2019版数学(文)二轮复习通用版课时跟踪检测(十一) “专题三”补短增分(综合练) Word版含

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课时跟踪检测（十一）“专题三”补短增分（综合练）
A组——易错清零练
1．（2018·洛阳模拟）已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为（) A。

错误!π B.错误!π
C。

错误!πD．错误!π
解析:选A 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2错误!.因为球O与正四面体的各棱都相切,所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长2错误!，则球O的体积V＝错误!πR3＝错误!π，故选A.
2。

（2018·成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ）A．4πB．16π
C．24πD．25π
解析：选 C 由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2，4,将该三棱锥补成一个长方体,可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R＝错误!＝2错误!,则R＝错误!,故该球的表面积为4πR2＝24π，故选C。

3．（2018·陕西模拟）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵"．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）
A．2 B．4＋22
C．4＋4错误!D．4＋6错误!
解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC.A1B1C1，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝错误!，∠C＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形,故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋2错误!）×2＝4＋4错误!,故选C。

4．(2018·湖南长郡中学月考)正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方
体与正四面体的表面积之比为________．
解析：如图,设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S1＝6a2.正四面体P­ABC的边长为错误!＝错误!a，则其表面积为S2＝4×错误!×
2a×2 a×sin60°＝2错误!a2。

所以正方体与正四面体的表面积之比为S
∶S2＝
1
6a2∶23a2＝错误!∶1。

答案：错误!∶1
B组——方法技巧练
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ）
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：选D 根据题中所给的三视图，可以还原几何体，如图所示．
该几何体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长、宽、高分别是3，2,2的长方体,所以该几何体的体积为2×2×3＝12，故选D.
2．（2018·湖南五市十校联考）圆锥的母线长为L,过顶点的最大截面的面积为错误!L2，则圆锥底面半径与母线长的比错误!的取值范围是（）
A.错误!B．错误!
C。

错误!D．错误!
解析：选D 设圆锥的高为h，过顶点的截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S＝错误! L2sin θ，而0<sin θ≤1，所以当sin θ＝1，即截面为等腰直角三角形时取最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°，得L>r≥L cos 45°＝错误!L，所以错误!≤错误!<1.
3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，则点B到平面D1AC的距离等于________．
解：如图,连接BD1，易知D1D就是三棱锥D1。

ABC的高，AD1＝CD1＝错误!，AC＝2错误!，取AC的中点O，连接D1O，则D1O⊥AC，所以D1O＝错误!＝ 3.
设点B到平面D1AC的距离为h,则由VB。

D1AC＝VD1­ABC,即错误!S△D1AC·h＝错误!S△ABC·D1D,又S△D1AC＝错误!D1O·AC＝错误!×错误!×2错误!＝错误!，S△ABC＝错误!AB·BC＝错误!×2×2＝2，所以h＝错误!.
答案：错误!
4。

如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC。

A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE＝2，AC＝AA1＝4,∠E＝60°,点B在线段ED上．（1)当点B在何处时,平面A1BC⊥平面A1ABB1；
(2）点B在线段ED上运动的过程中，求三棱柱ABC.A1B1C1表面积的最小值．
解：(1）由于三棱柱ABC。

A1B1C1为直三棱柱，则AA1⊥平面ABC，
因为BC⊂平面ABC，
所以AA1⊥BC.而AA1∩AB＝A，只需BC⊥平面A1ABB1,
即AB⊥BC，就有“平面A1BC⊥平面A1ABB1”．
在平行四边形ACDE中,因为AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°.
过B作BH⊥AC于H，则BH＝错误!。

若AB⊥BC，有BH2＝AH·CH.
由AC＝4,得AH＝1或3.
两种情况下，B为ED的中点或与点D重合．
(2）三棱柱ABC.A1B1C1的表面积等于侧面积与两个底面积之和．
显然三棱柱ABC。

A1B1C1其底面积和平面A1ACC1的面积为定值，只需保证侧面A1ABB1和侧面
B 1BCC
1
面积之和最小即可．
过B作BH⊥AC于H,则BH＝错误!。

令AH＝x，则侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和等于4（AB＋BC）＝4［错误!＋错误!]．其中错误!＋错误!可以表示动点(x,0)到定点(0，－错误!)和（4,错误!)的距离之和,当且仅当
x＝2时取得最小值．所以三棱柱的表面积的最小值为2×错误!×4×错误!＋42＋4×2错误!＝4 3＋8错误!＋16。

5。

(2018·石家庄模拟)如图，已知四棱锥P.ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，过AB的平面ABFE与侧面PCD的交线为EF,且满足S△PEF∶S四
边形CDEF
＝1∶3。

(1)证明：PB∥平面ACE;
（2）当PA＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．
解：(1)证明:由题知四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∵CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD,
∴AB∥平面PCD.
又AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF，
∴EF∥AB，∴EF∥CD。

