数学(理科)试题参考答案及评分标准

2010 年广州市高三年级调研测试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法
供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变
该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题
5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9
10．1- 11. ①②③ 12．34
13. ()(),01,-∞+∞
14．50 15．()1,1- 简答或提示：
7．解1：设圆心为2,
(0)a a a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，则r =≥=1a =时等号成立.当r 最小时，圆的面积2
S r π=最小，此时圆的方程为2
2
(1)(2)5x y -+-=，选A .
解2：画图可得，当直线20x y m ++=与曲线2
(0)y x x
=
>相切时，以切点为圆心，切点到直线210x y ++=的距离为半径的圆为所求.设切点为000(,)(0)P x y x >，因为22
'y x =-，所以
2
22x -
=-，解得001,2x y ==
，r =22
(1)(2)5x y -+-=为所求，选A . 8．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．设2010a 位于第n 组，由(1)(1)
201022
n n n n -+
<<，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第6362
2010572
⨯-
=项，故20107
57
a =
，选B ．
12．2
20
1
21
32()4(2)P A x x dx ⨯⨯==-+⎰
． 14．由FP BC ⊥，FQ AC ⊥，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以CQP CFP B ∠=∠=∠
()180A C =-∠+∠()180607050=-+=．
15．即求直线20x y -+=与抛物线段2
y x =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）
（1）解：
依题意得，(cos 3,sin AB OB OA θθ=-=-，……………………………2分 所以(
)(2
2
2
cos 3sin AB
θθ=-+
136cos 13θ
θ=-+=，……………………………………………………4分
3cos θθ
=．
因为cos 0θ≠，所以tan θ=． ……………………………………………………………6分 （2）解：由02
π
θ≤≤，得6
AOB π
θ∠=+
． ………………………………………………8分
所以1
sin 2
AOB S OA OB
AOB ∆=
∠ 11sin 266ππθθ⎛⎫⎛
⎫=⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，…………………………………10分
所以当3
πθ=
时，△AOB …………………………………………12分
（1）解：ξ的所有可能取值为0，1，2．………………………………………………………1分
依题意，得3436C 1(0)C 5P ξ===， 214236C C 3(1)C 5P ξ===， 12
42
3
6C C 1(2)C 5
P ξ===． ∴ξ的分布列为
∴ 10121555
E ξ=⨯
+⨯+⨯=． ……………………………………………………………6分 （2）解法1：设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，
则()2536C 1C 2P A ==，()14
36C 1C 5
P AB ==， ……………………………………………………10分
∴()
()()2
5
P AB P B A P A =
=．
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为
2
5
．…………………………………12分 解法2：设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C ，
从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为2
5C 10=，…………………………8分 男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为1
4C 4=，……………………………………………10分
∴()142
5C 42
C 105
P C ===． 故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为2
5
．…………………………………12分
……………4分
方法1：
以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ． …………………………………………………………………1分 设0(1,,0)E y ()002y ≤≤．………………………………2分 （1）证明：
∵()101,,1D E y =-，()11,0,1A D =--． 则()()1101
,,11,0,10D E A D y =---=， ∴11D E A D ⊥，即1
1D E A D ⊥． ……………………………4分 （2）解：
当2AE =1D EC D --的平面角为
4
π
．…………………………5分 ∵0(1,2,0)EC y =--，()10,2,1D C =-， …………………………………………………6分 设平面1D EC 的法向量为1(,,)x y z =n ，
则10110
(2)0200EC x y y y z D C ⎧=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨
-==⎩
⎪⎩n n ， ………………………………………………………8分 取1y =，则()102,1,2y =-n 是平面1D EC 的一个法向量．…………………………………9分 而平面ECD 的一个法向量为()20,0,1=n ， ………………………………………………10分 要使二面角1D EC D --的平面角为4
π
，
则121212
cos
cos 4
2
π
=<>=
=
=
⋅n n n ,n
n n ，………………………12分 解得02y =()002y ≤≤．
∴当2AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为4
π
．………………………………14分
x
y
z
（1）证明：连结1AD ，在长方体1111ABCD A B C D -中，
∵BA ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，∴1A D AE ⊥．……………………………1分 ∵11AD AA ==，则四边形11ADD A 是正方形，∴11A D AD ⊥．…………………………2分
∵1AE
AD A =，∴1A D ⊥平面1AD E ．………3分
∵1D E ⊂平面1AD E ，∴11D E A D ⊥． …………4分
（2）解：
当2AE =-
时，二面角1D EC D --的平面角为6
π． …………………………………………………………5分 连结DE ，过D 作DH EC ⊥交EC 于点H ，连结1D H ．………………………………6分 在长方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，
