河南省巩义市2020届高三下学期6月高考模拟考试试题 数学理【含解析】

河南省巩义市2020届高三下学期6月高考模拟考试试题 数学理【含
解析】
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合{}1,0,1A =-，2
{1}B x x =< ，则A
B =（ ）
A. {}1,1-
B. {}1,0,1-
C. {}
11x x -≤≤
D. {}
1x x ≤
【答案】C 【解析】
集合{}1,0,1A =-，{}
2
1{|11}B x x x x =<=-<<
所以{}
11A B x x ⋃=-≤≤. 故选C.
2. 若复数z 满足(1)3z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. 3 B. 3i
C. 3-
D. 3i -
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的四则运算，计算得到23z i =-，进而得到共轭复数z 的虚部. 【详解】因为3(1)3123i
z i i z i i
+-=+⇒=+=-， 所以23z i =+，所以其虚部为3. 故选A.
【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的虚部概念，考查对概念的理解与应用，属于基础题.
3. 已知角(02)ααπ≤<终边上一点的坐标为77sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，则α=（ ）
A. 56
π
B. 76
π C.
43
π D.
53
π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角函数的定义求tan α，结合角的范围写出角即可. 【详解】由诱导公式知，71sin
sin sin 6662ππππ⎛
⎫=+=-=- ⎪⎝
⎭， 73cos
cos cos 666ππππ⎛
⎫=+=-= ⎪⎝
⎭， 所以角(02)ααπ≤<终边上一点的坐标为13,22⎛-- ⎝⎭
， 故角的终边在第三象限， 所以tan 3α= 由02απ≤<知，43
π
α=. 故选：C .
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题.
4. 各项均不相等的等差数列{}n a 的前5项的和55S =-，且3a ，4a ，6a 成等比数列，则7a =（ ）． A. 14- B. 5-
C. 4-
D. 1-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等差数列的求和公式及通项公式，解方程即可求出. 【详解】因为55S =-， 所以154
552
a d ⨯+
=-， 即121a d +=-，
因为3a ，4a ，6a 成等比数列，
所以2
436()a a a =，
即2
(1)1(13)d d -+=-⨯-+，
解得1d =-或0d =（数列各项不相等，舍去）， 所以734145a a d =+=--=-， 故选：B
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题.
5. 已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ） A. 在α内存在直线与直线l 异面 B. 在α内存在直线与直线l 相交 C. 在α内存在直线与直线l 平行 D. 存在过直线l 的平面与α平行 【答案】A 【解析】 【分析】
利用M 、N 是不在α内的任意两点，可得直线l 与平面α平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.
【详解】M 、N 是不在α内的任意两点，则直线l 与平面α平行或相交， 若l 与平面α平行，则在α内不存在直线与直线l 相交，所以B 错误： 若直线l 与平面α相交，则不存在过直线l 的平面与α平行，所以D 错误： 若直线l 与平面α相交，则在α内都不存在直线与直线l 平行，所以C 错误； 不论直线l 与平面α平行还是相交.在α内都存在直线与直线l 异面，所以A 正确. 故选：A .
【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.
6. 某几何体三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A. 163
π
B. 3
π C.
29
π D.
169
π
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三视图可得该几何体是圆锥的一部分，结合三视图的数据，即可求解. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知： 该几何体的底面是圆心角为
2
3
π的扇形，高是4的圆锥体． 底面面积14433
S ππ=
⨯=， 所以其体积14164339
V ππ=⨯⨯=． 故选：D.
【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，由三视图还原出直观图是解题的关键，属于基础题．
7. 设a 、b 、c 依次表示函数()12
1f x x x =-+，()1
2
log 1g x x x =-+，()112x
h x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）． A. a b c << B. c b a <<
C. a c b <<
D. b c a <<
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意可知，1
2
12
1,log ,()2
x
y x y x y ===的图象与1y x =-的图象的交点的横坐标依次为,,a b c ，作图
可求解.
