最大公因式

性质3： 性质 ： 若 g ( x ) f ( x ) , h ( x ) f ( x ) , 又 ( g ( x ) , h ( x ) ) = 1, 则 g ( x) h ( x) f ( x). 证： gu + hv = 1, gfu + fhv = f
f = gg1 , f = hh1
代入上式即知 三、多个多项式的情况 定义4： 设 f1 ( x ) ,L , f n ( x ) ∈ F [ x ] , h ( x ) fi ( x ) , i = 1,L , n
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问题：1、如何求两个多项式的最大公因式？ 2、最大公因式是否唯一？ 则两对多项式 f ( x ) 与 g ( x ) ，g ( x )与 r ( x ) 有相同的 公因式和最大公因式。 证： 1、设 h ( x ) 是 f ( x ) , g ( x ) 的公因式 引理： 若 f ( x ) = g ( x ) q ( x ) + r ( x ) ,
第七章 多项式环
§7.3 最大公因式
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一、两个多项式的最大公因式 定义1： f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) ∈ F [ x ] , 若 h ( x) g ( x), h ( x) f ( x), 则 h ( x ) 是 f ( x ) , g ( x ) 的一个公因式。 例如 h = x − 1 是 f = x3 − x, g = x3 − x 2 − x + 1 的一个公因式。 定义2： 设 d ( x ) 是 f ( x ) , g ( x ) 的一个公因式。 若 f ( x ) , g ( x ) 的任一个公因式 h ( x ) 均有 h ( x ) d ( x ) , 则称 d ( x ) 是 f ( x ) , g ( x ) 的最大公因式。
( f , f ) = 1,
i j
i ≠ j , i, j = 1,L , n
则称 f1 , f 2 L , f n 两两互素。 性质7:
f1 , f 2 L , f n 互素
⇒
f1 , f 2 L , f n 两两互素。
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设 d1 ( x ) , d 2 ( x ) 都是 f ( x ) , g ( x ) 的最大公因式， 则有 d1 ( x ) d 2 ( x ) , d 2 ( x ) d1 ( x ) , d 2 ( x ) = c ⋅ d1 ( x ) 即两个最大公因式之间仅差一个零次因子。 若用 ( f ( x ) , g ( x ) ) 表示 f ( x ) , g ( x ) 中首项系数为1的 最大公因式，则 ( f ( x ) , g ( x ) ) 唯一确定。
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例1
设
( f ( x ) , g ( x ) ) ，和 u ( x ) , v ( x ) , 使 ( f ( x ) , g ( x )) = u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x )
求 解：（利用辗转相除法） 二、两个多项式互素 定义3： f ( x ) , g ( x ) ∈ F [ x ] , 若 ( f ( x ) , g ( x ) ) = 1, 则称 f ( x ) , g ( x ) 互素。 定理3： ( f ( x ) , g ( x ) ) = 1 的充要条件是存在 使
多项式互素的性质。 性质1： 若 性质 ： ( f ( x ) , h ( x ) ) = 1, ( g ( x ) , h ( x ) ) = 1, 则 ( f ( x ) g ( x ) , h ( x ) ) = 1.
证：
fu + hv = 1, fgu + hgv = g
d ( x) f ( x) g ( x), d ( x) h( x)
d ( x) = f ( x) u ( x) + g ( x) v ( x).
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证明： 1、若 f ( x ) = g ( x ) = 0, 则 f ( x ) , g ( x ) 的最大公因式是0。 显然有 d ( x ) = f ( x ) u ( x ) + g ( x ) v ( x ) , u ( x ) , v ( x ) 任意。 2、若 f ( x ) ≠ 0, g ( x ) = 0, 则 f ( x ) , g ( x ) 的最大公 因式是 f ( x ) = f ( x ) ⋅1 + g ( x ) v ( x ) . v ( x ) 任意。 3、若 f ( x ) ≠ 0, g ( x ) ≠ 0,
（*）
当进行到某一步时，余式为0。 例如 rk +1 ( x ) = 0, 则上一个式子的余式 rk ( x ) 就是 f ( x ) , g ( x ) 的最大公因式。
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由于余式的次数不断降低，而 g ( x ) 的次数是有限 的，故经过有限次辗转相除之后，必然有余式
2、设 d ( x ) 是 f ( x ) , g ( x ) 的最大公因式
⇒ d ( x ) 是 g ( x ) , r ( x ) 的公因式，
对 g ( x ) , r ( x ) 的任一公因式 m ( x )
⇒ m ( x ) 是 f ( x ) , g ( x ) 的公因式 ⇒ m ( x ) d ( x )
故 d ( x ) 是 g ( x ) , r ( x ) 的最大公因式。 反之同样成立。 由引理知，要求 f ( x ) , g ( x ) 的最大公因式可以 转化为求 g ( x ) 与 r ( x ) 的最大公因式。由于 ∂ ( r ( x )) < ∂ ( g ( x )) 根据这种思想，我们可以对
性质8: f1 , f 2 L , f n 两两互素
⇒ f1 , f 2 L , f n 互素。
注意： n ( n ≥ 2 ) 个多项式的最大公因式（互素） 不随数域的扩大而改变。
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g ( x ) = 3x3 + 10 x 2 + 2 x − 3.
