北师大版初1数学7年级下册 第2章(相交线与平行线)同步测试卷(含解析)

北师大版初中数学七年级下第二章同步试卷
考试时间：120分钟满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题（共10题；共30分）
1. ( 3分) 如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG 于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH=2PE，PQ=15，则CR 的长为()
A. 14
B. 15
C. 83
D. 65
2. ( 3分) 如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC 于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝46，则PE+PF的长是（）
A. 46
B. 42
C. 6
D. 26
3. ( 3分) 如图，四边形ABCD内接于￿O，连结对角线AC与BD交于点E，且BD为￿O的直径，已知∠BDC=40°，∠AEB=110°，则∠ABC=( )
A. 65°
B. 70°
C. 75°
D. 80°
4. ( 3分) 如图，下列说法错误的是（）
A. 若a//b,b//c，则a//c
B. 若∠1=∠2，则a//c
C. 若∠2=∠3，则b//c
D. 若∠1+∠5=180°，则d//e
5. ( 3分) 如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝58°，则∠1＝（）
A. 60°
B. 64°
C. 42°
D. 52°
6. ( 3分) 下列说法中：
①若两条直线相交所形成的四个角中有三个角相等，则这两条直线互相垂直；②若AC=BC，则C是线段AB的中点；③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；④两点确定一条直线.其中说法正确的个数（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. ( 3分) 如图所示，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2h后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为( )
A. 40海里
B. 60海里
C. 70海里
D. 80海里
8. ( 3分) 如图所示，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论:①AD 平分∠CDE；②∠BAC = ∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC = 4BE，则S△ABC = 8S△BDE.其中正确的有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
9. ( 3分) 下列命题中，是假命题的是（）
A. 对顶角相等
B. 同旁内角互补
C. 全等三角形的对应边相等
D. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
10. ( 3分) 如图，A、O、B在同一直线上，且∠AOC=∠BOC=∠EOF=90°，则∠AOE的余角有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（共9题；共10分）
11. ( 2分) 在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE
∠BCE，连接BE，S△BCE＝4，则CE＝________.
于点F，CE＝2BF，∠CBF＝5
4
12. ( 1分) 如图所示是一个3×3的正方形，则∠1+∠2+∠3+⋯+∠9=________.
13. ( 1分) 已知∠α=68°42'.则∠α的余角为________.
14. ( 1分) 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB ＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是________m.
15. ( 1分) 如图，a//b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=________.
16. ( 1分) 如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为________.
17. ( 1分) 已知∠α的余角等于58°26′，则∠α=________
18. ( 1分) 若∠α的余角是38°15'，则∠a的补角为________ °.
19. ( 1分) 已知α=50°，则它的余角与补角的度数和等于________ °.
三、解答题（共5题；共25分）
20. ( 5分) 如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD 的中点，求AE的长.
21. ( 5分) 如图，已知∠A=∠C，AB∥CD.那么∠E与∠F相等吗？请说明理由.
22. ( 5分) 如图，点B、F、E、C在同一条直线上，AB// CD，AB=CD，BF=CE，求证：△ABE≌△DCF
23. ( 5分) 如图，AD平分∠BAC，点E，F分别在边BC，AB上，且∠BFE=∠DAC，延长EF，CA交于点G，
求证：∠G=∠AFG.
24. ( 5分) 已知一个角的余角比这个角的补角的一半还少18°，求这个角及它的余角(用方程做).
四、作图题（共2题；共10分）
25. ( 5分) 如图，P是∠ABC内一点，点Q在AB上，按要求完成下列问题：
（ 1 ）过点P作AB的垂线，垂足为点D；
（ 2 ）过点P作BC的平行线，交AB于点E；
（ 3 ）比较线段PD和PE的大小，并说明理由.
26. ( 5分) 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A,B,C都在格点上.
（ 1 ）找一格点D，使得直线CD//AB，画出直线CD；
（ 2 ）找一格点E，使得直线AE⊥BC于点F，画出直线AE，并注明垂足F.
五、综合题（共4题；共45分）
27. ( 15分) 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，
并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）.在线段BF上取点M，N（点M在BN之间）
，使BM=2FN.当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N.记QN=x，PD=y
，已知y=−6
5x+12，当Q为BF中点时，y=24
5
.