【详解】依题意可得，12
12
1,log ,()2
x
y x y x y ===的图象与1y x =-的图象交点的横坐标为,,a b c ，
作出图象如图：
由图象可知，b c a <<， 故选：D
【点睛】本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于中档题. 8. 若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：2020127a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足
()()2f x f x +=-且()x f x e =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫
+= ⎪+⎝⎭
（ ）
A. e
B. 2e
C. 1e -
D. 9e
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据等差数列和等比数列的定义，可得1010101127a a +=，101010112b b =，即可求出
10101011
10101011
91a a b b +=+；
又()()2f x f x +=-，所以函数()f x 的最小正周期为4，由此根据题意即可求出()9f ，进而求出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，且2020127a a +=，所以1010101127a a +=； 又{}n b 为等比数列，且120202b b ⋅=，所以101010112b b =，所以
101010111010101127
913
a a
b b +==+；
又()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的最小正周期为4， 又()x
f x e =，[]0,2x ∈
所以 ()()()92411f f f e =⨯+==，即10101011101010111a a f e b b ⎛⎫
+= ⎪+⎝
⎭.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，同时考查了函数的周期性，属于基础题. 9. 有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（ ）． A.
4
7
B.
37
C. 27
D.
17
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出基本事件总数38
56n C ==，取出的编号互不相同包含的基本事件个数111864
3
3
32c c c m A ==,由此能求出取出的编号互不相同的概率.
【详解】有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个,
基本事件总数3
856n C ==，
取出的编号互不相包含的基本事件个数111864
3
3
32c c c m A ==， 则取出的编号互不相同的概率是324567
m p n ===， 故选：A
【点睛】本题主要考查了概率的求法，查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.
10. 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，与圆222
x y a +=相切的直线1
PF 交双曲线C 于点P （P 在第一象限），且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）． A.
10
3
B.
53
C.
32
D.
54
【答案】B 【解析】 【分析】
先设PF 1与圆相切于点M ,利用|PF 2|= |F 1F 2|,及直线PF 1与圆x 2 + y 2 = a 2相切，可得a ，c 之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值.
【详解】设PF 1与圆相切于点M ,如图，
因为212PF F F =，
所以12PF F △为等腰三角形，N 为1PF 的中点， 所以111
4
F M PF =
， 又因为在直角1F MO 中，2
2
22211
F M FO a c a =-=-， 所以111
4
F M b PF ==
①， 又12222PF PF a c a =+=+ ②，
222c a b =+ ③，
由①②③可得2
2
2
2c a c a +⎛⎫-= ⎪
⎝⎭
， 即为4()c a c a -=+， 即35c a =， 解得53
c e a =
=， 故选：B
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，属于中档题. 11. 已知函数()1sin cos ,4f x x x x ωωω⎛⎫
=+>
∈ ⎪⎝⎭
R ，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
，则ω的取值范围是（ ）． A. 15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 1
,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 15,44⎛⎤
⎥⎝⎦
D. 1,24⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】A
【解析】 【分析】 化简函数为()2)4
f x x π
ω=
+，由题意利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求得ω的取值范围.
【详解】因为()sin cos 2)4f x x x x πωωω=+=
+ 1,4x ω⎛⎫
>∈ ⎪⎝⎭
R ，
若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
, 则1222ππ
πω⋅-， 即1
24
ω<≤， 由4
2
x k π
π
ωπ+
=+
得对称轴方程为
4,k x k Z π
πω
+=
∈,
所以42k π
ππω+
≤且(1)4k π
ππω++
≥，k Z ∈， 解得15
2,24
k k k Z ω+≤≤+∈,
当0k =时，15
24ω≤≤，满足124
ω<≤，
故ω的取值范围是15
24
ω≤≤，
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题.
