18个基础的圆锥曲线专题
圆锥曲线十大题型全归纳
目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题 (2)题型二动弦过定点的问题 (3)题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4)题型四共线向量问题 (5)题型五面积问题 (7)题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10)题型七直线问题 (14)题型八轨迹问题 (16)题型九对称问题 (19)题型十存在性问题 (21)圆锥曲线题型全归纳题型一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
题型二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。
题型四：共线向量问题1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.题型五：面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
高中数学素材：圆锥曲线知识点与公式
第1节 椭圆【知识梳理】1．椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(12122PF PF a F F +=>)，这个动点P 的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形．2．椭圆的标准方程与几何性质 3．椭圆的通径以及有关最值过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22b a ．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a c +，距离的最小值为a c −．[使用点到点的距离公式证明] 4．点与椭圆的位置关系对于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点00()P x y ，在椭圆内部，等价于2200221x y a b +<，点00()P x y ，在椭圆外部，等价于2200221x y a b+>．5．椭圆焦点三角形的面积为2tan2S b θ=⋅（θ为焦距对应的张角）1(0)F c −，，2(0F证明：设12,PF m PF n ==()()()()()()122222221222cos 2121cos 1sin 32F PF m n a b c m n mn mn S mn θθθ+==+−−= + = ，： 1222222sin cossin 22tan 1cos 22cos 2F PF S b b b θθθθθθ⇒=⋅=⋅=+ ．6．椭圆的切线（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00()P x y ，处的切线方程是00221x x y y a b+=； （2）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00()P x y ，，所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=； （3）椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++= 相切的条件是22222A a B b c +=.第二讲 双曲线【知识梳理】1．双曲线定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线．这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲1(0)F c −，，2(0)F c ，1(0)F c −，，F 2|2(F c c a b ==+12||2(F F c c =={y y a y a 或≤−≥轴和原点对称2．双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22ba ．3．点与双曲线的位置关系对于双曲线22221(0)x y a b a b −=>>，点00()P x y ，在双曲线内部，等价于2200221x y a b−>．点00()P x y ，在双曲线外部，等价于2200221x y a b −<结合线性规划的知识点来分析．4．双曲线常考性质性质一 双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c; [使用点到直线的距离公式即可证明]性质二 双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；证明 设11()P x y ，是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是0ay bx −=和0ay bx +=，点11()P x y ，和222a b c =． 5. 双曲线焦点三角形面积为2tan 2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）6. 双曲线的切线点00()M x y ，在双曲线22221x y a b−=(00)a b ，>>上，过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y y a b−=．若点00()M x y ，在双曲线22221x y a b −=(00)a b ，>>外，则点M 对应切点弦方程为00221x x y ya b −=第3节 抛物线【知识梳理】1．抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 22(0)y px p =>22(0)y px p =−>22(0)x py p =>22(0)x py p =−>0)，0y ≥，x R ∈0y ≤，x R ∈ 所以p 的值永远大于0．另外，焦半径使用定义即可证明．3．抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线22(0)y px p =>，由()2pA p ，，()2p B p −，，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ．4．弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：0p y k =证明（点差法）：设11()A x y ，，22()B x y ，为抛物线22(0)y px p =>上两点，则2112y px =，2222y px =作差得21211202y y p px x y y y −==−+,其中00()M x y ，是AB 中点．或者说，若设AB 的斜率为k ，则AB 中点纵坐标0py k=．[焦点在y 轴上的抛物线，同理]111||[||||][||||]||222MN AC BD AF BF AB =+=+=，90ANB ∠=°，故以AB 为直径的圆与准线l 相切．设E 是AF 的中点，则E 的坐标为11222p x y +（，），则点E 到y 轴的距离为12221AF p x d ＝+= 故以AF 为直径的圆与y 轴相切，同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.（2）在ACN △与AFN △中，||||||||AN AN AC AF ==，；在Rt ABN △中，NAM ANM ∠=∠90CAN ANM ACN AFN AFN ACN FN AB ∠=∠∠=∠=°⊥，△≌△，因为2()D p y F −＝，，1()C p y F −＝，，所以212+=0DF CF p y y =，所以FC FD ⊥．（3）设直线AB 的方程为2p x ty =+与抛物线22y px =联立得：22()2py p ty =+，即2220y pty p −−=，故212y y p =−，2221212224y y p x x p p ==． （4）11211122OA y y p k y x y p===，2222212122222OD y y py py pk p p p y y y ==−=−==−，则A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、C 三点共线．上述证明方式并非唯一，多种方法均可证明，不再赘述．6．抛物线的切线问题点00()M x y ，在抛物线22y px =(0)p >上，过点M 作抛物线的切线方程为00()y yp x x =+．点00()M x y ，在抛物线22y px =(0)p >外，过点M 对应切点弦方程为00()y yp x x =+． 点00()M x y ，在抛物线22x py =(0)p >内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过A B 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线00()x xp y y =+．第4节 焦长与焦半径体系【知识梳理—椭圆篇】1．焦半径公式设椭圆22221(00)x y a b a b +=>>，的右焦点为2(0)F c ，，11()A x y ，是椭圆上任意一点，则21212222121222221221212121222)1(2)(a cx x ac c b cx x a b a ax b c cx x y c x AF +−=++−−=−++−=+−=11cax a ex a=−=−．其中e 为椭圆的离心率，焦半径公式也可由第二定义快速得到2211()a AF e x a ex c=−=−,同理可以推出其他焦半径公式．焦点在y 轴上的椭圆和双曲线的时候，同理也可推出焦半径公式．总结：在椭圆和双曲线中，11()A x y ，到焦点的距离为1AF a ex =±（焦点在x 轴上） 1AF a ey =±（焦点在y 轴上）[长短记忆法：画图看长短来判断谁加谁减．] [口诀记忆法: 左加右减，上加下减，长正短负]焦半径范围：根据公式21AF a ex =−里面坐标x 1的范围，可得2AF 的范围为2a c AF a c −≤≤+． 2．焦点弦长公式椭圆焦点弦长公式．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，结合椭圆的焦点弦公式，过右焦点F的弦长为221212 ||()()2()a aMN e x e x a e x x c c =−+−=−+．3．椭圆焦长以及焦比问题焦长公式：A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 、2F 是左、右焦点，12AF F ∠为α，AB过1F ，c 是椭圆半焦距，则：（1）21||cos b AF a c α=−；（2）21||cos b BF a c α=+；（3）2222222222||cos sin ab ab AB a c b c αα==−+．图1-1-1证明 （1）如图1-1-1所示，12||||2AF AF a +=；12||||2BF BF a +=，故22||||||4AB AF BF a ++=； （2）设1||AF m =，1||BF n =，2||2AF a m =-，2||2BF a n =-，由余弦定理得 222(2)(2)2(2)cos m c a m m c α+--=⋅；整理得21||cos b AF a c α=-① 同理：222(2)(2)2(2)cos(180)n c a n n c α︒+--=⋅-；整理得21||cos b BF a c α=+②①+②得，则过焦点的弦长：2222222222||cos sin ab ab AB m n a c b c αα=+==-+③焦比定理 过椭圆22221x y a b +=的左焦点1F 的弦21||cos b AF a c α=−，21||cos b BF a c α=+，令11||||AF F B λ=，即221cos cos cos 1b b e ac a c λλαααλ-=⇒=-++④，代入焦长公式①可得21(1)||2b AF aλ+=⑤．推论 根据公式1cos 1e λαλ-=+，利用tan k α=把角度替换掉可以得到e =注意：1．整个焦长体系只需要记住上面~①⑤的公式，其他要熟悉推导，涉及到的面积问题记住是焦长当底即可；当直线过右焦点，或者上焦点、下焦点时，要熟悉此时的公式会如何变化，详见后面记忆方法处．2．学习焦长焦比体系要非常熟悉推导过程[定义+余弦定理+abc 的平方关系]，在处理解答题的时候，若用本模块公式到必须给出必要证明．3．公式1cos 1e λαλ-=+和21(1)||2b AF a λ+=这两个公式属于结论公式，一般用上能很快解题，所以在解小题的时候要优先考虑这两个公式．