甘肃省兰化一中2018届高三下学期第二次模拟理数试卷 Word版含答案

兰化一中2018届高三第二次模拟考试卷
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． 1．[2018·保定调研]已知复数z 满足
i
i z z
+=，则z =（ ） A ．11i 22
+
B ．11i 22
-
C ．11i 22-+
D ．11i 22
--
2．[2018·集宁一中]
已知集合{|U x y ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则()=U A
B ð（ ）
A ．∅
B ．R
C ．{}|0x x >
D ．{}0
3．[2018·山东师大附中]设随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若
(4)(0)P X P X >=<，则μ=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．[2018·成都七中]当点()3,2P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A
B ．0
C ．1-
D ．1
此
卷
只
装订不
密封
级 姓名 准考证号 考场号 座位号
5．[2018·柳州模拟]函数()()1cos sin f x x x =+在[]π,π-上的图象的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．[2018·漳州调研]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（ ）
正（主）视图左视图
俯视图
A B ．C ．3
D ．7．[2018·凯里一中]公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A ．410190
-
B ．5101900
-
C ．510990
-
D ．4109900
-
8．[2018·赤峰期末]设0ω>，与原图象重合，则ω的最小值是（ ）
A ．2
3
B ．
43
C ．3
D ．32
9．[2018·宜昌一中]执行如图所示的程序框图，若输入1m =，3n =，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为（ ）
A ．1m n -<
B ．0.5m n -<
C ．0.2m n -<
D ．0.1m n -<
10．[2018·汕头期末]（e 为自然对数的底数），若()0
f x >在()0,+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(),2-∞
B ．(),e -∞
C D 11．[2018·定州中学]设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数
x ，y 有()()()f xy f x f y =+，已知112f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若一个各项均为正数的数列{}
n a 满足()()()()
*11n n n f S f a f a n =++-∈N ，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列
{}n a 中第18项18a =（ ）
A ．
136
B ．9
C ．18
D ．36
12．[2018·佛山质检]双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，
焦距2c ，以右顶点A 为圆心的圆与直线:0l x c -+=相切于点N ，设l 与C 交点为P ，Q ，若点N 恰为线段PQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）
A
B C ．2
D ．第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2018·寻乌中学]已知平面向量a，b的夹角
，1
=
b
，则．
14．[2018·潜江城南中学]已知实数x，y满足条件
1,
4,
20,
x y
x y
x y
--
+
-
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
≥
≤
≤
若存在实数a使得函数(0)
z ax y a
=+<取到最大值()
z a的解有无数个，则a=_________．
15．[2018·赤峰期末]在直三棱柱
111
ABC A B C
-中，底面为等腰直角三角形，2
AB BC
==，
1
1
AA=，若E、F、D分别是棱AB、CB、
11
A C的中点，则下列四个命题：
①
1
B E FD
⊥；
②三棱锥
1
A BCC
-的外接球的表面积为9π；
③三棱锥
1
B DEF
-的体积为
1
3
；
④直线
1
C E与平面ABC
其中正确的命题有__________．（把所有正确命题的序号填在答题卡上）16．[2018·曲阜模拟]已知函数
，若函数()()3
F x f x
=-的所有零点依次记为
123123
,
,,,...