由S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3知E，F分别为PD，PC的中点．
如图，连接BD交AC于点G，则G为BD的中点，连接EG，则EG∥PB。

又EG⊂平面ACE,PB⊄平面ACE,
∴PB∥平面ACE.
(2）∵PA＝2,AD＝AB＝1，
∴AC＝2，AE＝错误!PD＝错误!，
∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，
又CD⊥AD,AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
在Rt△CDE中，CE＝CD2＋DE2＝错误!.
在△ACE中,由余弦定理知cos∠AEC＝错误!＝错误!，∴sin∠AEC＝错误!，
∴S△ACE＝1
2
·AE·CE·sin∠AEC＝错误!。

设点F到平面ACE的距离为h，连接AF,则V F。

ACE＝错误!×错误!×h＝错误!h.∵DG⊥AC，DG⊥PA,AC∩PA＝A，∴DG⊥平面PAC。

∵E为PD的中点,
∴点E到平面ACF的距离为1
2
DG＝错误!.
又F为PC的中点,∴S△ACF＝错误!S△ACP＝错误!，∴V E.ACF＝错误!×错误!×错误!＝错误!。

由V F­ACE＝V E.ACF，得错误!h＝错误!，得h＝错误!，∴点F到平面ACE的距离为错误!。

C组-—创新应用练
1．某几何体的一条棱长为错误!，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为错误!的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为（)
A．2错误!B．2错误!
C．4 D．2错误!
解析：选 C 本题可以以长方体为载体，设该几何体中棱长为错误!的棱与此长方体的体对角线重合,则此棱各射影分别为相邻三面的对角线，其长度分别为错误!，a，b，设长方体的各棱长分别为x,y，z，则有错误!⇒a2＋b2＝8。

所以错误!≥错误!2⇒a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故a＋b的最大值为4。

2．（2018·昆明模拟）古人采取“用臼舂米"的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为( ）
A．63πB．72π
C．79πD．99π
解析：选 A 由三视图得，凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体，其中半球的半径为3,体积为错误!×错误!π×33＝18π，圆柱的底面半径为3，高为5，体积为π×32×5＝45π。

所以凿去部分的体积为18π＋45π＝63π。

故选A.
3．（2018·沈阳质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑A­BCD中,AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x,若△PBD的面积为f（x)，则f（x)的图象大致是( ）
解析:选A 如图，作PQ⊥BC于Q,作QR⊥BD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQ∥AB,QR∥CD,PQ⊥QR。

设AB＝BD＝CD＝1，CP＝x（0≤x≤1），则错误!＝错误!＝错误!，
即PQ＝错误!，又错误!＝错误!＝错误!＝错误!，
所以QR＝错误!，
所以PR＝错误!＝错误!
＝错误!错误!，
又由题知PR⊥BD，
所以f(x)＝错误!错误!＝错误!错误!，结合选项知选A。

4．(2018·长春模拟）已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．
解析：由题意得圆锥的母线长为3,设圆锥的底面半径为r，高为h，则h＝错误!，所以圆锥的体积V＝错误!πr2h＝错误!πr2错误!＝错误!π错误!.设f(r）＝9r4－r6（r>0)，则f′(r)＝36r3－6r5,令f′（r）＝36r3－6r5＝6r3(6－r2）＝0，得r＝错误!，所以当0〈r<错误!时,f′（r)〉0，f(r)单调递增，当r〉错误!时,f′（r）<0,f（r)单调递减，所以f（r)
max
＝f（错误!）＝108，
所以V max＝1
3
π×错误!＝2错误!π.
答案：2错误!π
5．（2018·惠州模拟）某三棱锥的三视图如图所示,且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为________．
解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥P­ABC，其中底面ABC是直角三角形,AB⊥BC，PA⊥平面ABC，BC＝27，PA2＋y2＝102，(2错误!）2＋PA2＝x2，
所以xy＝x错误!
＝x128－x2≤错误!＝64，
当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64.
答案：64
6．(2019届高三·湖北七市（州)联考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM。

DCP与刍童ABCD。

A1B1C1D1的组合体中，AB＝AD，A1B1＝A1D1.
(1)证明:直线BD⊥平面MAC;
（2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝错误!，三棱锥A。

A1B1D1的体积V′＝错误!，求该组合体的体积．
解：(1）证明:由题可知ABM­DCP是底面为直角三角形的直棱柱，
∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA，
又MA⊥AB，AD∩AB＝A,
∴MA⊥平面ABCD，
∴MA⊥BD,又AB＝AD，
∴四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC，
又MA∩AC＝A，
∴BD⊥平面MAC.
（2）设刍童ABCD。

A1B1C1D1的高为h,
则三棱锥A。

A1B1D1的体积V′＝错误!×错误!×2×2×h＝错误!，∴h＝错误!，
故该组合体的体积V＝错误!×1×错误!×1＋错误!×(12＋22＋错误!)×错误!＝错误!＋错误!＝错误!。