和角度相关优先想第一个，只和长度相关优先想第二个．4．焦长公式利用极坐标或第二定义都能更快证明，这个问题大家可以自己去掌握，解答题中的证明建议以余弦定理的方式为主；其他证法本文不在阐述，读者可以自己去掌握．[长短记忆法: 画图，看长短来记忆．当焦点在x 轴上的时候，焦长为2cos b a c α±，其中α为焦长所在直线的倾斜角或者其补角，为方便判断，一般选用锐角记为α．例如上图，如果记12AF F ∠为α,那么根据草图1||AF 为长边，则分母小即可得到21||cos b AF a c α=-,不管交于左右都是如此，交于y 轴的话需要把cos α换成sin α．焦比公式，如果1cos 1e λαλ-=+,λ为两个焦长之比，可以选=λ长短也可以=λ短长,但是公式里面要正负对齐，如果α选的是锐角，那么左侧是正的，右侧也要为正的，此时=λ长短;反之α选钝角，右侧=λ短长最后一个公式一样的，2(1)2b a λ+，代入的=λ长短算出来的就是长边，如果代入的=λ短长,算出来就是短边]1．双曲线焦长以及焦比问题周长问题：双曲线22221x y a b-=(00)a b ，>>，的两个焦点为1F 、2F ，弦AB 过左焦点1F （A 、B 都在左支上），||AB l =，则2ABF △的周长为42a l +（如图）图1-2-1 图1-2-2 图1-2-3 设A 是双曲线22221x y a b-=(00)a b ，>>上一点，设12AF F ∠为α，直线AB 过点1F ．(1)直线和渐近线平行时，此时1cos e α=． (2)当AB 交双曲线于一支时，则21cos b AF a c α=+；21cos b BF a c α=−．2222222222||cos sin ab ab AB a c b c αα==−+，22222||cos ab AB a c α=-，2221cos 01cos a c e αα->⇒<< 令11||||BF F A λ=，即221cos cos cos 1b b e a c a c λλαααλ-=⇒=-++，代入弦长公式可得21(1)||2b AF aλ+=． 当AB 交双曲线于两支时，21cos b AF a c α=+；21cos b BF a c α=−；22222||cos ab AB c a α=-，2221cos 0cos a c e αα-<⇒>（图1-2-3），令11||||BF F A λ=，221cos (1)cos cos 1b b e c a a c λλαλααλ+=⇒=>-+-，代入弦长公式可得21(1)||2b BF aλ-=．=λ长（其中）短 [总结：焦点在x 轴上的时候，直线和双曲线交于单支的时候，公式形式和椭圆完全一样； 直线和双曲线交于双支的时候，公式形式有所变化，具体参考上面书写] 因为双曲线的部分考题会涉及渐近线，不过焦点的时候要注意，注意鉴别．1．||||1cos 1cos p pAF BF αα==−+；． 2．1222||sin p AB x x p α=++=． 3．22sin AOBp S △α=． 4．设||||AF BF λ=，则11cos ;||12AF p λλαλ−+==+． 5．设AB 交准线于点P ，则||cos ||AF PA α=；||cos ||BF PB α=． 证明1．||||||||||||cos 1cos AC AF p AF p FD AC AF θθ= ⇒===−−，同理||1cos pBF α=+． 2．22||||||1cos 1cos sin p p pAB AF BF ααα=+=+=-+． 3．设O 到AB 的距离为d ，则 sin 2pd α=，故22112||sin 22sin 22sin AOB p p p S AB d ααα===△． 4．||1cos 1cos ||1cos 1AF BF αλλλααλ+−=⇒=⇒=−+，1||1cos 2p AF p λα+==−． 5．||2A p AF x =+，||2B p BF x =+，||cos ||AF PA α=，||cos ||BF PB α=． 关于抛物线22x py =的焦长公式及定理（A 为直线与抛物线右交点，B 为左交点，90 α<为AB 倾斜角）1．||1sin p AF α=−；||1sin pBF α=+．2．1222||cos pAB y y p α=++=． 3．22cos AOBp S α=△．4．设||||AF BF λ=，则1sin 1λαλ−=+；1||2AF p λ+=．5．设AB 交准线于点P ，||||sin ;sin ||||AF BF PA PB αα==． [总结：抛物线焦点在x 轴的时候的，焦长为1cos p α±，1cos 1λαλ−=+，焦长为12p λ+，记忆方法参考椭圆模块；当焦点在y 轴上的时候cos 换成sin]。
圆锥曲线知识点总结(基础)
圆锥曲线的方程与性质1椭圆 (1)椭圆概念x 0，得y b ，则BdO, b) , B 2(0,b)是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令 y 0得xa ，即A( a,0),A>(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段 AA 、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a 和2b , a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在Rt OB 2F 2中，|OB 2 |b , |0F 2 |c , | B 2F 2 | a ,222222且 |0F 2 I 2I B 2F 2I 2|0B 2 |2，即 c 2 a 2 b 2 ；c④离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e 叫椭圆的离心率。
••• a c 0 ,••• 0 e 1，且e 越接近1, c 就a越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之， e 越接近于0 , c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时 椭圆越接近于圆。
当且仅当 a b 时，c 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为 x 2 y 2 a 2。
2•双曲线(1)双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(|| PF 1 | | PF 2 || 2a )。
注意：①式中是差的绝对值，在0 2a | F 1F 2 |条件下；|PF 1 | | PF 2 | 2a 时为双曲线的一支； |PF 2| |PF 1| 2a 时为双曲线的另一支(含 F 1的一支)；②当2a 厅汀2丨时，|| PF 11 |PF 2〔| 2a 表示两条射 线；③当2a | F 1F 21时，||卩已| |PF 2|| 2a 不表示任何图形；④两定点 斤丁2叫做双曲线的焦点，| F 1F 2 |叫做 焦距。
平面内与两个定点 F 1、 的焦点，两焦点的距离椭圆的标准方程为: F 2的距离的和等于常数2c 叫椭圆的焦距。
圆锥曲线经典基础例题10道
1、 已知曲线上任一点M 到两个定点)0,3(1-F 和)0,3(2F 的距离之和为4，（1） 求此曲线的方程。
（2） 设过点（0，-2）的直线l 与曲线交于C ， D 两点，且0=⋅OD OC (O 为坐标原点)，求直线l 的方程。
2、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=，求直线l 与椭圆截得的最大弦所在的直线方程，并求最大弦的弦长。
3、过椭圆C:12222=+b y a x（a>b>0）的右焦点为2F 做直线交 于A ，B 两点，左焦点为1F ，若AB F 1∆的周长为16，离心率23=e ，（1）求椭圆的方程 （2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点M 对称，求直线l 的方程。
4、双曲线的焦点在x 轴，焦距为8，一条渐近线是x y 3=， （1）求该双曲线的方程（2）已知双曲线上一点P 到右准线的距离等于16，求点P 到左焦点的距离。
5、双曲线C 与椭圆1362722=+y x 有相同焦点，且经过点)4,15(（1）求双曲线的方程；（2）若21,F F 是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且 12021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积。
6、从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
7、抛物线)0(22>=p px y 的准线为1-=x(1) 求抛物线的方程。
(2) 设),(11y x C ，),(22y x D 是抛物线上两个不同的动点，且21y y =2，当直线CD 的斜率等于1时，求CD 。
8、已知抛物线方程为x y 42=，直线l 过定点P(-2，1)，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线：只有一个点；有两个公共点；没有公共点。
9、已知定F(1，0)，动点P(异于原点)在y 轴上运动，连接PF ，过点P 做PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0=⋅PF PM =.(1)求动点N 的轨迹方程。
高三数学圆锥曲线知识点总结大全
高三数学圆锥曲线知识点总结大全在高三数学学习中，圆锥曲线是一个非常重要的知识点，它可以帮助我们更好地理解数学的几何性质和关系。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结和归纳，希望可以帮助大家更好地掌握这一部分的内容。
一、什么是圆锥曲线圆锥曲线是以两条总称为焦点的直线为边界的平面曲线。
根据焦点的相对位置和离心率的不同，圆锥曲线可以分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和圆。
二、椭圆1. 椭圆的定义：椭圆可由平面内的一动点 M 和两焦点 F1、F2的距离之和等于常数 2a 的点的轨迹定义。
2. 椭圆的性质：- 椭圆的离心率 e 小于 1，且焦点位于长轴上。
- 椭圆的长轴和短轴分别对应着两个标准方程的分子和分母。
- 椭圆的离心率越小，形状越趋于圆形。
- 椭圆的焦点到直角坐标轴的垂直距离分别为 a 和 b。
三、双曲线1. 双曲线的定义：双曲线可由平面内的一动点M 和两焦点F1、F2 的距离之差等于常数 2a 的点的轨迹定义。
2. 双曲线的性质：- 双曲线的离心率 e 大于 1，且焦点位于长轴上。
- 双曲线的长轴和短轴分别对应着两个标准方程的分子和分母。
- 双曲线的离心率越大，形状越扁平。
- 双曲线的焦点到直角坐标轴的垂直距离分别为 a 和 b。
四、抛物线1. 抛物线的定义：抛物线可由平面内的动点 M 和直线 l 的距离点 F 的距离等于焦距 PF 点的轨迹定义。
2. 抛物线的性质：- 抛物线的焦点位于焦线的中垂线上。
- 抛物线的顶点为最低点或最高点，轴称为准线，焦距 PF 的两倍称为参数。
- 抛物线的标准方程为 y² = 2px。
五、圆1. 圆的定义：圆可由平面内的一动点 M 到定点 O 的距离等于定长 r 的点的轨迹定义。
2. 圆的性质：- 圆的离心率 e 等于 0，焦距为零。
- 圆的半径为定长 r，焦距为零。
- 圆心到任意点的距离都相等，这个距离称为半径 r。
总结：通过以上对圆锥曲线的介绍，我们可以发现每一种曲线都有各自的定义和性质。
最全圆锥曲线知识点总结
最全圆锥曲线知识点总结的定义是指平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2），那么这个动点P的轨迹就是椭圆。
这两个定点被称为椭圆的焦点，两焦点的距离被称为椭圆的焦距。
注意：如果PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2；如果PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。
2）对于椭圆，如果焦点在x轴上，那么它的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ（其中θ为参数），如果焦点在y轴上，那么它的参数方程是y=acosθ，x=bsinθ。
如果椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），那么它的范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b，焦点是两个点(±c,0)，对称中心是(0,0)，顶点是(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率为e=c/a，椭圆即为0<e<1的情况。
