2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《三角函数的性质及应用》

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《三角函数的性质及应用》 【题型一】、求函数)sin(ϕω+=x A y (0≠A ,0>ω)的单调区间 【题型二】、三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图象及其变换 【题型三】：奇偶性与对称性问题
【题型一】、求函数sin()y A x ωϕ=+(0A ≠,0ω>)的单调区间
【例1】已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图像与直线2y =-的两个相邻公共点之间的距离等于π，则()f x 的单调递减区间是（ ） A ．2[,],6
3k k k Z π
πππ+
+
∈ B ．[,],36
k k k Z ππ
ππ-+∈ C ．4[2,2],3
3k k k Z π
πππ+
+
∈ D ．5[2,2],1212
k k k Z ππ
ππ-+∈ 【思路点拨】由已知得到周期，然后根据周期求出ω，可得函数的解析式；再利用正弦函数的单调性得出结论．
【解析】因为()cos 2sin()6f x x x x π
ωωω=+=+的最小值为-2，可知2y =-与()f x 的两
个相邻公共点之间的距离就是一个周期，于是
2T ππω==,即ω=2，所以()2sin(2)6
f x x π=+。

令32[2,2],,622x k k k Z πππππ+∈++∈解得2[,],,63x k k k Z ππ
ππ∈++∈故选A 。

【总结升华】对于较为复杂的三角函数，可先通过恒等变形转化为sin()+y A x B ωϕ=+或
cos()+y A x B ωϕ=+的形式，再进行三角函数的单调性的求解.
【变式训练】：
【变式1】求下列函数的单调递增区间.
（1）cos(2)3y x π=-，（2）|sin()|4y x π
=-+，（3）)tan(33y x π=-.
【解析】
（1）∵cos(2)3y x π=-，∴递增区间为：27[,]36x k k ππ
ππ∈++(k Z ∈)；
（2）画出|sin()|4
y x π
=-+的图象：
可知增区间为3[,]44x k k ππ
ππ∈++(k Z ∈)；
（3）函数在区间5[,]18
3183
k k x π
πππ
∈-
+
+(k Z ∈)上是增函数. 【变式2】利用单调性比较3cos 2，1sin 10，7
cos 4-的大小：
【解析】 ∵33cos
sin()222π=-，77cos 44sin()2π
--=，且74130221022
πππ->>>->
∴7cos
4
13sin
cos 102
>-> 【题型二】、三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其变换
【例2】．已知函数x x y 2cos 32sin += （1）用五点法作出它的图象；
（2）指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间； （3）说明该函数的图象可由sin y x =的图象经过怎样的变换而得到？
【思路点拨】化简2sin(2)3
y x π
=+
，令320,,,,2322
x π
π
π
ππ+
=，分别求出对应的x 值，再描点作图，注意图象变换的时候每一个变换总是对字母x 而言的.
【解析】（1）)3
2sin(2)3sin 2cos 3cos 2(sin 2)2cos 232sin 21(2π
+=π⋅+π⋅=+
=x x x x x y . 列表描点绘图如下:
（2）如图可知，此函数的振幅是2，周期为π，频率为
π1，初相为3
π
. 单调增区间为]12
,125[π
+ππ-πk k k ∈Z ， 单调减区间为]12
7
,12[π+ππ+