n n
x x x x x x x x
<<<<，则1231
222
n n
x x x x x
-
+++++=
__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．
17．[2018·集宁一中]在ABC
△中，角A，B
，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin sin sin sin sin
C B a A b B c C
=+-．
（1）求角C 的大小；
（2）若()cos cos 22a B b k A π⎛⎫
-=π+ ⎪⎝⎭
（k ∈Z ）且2a =，求ABC △的面积．
18．[2018·德化一中]2017年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施，其中市区公交站点重新布局和建设作为重点项目．市政府相关部门根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”．调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图．相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60，80）内认定为满意，不低于80分认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于75％即可启用该“方案”；④用样本的频率代替概率．
（1）从该市800万人的市民中随机抽取5人，求恰有2人非常满意该“方案”的概率；并根据所学统计学知识判断该市是否启用该“方案”，说明理由．
（2）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占1
3
，现从评分低于60分的被
调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中抽取3人担任群众督查员，记ξ为群众督查员中的老人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望
E ξ．
19．[2018·凯里一中]如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，
36AD BC ==，PB =M 在线段AD 上，且4MD =，AD AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ．
（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；
（2）当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值．
20．[2018·顺德调研]已知四边形ABCD 的四个顶点在椭圆C ：2
213
x y +=上，对角
线AC 所在直线的斜率为1-，且AB AD =，CB CD =． （1）当点B 为椭圆C 的上顶点时，求AC 所在直线方程； （2）求四边形ABCD 面积的最大值．
21．[2018·菏泽九校]已知函数()()()ln f x x x ax a =-∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值；
（2）设()()21g x ax a x a =--+，若对任意的()1,x ∈+∞，都有()()0f x g x +>，求整数a 的最大值．
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．[2018·邢台期末]选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
12cos
2sin
x
y
θ
θ
=+
=
⎧
⎨
⎩
，（θ为参数），以
坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
()cos sin (0)m m ρθθ+=>．
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点．且6OA OM ON ⋅⋅=，求m ．
23．[2018·安庆一中]选修4－5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =--+． （1）求函数()f x 的最大值；
（2）若x ∀∈R ，都有m 的取值范围．
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A
【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由已知有i i z z +=，()1i i a b b a ++=-+，所以
1a b b a =-+=⎧⎨
⎩，解得121
2a b ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩
，所以11i 22z =-，故11i 22z =+，选A ． 2．【答案】C
【解析】由题意得U =R ，{}|0A x x =>，因为20x y =-<，所以{|0}B y y =<，所以{|0}U B x x =≥ð，故(){}|0U A B x x =>ð，故选C ．
3．【答案】B
【解析】因为(4)(0)P X P X >=<，所以2μ=．故选：B ． 4．【答案】C
【解析】直线120mx y m -+-=过定点1(2)Q ，，所以点()3,2P 到直线
120mx y m -+-=的距离最大时，PQ 垂直直线，
1m ∴=-，选C ． 5．【答案】A
【解析】()()()1cos sin f x x x f x -=-+=-，所以()f x 是奇函数，故C 错误；
故D 错误；()222sin cos cos 2cos cos 1f x x x x x x '=-++=+-，
可以取到极值，所以A 正确．故选A ． 6．【答案】C
【解析】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AD 的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥11D MB C ，故通过计算可
得1111D C D B B C ===
，
1D M MC ==，13MB =，故最长棱的长度为3，故选C ．
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1
M
7．【答案】B
【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为
1
10
，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为
5
52
110011********* (101900110)