3）关于直线与椭圆的位置关系，如果点P(x,y)在椭圆外，那么a2+b2>1；如果点P(x,y)在椭圆上，那么a2+b2=1；如果点P(x,y)在椭圆内，那么a2+b2<1.4）焦点三角形是指椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形。
5）弦长公式是指如果直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1、x2分别为A、B的横坐标，那么AB=√[1+k2(x1−x2)2]。
如果y1、y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
如果弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
6）圆锥曲线的中点弦问题可以用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中，以P(x,b2x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=−a2y。
1.已知椭圆 $m x^2 + n y^2 = 1$ 与直线 $x+y=1$ 相交于$A,B$ 两点，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=2\sqrt{2}$，求椭圆的方程，若 $OC$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，求 $m,n$ 的值。
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结第一篇：圆锥曲线基础知识圆锥曲线是一类重要的几何图形，它由一固定点（焦点）和一条直线（直母线）确定。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
1. 椭圆椭圆是所有圆锥曲线中最简单的一种。
当一个圆锥截面与其直母线平行时，得到的图形就是一个椭圆。
椭圆具有如下性质：(1) 椭圆中心：椭圆的中心是其两个焦点的中垂线的交点。
(2) 焦点：椭圆上有两个焦点，它们在椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离相等。
(3) 长轴和短轴：椭圆上的两个焦点和中心共线，中心到焦点的距离称为焦距，长轴是椭圆上离焦点最远的两个点之间的距离，短轴是椭圆上离焦点最近的两个点之间的距离，长轴和短轴的长度之间的比值称为离心率。
(4) 方程：椭圆的标准方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1, 其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
(5) 旋转：如果椭圆不是以坐标轴为轴旋转的，则称其为斜椭圆，斜椭圆可以通过平移和旋转把它转变为标准方程的椭圆。
2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中另一个重要的图形，当一个圆锥截面与其直母线的夹角小于圆锥的母线夹角时，得到的图形就是双曲线。
双曲线具有如下性质：(1) 中心：双曲线的中心是对称轴与渐近线的交点。
(2) 焦点：双曲线有两个焦点，它们位于对称轴上，且到中心的距离相等。
(3) 渐近线：一条直线是双曲线的渐近线，当直线与双曲线的距离接近于零时，该直线就称为双曲线的渐近线。
(4) 方程：双曲线的标准方程为(x/a)^2-(y/b)^2=1，其中a和b分别为双曲线上的两个焦点之间的距离的一半和中心到直线y=0的距离。
(5) 分类：双曲线可以分为右开口和左开口的两种，短轴在x轴的正半轴上的为右开口，反之为左开口。
3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中另一种重要的图形，当一个圆锥截面与其直母线垂直时，得到的图形就是抛物线。
抛物线具有如下性质：(1) 焦点和直线：抛物线有一个焦点F和一条直线L，直线L称为准线。
对于抛物线上的任意一点P，它到焦点F的距离等于它到准线L的距离。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。
圆锥曲线知识点汇总
圆锥曲线知识点汇总在数学的世界里，圆锥曲线如同璀璨的明珠，闪耀着独特的魅力。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们在数学、物理以及工程等领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一同深入探索圆锥曲线的奥秘。
一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹。
椭圆的标准方程有两种形式：当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）表示椭圆的长半轴，＼（b\）表示椭圆的短半轴，＼（c\）（＼（c^2 ＝ a^2 b^2\））表示半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
椭圆的性质包括：1、对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leqb\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
3、离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线双曲线是平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的动点 P 的轨迹。
双曲线的标准方程也有两种形式：焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）表示双曲线的实半轴，＼（b\）表示双曲线的虚半轴，＼（c\）（＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\））表示半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
圆锥曲线基本题型总结
圆锥曲线基本题型总结Revised on November 25, 2020圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】2.设B－4,0)，C4,0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为)＋y29＝1 y≠0) ＋x29＝1 y≠0)＋y216＝1 y≠0) ＋x29＝1 y≠0) 【注：检验去点】3.已知A0，－5)、B0,5)，|P A|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为)A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线【注：2a<|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】4.已知两定点F1－3,0)，F23,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是)A.||PF1|－|PF2||＝5B.||PF1|－|PF2||＝6C.||PF1|－|PF2||＝7D.||PF1|－|PF2||＝0 【注：2a<|F1 F2|是双曲线】5.平面内有两个定点F1－5,0)和F25,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是)－y29＝1x≤－4) －y216＝1x≤－3)－y29＝1x≥4) －y216＝1x≥3) 【注：双曲线的一支】6.如图，P为圆B：x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程.7.已知点A(0，3)和圆O1：x2＋(y＋3)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8.已知圆A：x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.已知动圆M过定点B－4,0)，且和定圆x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为)－y212＝1 x>0) －y212＝1 x<0)－y212＝1 －x212＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】9.若动圆P过点N－2,0)，且与另一圆M：x－2)2＋y2＝8相外切，求动圆P的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.11.若动圆与圆x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 )A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线12.已知动圆M 经过点A 3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】13.已知点A 3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.（M 的横坐标非负） 1)求点M 的轨迹方程； 【注：体现抛物线定义的灵活应用】2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14.已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ． 双曲线D ．抛物线【注：体现抛物线定义的灵活应用】2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：16.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )17.椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．418.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m19.若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________.20.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形21．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a-c ，最大是a+c 】22.已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________. 【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c-a 】23.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点，注意中位线的体现】24.设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF ·2PF ＝0，则|1PF ＋2PF |等于( ) A ．3 B ．6 C ．1 D ．225.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是 )【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】26.已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) C ．2【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27.设点A 为抛物线y2＝4x 上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3.焦点三角形问题： 椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+∆＝＋＋＝椭圆的焦点三角形面积：推导过程：2 tan sin cos 121sin 21 cos 1 -)cos (12 (1)-(2) (2) 2a (1) COS 2-2 1b 2b PF PF S 2b PF PF 4c 4a PF PF PF PF 4c PF PF PF PF 2221F PF 22122212212212221θθθθθθθ=+==+==+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∆得 双曲线的焦点三角形面积： 2tan b S 2F PF 21θ=∆28.设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积． 【注：小题中可以直接套用公式。