（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由.
（2）求DE，BF的长.
（3）若AD=6.
①当DP=DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系.
②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的的值.
28. ( 10分) 如图，在四边形ABCD中，AE,BE分别平分∠BAD和∠ABC，点E在CD上，∠1+∠2=90°
（1）完成下面的说理过程解：
解：∵AE平分∠BAD（已知）,
∴∠BAD=2∠1（）,
∵BE平分∠ABC（已知）,
∴∠ABC=2∠2（）,
∴∠BAD+∠ABC=2∠1+2∠2（）,
∵∠1+∠2=90°（已知）,
∴∠BAD+∠ABC=180°
∴AD//BC（）.
（2）若AE平分∠DEF，试说明BE平分∠CEF.
29. ( 10分) 如图，已知∠AOC=2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°.
（1）求∠AOB的度数；
（2）过点O作射线OD，使得∠AOC=4∠AOD，请你求出∠COD的度数. 30. ( 10分) 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOD=90°
（1）若∠AOF=50°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE=1：4，求∠AOF的度数.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J.
∵四边形ACDE ，四边形BCIH 都是正方形，
∴∠ACE=∠BCH=45°.
∵DE ∥AI ∥BH ，
∴∠CEP=∠CHQ.
∵∠ECP=∠HCQ ，
∴△ECP ∽△HCQ ，
=CE CH =EP HQ = ∵PQ=15，
∴PC=5，CQ=10.
∵EC:CH=1:2，
∴AC:BC=1:2，设AC=a ，BC=2a.
∵PQ ⊥CR ， CR ⊥AB ，
∴CQ ∥AB.
∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，
∴四边形ABQC 是平行四边形，
∴AB=CQ=10.
∵AC 2+BC 2=AB 2 ，
∴5a 2=100，
∴a=2
∴AC=2
∵JR=AF=AB=10，
∴CR=CJ+JR=14.
故答案为：A.
【分析】连接EC，CH．设AB交CR于J，利用正方形的性质，易证∠ACE=45°，∠ACB=∠BCI=90°，据此证明△ECP∽△HCQ，利用相似三角形对应边成比例可得PC、CQ的长，由EC:CH=1:2，推出AC:BC=1:2，设AC=a ，BC=2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB=CQ=10，根据AC2+BC2=AB2，构建方程求出a即可解决问题.
2.【答案】B
【解析】【解答】解：作PM⊥AC于点M，连接PD，则四边形AEPM为矩形，PE=AM.
∵DB=DC，
∴∠B=∠DCB.
∵PM⊥AC，AB⊥AC，
∴PM∥AB，
∴∠B=∠MPC，
∴∠DCB=∠MPC..
∵PC=PC，∠PFC=∠PMC=90°，∠DCB=∠MPC，
∴△PFC≌△CMP（AAS），
∴PF=CM，
∴PE+PF=AM+CM=AC.
∵AD:DB=1:3，设AD=x，DB=3x，则CD=3x，AC=22x，BC=26x.
∵BC=46，
∴x=2，
∴PE+PF=AC=22×2=42.
故答案为：B.
【分析】作PM⊥AC于点M，连接PD，可得矩形AEPM，易证△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，然后设AD=x ，表示出DB、CD、AC、BC，由BC=46可得x的值，进而可求出PE+PF的值.
3.【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠BDC和∠BAC所对的弧都是BC弧，
∴∠BDC=∠BAC=40°，
∴∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-110°=30°，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠CBD=90°-∠BCD=90°-40°=50°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+50°=80°，
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理，结合三角形内角和定理求出∠BAC的大小，然后根据直径所对的圆周角是直角，结合余角的性质求出∠CBD，最后根据角的和差关系求∠ABC即可.
4.【答案】C
【解析】【解答】解：A、若a//b,b//c，∵在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，则
a//c，正确；
B、若∠1=∠2，利用内错角相等，两直线平行可得a//c，正确；
C、若∠2=∠3，利用利用同位角相等，两直线平行可得 d∥e ，错误；
D、若∠1+∠5=180°，利用同旁内角互补，两直线平行可得d//e，正确；
故答案为：C.