12. 对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为
k 倍值函数.若()2x
f x e x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是（ ）
A. ()1,e ++∞
B. ()2,e ++∞
C. 1,e e ⎛⎫+
+∞ ⎪⎝⎭
D. ,e e 2⎛
⎫+
+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
可看出()y f x =在定义域R 内单调递增，可得出,a b 是方程2x e x kx +=的两个不同根，从而得出
2x e k x =+，通过求导，求出2x
e x
+的值域，进而可得到k 的范围．
【详解】解：()y f x =在定义域R 内单调递增，
(),()f a ka f b kb ∴==，
即2,2a
b
e a ka e b kb +=+=，
即,a b 是方程2x e x kx +=的两个不同根，
∴2x
e k x
=+，
设2
(1)()2,()x x e e x g x g x x x
'
-=+=， ∴01x <<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>， ∴1x =是()g x 的极小值点，
()g x ∴的极小值为：(1)2g e =+，
又x 趋向0时，()g x 趋向+∞；x 趋向+∞时，()g x 趋向+∞，
2k e ∴>+时，y k =和()y g x =的图象有两个交点，方程2x
e k x
=+有两个解，
∴实数k 的取值范围是()2,e ++∞． 故选B ．
【点睛】本题考查了对k 倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）
13. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有5个车次正点率为0.97，有10个车次的正点率为0.98，有5个车次正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______. 【答案】0.98 【解析】 【分析】
先求得总车次，再利用平均正点率求解. 【详解】因为总车次：5+10+5=20 所以平均正点率：
50.97100.9850.99
0.9820
⨯+⨯+⨯=
则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98 故答案为：0.98
【点睛】本题主要考查了样本估计总体，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14. 已知函数()ln()f x a x =+在()()
0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围为_________. 【答案】[2,1]e + 【解析】 【分析】 因为1()f x a x
'=
+，可得1
(0)1f a '==，即1a =，所以()ln(1)f x x =+，()f x 是(1,)-+∞上的增函数，
结合已知，即可求得答案. 【详解】
1
()f x a x
'=+， 1
(0)1f a
'∴=
=， 1a ，
∴()ln(1)f x x =+，()f x 是(1,)-+∞上的增函数，
又
()00f =，(1)ln(11)1f e e -=-+=，
∴021x e ≤-≤-，
21x e ∴≤≤+.即[2,1]e +
故答案为：[2,1]e +
【点睛】本题主要考查了根据切线方程求参数和解函数不等式，解题关键是掌握导数求切线方程的方法和导数判断函数单调的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
15. 焦点为F 的抛物线2
:4C x y =的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则PA
PF
的最大值为______．
【答案】2 【解析】 【分析】
根据抛物线定义转化为||
||PA MP 取最大值，利用三角函数知直线AP 倾斜角最小时，即直线与抛物线相切时，
||
||
PA MP 取最大值，联立方程利用判别式为0即可求解. 【详解】根据题意，过P 做PM 与准线垂直，垂足为M ，如图：
设PAM θ∠=
则||||1
|||si |n PA PA PF MP θ
== 若
||
||
PA PF 取得最大值，必有sin θ取得最小值，则θ取得最小值， 此时AP 与抛物线相切， 设直线AP 的方程为1y kx =-，
联立241
x y y kx ⎧=⎨=-⎩，
消去y 得：2440x kx -+= 由216160k ∆=-=， 解得：1k =或1k =-，
取tan 1k θ==来计算，0θπ≤<知，4
π
θ=
，
所以|| || PA PF
的最大值为
2
2
2
=
，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线相切，直线的倾斜角、斜率，属于中档题.
16. 已知四面体ABCD，2
AD=，ABC为边长为3的等边三角形，若顶点A在平面BCD的投影是BCD的垂心，则四面体ABCD的体积为________.
【答案】
3
4
【解析】
【分析】
由E是BCD的垂心，可证明DB DC
=，,
DH BC CG DB
⊥⊥，进一步证明AC DB
⊥，进一步证明D在平面ABC的射影是ABC的中心，所以三棱锥D ABC
-是正三棱锥，其体积可求.
【详解】解：
作AE⊥平面BCD，垂足为E，E是BCD的垂心，
连结CE交BD于G，连结DE交CB于H，则DH BC
⊥，CG BD
⊥
因为=
AB CA，所以=
EB EC，所以H是BC边的中点，HD是BC边的垂直平分线，
所以DB DC
=，
BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AE BC
⊥，AE BD
⊥，
DH⊂平面ADH，AE⊂平面ADH，AE DH E
=
所以BC⊥平面ADH，AH⊂平面ADH，所以BC AH
⊥
BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADH，
在平面ADH内作DM AH
⊥，垂足M，平面ABC平面=
ADH AH，
所以DM ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以DM AC ⊥ 连结BM 交AC 于N
CG ⊂平面ACG ，AE ⊂平面ACG ，CG DB G =
所以BD ⊥平面ACG ，AC ⊂平面AGC ，所以AC DB ⊥，
DM ⊂平面DBN ，DB ⊂平面DBN ，DM
DB D =，
所以AC ⊥平面DBN ，
BN ⊂平面DBN ，所以AC BN ⊥，
由等边三角形的高线、中线、角平分线合一，
所以M 是ABC 的中心，所以三棱锥D ABC -是正三棱锥， 所以2DA DB DC ===，
33602AH =︒=
，232
1323
MA AH ==⨯=， 2222213DM AD AM =--，
21133
(3)3334
D ABC ABC V S DM -=⨯⨯==△，
故答案为：
3
4
【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥的几何结构特征，利用体积公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，中档题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （一）必做题：共60分.