圆锥曲线知识点与题型总结
圆锥曲线知识点与题型总结
圆锥曲线是解析几何中重要的一个概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线。
以下是关于圆锥曲线的一些常见知识点和题型总结：
1. 椭圆：椭圆是一个闭合曲线，它的定义可以是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
常见的问题包括求椭圆的焦距、长轴和短轴的长度以及离心率等。
2. 双曲线：双曲线是一个开放曲线，它的定义可以是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
常见的问题包括求双曲线的焦点、焦距、渐近线的方程以及离心率等。
3. 抛物线：抛物线是一个开放曲线，它的定义可以是平面上到一个定点的距离等于到一个定直线的距离的点的轨迹。
常见的问题包括求抛物线的焦点、方程、顶点和焦距等。
4. 焦点和直线的关系：对于椭圆和双曲线来说，焦点与直线的关系是他们的轨迹定义的一部分。
对于抛物线来说，焦点和直线的关系可以通过求解焦点和直线的交点来确定。
5. 图像的性质：不同类型的圆锥曲线具有不同的性质，包括对称性、离心率、渐近线、焦点和顶点等。
这些性质可以用来解决与图像相关的问题。
6. 解析几何的应用：圆锥曲线在解析几何中有广泛的应用，如椭球和椭圆柱体的表面积和体积计算、抛物线在物理学、工程学和天文学中的应用等。
总之，掌握圆锥曲线的定义、性质和应用是解析几何的重要内容。
通过熟练掌握各类型曲线的公式和相关知识，能够解决与圆锥曲线相关的各种问题。
(完整版)圆锥曲线专题
圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．1.设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0. 由Ax+0(,)0{By c f x y +==，消元。
如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2.“点差法”的常见题型求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为kP 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2| |P 1P 2|(2)当斜率k (利用轴上两点间距离公式)．4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k＝p y 0. 题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】 已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ →.(1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ；(2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．[思维启迪](1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值． 解析：(1)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)，∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F . (2)解 由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16，∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4，＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ2＋4⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.[探究提高]圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．变式训练1 (2012·四川)如图，动点M 与两定点 A (－1,0)、B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程．(2)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |<|PR |.求|PR ||PQ |的取值范围．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；此时，MA 的斜率为yx ＋1，MB 的斜率为yx －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4.化简可得，4x 2－y 2－4＝0. 故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(2)由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*)对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48>0， 而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1. 结合题设(m >0)可知，m >0且m ≠1. 设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )， 则x Q ，x R 为方程(*)的两根．因为|PQ |<|PR |，所以|x Q |<|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝21＋3m 2＋121＋3m 2－1＝1＋221＋3m 2－1. 此时1＋3m2>1，且1＋3m 2≠2，所以1<1＋221＋3m 2－1<3，且1＋221＋3m2－1≠53， 所以1<|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q <3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3.题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题【例2】 已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．[思维启迪]可设直线AE 的斜率来计算直线EF 的斜率，通过推理计算消参． 解析(1)解 由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1.得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k ，所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k x E ＋x F ＋2k x F －x E ＝12， 即直线EF 的斜率为定值，其值为12.[探究提高]求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．变式训练2 椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32且离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c2＝1.又椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，将其代入求得c 2＝1，故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－163＋4k 2m 2－3>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k2.①又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k 2.∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3m 2－4k 23＋4k 2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，由①，得3＋4k 2－m 2>0，当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾． 当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.题型三 圆锥曲线中的探索性问题【例3】 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[思维启迪]可先假设l 存在，然后根据与C 有公共点和与OA 距离等于4两个条件探求． 解析解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)． 从而有⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点， 所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且有⎩⎨⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一． [探究提高]解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确．变式训练3 (2012·江西)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2. (1)求曲线C 的方程；(2)动点Q (x 0，y 0)(－2<x 0<2)在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是否存在定点P (0，t )(t <0)，使得l 与PA ，PB 都相交，交点分别为D ，E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，|MA →＋MB →|＝－2x2＋2－2y2，OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得－2x2＋2－2y2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程：x 2＝4y . (2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件， 则直线PA 的方程是y ＝t －12x ＋t ，PB 的方程是y ＝1－t2x ＋t .曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，它与y 轴的交点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－x 204.由于－2<x 0<2，因此－1<x 02<1.①当－1<t <0时，－1<t －12<－12，存在x 0∈(－2,2)，使得x 02＝t －12，即l 与直线PA 平行，故当－1<t <0时不符合题意． ②当t ≤－1时，t －12≤－1<x 02，1－t 2≥1>x 02，所以l 与直线PA ，PB 一定相交．分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 02x －x24，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－t 2x ＋t ，y ＝x 02x －x 24，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 20＋4t2x 0＋1－t，x E ＝x 20＋4t2x 0＋t －1，则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4tx 20－t －12.