【分析】在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，对A作出判断；分别根据平行线的性质定理可得BCD作出判断.
5.【答案】B
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，且∠ABC=58°，
∴∠BAD=122°，
∵将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，
∴∠BAD=∠BAD'=122°，
∴∠1=122°-58°=64°，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠BAD=122°，由折叠的性质可得∠BAD=∠BAD'=122°，即可求解.
6.【答案】B
【解析】【解答】解：①若两条直线相交所形成的四个角中有三个角相等，则这两条直线互相垂直，该说法正确；
②若点C在线段AB上，且AC=BC，则C是线段AB的中点，原说法错误；
③在同一平面内，不相交的两条直线必平行，原说法错误；
④两点确定一条直线，此说法正确.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的定义、垂线的定义、相交线的定义、两点确定一条直线，对各个小题分析判断即可得解.
7.【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：MN=2×40=80（海里），∠M=70°，∠N=40°，
∴∠MPN=180°-∠M-∠N=180°-70°-40°=70°，
∴∠M=∠MPN，
∴NP=MN=80（海里）.
故答案为：D.
【分析】首先由速度以及时间求出MN的值，然后根据两直线平行，内错角相等可得到∠N、∠M的度数，进一步推出∠M=∠MPN，最后结合等腰三角形的判定解答即可.
8.【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE.
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠E=90°.
∵AD=AD，∠DAC=∠DAE，∠C=∠E=90°，
∴△DAC≌△DAE，
∴∠CDA=∠EDA，
∴①AD平分∠CDE，正确.
无法证明∠BDE=60°，
∴③DE平分∠ADB错误.
∵BE+AE=AB，AE=AC，AC=4BE，
∴AB=5BE，AE=4BE，
∴S△ADB=5S△BDE，S△ADC=4S△BDE，
∴S△ABC=9S△BDE，④错误.
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，
∴∠BDE=∠BAC，
∴②∠BAC=∠BDE正确.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的概念以及性质可得∠DAC=∠DAE，∠C=∠E=90°，然后可证△DAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可判断①的正误；无法推出∠BDE=60°，进而可判断③的正误；由线段的和差关系可推出AB=5BE，AE=4BE，利用三角形的面积公式不难判断④的正误；根据同角的余角相等可判断②的正误. 9.【答案】B
【解析】【解答】解：A、对顶角相等是真命题，故A不符合题意；
B、同旁内角互补是假命题，故B符合题意；
C、全等三角形的对应边相等是真命题，故C不符合题意；
D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.是真命题，故D不符合题意；、
故答案为：B.
【分析】利用对顶角的性质，可对A作出判断；利用两直线平行，同旁内角互补，可对B作出判断；利用全等三角形的性质，可对C作出判断；利用角平分线的性质，可对D作出判断，由此可得到是假命题的选项.
10.【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOE=90°，
即∠AOE的余角是∠COE；
又∵∠EOF=90°，∠AOB=180°，
∴∠BOF+∠AOE=90°，
即∠AOE的余角是∠BOF.
故答案为：B
【分析】根据互余的定义，即是求与∠AOE的和是90°的角，根据角相互间的和差关系可得.本题主要考查了平角，余角的定义，是一个基本的类型，熟记定义是关键.
二、填空题
11.【答案】4
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴∠ADE=∠EDC，∠ECD=∠ECB.
∵AD∥BF，
∴∠A+∠ABF=180°，
∴∠ADC+∠DCB+∠CBF=180°，
∵∠DEC=115°，
∴∠EDC+∠ECD=65°，
∴∠EDC+∠BCE=65°，
∴∠BCE=40°，∠EDC=25°，
BCE=50°，
∴∠CFB=90°，
∴BF⊥EC，
∴CE=2BF，设BF=m，则CE=2m.
∵S△，
×2m×m=4，
∴1
2
∴m=2或-2（舍去），
∴CE=2m=4.
故答案为：4.
【分析】由AD∥BF，可得∠A+∠ABF=180°，进而由四边形内角和为360°可得
∠ADC+∠DCB+∠BCE=180°，由∠DEC=115°，可得∠EDC+∠DCE=65°，然后结合角平分线的概念可求得∠BCE、∠EDC、∠CBF的度数，然后求出∠CFB=90°，再利用三角形的面积公式求解即可.