πk k k ∈Z. （3）法一：sin y x
=π3−−−−−−−−−−−→
图象向左平移个单位
纵坐标不变
sin()3
y x π
=+
−−−−−−−−−−−−−→横坐标缩短为原来的0.5倍纵坐标不变sin(2)3
y x π=+
−−−−−−−−−−−−→纵坐标扩大到原来的2倍横坐标不变2sin(2)3
y x π=+ 法二：sin y x =−−−−−−−−−−−−−→横坐标缩短为原来的0.5倍纵坐标不变
sin 2y x =
π6−−−−−−−−−−−→
图象向左平移个单位
纵坐标不变
sin 2()sin(2)63
y x x ππ
=+=+
−−−−−−−−−−−−→纵坐标扩大到原来的2倍横坐标不变2sin(2)3
y x π=+
【总结升华】
①五点法作sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的简图时，五点取法是设t x ωϕ=+，由t 取0、
2
π
、π、32π、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图；
②由sin y x =的图象变换出sin()y A x ωϕ=+的图象一般先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少；
③此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察；也可以直接由函数式子利用特殊位置点（如：首点、波峰、波谷等）的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及x 的系数是相同的.
【变式训练】： 【变式1】为得到函数的图象，只需将函数y =sin2x 的图象（ ） A ．向左平移个长度单位 B ． 向右平移个长度单位 C ．向左平移个长度单位
D ． 向右平移
个长度单位
【答案】A 【解析】∵
，
只需将函数y =sin2x 的图象向左平移个单位得到函数
的图象．
故选A ．
【变式2】试述如何由1sin(2)33
y x π
=+的图象得到sin y x =的图象.
【解析】方法一：1sin(2)33y x π=+ 2−−−−−−−−−−−−→横坐标扩大为原来的倍纵坐标不变 1s i n ()33
y x π=+
π3−−−−−−−−−−−→图象向右平移个单位
纵坐标不变
1sin 3
y x =3−−−−−−−−−−−
−→纵坐标扩大到原来的倍横坐标不变sin y x =. 方法二：1sin(2)33y x π=+π6−−−−−−−−−−−→
图象向右平移个单位纵坐标不变
1sin 23y x =
2−−−−−−−−−−−−→横坐标扩大为原来的倍纵坐标不变1sin 3
y x =3−−−−−−−−−−−−→纵坐标扩大到原来的倍横坐标不变sin y x =.
【变式3】若函数sin y x =的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的1
3
，
再将图象沿x 轴向右平移3
π
个单位，则新图象对应的函数式是( )
A ．sin3y x =-
B ．1
πsin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
C ．πsin 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
D ．πsin 39y x ⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭ 【答案】A
【变式4】画出函数3sin(2)4
y x π=-
在区间[0]π，上的图象.
【解析】由3sin(2)4
y x π=-
知道：
故函数在区间[0]π，上的图象：
【例3】. 如图，它是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><的图象，由图中条件，写出
该函数的解析式。