又|FP |＝－x 204－t ，有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝1－t8·x 20＋4t 2t －12－x 20，又S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝4－x 202，于是S △QAB S △PDE ＝41－t ·x 20－4[x 20－t －12]x 20＋4t2＝41－t ·x 40－[4＋t －12]x 20＋4t －12x 40＋8tx 20＋16t2.对任意x 0∈(－2,2)，要使S △QAB S △PDE为常数，即只需t 满足⎩⎨⎧－4－t －12＝8t ，4t －12＝16t 2. 解得t ＝－1.此时S △QABS △PDE＝2，故存在t ＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2. 该直线恒过一个定点A (12，0)．19.圆锥曲线中的函数思想 思想与方法典例：(12分)已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB |的最小值及相应的P 点坐标． 审 题 视 角(1)引入参数PQ 中点的纵坐标，先求k PQ ，利用直线PQ 的方程求解． (2)建立|PB |关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值．规 范 解 答(1)证明 ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎨⎧x 21＋2y 21＝4x 22＋2y 22＝4，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.设线段PQ 的中点N (1，n )，∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n， ∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)，∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A (12，0)．当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A (12，0)．综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A (12，0)．(2)解 由于点B 与点A 关于原点O 对称， 故点B (－12，0)．∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0,2]， |PB |2＝(x 1＋12)2＋y 21＝12(x 1＋1)2＋74≥94， ∴当点P 的坐标为(0，±2)时，|PB |min ＝32.温 馨 提 醒(1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题．求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或基本不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值．(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ 的中垂线方程，原因是想不到引入参数表示PQ 的中点．第二个易错点是，易忽视P 点坐标的取值范围．实质上是忽视了椭圆的范围.思想方法·感悟提高 方 法 与 技 巧1．解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，可将直线方程y ＝kx＋c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1整理出关于x (或y )的一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，Δ＝B 2－4AC >0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为1＋k 2Δ|A |)．2．圆锥曲线综合问题要四重视： (1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用； (3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．失 误 与 防 范 1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况． 2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．练出高分A 组 专项基础训练1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为 ( ) A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．1或0解 析由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，若Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.2．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△FAB 的最大面积为( ) A ．b 2 B ．ab C ．acD ．bc解 析设A 、B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)， 则S △FAB ＝12|OF ||2y 1|＝c |y 1|≤bc .3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2解 析记抛物线y 2＝2px 的准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，BC ⊥AA 1，垂足分别是A 1、B 1、C ，则有cos 60°＝|AC ||AB |＝|AA 1|－|BB 1||AF |＋|BF |＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝3，选C.4．(2011·山东)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)解 析∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.5．设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,4)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →|＝________.解 析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知x 1＋x 2＝2，且x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相减整理得，y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝12，所以直线AB 的方程为x －2y ＋7＝0.将x ＝2y －7代入 x 2＝4y 整理得4y 2－32y ＋49＝0，所以y 1＋y 2＝8，又由抛物线定义得|AF →|＋|BF →|＝y 1＋y 2＋2＝10.6．已知椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝______.将x ＝－3代入椭圆方程得y p ＝12，由|PF 1|＋|PF 2|＝4⇒|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.7．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于不同两点A 、B ，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是________．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎨⎧Δ＝[－4k ＋2]2－4×k 2×4>0，x 1＋x 2＝4k ＋2k 2＝2×2，∴⎩⎨⎧k >－1，k ＝－1或k ＝2， 即k ＝2.8．(10分)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为原点)．(1)求证：1a 2＋1b2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明 由⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＋y －1＝0消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0，∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ>0， 即4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)>0 ⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0， ∵a >b >0，∴a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两实根． ∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 21－b 2a 2＋b 2.由OP ⊥OQ 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2，得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0. 式②代入式③化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2. ④∴1a 2＋1b2＝2. (2)解 利用(1)的结论，将a 表示为e 的函数由e ＝c a⇒b 2＝a 2－a 2e 2，代入式④，得2－e 2－2a 2(1－e 2)＝0. ∴a 2＝2－e 221－e 2＝12＋121－e 2.∵33≤e ≤22，∴54≤a 2≤32. ∵a >0，∴52≤a ≤62.∴长轴长的取值范围为[5，6]．9．(12分)给出双曲线x 2－y 22＝1.(1)求以A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A (2,1)的直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程； (3)过点B (1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q 1，Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设弦的两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得到2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以直线斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4.故求得直线方程为4x －y －7＝0.(2)设P (x ，y )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 按照(1)的解法可得y 1－y 2x 1－x 2＝2xy， ①由于P 1，P 2，P ，A 四点共线，得y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，②由①②可得2x y ＝y －1x －2，整理得2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，检验当x 1＝x 2时，x ＝2，y ＝0也满足方程，故P 1P 2的中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x ＋y ＝0.(3)假设满足题设条件的直线m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为y ＝2x －1.考虑到方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1，x 2－y22＝1无解，因此满足题设条件的直线m 是不存在的．练出高分B 组 专项能力提升1．