12.【答案】405°
【解析】【解答】解：根据正方形的性质和全等三角形的性质可知，
∠1+∠9=90°，∠2+∠6=90°，∠3=∠5=∠7=45°，∠4+∠8=90°，
∴∠1+∠2+∠3+⋯+∠9=3×90°+3×45°=405°，
故答案为：405°.
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的性质分析，找出互余的三对角，结合等腰直角三角形的性质即可求出这几个角的和.
13.【答案】21°18′
【解析】【解答】解：∵∠α=68°42'
∴∠α的余角为90°−68°42′=89°60′−68°42′=21°18′
故答案为：21°18′.
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，列式计算即可.
14.【答案】5
【解析】【解答】解：∵EB⊥AC，CD⊥AC，
∴EB∥CD，
∴△AEB∽△ADC，
∴CD=5.
故答案为：5.
【分析】根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得EB∥CD，进而推出△AEB∽△ADC，然后借助相似三角形对应边成比例就可求得CD的值.
15.【答案】55°
【解析】【解答】解：如图，
∵AB⊥BC，∴∠3=90°﹣∠1=55°.
∵a∥b，∴∠2=∠3=55°.
故答案为：55°.
【分析】根据垂直的定义及平角的定义，可求得∠3=55°，根据两直线平行同位角相等可得∠2=∠3=55°. 16.【答案】132°
【解析】【解答】解：∵AB⊥AE，
∴∠BAC+∠CAE=90°
∴∠BAC=90°-42°=48°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∴∠ACD=180°-48°=132°.
故答案为：132°.
【分析】利用垂直的定义可证得∠BAC+∠CAE=90°，由此可求出∠BAC的度数；再利用两直线平行，同旁内角互补，就可求出∠ACD的度数.
17.【答案】31°34′
【解析】【解答】解：由余角的定义得：∠α=90°﹣58°26′=31°34′，
故答案为：31°34′.
【分析】根据和为90°的两个角就互为余角即可得出答案.
18.【答案】128.25
【解析】【解答】解：∵∠α的余角是38°15'，
∴∠a的补角为：38°15'+90°=128.25°.
故答案为：128.25.
【分析】根据同角的补角比余角大90°即可求出答案.
19.【答案】170
【解析】【解答】解：∵α=50°，
∴根据互为补角的概念，得
α的补角为：180°−50°=130°，
根据互为余角的概念，得，
α的余角为：90°−50°=40°，
∴余角与补角的度数和为：130°+40°=170°.
故答案为170.
【分析】此题考查余角和补角的概念，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角.如果两个角和为90°，则两个角互为余角.根据概念先求出α的余角和补角，再进行相加计算即可.
三、解答题
20.【答案】解：如图，延长AE交BC于点F，
∵点E是CD的中点∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD ∴AD∥BC
∴∠ADE＝∠BCE且DE＝CE，∠AED＝∠CEF
∴△AED≌△FEC（ASA）
∴AD＝FC＝5，AE＝EF
∴BF＝BC﹣FC＝5
∴在Rt△ABF中，AF＝A B2+B F2＝13
∴AE＝AF
2＝13
2
【解析】【分析】延长AE交BC于点F，易证△AED≌△FEC，然后由全等三角形对应边相等可求出AD 、FC、BF的值，接下来在Rt△ABF中，根据勾股定理可得AF的值，最后根据AE=EF就可得到AE的值.
21.【答案】解：∠E=∠F.理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDC.
∵∠A=∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴AE∥CF，
∴∠E=∠F.
【解析】【分析】由AB∥CD，根据平行线的性质得∠A=∠EDC，而∠A=∠C，则∠EDC=∠C，根据平行线的判定得到AE∥CF，然后再根据平行线的性质得到∠E=∠F.
22.【答案】解：∵AB//CD（已知），
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵BF=CE（已知），
∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF.
在ΔABE和ΔDCF中，
{
AB=CD
∠B=∠C BE=CF
，
∴ΔABE≅ΔDCF(SAS)
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得∠B=∠C，由BF=CE得出BE=CF，根据SAS可证△ABE≌△DCF.