∴1D D ⊥EC ．…………………………………………………………………………………7分 ∵1DH
D D D =，∴EC ⊥平面1D DH ．…………………………………………………8分
∵1D H ⊂平面1D DH ，∴EC ⊥1D H ．……………………………………………………9分 ∴1D HD ∠为二面角1D EC D --的平面角，即16
D HD π
∠=
．…………………………10分
设AE x =()02x ≤≤，则2EB x =-，进而
EC = ……………………11分 在△DEC 中，利用面积相等的关系有，EC DH CD AD ⨯=⨯， ∴
DH =
． ……………………………………………………………12分
在Rt △1D DH 中，∵16
D HD π
∠=
，∴1tan
6
D D
DH
π
=
． ………………………………13分
3
=
，解得23x =-()02x ≤
≤．
故当23AE =-
时，二面角1D EC D --的平面角为6
π
．………………………………14分
1
（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN =，(1,)NP x y =-，(1,)MP x y =+．……………2分 由||||MN NP MN MP ⋅=⋅，
得2(1)x =+，…………………………………………………………………4分 化简得2
4y x =．
所以动点P 的轨迹方程为2
4y x =．……………………………………………………………5分
（2）解：由点(),4A t 在轨迹24y x =上，则2
44t =，解得4t =，即()4,4A ． ………6分
当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22
(2)4x y +-=相离．………7分 当4m ≠时，直线AK 的方程为4
()4y x m m
=--，即4(4)40x m y m +--=，…………8分 圆心(0,2)到直线AK
的距离d =
令2d =
<，解得1m <；
令2d ==，解得1m =；
令2d =>，解得1m >．
综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22
(2)4x y +-=相交；
当1m =时，直线AK 与圆2
2
(2)4x y +-=相切；
当1m >时，直线AK 与圆2
2
(2)4x y +-=相离．…………………………………14分
（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-.…………………………………………1分 ∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立．……2分 即32x a ≥
在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立，……………………………………………………………………3分 332
1223
x <⨯=，∴1a ≥．故实数a 的取值范围为[)1,+∞．……………………………4分 （2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=-
⎪⎝⎭，令()'0f x =得2
03
x a =或．…………………………5分 ①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，
所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………………………6分 ②若302a <<
，即2
013
a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是 增函数，所以()()11h a f a ==-．……………………………………………………………7分 ③若
332a ≤<，即2123a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当2
23
a x <<时，()'0f x >．
∴()f x 在21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数．∴()324327h a f a a ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
．…8分
④若3a ≥，即
2
23
a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()f x 在区间[]1,2上是减函数． 所以()()284h a f a ==-．………………9分
综上()3
31,,
2
43
,
3,272
84, 3.
a a h a a a a a ⎧
-<⎪⎪
⎪=-≤<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
…………10分 （3）解：由题意()12h a m a ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛
⎫
=+
⎪⎝⎭
有两个 不同的交点．……………………………………………11分 而直线12y m a ⎛⎫=+
⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
，由右图知实数m 的取值范围是()4,1--．……14分
1
（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．……………………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．…………………………………………………2分 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴
11n n a m
a m
-=+()2n ≥．…………………………………………3分 ∴数列}{
n a 是首项为1，公比为
1m
m
+的等比数列．………………………………………4分 （2）解：由（1）得，()m f q =1m
m
=+，1122b a ==． ………………………………5分
∵()1
11
1n n n n b b f b b ---==
+，…………………………………………………………………6分
∴
1111n n b b -=+，即1111
=--n n b b ()2n ≥．………………………………………………7分 ∴⎭
⎬
⎫⎩⎨
⎧n b 1是首项为1
2，公差为1的等差数列．………………………………………………8分 ∴
()11211122n n n b -=+-⋅=，即221
n b n =-（∈n N *
）．………………………………9分 （3）证明：由（2）知221n b n =
-，则()2
2
421n b n =-．…………………………………10分 所以2222123n n T b b b b =+++
+ ()
2
44
4
4925
21n =+
+++
-，………………………11分
当2n ≥时，
()
()2
4
411
222121n n n n n <
=----， ………………………………………12分
所以()
2
444
4925
21n T n =+
+++
-
411111
14923341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
401189
9218
n =+-<．…………………………………………………………………14分。