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为 ( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解 析∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则x 2a 2－x －32b 2＝1.整理，得 (b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6a 2a 2－b2＝2×(－12)，∴a 2＝－4a 2＋4b 2，∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5，∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1.2．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于 ( ) A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解 析设直线AB 的方程为y ＝x ＋b .由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋3y ＝x ＋b⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1， 得AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b .又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b 在直线x ＋y ＝0上，可求出b ＝1，∴x 2＋x －2＝0，则|AB |＝1＋12·－12－4×－2＝3 2.3．如图，已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 解 析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px (p >0)中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1－y 2|＝12(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2.4．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是______________．∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m ≤1，m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >1，b >0)的焦距为2c ，离心率为e ，若点(－1,0)与(1,0)到直线x a －yb＝1的距离之和s ≥45c ，则e 的取值范围是__________．解 析由题意知s ＝|－b －ab |a 2＋b 2＋|b －ab |a 2＋b 2＝2ab c ≥45c ， ∴2c 2≤5ab ，∴2c 2a 2≤5b a.又b a ＝c 2－a 2a2＝e 2－1，∴2e 2≤5e 2－1，∴4e 4≤25(e 2－1)，∴4e 4－25e 2＋25≤0， ∴54≤e 2≤5，∴52≤e ≤ 5. 6．若过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为____________．如图，过A 、B 分别作AD 、BE 垂直于准线，垂足分别为D 、E .由|BC |＝2|BF |，即|BC |＝2|BE |，则∠BCE ＝30°，又|AF |＝3，即|AD |＝3，|AC |＝6， ∴F 为AC 的中点，KF 为△ACD 的中位线， ∴p ＝|FK |＝12|AD |＝32，所求抛物线方程为y 2＝3x .7．(13分)(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．(1)解 双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明 设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b .因为直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以 OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明 当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |>22， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎨⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k 24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， 所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值．。
高考圆锥曲线的基础典型题型
高考圆锥曲线的基础典型题型2014.1.19-23 解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一.直线和圆锥曲线位置关系问题是解析几何问题大题的难点问题，通常在解决直线和圆锥曲线问题上，往往要做三步，一就是联立方程组，二就是求判别式，并且判别符号..第三，运用韦达定理，如果这三步做完了，就是解不等式，或者求函数的值域或定义域的问题了. 具体如下：(1)直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、切线)的研究与讨论仍然是重中之重.由于导数的介入，抛物线的切线问题将有可能进一步“升温”.(2)抛物线、椭圆与双曲线之间关系的研究与讨论也将有所体现.(3)与平面向量的关系将进一步密切，许多问题会“披着”向量的“外衣”.(4)函数、方程与不等式与《解析几何》问题的有机结合将继续成为数学高考的“重头戏”.(5)有几何背景的圆锥曲线问题一直是命题的热点.(6)数列与《解析几何》问题的携手是一种值得关注的动向.【命题特点试题常见设计形式】求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题.重点题型要熟练掌握，如：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥.（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决;<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值（5）求曲线的方程问题<1>曲线的形状已知-----这类问题一般可用待定系数法解决；<2>曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）【高考考点】：1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离等，也要注意斜率的存在与否）2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、夹角公式等）3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、熟练掌握三大曲线的定义和性质；8、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题；9、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。
高考数学必做61道圆锥曲线问题——圆锥曲线性质大全
高考数学必做61道圆锥曲线问题——圆锥曲线性质大全一、神奇曲线，定义统一01. 距离和差，轨迹椭双02. 距离定比，三线统一二、过焦半径，相关问题03．切线焦径，准线作法04. 焦点切线，射影是圆05. 焦半径圆，切于大圆06. 焦点弦圆，准线定位07. 焦三角形，内心轨迹三、焦点之弦，相关问题08．焦点半径，倒和定值09．正交焦弦，倒和定值10. 焦弦中垂，焦交定长11. 焦弦投影，连线截中12. 焦弦长轴，三点共线13. 对焦连线，互相垂直14. 相交焦弦，轨迹准线15. 相交焦弦，角分垂直16. 定点交弦，轨迹直线17. 焦弦直线，中轴分比18. 对偶焦弦，比和定值四、相交之弦，蝴蝶特征19. 横点交弦，竖之蝴蝶20. 纵点交弦，横之蝴蝶21. 蝴蝶定理，一般情形五、切点之弦，相关问题22．主轴分割，等比中项23. 定点割线，倒和两倍24. 定点割线，内外定积25. 主轴交点，切线平行六、定点之弦，张角问题26．焦点之弦，张角相等27. 定点之弦，张角仍等28. 对称之点，三点共线29. 焦点切点，张角相等30. 倾角互补，连线定角七、动弦中点，相关问题31．动弦中点，斜积定值32. 切线半径，斜积仍定33. 动弦中垂，范围特定34. 定向中点，轨迹直径35. 定点中点，轨迹同型八、向量内积，定值问题36．焦弦张角，内积定值37. 存在定点，内积仍定九、其它重要性质38. 光线反射，路径过焦39. 切线中割，切弦平行40. 直周之角，斜过定点41. 正交半径，斜切定圆42. 直径端点，斜积定值43. 垂弦端点，交轨对偶44. 准线动点，斜率等差45. 焦点切线，距离等比46. 共轭点对，距离等积47. 正交中点，连线定点48. 顶点切圆，切线交准49. 平行焦径，交点轨迹50. 内接内圆，切线永保51. 切线正交，顶点轨迹52. 斜率定值，弦过定点53. 直线动点，切弦定点54. 与圆四交，叉连互补55. 交弦积比，平行方等56. 补弦外圆，切于同点57、焦点切长，张角相等58. 斜率积定，连线过定59. 切点连线，恒过定点60. 焦点准线，斜率等差 161. 焦点准线，斜率等差 2共64页，由于篇幅有限，先发这么多，需要电子版的请私信！。
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1、设椭圆22:1221x y E a a +=-，其焦点在x 轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)34p =，求椭圆的方程.2、设椭圆22:1(0)22xy E a b a b+=>>的离心率2e =，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)1d =，,12F F 为两焦点，P 是E 上除长轴端点外的任一点，12F PF∠的角平分线PM 交长轴于(,0)M m ，求m 的取值范围.3、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>的离心率12e =，,12F F 为两焦点，椭圆E 与y 轴的交点为(0,3)A ，求三角形的面积?12SF AF =∆4、如图，设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，,M N 为长轴顶点，过左焦点F 、斜率为k =l 交椭圆E 于A B 、两点，若2FA FB =，求?SFAM SFBN∆=∆5、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，其离心率e =d = 求椭圆E 的方程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与CD 互相垂直.求11?AB CD+= 6、设椭圆22:13627x y E +=，左焦点为F ，在椭圆上任取三个不同点123P P P 、、，使得21223313P FP P FP P FP π∠=∠=∠=，求：111?123FP FP FP++= 7、如图所示，椭圆()221:1169x y E ++=，过原点的两条直线交圆于ABCD ，AD 与CB 的延长线相交于M ，AC 与DB 的延长线相交于N ，求MN 所在的直线方程.8、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，过右焦点的直线:0l x y +=交E 于A B 、两点，P 为AB 中点. ⑴若OP 的斜率为：12k =，求椭圆E 的方程； ⑵若直线:0m x y --=交E 于C D 、两点，AD 与BC 相交于Q ，求Q 点的坐标.9、设椭圆22:1168x y E +=的长轴端点为A B 、，与y 轴平行的直线交椭圆E 于P Q 、两点，PA QB 、的延长线相交于S 点，求S 点的轨迹.10、已知抛物线2:2(0)P y px p =>，F 为P 的焦点，M 为P 上任一点，l 为过M 点的切线，求证：FM 与l 的夹角等于l 与x 轴的夹角.11、已知抛物线P 的顶点为原点，其焦点(0,)F c 到直线:20l x y --=的距离为2d =，M 在l 上，过M 作抛物线P 的两条切线MA 、MB ，其中A 、B 为切点.