f ( x ) = x 4 + 3x3 − x 2 − 4 x − 3,
u ( x ) , v ( x ) ∈ F [ x] , f ( x) u ( x) + g ( x) v ( x) = 1
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⇒ h ( x ) 是 g ( x ) , r ( x ) 的公因式。 反之，设 h ( x ) 是 g ( x ) , r ( x ) 的公因式 ⇒ h ( x ) 是 f ( x ) , g ( x ) 的公因式。
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f ( x ) , g ( x ) 进行如下的辗转相除：
f ( x ) = g ( x ) q1 ( x ) + r1 ( x ) , ∂ ( r1 ( x ) ) < ∂ ( g ( x ) ) , g ( x ) = r1 ( x ) q2 ( x ) + r2 ( x ) , ∂ ( r2 ( x ) ) < ∂ ( r1 ( x ) ) , r1 ( x ) = r2 ( x ) q3 ( x ) + r3 ( x ) , ∂ ( r3 ( x ) ) < ∂ ( r2 ( x ) ) , LLLLLLLL r ( x ) = r ( x ) q ( x ) + r ( x ) , ∂ ( r ( x ) ) < ∂ ( r ( x ) ) , k −1 k k k k −1 k −2 rk −1 ( x ) = rk ( x ) qk +1 ( x ) + 0, rk +1 ( x ) = 0.
d ( x) g ( x) ⇒ d ( x) = 1.
性质2： 性质 ：若 h ( x ) f ( x ) g ( x ) , 且 ( h ( x ) , f ( x ) ) = 1, 则 h ( x) g ( x ). 证：hu + fv = 1, hgu + fgv = g ⇒ h g.
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则由定理1知，经辗转相除后可求出它们的最 大公因式为 rk ( x ) 由（1.4.1）可求得 u ( x ) , v ( x ) 使
d ( x ) = rk ( x ) = f ( x ) u ( x ) + g ( x ) v ( x )
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则称 d ( x ) 是 f1 ( x ) ,L , f n ( x ) 的最大公因式。 用 ( f1 , f 2 L, f n ) 表示首一的最大公因式， 则 ( f1 , f 2 L , f n ) = ( ( f1 ,L , f n−1 ) , f n ) = d ( x ) 性质4: 若 ( f1 , f 2 L, f n ) = d , 则 ∃ u1 , u2 ,L , un ∈ F [ x ] , 使 f1u1 + f 2u2 + L + f n un = d 。 性质5: 若 ( f1 , f 2 L, f n ) = 1, 则称 f1 , f 2 L , f n 互素。 性质6: 若
例设
f1 = x 2 − 4 x + 3, f 2 = x 2 + 6 x + 8, f 3 = x 2 − 3 x − 10.
f1 , f 2 , f 3 互素，但 ( f 2 , f3 ) = x + 2。
又 f1 = x + 1, f 2 = 2 x + 2, f3 = 2互素，但 ( f1 , f 2 ) = x + 1
f1 ( x ) ,L , f n ( x ) 的公因式， 且这组多项式的任一公因式
则称 h ( x ) 是这组多项式的公因式， d ( x ) 是 若
都能整除 d ( x ) 。则称 d ( x ) 是 f1 ( x ) ,L , f n ( x ) 的最大公 因式。
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rk +1 ( x ) = 0,
于是得
f ( x ) 与g ( x )
定理1：
若两个多项式 f ( x ) , g ( x ) 经辗转相除
后得一系列等式（*），则
的最大公因式为 rk ( x ) 。 F [ x ] 中任意两个多项式 f ( x ) 与g ( x ) 定理2： 的最大公因式必存在，且若 d ( x ) 是 f ( x ) , g ( x ) 的最大公因式， 则必存在 u ( x ) , v ( x ) ∈ F [ x ] ，使