23.【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC
∵∠BFE=∠DAC，
∴∠BFE=∠DAB，
∴AD∥EG，
∴∠G=∠DAC
又∵∠BFE=∠DAC，
∴∠G=∠BFE，
由对顶角相等得：∠BFE=∠AFG，
∴∠G=∠AFG.
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得到∠DAB=∠DAC，结合已知可推出∠BFE=∠DAB；再利用两直线平行同位角相等可证得∠G=∠DAC，由此可得到∠G=∠BFE，然后可证得结论.
24.【答案】解：设这个角是α，则它的余角为90°−α，补角为180°−α，
由题意得，90°−α=1
2
(180°−α)−18°，
解得α=36°，
90°−36°=54°.
答：这个角是36°，它的余角是54°
【解析】【分析】设这个角是α，然后表示出它的余角和补角，再列出方程求解即可.
四、作图题
25.【答案】解：所以如图为所求做图形.
PE>PD
理由：点到直线垂线段最短.
【解析】【分析】（1）根据垂线的定义即可过点P画AB的垂线，垂足为点D；
（2）根据平行线的定义即可过点P画BC的平行线交AB于点E；
（3）由垂线段最短可知PE>PD．
26.【答案】解：直线CD\AE，点F如图所示；
【解析】【分析】（1）根据直线的定义，平行线的定义画出图形即可.（2）根据直线的定义，垂线的定义画出图形即可.
五、综合题
27.【答案】（1）解：DE与BF的位置关系为：DE//BF，理由如下：
如图1所示：
∵∠A=∠C=90°，∴∠ADC+∠ABC=360°−(∠A+∠C)=180°，
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE=1
2∠ADC，∠ABF=1
2
∠ABC，
∴∠ADE+∠ABF=1
2
×180°=90°，
∵∠ADE +∠AED =90° ， ∴∠AED =∠ABF ， ∴DE//BF ；
（2）解：令 x =0 ，得 y =12 ， ∴DE =12 ，
令 y =0 ，得 x =10 ， ∴MN =10 ，
把 y =245 代入 y =−65x +12 ，
解得： x =6 ，即 NQ =6 ， ∴QM =10−6=4 ，
∵Q 是 BF 中点， ∴FQ =QB ，
∵BM =2FN ， ∴FN +6=4+2FN ，
解得： FN =2 ， ∴BM =4 ， ∴BF =FN +MN +MB =16 ；
（3）解：①连接 EM 并延长交 BC 于点 H ，如图2所示：
∵FM =2+10=12=DE ， DE//BF ，四边形 DFME 是平行四边形， ∴DF =EM ，
∵AD =6 ， DE =12 ， ∠A =90° ， ∴∠DEA =30° ， ∴∠DEA =∠FBE =∠FBC =30° ，
∴∠ADE =60° ， ∴∠ADE =∠CDE =∠FME =60° ，
∴∠DFM =∠DEM =120° ， ∴∠MEB =180°−120°−30°=30° ，
∴∠MEB =∠FBE =30° ， ∴∠EHB =180°−30°−30°−30°=90° ， DF =EM =BM =4 ，∴MH =12BM =2 ， ∴EH =4+2=6 ，
由勾股定理得： HB =B M 2−MH 2=42−22=23 ，
∴BE =E H 2−HB 2=62+(23)2=43 ，
当 DP =DF 时， −65x +12=4 ，解得： x =20
3 ，
∴BQ =14−x =14−203=223 ，22
3>43 ， ∴BQ >BE ；
②（Ⅰ）当 PQ 经过点 D 时，如图3所示：
y=0，则x=10；
（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：
∵BF=16，∠FCB=90°，∠CBF=30°，∴CF=1
2
BF=8，∴CD=8+4=12，
∵FQ//DP，∴ΔCFQ∽ΔCDP，FQ
DP =CF
CD
，2+x
−6
5
x+12
=8
12
，解得：x=10
3
；
（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：
∵PE//BQ，∴ΔAPE∽ΔAQB，PE
BQ =AE
AB
，
由勾股定理得：AE=D E2−AD2=122−62=63，
∴AB=63+43=103，12−(−6
5
x+12)
14−x =63
103
，
解得：x=14
3
，
由图可知，PQ不可能过点B；
综上所述，当x=10或x=10
3或x=14
3
时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点.