⑴当M 的坐标为(4,2)时，求AB 的直线方程； ⑵当M 在l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值.12、过抛物线2:2(0)P x py p =>的焦点F 作斜率分别为12k k 、两条不同弦AB 和CD ，212k k +=，以AB 、CD 为直径的圆M 圆N (M 、N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l ，若圆心M 到l距离的最小值为5，求抛物线P 的方程. 13、已知动圆C 过定点(4,0)A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8，求动圆圆心C的轨迹方程.14、如图已知，在抛物线2:4P y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为A . 过原点的圆C 其圆心在抛物线P 上，与抛物线的准线l 交于不同的两点M N 、，若2AF AM AN =⋅，求圆C 的半径.15、如图，抛物线2:41P x y =，抛物线2:2(0)2P x py p =->，点(,)00M x y 在抛物线2P 上，过M 作1P 的两条切线MA 和MB ，当120x =-时，切线MA 的斜率为12k =-.⑴求：AB 所在的直线方程；⑵当点M 在抛物线2P 上运动时，求AB 中点的轨迹方程.16、已知抛物线2:8P y x =，焦弦AB 被F 分为FA 、FB 两段，求：11?FA FB+= 17、如图，在正方形中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()10,0，点C 的坐标为()0,10，分别将线段OA 和AB 等分成十等分，分点分别记为,,,129A A A ⋅⋅⋅和,,,129B B B ⋅⋅⋅，连接OB i ，过A i 作轴的垂线与OB i 交于点()*,19P i N i i ∈≤≤.（1）求：点P i 的轨迹方程； （2）求：过点P i 的切线方程。
18、已知，双曲线22:145x y H -=，过右焦点F 的直线交H 于A B 、两点，以AB 为ABM直径的圆C 与H 的准线还有另外两个交点M N 、，与原点O 构成的三角形，求：MON S ∆的最小值.1、设椭圆22:1221x y E a a +=-，其焦点在x 轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)34p =，求椭圆的方程. 解：⑴先求2a 的范围：由焦点在x 轴上，则：221a a >-，即：122a >； 另外，2210b a =->，所以21a <；所以12(,1)2a ∈.⑵求2a 的值：焦点坐标：222222(1)21c a b a a a =-=--=-；椭圆的准线：2a x c=；准焦距：2222234a a cb pc c c c -=-====则：22216(1)9(21)a a -=-，即：421650250a a -+= 方程有两个解：5030521322a +==>（舍），和5030512(,1)3282a -==∈，故528a =. ⑶确定椭圆方程：将528a =，3218a -=代入方程得：2288153x y += 2、设椭圆22:1(0)22x y Ea b a b+=>>的离心率e =(过焦点且垂直于长轴的焦直径)1d =，,12F F 为两焦点，P 是E 上除长轴端点外的任一点，12F PF ∠的角平分线PM 交长轴于(,0)M m ，求m 的取值范围. 解：⑴通径，即x c =时的y c ∆.当x c =时代入方程得：2222212222y c a c b c b a a a-=-==， 即：422b yc a =，故通径：221bd y c a =∆==，即：22a b = ①⑵由离心率2c e a ===，即：22324a b a -=，即：2124b a = 则：2a b = ②联立①②解得：2a =，1b =，则c =⑶写出椭圆E 的方程：2214x y += ③⑷求12F PF ∠的角平分线PM 的直线方程：由③得过(,)00P x y 点的切线方程为：0104x xy y +=即：1100(1)44000x x x x y y y y =-=-，其斜率为：040x k y =-根据椭圆的切线定理，PM 是过(,)00P x y 点的法线，其斜率为：410'y k k x=-=则PM 的直线方程为：40()000yy y x x x-=-将(,0)M m 代入上式得：400()000yy m x x-=-即：004x m x -=-，故：304x m = ④ ⑸求出m 的范围因为(,)00P x y 点是E 上除长轴端点外的任一点，故：(,)0x a a ∈-，即：(2,2)0x ∈-. 代入④式得：33(,)22m ∈-.3、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>的离心率12e =，,12F F 为两焦点，椭圆E 与y 轴的交点为(0,3)A ，求三角形的面积?12S F AF =∆解：⑴先求E 的方程：将(0,3)A 代入E 的方程得：2203122a b +=，故：3b = 再由12c e a ==，即：2221224c a b a a -==，422123a b ==，则：a =2a c ===E 的方程为：221129x y += ①⑵求三角形12F AF ∆的面积12S F AF ∆： 12F AF ∆的高，即3OA b ==； 12F AF ∆的底，即焦距212FF c ==故：113122212S F F OA F AF ==⋅=∆ ⑶另外，12F AF ∆是椭圆的焦点三角形，可以用椭圆的焦点三角形公式秒之.22tan 212cS b b bc F AF b θ==⋅==∆4、如图，设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，,M N 为长轴顶点，过左焦点F 、斜率为k =l 交椭圆E 于A B 、两点，若2FA FB =，求?S FAM S FBN∆=∆解：本题由于直线l 过左焦点F ，所以采用以左焦点为原点的极坐标，可使问题大大简化. 椭圆的极坐标方程为：1cos epe ρθ=- ①直线l 的方程为：3πθ=②那么：221cos 1332ep ep ep FA e ee πρθπ=====---； 221cos()1332ep ep epFB e ee πρθπππ=====++-++ 代入2FA FB =得：1222e e =-+，即：22(2)42e e e +=-=-，故：23e = 于是：01cos01ep ep FM e e ρθ====--；1cos 1ep epFN e eρθππ====-+ 故：2FA FB =，21153521113FM e FN e ++====-- 所以：1sin 225101sin 2FA FM SFA FM FAM S FB FN FB FN FBNαα∆===⨯=∆5、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，其离心率e =d = 求椭圆E 的方程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与CD 互相垂直.求11?AB CD+= 解：⑴先求椭圆E 的方程：由离心率c e a ==2221223c a b a a -==，则：2223b a= ①由通径223b d a ==得：23b a =②联立①②得：a =b =E 的方程为：22132x y +=⑵两条焦直径都过焦点，所以采用以焦点为原点的极坐标解题更便捷.以左焦点为原点的椭圆极坐标方程为：1cos epe ρθ=- ③那么，设：(,)1A ρθ，则：(,)2B ρθπ+，(,)32C πρθ+，3(,)42D πρθ+代入方程③式得：212221cos 1cos()1cos 1cos 1cos ep ep ep ep epAB e e e e e ρρθθπθθθ=+=+=+=--+-+-于是，2211cos 2e AB epθ-= ④ 2343221sin 1sin 1sin 1cos()1cos()22epepep ep epCD e e e e e ρρππθθθθθ=+=+=+=+---+-+于是，2211sin 2e CD epθ-= ⑤ 由④式⑤式得：22222111cos 1sin 2222e e e AB CD ep ep ep θθ---+=+= ⑥将e =2221b pc ===代入⑥式得：11AB CD +=6、设椭圆22:13627x y E +=，左焦点为F ，在椭圆上任取三个不同点123P P P 、、，使得21223313P FP P FP P FP π∠=∠=∠=，求：111?123FP FP FP ++= 解：椭圆E 的参数：6a =，b =3c =，故离心率12c e a ==，准焦距222793a b p c c c =-===.采用极坐标，以左焦点为原点的极坐标方程为：1cos epe ρθ=- ，即：11cos e ep θρ-= ①设(,)11FP ρα=，则2(,)223FP πρα=+，2(,)333FP πρα=-分别代入①式得：11cos 1e ep αρ-=，21cos()132e epπαρ-+=，21cos()133e ep παρ--=由于：22cos cos()cos()033ππααα+++-= 所以上三式相加得：1113321391232ep ρρρ++===⨯故：11111123123123FP FP FP ρρρ++=++= 7、如图所示，椭圆()221:1169x y E ++=，过原点的两条直线交圆于ABCD ，AD 与CB 的延长线相交于M ，AC 与DB 的延长线相交于N ，求MN 所在的直线方程. 解：⑴首先看一下原点(0,0)O 和椭圆的位置关系将原点坐标代入()2211169x y ++-得：()22010111016916++-=-< 小于0表明原点在椭圆内部.⑵本题中，原点O 和直线MN 是椭圆E 的一对极点和极线. 这里先简单介绍一下极点和极线：过椭圆外一点P 向椭圆E 作的所有割线点的连线，相交于两点A 和B ， 一个点在椭圆内(假设A )，一个点在椭圆外(假设B ). 这3个点P 、A 和B 构成特殊的三角形，称为自极三点形. 其中，点P 和直线AB 是一对极点和极线；点A 和直线PB 是一对极点和极线；点B 和直线PA是一对极点和极线.如果将极点的坐标，做等效代入椭圆方程，得到的就是其极线方程.这样使得求极线方程变得极为简单.本题，将原点坐标做等效代入椭圆方程，就得到MN 所在的直线方程. 将极点坐标(,)00x y 做等效代入椭圆方程得到极线方程：()()11001169x x y y +++=故：代入00x =，00y =后得到：()()01101169x y ++⋅+=即：116x +=，即：15x = 所以MN 所在的直线方程是：15x =8、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b+=>>，过右焦点的直线:0l x y +=交E 于A B 、两点，P 为AB 中点. ⑴若OP 的斜率为：12k =，求椭圆E 的方程；⑵若直线:0m x y --=交E 于C D 、两点，AD 与BC 相交于Q ，求Q 点的坐标.解：⑴由于右焦点在直线l 上，将右焦点(,0)F c的坐标代入:0l x y +=，得：00c +-=，故：c =23c =联立椭圆E 和直线l 得到交点A B 、的坐标：221220x y a b x y ⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩消元法消去y得：212x a a c+=-即：222222(3))(3)0a x a x a a -+--=整理得：22222(23)(6)0a x x a a --+-= ①由于P 为AB 中点，所以1()2x x x P A B =+，y x P P =代进①式由韦达定理得：2211()22222323x x x P A B a a =+=⋅=-- ②2323y x P P a a ===-- ③ 由此得到OP的斜率为：232ya P k x a P-===已知12k =，故：26a =，于是 2233b a =-=所以椭圆E 的方程为：22163x y +=⑵直线:0m x y -=经过F 点，直线l也经过F 点， 故Q 点必在关于椭圆E 以F 为极点的极线上.013y ⋅+=；即：x Q ==由于AD 与BC 关于x 轴对称，根据对称性，0y Q =所以Q点的坐标为：Q9、设椭圆22:1168x y E +=的长轴端点为A B 、，与y 轴平行的直线交椭圆E 于P Q 、两点，PA QB 、的延长线相交于S 点，求S 点的轨迹. 