17. 已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒. （1）若2a b =，求tan A 的值；
（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且1CD =，求ABC 的面积的最小值. 【答案】（1）3
tan A =（23【解析】 【分析】
（1）解法一：根据条件2a b =、120C =︒及正弦定理，化为角A 的等式，再由正弦差角公式，展开化简即可求得tan A 的值；解法二，根据余弦定理求得b 、c 的等量关系，即可再由余弦定理求得cos A ，结合同角三角函数关系式求得sin A ，进而求得tan A 的值.
（2）根据+=ACD
BCD
ABC
S
S
S
及三角形面积公式，代入即可得等式a b ab +=，结合基本不等式即可求
得ab 的最小值，进而得ABC 的面积的最小值.
【详解】（1）解法一：由2a b =及正弦定理知sin 2sin A B =， 则()sin 2sin 60A A =︒-， 则sin 3sin A A A =-，
得3
tan A =
解法二：∵222222
12cos 42272c a b ab C b b b b b ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
∴7c b =，
则222222cos 2277
b c a A bc b b +-===⨯⨯
∴2
43sin 1cos 177
A A --
， ∴sin 3
tan cos A A A =
=
.
（2）ACB ∠的平分线交AB 于点D ， 则+=ACD
BCD
ABC
S
S
S
，
∴111
sin 60sin 60sin120222
b a ab =︒︒+︒， 则a b ab +=，
由2a b ab ab +=≥
得4ab ≥，当且仅当a b =时等号成立， 则()min 134=32ABC S =△【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式及基本不等式的用法，属于基础题.
18. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1π
3
B BA ∠=
．
（Ⅰ）证明：11B C AC ⊥；
（Ⅱ）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为11A C 的中点，求1B C 与平面1AB M 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）226
13
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据等边三角形可知1B D AB ⊥，CD AB ⊥，可得AB ⊥平面1B CD ，进而可求1B C ⊥平面1ABC ，即可求证11B C AC ⊥；（Ⅱ）以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算即可.
【详解】证明：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ，1BC ．如图，
∵三棱柱的所有棱长均为2，1π3
B BA ∠=
， ∴ABC 和1ABB △是边长为2的等边三角形，且11B C BC ⊥． ∴1B D AB ⊥，CD AB ⊥．
∵1B D ，CD ⊂平面1B CD ，1⋂=B D CD D ， ∴AB ⊥平面1B CD ．
∵1B C ⊂平面1B CD ，∴1AB B C ⊥．
∵AB ，1BC ⊂平面1ABC ，1AB BC B =，
∴1B C ⊥平面1ABC ， ∴11B C AC ⊥．
（Ⅱ）∵平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线AB ，
由（Ⅰ）知1B D AB ⊥， ∴1B D ⊥平面ABC ．
则DB ，1DB ，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴， 建立空间直角坐标系．
则()0,0,0D ，()1,0,0A -，(13B ，()3,0C ，(13,3C -，(13A -
∵M 为11A C 的中点，∴33,322M ⎛- ⎝，
∴(13,3B C →
=-，(13AB →
=，13,322AM →
⎛=- ⎝，
设平面1AB M 的法向量为(),,n x y z =，
则130
13
302AB n x z AM n x y z ⎧⋅=+=⎪
⎨⋅=-+
+=⎪⎩
，取1z =，得()
3,3,1n →=--． 设1B C 与平面1AB M 所成的角为α，则114326
sin 13613
B C n
B C n
α→→
→
→
⋅=
=
=⋅⋅
∴1B C 与平面1AB M 226
．
【点睛】本题主要考查了线线、线面垂直的判定与性质，线面角的向量求法，考查了空间想象力及运算能力，属于中档题.