【思路点拨】结合图形易求得A ，T 及ω.如何求ϕ呢？可以选择点的坐标代入函数解析式尝试一下，结合ϕ的范围求得.
【解析】 由图知A=5， 由
53222
T ππ
π=-=
，得3T π= ∴223T πω=
=。

此时2
5sin()3
y x ϕ=+。

下面介绍怎样求初相ϕ。

解法一：（单调性法）
∵点（π，0）在递减的那段曲线上，
∴
232,2()322k k k Z ππϕπππ⎡
⎤+∈++∈⎢⎥⎣
⎦。

由2sin 03πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
得223k πϕππ+=+，
∴2()3
k k Z π
ϕπ=+
∈。

∵||ϕπ<，∴3
π
ϕ=。

解法二：（最值点法）
将最高点坐标,54π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入25sin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得5sin 56πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，
∴
26
2
k π
π
ϕπ+=+
，∴2()3
k k Z π
ϕπ=+
∈。

又||ϕπ<，∴3
π
ϕ=。

解法三：（起始点法）
函数sin()y A x ωϕ=+的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由0x ωϕ+=解得的。

故只要找出起始点横坐标x 0，就可以迅速求得角ϕ。

由图象易得02
x π
=-
，
∴02323
x ππϕω⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭。

解法四：（平移法）
由图象知，将25sin 3y x =的图象沿x 轴向左平移2
π
个单位就得到本题图象，故所求函数
解析式为
225sin 5sin 3233x y x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
【总结升华】给出sin()y A x ωϕ=+型的图象，求它的解析式，常从寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕ
ω
-
作为突破口，
要从图象的升降找准第一个零点的位置，例3中的解法三是我们常选用的方法这一.
【变式训练】：
【变式】下图是函数2sin()y x ωϕ=+（0ω>，2
||π
ϕ<）的图象．则ω、ϕ的值是（ ）
A ．1011
ω=
，6
π
ϕ=
B ．1011
ω=
，6
π
ϕ=-
C ．2ω=，6
π
ϕ= D ．2ω=，6
π
ϕ=-
【答案】C
【解析】由图象可得：2sin 1112sin 01221112φωπφππ
ω
⎧
⎪⎪
⎛⎫
⎪⎨
⎪⎝⎭⎪
⎪⎪
⎩=+=> ∵2
||π
ϕ<
，由2sin 1ϕ=得6
π
ϕ=
，
由 11112sin sin 012
612
ωππωππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
⎝
⎭
++==，得 ()11212
k k ωπππ+=∈Z ∴12211
k ω-= （k ∈Z ）
由
21112π
π
ω
>
，得2411
ω<．满足24011ω<<时，1k =或2k =．
由此得到11011
ω=
，22ω=．注意到11212T BC π=<，即1112ππω<
，
因此1211
ω>，这样就排除了1011
ω=
． ∴2ω=，6
π
ϕ=
注意：因为函数sin()y A x ωϕ=+是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A 、ω、ϕ的值．本题虽然给出了0ω>，2||π
ϕ<
的条件，但是仅靠(0，1 )、11012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
两点，不能完全确定ω、ϕ的值．在确定ω的过程中，比较隐蔽的条件112
12T
T π
<<（2T πω
=）起了重
要作用．
【题型三】：奇偶性与对称性问题 【例4】．已知函数()sin(3)3
f x x π
=+
（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性。

【思路点拨】正弦函数的定义域是x R ∈，在考查()f x -与()f x 的关系；考查三角函数的对称性的时候，从对称轴和对称中心两个方面考虑.
【解析】（1）()f x 的定义域x R ∈关于原点对称，
()sin(3)sin(3)33
f x x x ππ
-=-+=--
∵sin(3)sin(3)33x x ππ+≠--且sin(3)sin(3)33x x ππ
+≠-，
∴函数()sin(3)3f x x π
=+不是奇函数也不是偶函数.
（2）∵令33
x u π
+
=,则sin y u =的图象的对称轴是2
u k π
π=+
，对称中心(,0)k π（k Z ∈），
∴函数()sin(3)3f x x π=+的图象的对称轴是332x k πππ+=+即318
k x ππ
=+（k Z ∈）
由33
x k π
π+
=得39
k x ππ
=
-（k Z ∈）
， ∴函数()sin(3)3f x x π=+的图象的对称中心是(,0)39
k ππ
-（k Z ∈）.
【总结升华】①先求定义域并判断在数轴上关于原点对称，再经过等值变形尽量转化为一个角的一个三角函数式sin()y A x k ωϕ=++（0ω>），再判断其奇偶性.函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别，用定义法，换元法。

②对于sin()y A x ωϕ=+（0ω>）来说，对称中心与零点（平衡位置）相联系，对称轴与最值点（极值点）联系.
【变式训练】：
【变式1】判断下列函数的奇偶性
（1）sin())33y x x ππ=+-+； （2）1cos sin 1cos sin x x
y x x
-+=++.
【解析】
（1）定义域x R ∈关于原点对称，
又12[sin())]2sin[()]2sin 23333
y x x x x ππππ
=++=+-=
∴ 函数为奇函数。

（2）∵从分母可以得出2x k ππ≠+（k Z ∈），∴定义域在数轴上关于原点不对称。

∴ 函数为非奇非偶函数 【变式2】设函数5sin(2)2
y x π
=+的图象的一条对称轴方程是（ ） A.2
x π
=-
B.4
x π
=-
C. 8
x π
=
D.54
x π=
【答案】A。