解：设(,)00S x y ，(,)P m n ，(,)Q m n -由//PA AS 得：k k PA AS =0()n nk PAm a m a-==--+000()00y yk AS a x x a-==--+故：00y n m a x a=++ ① 由//BQ QS 得：kk BQQS= 0n n k BQ m a a m--==--，00000y y k QS x a x a -==-- 故：00y n a m x a=-- ② 由①⨯②式得：2202222y n a m x a =-- ③ 又，P Q 、两点在椭圆E 上，满足：22122m n a b+= 即：22221222n m a m b a a -=-=，即：2222222222b a a n n a m n a m==⋅-- 代入③式得：2222202222222y b a n a n n a m n x a =⋅=⋅-- 即：22220001222y x a x b a a -==-，故：2200122x y a b -=即：22001168x y -=，这就是S 点的轨迹方程.10、已知抛物线2:2(0)P y px p =>，F 为P 的焦点，M 为P 上任一点，l 为过M 点的切线，求证：FM 与l 的夹角等于l 与x 轴的夹角.证明：FM 为抛物线的焦半径，设其倾角为α，(,)M x y M M ，(,0)2pF抛物线22y px =两边对x 求导：2'2yy p =，即'p y y=故M 点的切线为：tan 'py x x y M Mθ===222tan tan(2)22221tan 12p ypyM M p y p M y M θθθ⋅===--- 22tan 22222pypy yM M M p y p px p x M M M α===--- 即：2αθ=，FM 与l 的夹角为2αθθθθ-=-=，而θ就是l 与x 轴的夹角. 11、已知抛物线P 的顶点为原点，其焦点(0,)F c 到直线:20l x y --=的距离为2d =，M 在l 上，过M 作抛物线P 的两条切线MA 、MB ，其中A 、B 为切点.⑴当M 的坐标为(4,2)时，求AB 的直线方程； ⑵当M 在l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值. 解：⑴先求抛物线P 的方程由焦点(0,)F c 到直线:20l x y --=的距离为2d =得：d ===1c = 抛物线P 的方程为：244x cy y == ① 下面求AB 的直线方程：AB 的直线方程与M 点是抛物线P 的一对极线和极点，故用极线方程秒之. AB 的直线方程：2()x x y y M M=+将(4,2)M 的坐标值代入得：42(2)42x y y =+=+，即：220x y --= ⑵ AF =A 点到准线的距离，BF =B 点到准线的距离.()()(1)(1)AF BF y c y c y y A B A B⋅=++=++即：(1)(1)()1AF BF y y y y y y A B A B A B ⋅=++=+++ ②由于M l ∈，可将:20l x y --=作为极线，来求其极点N . 极点(,)N x y N N关于抛物线P 的极线为：2()x x y y N N =+，即：220x x y y N N --= 与:20l x y --=对比得：2xN=，2yN=当M 在l 上移动时，其极线AB 必过N 点.设AB 的直线的斜率为k ，则AB 的直线方程为：()y k x x y N N =-+即：22y kx k =-+ ③AB 点为①与③的交点.将③代入①式得：()212241y x y k k k ⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦即：22244(1)4(1)k y y k y k =+-+- 即：2224(1)4(1)0y k k y k --++-= ④ 方程④的两个根就是y A 和y B.由韦达定理得：24(1)y y k A B =-，24(1)y y k k A B +=-+ 代入②式得：224(1)4(1)12224(211)14(23)9AF BF k k k k k k k k k ⋅=-+-++=-++-++=-+33322224(23)98[2()]8()9444223939989842422k k k k k k -+=-⋅⋅+-⋅+⎛⎫⎛⎫=-+-=-+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故AF BF ⋅的最小值是92. 12、过抛物线2:2(0)P x py p =>的焦点F 作斜率分别为12k k 、两条不同弦AB 和CD ，212k k +=，以AB 、CD 为直径的圆M 圆N (M 、N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l ，若圆心M 到l距离的最小值为5，求抛物线P 的方程. 解：抛物线22x py =的焦点(0,)2pF .设AB 直线的方程为：12p y k x =+，CD 直线的方程为：22py k x =+则：AB 点的坐标满足抛物线方程和AB 直线的方程即：2212x pyp y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩于是：2222()2112px py p k x pk x p ==+=+故：22201x pk x p --= ①AB 是圆M 的直径，圆心是(,)M x y M M ，则由韦达定理得：1()12x x x pk M A B =+=，2x x p A B ⋅=- ②()()()11122p py y k x k x k x x A B A B A B -=+-+=- 圆M 的直径平方为：()2222222()()(1)()(1)411AB x x y y k x x k x x x x A B A B A B A B A B ⎡⎤=-+-=+-=++-⋅⎢⎥⎣⎦将②式代入上式得:22222222(1)(44)4(1)111AB k p k p p k =++=+故圆M 的直径为：22(1)1AB p k =+圆M 的半径为：2(1)1r p k M =+圆M 的方程为：222222()()(1)1x x y y r p k M M M -+-==+ ③同理，圆N 的方程为：22222()()(1)2x x y y p k N N -+-=+ ④由③-④得：22222()[2()]()[2()]()(2)1212xx x x x y y y y y p k k k k N M N M N M N M --++--+=-++将()21xx p k k NM -=-，()221x x p k k p N M +=+=22()21y yp k k NM -=-，22(1)21y y p k k N M +=++ 代入上式化简得：20x y += ⑤ 这就是两圆的公共弦l 的直线方程.由圆心M 到l=将1x pk M =，21122p py k x pk M M =+=+，代入上式，并由圆心M 到l得：11112222)(21)211111122424421714165pk pk p p k k k k k ⎛⎫++=++=+⋅⋅+-+⎪⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=++≥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故：8p =，则抛物线方程为：216x y =.13、已知动圆C 过定点(4,0)A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8，求动圆圆心C的轨迹方程.解：解题思路：弦MN 和AM 的垂直平分线相交于圆心.设：(0,)0M y ，则：(0,8)0N y +，MN 的垂直平分线方程为：1()402y y y y M N =+=+ ①AM 的斜率为：000044y y y yM A kAM x x M A --===--- 则AM 的垂直平分线的斜率为：14k k y AM=-=AM 的中点K 为：04222xxM A xK++===，000222y y y yM A y K ++===则AM 的垂直平分线方程为：440()(2)200y y x x y x K K y y =-+=-+ ②联立①②，消去0y 得：44(2)(4)2y y x y -=-+-即：44(2)2(4)y x y +=--，即：2248(2)816y x x -=-=-，即：28y x = 这就是求动圆圆心C 的轨迹方程，是条抛物线.14、如图已知，在抛物线2:4P y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为A . 过原点的圆C 其圆心在抛物线P 上，与抛物线的准线l 交于不同的两点M N 、，若2AF AM AN =⋅，求圆C 的半径.解：抛物线的准线方程：12px =-=- 设圆C 其圆心坐标为：(,)00x y ，因圆心在抛物线P 上，则：2004y x =又圆C 过原点，则：42222000016y r x y y C =+=+ ①故圆C 得方程为：()224220000416y y x y y y ⎛⎫ ⎪-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭即：2442222000200021616y y y x x y y y y y -++-+=+即：22202002y x x y y y -+-=对于在准线l 上的M N 、两点，其12px =-=-， 代入上式得：22012002y y y y ++-=即：22021002y y y y -++=方程的两个解就是M N 、的纵坐标.由韦达定理得：20y y y M N +=，2012y y y M N ⋅=+ ②22221422p AF c ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；AM y M=，AN y N =；代入2AF AM AN =⋅得：4y y M N⋅=将结果代入②式得：20142y +=，即：260y =.将结果代入①式得：436933220660161644y r y C =+=+=+= 故：圆C 的半径为：r =点(,)00M x y 在抛物线2P 上，过M 作1P 的两条切线MA 和MB，当10x =时，切线MA 的斜率为12k =-.⑴求：AB 所在的直线方程；⑵当点M 在抛物线2P 上运动时，求AB 中点的轨迹方程.抛物线2:41P x y =的导函数为：4'2y x =，即：'2xy =抛物线在A 点的斜率'2xA y A =就是切线MA 的斜率为12k =-，故：1x A =-，2144x A y A ==，即：1(1,)4A -(,)00M x y 点与AB 所在的直线是关于1P 的一对极点和极线，故：AB 所在的直线方程为：2()00x x y y =+即：002xy x y =- ①因为方程①过A 点，故：10042x y =--；当10x =时，10024x y=--==将(,)00M x y代入①式得：1313(2424y x x --=--=+ 这就是AB 所在的直线方程. ⑵设AB 的中点为(,)N x y N N ，则：1()2x x x N A B =+，20000224x x x y x y x N NN =-=+将①代入抛物线1P 方程得： 2044()240002xx y x y x x y==-=-，即：224000x x x y -+=由韦达定理得：11()20022xx x x x N A B =+=⋅= 2233220000022444x x x y x y x x N N N=-=+== 或者：423x y N N =. 这就是AB 中点的轨迹方程.16、已知抛物线2:8P y x =，焦弦AB 被F 分为FA 、FB 两段，求：11?FA FB+= 解：抛物线的焦点(,0)2pF ，即：(2,0)F ，4p =，1e =以焦点为原点建极坐标，则抛物线的极坐标方程为：41cos 1cos ep e ρθθ==-- 设：(,)1A ρα，则：(,)2B ραπ+于是：111cos 41FA αρ-==111cos()1cos 442FB απαρ-++=== 故：111cos 1cos 1442FA FB αα-++=+= 17、如图，在正方形中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()10,0，点C 的坐标为()0,10，分别将线段OA 和AB 等分成十等分，分点分别记为,,,129A A A ⋅⋅⋅和,,,129B B B ⋅⋅⋅，连接OB i ，过A i作轴的垂线与OB i 交于点()*,19P i N i i ∈≤≤.⑴求：点P i 的轨迹方程；⑵求：过点P i的切线方程。