天津市和平区2018届高三二模数学(理科)试题及答案

天津市和平区2018届高三二模
数学（理科）试题
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知全集，，，则集合等于
A. B. C. D.
2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输出的，则判断框内可填入
A. ？
B. ？
C. ？
D. ？
4.设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.已知抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于B，C两点，A为
双曲线的右顶点，O为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
6.已知是定义在R上的函数，它的图象上任意一点处的切线方程为
，那么函数的单调递减区间为
A. B. C. D.
7.如图，在平行四边形ABCD中，已知，，G为线段EF上的一点，且，
，则的值为
A. B. C. D.
8.已知定义在R上的奇函数，当时，，则关于x的方程
的实根的个数为
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9.设i是虚数单位，则复数的虚部为______．
10.在中，，，的面积，则BC边长为______．
11.在极坐标系中，直线l：，M为圆上的任意一点，设点M到直线l
的距离为d，则d的最大值为______．
12.如图，已知正四面体的棱长为6，则它的内切球的体积为______．
13.已知，，则的最小值为______．
14.从0，1，2，3，4，5，6，7这八个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成
没有重复数字的四位数，则可组成的四位数中奇数的个数为______用数学
作答．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期及单调递减区间；
Ⅱ将函数的图象向左平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，且，求的值．
16.甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的
概率依次为、、甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为．
Ⅰ设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件A、事件B、事件C发生的概率；
Ⅱ设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，求X的分布列与数学期望．
17.如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，M为
AB的中点，平面ABCD，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面所成角的正弦值；
Ⅲ若N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18.已知数列满足条件，，且，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，为数列的前n项和，求证：．
19.已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，
过椭圆的右焦点的动直线l与椭圆交于A、B两点．
求椭圆的方程；
Ⅱ若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D，与直线l交于N，当时，求直线l的斜率
的取值范围；
Ⅲ在椭圆上是否存在定点M，使得对任意斜率等于且与椭圆交于P、Q两点的直线、Q两点均不
在x轴上，都满足其中为直线PM的斜率，为直线QM的斜率？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20.已知函数，其中，且．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ若恒成立，求a的取值范围；
Ⅲ若存在，，使得，求证：．
天津市和平区2018届高三二模理数试题（解析版）
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
21.已知全集，，，则集合等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：全集，，，
或，
则，
故选：D．
求出A与B的并集，根据全集，求出并集的补集即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
22.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图，
由知，，
所以动直线的纵截距z取得最大值时，目标函数取
得最大值．
由得
结合可行域可知当动直线经过点时，
目标函数取得最大值．
故选：B．
先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线的最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
23.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输出的，则判断框内可填入
A. ？
B. ？
C. ？
D. ？
【答案】B
【解析】解：模拟程序的运行，可得
，
执行循环体，，
不满足判断框内的条件，执行循环体，，
不满足判断框内的条件，执行循环体，，
不满足判断框内的条件，执行循环体，
不满足判断框内的条件，执行循环体，，
不满足判断框内的条件，执行循环体，，
由题意，此时应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为55，
可得判断框内的条件应该为？．
故选：B．
根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出，确定跳出循环的k的值，从而得判断框的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题．
24.设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解：设，则，则是增函数，
当时，，
此时成立，
即“”是“”的充要条件，
故选：C．
构造函数，求出函数的导数判断函数的单调性，结合函数充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性的性质进行转化判断是解决本题的关键．
25.已知抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于B，C两点，A为
双曲线的右顶点，O为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：抛物线的准线为，
代入双曲线可得
，
即有，，
由，可得
，
由，
可得，
，
即有，
则双曲线的渐近线方程为，
即为，
故选：C．
先求出抛物线的准线方程，再代入双曲线的方程，可得B，C的坐标，再得到，根据斜率公式得到，再根据渐近线方程，即可得到结论．