【解析】【分析】（1）首先由四边形内角和为360°可得∠ADC+∠ABC=180°，然后根据角平分线的定义可得∠ADE+∠ABF的度数，结合∠ADE+∠AED=90°可得∠AED与∠ABF的数量关系，进而判断DE与BF的位置关系；（2）分别令x=0、y=0求出对应的y、x的值，即为DE、MN的值，把y=24
5
代入求出x的值，即为NQ的值，然后根据QM=MN-NQ求出QM的值，由Q为BF的中点以及BM=2FN可得到关于FN的等式，进而求出FN的值，最后根据BF=FN+MN+MB计算即可；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，可推出四边形DFME为平行四边形，由平行四边形的性质以及平行线的性质可求得∠DEA，∠ADE，∠DFM，∠MEB，∠EHB的度数，进一步得到MH、EH的值，然后利用勾股定理求出HB、BE的值，利用DP=DF可得关于x的方程，求解即可；
②当PQ经过点C时，首先求出CF、CD的值，由△CFQ∽△CDP可得关于x的方程，求解即可；当PQ 经过点A时，易证△APE∽△AQB，由勾股定理求出AE的值，进而得到AB的值，然后利用相似三角形对应边成比例可得关于x的方程，求解即可.
28.【答案】（1）解：∵AE平分∠BAD（已知）,
∴∠BAD=2∠1（角平分线的定义）,
∵BE平分∠ABC（已知）,
∴∠ABC=2∠2（角平分线的定义）,
∴∠BAD+∠ABC=2∠1+2∠2（等量代换）,
∵∠1+∠2=90°（已知）,
∴∠BAD+∠ABC=180°
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）.
（2）解：∵∠1+∠2+∠AEB=180°，∠1+∠2=90°
∴∠AEB=90°=∠AEF+∠BEF
∵∠AED+∠AEB+∠CEB=180°
∴∠AED+∠CEB=90°
∵AE平分∠DEF
∴∠AED=∠AEF
∴∠BEF=∠CEB（等角的余角相等）
∴BE平分∠CEF
【解析】【分析】（1）首先根据角平分线定义可得∠BAD=2∠1，∠ABC=2∠2，则由等量代换可得
∠BAD+∠ABC=2∠1+2∠2，根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC；
（2）由三角形内角和定理，结合∠1和∠2互余可得∠AEB为90°，从而得出∠AED和∠BEC互余，则由AE 平分∠DEF，根据余角的性质得出BE平分∠CEF.
29.【答案】（1）解：设∠BOC=x，则∠AOC=2x，
依题意列方程90°−2x=x−30°，
解得：x=40°，
即∠AOB=40°
（2）解：由(1)得，∠AOC=80°，
①当射线OD在∠AOC内部时，∠AOD=20°，
则∠COD=∠AOC−∠AOD=60°；
②当射线OD在∠AOC外部时，∠AOD=20°，
则∠COD=∠AOC+∠AOD=100°.
【解析】【分析】（1）设∠BOC=x，则∠AOC=2x，根据∠AOC的余角比∠BOC小30゜列方程求解即可；
（2）分两种情况：①当射线OD在∠AOC内部，②当射线OD在∠AOC外部，分别求出∠COD的度数即可.
30.【答案】（1）解：∵∠COF与∠DOF是邻补角，
∴∠COF=180°−∠DOF=90°.
∵∠AOC与∠AOF互为余角，
∴∠AOC=90°−∠AOF=90°−50°=40°.
∵∠AOC与∠BOC是邻补角，
∴∠COB=180°−∠AOC=180°−40°=140°.
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=1
∠BOC=70°
2
（2）解：∠BOD：∠BOE=1：4，
设∠BOD=∠AOC=x，∠BOE=∠COE=4x.
∵∠AOC与∠BOC是邻补角，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
即x+4x+4x=180°，
解得x=20°.
∵∠AOC与∠AOF互为余角，
∴∠AOF=90°−∠AOC=90°−20°=70°
【解析】【分析】（1）根据补角，余角的关系，可得∠COB，根据角平分线的定义，可得答案；
（2）根据邻补角，可得关于x的方程，解方程可得∠AOC，再根据余角的定义，可得答案.。