19. 点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是常数12
． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为
32
-． （ⅰ）求直线BP 的斜率； （ⅱ）求ABP △面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）22
143
x y +=（Ⅱ）
（ⅰ）12（ⅱ）23 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用已知条件可得等式，化简可得曲线C 的轨迹方程;
（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --,利用点差法即可求解；
（ⅱ）由题意转化为2ABP OAP S S =△△，由弦长公式及点到直线的距离求出2ABP OAP S S =△△，利用二次函数求最值即可. 【详解】()
2
2
114
2
x y x -+=
-，两边平方并化简得223412x y +=， 即点M 的轨迹C 的方程为：22
143
x y +=．
（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --，满足22
11143
x y +=， ①
设点()22,P x y ，满足22
22
143
x y +=， ②
由①－②得：
()()()()1212121204
3
x x x x y y y y -+-++=，
∵12123
2AP y y k x x -=
-=--，1212
BP y y k x x +=+，
∴12121
2
BP y y k x x +=
=+．
（ⅱ）∵A ，B 关于原点对称， ∴2ABP OAP S S =△△，
设直线3:2AP y x m =-+，代入曲线22
:143
x y C +=化简得：223330x mx m -+-=，
设()11,A x y ，()22,P x y ，由>0∆得：2
12m <，12x x m +=，2123
3
m x x -=，
()
2
2
12121299
91141444
43
m AP x x x x x =+-=+
+-=+-
， 点O 到直线AP 的距离
914
m d =
+，
∴242
12244233
ABP OAP
m m S S AP d m m ==⨯⨯⋅=-=-
△△， ∴()42221
461233
ABP
m S m m =-+=--+△，当26m =时，
∴ABP S △取到最大值23
【点睛】本题主要考查了椭圆的轨迹方程，点差法，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积，属于难题. 20. 某医药开发公司实验室有(
)*
n n N ∈瓶溶液，其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的
溶液检验出来，有如下两种方案： 方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；
方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +. (1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率； (2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤. 若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η. (i )若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =;
(ii )若1
4P 1e -=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值. 参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=
【答案】（1）310（2）（ⅰ）()1
*11n
P n n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
N （ii ）8
【解析】 【分析】
（1）对可能的情况分类：<1>前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，<2>前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i )根据()()E E ξη=，找到P 与n 的函数关系；(ii )根据
()()E E ξη>得到关于n 的不等式式，构造函数解决问题.
【详解】解：（1）记所求事件为A ，“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”为事件B ，“前三次均不含有细菌R ”为事件C ， 则A B
C =，且,B C 互斥，
所以1113
223333
55113
()()()51010
A A A A P A P
B P
C A A =+=+=+= （2）()()i E n ξ=，
η的取值为1,1n +，
(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--，
所以()(1)(1)1(1)1(1)n n n
E P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，
由()()E E ξη=得1(1)n
n n n P =+--，
所以()1
*
11n
P n n ⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
N ；
（ii ）14
1P e
-=-,所以4
()1n E n n e
η-
=+-⋅，
所以4
(1)n n n e n -
+-⋅<，所以ln 0,4
n
n -
> 设()ln (0)4
x
f x x x =-
>， 114()44x
f x x x
-'=-=，
当(0,4)x ∈时，()0,()f x f x '
>在(0,4)上单调递增； 当(4,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<在(4,)+∞上单调递减 又9
(8)ln820,(9)ln 904
f f =->=-<， 所以n 的最大值为8
【点睛】本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记.. 21. 已知函数2()2ln f x x ax x =-+． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x （12x x ＜），若()12f x mx >恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）(],3-∞-． 【解析】 【分析】
（1）求出导函数()222
()0x ax f x x x
-+'=>，令()222p x x ax =-+，利用判别式讨论a 的取值范围，结合
导数与函数单调性的关系即可求解.
（2）根据题意可得12,x x 是方程2220x ax -+=的两个不等正实根，由（1）知4a >，利用韦达定理得
121=x x ，且1201x x <<<，然后分离参数只需
()12
f x m x >恒成立，
2231111
1111
2
1
()222ln 22ln 1f x x x x x x x x x x --+==--+，从而令3()22ln h t t t t t =--+，利用导数求出()h t 的最小值即可求解.