-⎛
⎫- ⎪-⎝⎭+++==
-，故选B ． 8．【答案】D
【解析】
k ∈Z
k ∈Z ，∵0ω>，∴ω的最小值是313
22
⨯=，故选D ． 9．【答案】B
【解析】由程序框图，得程序运行过程为：1m =，3n =，2x =，2230->，1m =，
2n =，1m n -=；1m =，2n =， 1.5x =，
21.530-<， 1.5m =，2n =，0.5m n -=；1.5m =，2n =， 1.75x =，21.7530->， 1.5m =， 1.75n =，0.25m n -=；因为输出的结果为 1.75x =，所以判断框内应填“0.5m n -<”．故选B ． 10．【答案】C
【解析】
()0,
+∞()0,+∞上恒成立，
0x >，
当02x <<时，()0g x '<，
()g x 单调递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．故当2x =时，(
)g x 取得
m
C ．
11．【答案】C
【解析】()f x 是定义域
在()0+∞，上的单调函数，数列{}n a 各项为正数，①当1n =时，可得11a =；
当2n ≥ ∴()()1110n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴110n n a a ---=，即11n n a a --=，∴数列{}n a 为等差数列，11a =，1d =；∴()111n a n n =+-⨯=，即n a n =，所以1818a =，故选C ． 12．【答案】C
【解析】由直线方程可得直线:0l x c +=过双曲线的左焦点，倾斜角为30︒，直线与圆相切，则：AN l ⊥，即1ANF △是直角三角形，结合1AF a c =+，可得：
)N y a c =
+，
联立直线:0l x c -+=与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的方程可得：
()
2
2
2
2
22
2
2
30b
a
y cy b c b a --+-=，则：122N y y y +==，
)a c +=，结合222b c a =-，整理可得：323340c ac a -+=，
据此可得关于离心率的方程：32340e e -+=，即()()2
120e e +-=，∵双曲线中
1e >，2e ∴=．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】2
填2．
14．【答案】1-
【解析】由约束条件画出可行域如下图，()1.5,2.5A ，84,33B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，()2,1C --，目标
函数可化为y ax z =-+，0k a =->1AC k =，取最大值即截距最大，且有无数个解，所以目标函数与边界重合，当1
2
k a =-=
，截距为最小值，不符，当1k a =-=时，符合．1a =-，max 1z =，填1-．
15．【答案】①②③
【解析】根据题意画出如图所示的直三棱柱111ABC A B C -：
其中，底面为等腰直角三角形，2AB BC ==，11AA =，E 、F 、D 分别是棱AB 、
CB 、11A C 的中点．对于①，取11A B 中点G ，连接EG ，BG 交1B E 于点O ，连接DG ． ∵E 为AB 中点，2AB =，11AA =，∴四边形1BEGB 为正方形，则1BG B E ⊥，
在111A B C △中，D ，G 分别为11A B ，11A C 的中点，则DG ∥11B C ，且111
2
DG B C =．
∵F 为BC 的中点，且BC ∥11B C ，∴BF ∥DG 且BF DG =， ∴四边形DFBG 为平行四边形，∴DF ∥BG ，∴1B E FD ⊥，故正确；
对于②，易得1BC =，则221459AB BC +=+=．∵22211819AC AC CC =+=+=，
∴22211AB BC AC += ∴三棱锥1A BCC -的外接球的球心在线段1AC 的中点处，则外接球的半径为3
2
，
∴三棱锥1A BCC -
对于③，易得1B D =EF =在Rt DGE △中，111
12
DG B C =
=，11EG AA ==，
DE ==DF =1B DEF -为正四面体，其
体积为111
323
V =⨯=，故正确；
对于④，直线1C E 在平面ABC 上的投影为直线CE ，则1CEC ∠为直线1C E 与平面
ABC 所成的角，在
1Rt C CE △中，1
1tan CC CEC CE
∠===
≠，故不正确．故答案为①②③． 16．【答案】445π
k ∈Z k ∈Z
1n -项构成以首项π为公差的等差数列，第1n -项所以
，解得31n =，
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．【答案】（1）6C π=
；（2）ABC S =△． 【解
析】（1）由
sin sin sin sin sin C B a A b B c
C =+-得：
222sin C a b c
=+-，
222
2a b c
C ab
+-=cos C
C =，
∴tan C =
，∴6C π=．·······6分
（2）由()cos cos 22a B b k A π⎛⎫
-=π+ ⎪⎝⎭
（k ∈Z ），得sin cos a B b A =，
由正弦定理得sin cos A A =，∴4
A π=． 根据正弦定理可得
2sin sin 4
6
c =
π
π，解得c =
∴(
)11sin 22246ABC S ac B A C ππ⎛⎫=
=⨯π--=+= ⎪⎝⎭
△····12分 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是
()1
0.0160.004105
+⨯=
， 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，
该人非常满意该项目的概率为1
5
，·······2分
现从中抽取5人恰有2
·4分
根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在
[]60,100的频率为：()0.0280.0300.0160.00410+++⨯0.780.75=>，根据相关规则
该市应启用该“方案”．·····6分
（2）因为评分低于60分的被调查者中，老年人占1
3
，又从被调查者中按年龄分层
抽取9人，
所以这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3·······7分
()033639C C 50C 21P ξ⋅===，()12
36
3
9
C C 151C 28P ξ⋅===， ()213639C C 32C 14P ξ⋅===，()3036
3
9C C 13C 84
P ξ⋅===．······
·11分 ξ的分布列为：
