是
不可避免的.生成中出现的新问题、新见解，甚至新错误，都是学生思维活动的真
实状态，对教师来说，至少可以为教师提供宝贵的信息资源，使得教师能及时地
获得第一手资讯，来调整自己的教学.
【关键词】预设；生成
中图分类号：G626.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2019）03-046-
02
一、问题提出
可误主义的数学观认为：数学知识是可以纠正的且永远要接受更正．数学知
识是被创造、被发现的。

庞加莱．他用“内省法”对数学创造发明活动进行了心理
分析。

在他的论文《数学上的创造》中，提出“个体在数学活动中产生错误的原
因过程。

他认为：在数学定理的构造时，直觉和逻辑、无意识和有意识是相互作
用和相互结合的。

因此，数学的课堂教学应当在教师精心预设的前提下，让学生
在已有的经验基础上，通过彼此间的合作、交流，充分的展示课堂的“生成”。

下
面以余弦定理的证明片段为例加以说明。

二、案例重现
2.1 预案设计
引例：在中，已知角，及边、表示。

通过作高线我们可以推导出余弦定理，但讨论起来有点麻烦，大家有没有其
它方法推导呢？（如果学生想不出来就直接问：用向量法能不能推导呢？或者直
接问：能否将的向量关系转化为数向关系呢？）
2.2 预案设计的证明思路：
移项：，两边平方得：，即：，从而得到余弦定理。

设计意图：追求简洁是学习数学的目标，作高线的方法讨论起来比较麻烦，
所以问还有没有其它的推导方法就显得很自然，但向量法几乎是学生想不到的，
学生稍作思考，如果还想不出来就让教师直接提示，这样做可以节省一些无效思
考的时间，最生推导完成后再问：为什么我们会想不到向量法呢？在什么样的情
况下我们可以用向量法呢？通过反思，可以弥补学生想不到用向量法推导余弦定
理的遗憾。

最后有两个例子，巩固余弦定理。

2.3案例教学过程
通过作高线我们可以推导出余弦定理，但讨论起来有点麻烦，大家有没有其
它方法推导呢？（2分钟后仍无人回答的出来）从这个三角形中我们可以找到这
样的一个等量关系，能否将这条向量关系转化为数向关系呢？
学生1：移项：，两边平方得：。

即：
我非常满意学生1的回答，很可能他是看了课本的，及时给予了表扬。

学生
1的想法符合我原先的预想，这个证明方法到这里可以告一段落，收到预期的目的。

为此，我进行思路的整理，要使向量数量化只要两边平方就可以了，大家还
有别的想法吗？谁知，我这么不经意一问，有好几位同学举手了，只能调整预设。

2.3.1节外生枝
学生2：我直接将两边平方但得到的不是余弦定理。

师：那你得到的什么结论？
学生2：
，所以
，即
（教材课后习题）。

师：很不错，这么漂亮的结论都被你发现了。

（我的话音刚落，学生3举手
向我示意，表示有不同的看法。

）
学生3：两边随便点乘边所对应的向量能都将向量数量化（如：），得
，所以，即。

点乘边所对应的其它向量也可以得到类似的结论。

师：太棒了!这个结论在数学上我们把它称作“射影定理”。

教室里有同学在点头，表示赞赏.真想不到将向量数量化，从不同的角度出发
境有这么多的结论，领会数学之妙。

2.3.2树欲静而风不止
讨论到此，已经严重偏离了本节课的预设，我想回到本节课的预设上来，但
这时又有学生提出了问题，我只能放弃预设。

学生4：我从这里得到了正弦定理，两边点乘其他的高对应的向量，例如边
上的高所对应的向量，得，所以，即。

教室里响起了掌声，大家都认为这几个同学很有想法，我也有点心虚，备课
有些不充分。

师：老师以为用向量法证明正弦定理会有点难度，没想到这位同学都证出来了，实在是高手啊。

以上几位同学在同一个目标下，从不同的角度入手，得到了
不同的结果，体会到了正、余弦定理的内在联系，可谓是仁者见仁，智者见智啊！
师：大家回过头来看看，我们为什么会想到用向量去证明呢？（在一片讨论
的声音中结束了本节课）。