本题考查了抛物线的准线方程和双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于中档题．
26.已知是定义在R上的函数，它的图象上任意一点处的切线方程为
，那么函数的单调递减区间为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：因为函数，上任一点的切线方程为
，
即函数在任一点的切线斜率为，
即知任一点的导数为，
由，得，即函数的单调递减区间是．
故选：A．
由切线方程，可知任一点的导数为，然后由，可求单调递减区间．
本题的考点是利用导数研究函数的单调性，先由切线方程得到切线斜率，进而得到函数的导数，然后解导数不等式，是解决本题的关键．
27.如图，在平行四边形ABCD中，已知，，G为线段EF上的一点，且，
，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图，
，
又，
，，
则．
故选：D．
利用向量的加减法法则把用，表示，结合求得，的值，则答案可求．
本题考查平面向量基本定理的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
28.已知定义在R上的奇函数，当时，，则关于x的方程
的实根的个数为
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】B
【解析】解：设，则关于x的方程
，等价，
解得或，
当时，，此时不满足方程．
若，则，
即
，
若，则，
即，
作出当时，的图象如图：
当时，对应4个交点．
函数是奇函数，
当时，由，
可得当时，，此时函数图象对应3个交点，
综上共有7个交点，即方程有7个根，
故选：B．
先设，求出方程的解，利用函数的奇偶性作出函数在时的图象，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
29.设i是虚数单位，则复数的虚部为______．
【答案】
【解析】解：．
复数的虚部为．
故答案为：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
30.在中，，，的面积，则BC边长为______．
【答案】
【解析】解：，，可得：，
的面积，解得：，
由余弦定理可得：．
故答案为：．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式可求AC的值，进而根据余弦定理可求BC的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
31.在极坐标系中，直线l：，M为圆上的任意一点，设点M到直线l
的距离为d，则d的最大值为______．
【答案】
【解析】解：直线l：，化为：．
由可得：，配方为：．
设．
设点M到直线l的距离为d，则当且仅当
时取等号．
故答案为：．
直线l：，化为：由可得：，配方为：设再利用点到直线的距离公式、三角函数的单调性即可得出．
本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
32.如图，已知正四面体的棱长为6，则它的内切球的体积为______．
【答案】
【解析】解：设正四面体为PABC，内接和外接球的两球球心重合，设为O．
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，底
面ABC，且，，正四面体PABC内切球的高．
设正四面体PABC底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积而正四面体PABC体积
根据前面的分析，，
所以，，
所以，，
由题意，正四面体的棱长为6，带入以上推论：
所以，
所以，
即内切球半径
内接球的体积．
由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设内接球半径为x，利用勾股定理求出x的值，可求内接球的体积本题考查球的内接多面体的知识，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题
33.已知，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】解：，，．
则
，当且仅当，，即，时取等号．
故答案为：．
，，可得代入
，再利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
34.从0，1，2，3，4，5，6，7这八个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，则
可组成的四位数中奇数的个数为______用数学作答．
【答案】360
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
，选出的2个偶数中不含有0，
在2、4、6中任选2个数，有种选法，在1、3、5、7中任选2个数字，有种选法，
选出的2个奇数中任选1个，作为个位数字，有2种情况，
将选出的3个数字全排列，安排在前3个数位，有种排法，
则此时有种取法，
，选出的2个偶数中含有0，
在2、4、6中任选1个数，有种选法，在1、3、5、7中任选2个数字，有种选法，
选出的2个奇数中任选1个，作为个位数字，有2种情况，
0不能在首位，则0有2种安排方法，
将剩下的2个数字全排列，安排在剩下的2个数位，有种排法，
则此时有种取法，
则一共有种不同的情况，即可以组成360个四位奇数；
故答案为：360．
根据题意，分2种情况讨论：，选出的2个偶数中不含有0，，选出的2个偶数中不含有0，利用分步计数原理分别求出每一种情况的四位奇数的个数，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，注意要先选取，再排列．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
35.已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期及单调递减区间；
Ⅱ将函数的图象向左平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，且，求的值．
【答案】解：函数．
化简
Ⅰ函数的最小正周期；
令，．
得：
函数的单调递减区间为，．
Ⅱ函数的图象向左平移个单位，可得；再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到，
即，
可得，
，
则，
那么：．
【解析】Ⅰ利用诱导公式，二倍角、辅助角公式化简即可求函数的最小正周期及单调递减区间；
Ⅱ根据三角函数的平移变化规律求解，通过，且，利用三角恒等式公式化简即可求的值．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的公式化简函数的解析式是解决本题的关键要求熟练掌握公式的变形应用属于中档题．
36.甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的
概率依次为、、甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为．
Ⅰ设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件A、事件B、事件C发生的概
率；
Ⅱ设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】解：Ⅰ甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为、、．
甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；
乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；
丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为．
设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，
事件A发生的概率，
B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，
事件B发生的概率，
C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，
事件C发生的概率．
Ⅱ设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
数学期望．
【解析】Ⅰ利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出结果．
Ⅱ设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
37.如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，M为
AB的中点，平面ABCD，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面所成角的正弦值；
Ⅲ若N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】证明：Ⅰ连接，为四棱柱，
，
又M为AB的中点，
，，，
为平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
解：Ⅱ作于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，
为z轴建立空间坐标系，
则0，，，0，，，
，
0，，，
，
设平面的法向量，
则，取，得2，．
设平面的法向量y，，
则，取，得，
设平面与平面所成角为，
则，
．
平面与平面所成角的正弦值为．
Ⅲ为的中点，0，，
，，0，，
设平面的法向量b，，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则．
直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】Ⅰ连接，易证为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得平面；Ⅱ作于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，为z轴建立空间坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成角的正弦值．
Ⅲ求出和平面的法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．
38.已知数列满足条件，，且，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，为数列的前n项和，求证：．
【答案】解：Ⅰ根据题意，数列满足，．当n为奇数时，，
又由，则，
当n为偶数时，，
又由，则，
则是奇数
是偶数
，
Ⅱ证明：设，则；
则，
则有，
可得：，
变形可得：，
若证明则需要证明，
即证明，
即证明，
显然成立；
故有．
【解析】Ⅰ根据题意，由数列的递推公式，分n为奇数、n为偶数2种情况讨论，分析与的关系，综合即可得答案；
Ⅱ根据题意，由Ⅰ的结论，分析可得，利用错位相减法分析可得，据此用分析法证明即可得结论．
本题考查数列的求和以及数列的递推公式，关键是求出数列的通项公式．
39.已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，
过椭圆的右焦点的动直线l与椭圆交于A、B两点．
求椭圆的方程；
Ⅱ若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D，与直线l交于N，当时，求直线l的斜率的取值范围；
Ⅲ在椭圆上是否存在定点M，使得对任意斜率等于且与椭圆交于P、Q两点的直线、Q两点均不
在x轴上，都满足其中为直线PM的斜率，为直线QM的斜率？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：椭圆的离心率为，可得，
椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，可得，
又，解得，，，
则椭圆方程为；
Ⅱ设，，中点，
设直线AB：，
代入椭圆方程，
可得，
即有，，
可得中点，
AB的垂直平分线的方程为，
可得，
弦长
，
，
由，可得，
解得直线l的斜率范围是或；
Ⅲ在椭圆上假设存在定点M，满足题意，
可取直线PQ的方程为，代入椭圆方程，
可得，，
设，可得，
化简可得，
又，
解得或，
下面证明任意斜率为的直线与椭圆交于，，
设直线方程为，
代入椭圆方程可得，
可得，，
先考虑，
可得
，
同理可得，也有成立．
综上可得，椭圆上存在定点或，
使得成立．
【解析】运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，c，即可得到所求椭圆方程；
Ⅱ设，，中点，设直线AB：，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式、弦长公式和不等式的解法，即可得到所求斜率范围；
Ⅲ在椭圆上假设存在定点M，满足题意，可取直线PQ的方程为，代入椭圆方程解得交点P，Q，可得直线PM和直线QM的斜率，再由椭圆方程可得M的坐标；下面证明任意斜率为的直线与椭圆交于，，
设直线方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理即可得到定点M成立．
本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的运用，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，直线的斜率公式，考查存在性问题解法，注意先取特殊直线求得定点，再验证，考查化简整理的运算能力，属于难题．
40.已知函数，其中，且．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ若恒成立，求a的取值范围；
Ⅲ若存在，，使得，求证：．
【答案】解：Ⅰ定义域为，
其导数，
当时，，函数在上是增函数；
当时，在区间上，；在区间上，，
在区间上是增函数，在是减函数；
Ⅱ当时，则x取适当的数能使，比如取，
能使，
不合题意；
当时，令，则，
问题化为求恒成立时a的取值范围．
由于，
在区间上，；在区间上，，
的最小值为，所以只需，
即，，
；
Ⅲ证明：由于存在两个异号实根，，，，
构造函数：，，
，
，
在为减函数，又，
，
，，
，
．
【解析】Ⅰ先求导数，研究导函数的函数值，通过导数大于0从而确定出函数的单调递增区间即可，求单调递增区间必须注意函数的定义域；
Ⅱ讨论，取，证明不合题意；，令，求出导数和单调区间，可得所求
范围；
Ⅲ设，求得导数，判断符号，然后利用单调性，问题得以证明．
本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．。