【详解】（1）因为2
()2ln f x x ax x =-+，
所以()222()0x ax f x x x
-+'=>．
令()2
22p x x ax =-+，216a ∆=-，
当0∆≤即44a -≤≤时，()0p x ≥，即()0f x '≥， 所以函数()f x 单调递增区间为()0,∞+．
当>0∆即4a 或4a >时，22121616a a a a x x --+-==． 若4a ，则120x x ＜＜，所以()0p x >，即()0f x '>，
所以函数()f x 单调递增区间为()0,∞+．
若4a >，则210x x >>，由()0f x '>，即()0p x ＞得10,x x <<或2x x >；
由()0f x '<，即()0p x ＜得12x x x <<．
所以函数()f x 的单调递增区间为()()120,,,x x +∞；单调递减区间为()12,x x ．
综上，当4a ≤时，函数()f x 单调递增区间为()0,∞+；
当4a >时，函数()f x 的单调递增区间为()()120,,,x x +∞，单调递减区间为()12,x x ．
（2）由（1）得()222()0x ax f x x x
-+'=>， 若()f x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 是方程2220x ax -+=的两个不等正实根，
由（1）知4a >．则12122,12
a x x x x +=>=，故1201x x <<<， 要使()12f x mx >恒成立，只需
()
12f x m x >恒成立． 因为22231111111111122
1
()2ln 222ln 22ln 1f x x ax x x x x x x x x x x x -+--+===--+， 令3()22ln h t t t t t =--+，则2()32ln h t t t '=-+，
当01t <<时，()0h t '＜，()h t 为减函数，所以()(1)3h t h >=-．
由题意，要使()12f x mx >恒成立，只需满足3m ≤-．
所以实数m 的取值范围(],3-∞-．
【点睛】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性．．
（二）选做题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方
程为2 4cos 4sin 12ρρθρθ+-=，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=-+⎧⎨
=+⎩(t 为参数).点P 为曲线E 上的动点，点Q 为线段OP 的中点.
（1）求点Q 的轨迹(曲线C )的直角坐标方程；
（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，点(1,2)M -恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程.
【答案】（1）22223x y x y ++-=；（2）30x y -+=或10x y +-=.
【解析】
【分析】
（1）设点Q ，P 的极坐标分别为( ,)ρθ，00( ,)ρθ，由题意可得2
2cos 2sin 3ρρθρθ+-=，由极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得解；
（2）直线参数方程代入曲线C 的方程得22
(cos )(1sin )5t t αα++=，化简后利用韦达定理结合题意即可得解.
【详解】（1）设点Q ，P 的极坐标分别为( ,)ρθ，00( ,)ρθ，
则2000004cos 4sin 12ρρθρθ+-=且02ρρ=，0θθ=， 所以2(2)4(2)cos 4(2)sin 12ρρθρθ+⋅-⋅=，
所以点Q 轨迹的极坐标方程为22cos 2sin 3ρρθρθ+-=，
故Q 轨迹的直角坐标方程为22
223x y x y ++-=；
（2）由（1）得曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)5x y ++-=，
将直线参数方程代入曲线C 的方程得22(cos )(1sin )5t t αα++=，
即22sin 40t t α+-=，>0∆，
由点(1,2)M -恰好为线段AB 的三等分点，不妨设方程两根为,2t t -， 所以22sin 24t t t t α-+=-⎧⎨-⋅=-⎩，即22sin 2
t t α=-⎧⎨=⎩，所以2211sin cos 22αα=⇒=， 又sin α与cos α在一、三象限同号，二、四象限异号，
所以直线的斜率tan 1k α==±，又直线过(1,2)M -，
故直线的普通方程为30x y -+=或10x y +-=.
【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了参数方程t 的几何意义的应用，属于中档
题.
23. 已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>．
（Ⅰ）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；
（Ⅱ）若()f x 的值域为[)2,+∞，证明：111211a b ab
++≥++． 【答案】（Ⅰ）{}02x x <<．（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）分区间讨论去掉绝对值号即可求解；
（Ⅱ）根据绝对值不等式可得2a b +=，变形()()114a b +++=，利用基本不等式即可求证.
【详解】（Ⅰ）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，
当1x <-时，不等式化为2223
x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；
当1≥x 时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<． 综上可知，不等式的解集为{}
02x x <<．
（Ⅱ）()f x x a x b a b =-++≥+，
∵()f x 的值域为[)2,+∞，且0a >，0b >，故2a b +=． 故()()11111111111411a b a b ab a b ab ⎛⎫++=+++++⎡⎤ ⎪⎣
⎦++++⎝⎭ 11112411b a a b ab ++⎛⎫=
+++ ⎪++⎝⎭ 2111222112411b a a b a b ⎛++⎛⎫≥+⋅+=+= ⎪ +++⎝
⎭⎝（当且仅当1a b ==时取等号）． 【点睛】本题主要考查了分类讨论解不等式，基本不等式的运用，属于中档题.。