三、教学思考
建构主义的数学教学观认为，学习是学习者主动的建构活动，而不是对知识
的被动接受。

回顾这次意料之外的的课堂教学，教师从“调整预设”到“放弃预设”。

作为教师，应以学生为主体，充分发挥学生的课堂主动权，根据学生的思维活动
与问题的价值取向灵活地调整教学，使精心的预设和即时的生成和谐统一。

虽然
本节课预先准备的教学内容没有完成，但学生对解三角形的工具理解却更加深刻，这也是一个成功之处。

3.1捕捉“不期而遇”的资源，让课堂因“生成”而精彩
课堂千变万化，当学生的想法超出你的预设时，教师要善于捕捉学生在学习、思考过程中产生的学习需要以及创造的学习资源，有效地利用资源，调整数学学
习活动，课堂也一样精彩。

正如本案例中，学生提出将向量数量化有不同的思路时，教师给他发言的机会，得到了意想不到的结论，通过教师的积极评价与鼓励，学生深受鼓舞，思维
状态活跃起来，一时间议论纷纷.教师发现，这个问题有研讨价值，就立刻改变了
预设流程.整个学习过程，捕捉到“不期而遇”的资源，激活了学生的思维，迸发了
他们智慧的火花，学生们学得主动、学得深刻，虽然没有完成预设的教学任务，
但课堂也因“主动生成”变得更加丰富多彩。

3.2辩证的认识课堂中的预设与生成
（1）预设是生成的前提，生成是预设的超越发展。

没有预设，许多教师会张
口结舌、不知所云。

课堂会失去科学性、完整性、逻辑性，也就不会有教学；更
不可能产生有效的生成，教师的精心预设，应该为学生的精彩生成创造条件。

没
有生成，课堂将程序化、沉闷化、“填鸭”化、“一言堂”化.课堂将压抑学生创造性
思维、个性化解读、求异性辩难。

（2）课堂教学是一个动态生成的过程，只要让学生真正地动起来，教师无法预知整个课堂的全部细节。

因此，实际课堂教学中，难免会发生诸多意外，生成
是不可避免的。

（3）预设体现对文本的尊重，生成体现对学生的尊重；预设体现教学的计划性和封闭性，生成体现教学的动态和开放生；预设发挥了教师的主导性，生成体
现了学生的主体性。

因此，预设与生成两者具有互补性。

3.3构建和谐的课堂文化氛围
数学课堂文化应当是一种基于“在活动、实践基础上通过交往促进学生主体性
发展”这一思路之上的教学文化.在这种文化氛围中，师生之间的关系是和谐的；
学生的学习方式是积极的、主动的；思维活动是灵活的、创新的.建设和谐的文化
交流环境，由单向信息传递的师生授受关系转变为多向信息交流的师生交往关系；追求教师的教与学生的学的统一，这种统一的实质是交往，是一种双边乃至多边
的交往形式，是一种对话、一种沟通。

从本节课中我们可以看出学生能主动参与问题的解决，教师很好把握住时机
和学生展开交流对话，并放弃原先的预设，而采用民主平等的方式与学生交流，
让探究氛围更加和谐。

课堂语言比较精练，采用鼓励、尊重的话语，关注更多的
学生，构建民主、生态、和谐的文化氛围.在探究的过程中，教师能够提供数学资
源和方法，对学生指导时机恰当，效果较好。

四、结束语
著名教育家苏霍姆林斯基说过：“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节，而是在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中作出相应的变动.”
对于教学过程中的“生成”，教师要充分发挥自己的机智和课堂驾驭能力，把它转
化成一种积极的教学资源，让学生学会知识、学会学习、学会创新。

参考文献
[1]兑松杰.正、余弦定理的证明[J].中学生数理化(高中版·学研版). 2011 (04).
[2]黄汉禹.对正弦定理和余弦定理的研讨[J].数学通报. 2011 (06).
[3]甘志国.正、余弦定理及其应用[J].数学教学通讯. 2011 (29).。