ξ的数学期望51531
0123121281484
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=．·
······12分 19．【答案】（1）见解析；（
2 【解析】（1）由6AD =，4DM =，可得2AM =， 易得四边形ABCM 是矩形，∴CM AD ⊥，·······1分
又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA CM ⊥，·······2分 又PA
AD A =，PA ，AD ⊂平面PAD ，∴CM ⊥平面PAD ，·
······4分 又CM ⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD ·······5分
（2）四棱锥P ABCD -的体积为()114
323
V AD BC AB PA AB PA =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅，
要使四棱锥P ABCD -的体积取最大值，只需AB PA ⋅取得最大值． 由条件可得22272PA AB PB +==， ∴722PA AB ⋅≥，即36PA AB ⋅≤，
当且仅当6PA AB ==时，PA AB ⋅取得最大值36．·······7分
分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A
xyz -．
则()6,0,0P ，()0,6,2C ，()0,0,6D ，()0,0,2M ，
()6,6,2PC =-，()6,0,6PD =-，()6,0,2PM =-，·······8分
设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由10n PC ⋅=，10n PD ⋅=可得
111116620
660x y z x z -++=⎧⎨
-+=⎩
，令13x =，可得()13,2,3n =，·······9分 同理可得平面PCM 的一个法向量为()21,0,3n =，·······10分 设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ1210n n n
n ⋅=
⋅ 由于平面PCM 与平面PCD ．·······12分 20．【答案】（1）1
2
y x =--；（2）3．
【解析】（1）因为AB AD =，CB CD =，所以对角线AC 垂直平分线段BD ． 因为直线AC 的斜率为1-，则直线BD 所在直线的斜率为1．
又因为()01B ，，则直线BD 所在直线方程为1y x =+．·······1分 由22331x y y x +==+⎧⎨⎩
，解得3122D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，·
······2分 则BD 中点P 的坐标为3144⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，·······3分
所以AC 所在直线方程为1
2
y x =--；·······4分
（2）设AC ，BD 所在直线方程分别为y x m =-+，y x n =+，
()11B x y ，，()22D x y ，，BD 中点()00P x y ，． 由2233x y y x n ⎧+=⎨=+⎩，得2246330x nx n ++-=， 令248120n ∆=->，得24n <，
1232n x x +=-，21233
4
n x x -=
·······6分 则
BD =
=
同理AC =
，·······8分
······9分
又因为120324x x x n +=
=-，所以BD 中点3144P n n ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，． 由点P 在直线AC 上，得2n m =-，
所以1
2
ABCD S AC BD =
=四边形·······11分
因为24n <，所以201m <≤，
所以当0m =时，四边形ABCD 的面积最大，最大面积为3．·······12分
21．【答案】（1
（2）3．
【解析】（1）当0a =时，()ln f x x x =，定义域为()0,+∞．
()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，可得·······2分
列表：
所以，函数()f x
·······5分
（2）由题意()()0f x g x +>对任意的()1,x ∈+∞恒成立， 可得()ln 10x x a x a --+>对任意的()1,x ∈+∞恒成立． 即ln 1
x x x
a x +<
-对任意的()1,x ∈+∞恒成立．()* 记()ln 1x x x
x x ϕ+=
-
·······6分 设()2ln t x x x =--
()t x 在()1,+∞是单调增函数， 又()31ln30t =-<，()42ln40t =->，且()t x 在[]3,4上的图象是不间断的， 所以，存在唯一的实数()03,4x ∈，使得()00t x =，·······8分 当01x x <<时，()0t x <，()0x ϕ'<，()x ϕ在()01,x 上递减； 当0x x >时，()0t x >，()0x ϕ'>，()x ϕ在()0,x +∞上递增． 所以当0x x =时，()x ϕ有极小值，即为最小值()000
00ln 1
x x x x x ϕ+=
-，·······10分
00ln 2x x =-，所以()000
000ln 1
x x x x x x ϕ+=
=-，
由()*知，0a x <，又()03,4x ∈，a ∈Z ，所以整数a 的最大值为3．·······12分 （二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．【答案】（1）22cos 30ρρθ--=；（2
）m = 【解析】（1）∵()2
214x y -+=，∴22230x y x +--=， 故曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=．·······5分 （
2）将代入cos sin m ρθρθ+=，
得m
ρ=．将代入22cos 30ρρθ--=，
得123ρρ=-，则·
3OM ON =
，则36
=，∴m =．·
······10分 23．【答案】（1）3；（28,3⎤⎡⎫+∞⎪⎥
⎢⎦⎣
⎭
． 【解析】（1所以()f x 的最大值是3．····5分
（2）x ∀∈R ，
，即21m -+ 当5m <-时，等价于()()21512m m ---+≥，解得 时，等价于()()21512m m --++≥，化简得6m -≤，无解；
当1
2
m >
时，等价于21512m m -++≥，解得m
综上，实数m 168,33
⎤⎡⎫
+∞⎪⎥
⎢⎦⎣⎭
·······10分。