环境水利学第3章 随流扩散与紊动扩散 (5)

❖ 各向同性紊流只是一种理想化的最简单的紊流
u1 2u22u32
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第三节 紊流统计(tǒngjì)量和紊流尺度
❖ 凡不满足均匀性要求的紊流（当然也不满足各向同性）,称为剪切紊 流。
❖ 当紊流中存在切应力时，就有流速梯度，导致各处的紊流统计量不 相同，从而破坏了紊流的均匀性和各向同性。这种紊流是最常见的， 它比各向同性紊流复杂得多。
R i(a,) ui(a)ui(a) ui2(a) ui2(a)
对均匀( jūnyún)
紊流有:
(3-3-1)
u u u i2 (a ) i2 (a) i2
均匀紊流的欧拉空间相关系数为:
Ri()ui(a)u uii2(a)
(3-3-2)
当ξ等于零时，Ri(ξ)应等于1；ξ愈大，Ri(ξ)愈小; 当ξ超过一定的值，Ri(ξ)渐趋于零(两点分别位于不同的涡体）。
❖ 各态历经(lì jīnɡ)：一个随机过程在重复多次试验出现的所有样 本，亦将在一次试验的相当长时间或相当大的范围内出现，并 且出现的概率相同。
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第三节 紊流统计量和紊流尺度
一、紊流的分类(fēn lèi)
❖ 紊流按其流动特点可分为可分两大类：均匀各向同性(ɡè xiànɡ tónɡ xìnɡ)紊流和剪切紊流。
第三节 紊流统计量和紊流尺度
3、欧拉紊流尺度(chǐdù) （比尺）
➢从紊流统计(tǒngjì)理论看，其空间点的脉动量可以视为各种不 同尺度(或不同脉动频率)的涡体经过该点所造成的涨落，较大尺 度涡体包含着较小尺度涡体。
➢大尺度涡体频率低，小尺度涡体频率高。 ➢由相关系数的概念，引入涡体的平均尺度(积分尺度)。
的乘积的统计平均值。
R i(t,)
ui(t)ui(t) u u i2(t) i2(t)
(3-3-3)
如果紊流在恒定流中发生(fāshēng)，紊流场是平稳的，
便有:
u u u i 2 ( t) i 2 ( t) i 2
所以恒定流的欧拉时间相关系数为:
Ri()ui(t)u uii(2t)
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(3-3-4)
动不稳定，扰动才能发展形成紊流。
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第三节 紊流统计(tǒngjì)量和紊流尺度
❖ 因为紊流和紊动扩散是随机过程，在描述它的运动时， 常用(chánɡ yònɡ)统计平均方法。
❖ 统计平均方法通常有时间平均法（简称时均法）、空间 平均法和总体平均法共三种平均法。
x
1
T
xdt
T0
x
1 V
V
xdV
速度的乘稳的紊流场中，相应的相关系数为:
R L(y)uy(tu )u y2 y(T )uy(t)u uy y2 (t)
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第四节 紊动扩散理论
故式(3-4-2)可变为：
(ddy2t)T2uy20 TRLy()d
(3-4-3)
上式的T 也可理解(lǐjiě)为任一指定时刻t，故有扩散距离的方差：
❖ 在均匀紊流中，各种物理量的统计平均值当坐标平移时,均保 持不变，例如有:
u u u 1 2 C 1 ,2 2 C 2 ,3 2 C 3
式中：u1 、u2 、u3 分别为沿三条直角坐标的脉动流速分量；
字母上方的“—”示取统计平均(例如取时间平均);
C1、C2 、C3均为常量。
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第三节 紊流统计量和紊流尺度
间t 的变化率为
y
dy2
dy
( dt)T(2ydt)T
(3-4-1)
v'
x u
图 单个质点的紊动扩散
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因为 (yīn wèi)：
有
(ddy2t)T(2yddyt)T (ddyt)T uy(T)
y(T)0 Tuy(t)dt
将上两式代入式： (ddy2t)T(2yddyt)T
有
(dd2yt)T20 Tu'y(t)u'y(T)dt
❖ 在剪切紊流中，存在着尺度由大到小的一系列涡体。研究证实，大 涡区和中涡区受外界条件(tiáojiàn)的明显影响，不是各向同性的， 但小涡区不受外界条件(tiáojiàn)的直接影响，常近似地具有各向 同性的性质，这称为局部各向同性。
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第三节 紊流统计量和紊流尺度
在紊流中，常要分析两个脉动流速分量的相关矩(即协方差)， 它们表征着紊动的重要(zhòngyào)性质。
T L i0 R L( i)d
(3-3-9)
其中假想的以TLi为底的矩形(jǔxíng) 面积与RLi曲线下的面积相等。它反 映同一质点，不同时刻的随机变量之 间保持有关所经历的时间长度。
图 拉格朗日时间平均尺度
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第三节 紊流统计量和紊流尺度
在 i 方向上，拉格朗日时间平均尺度(chǐdù)的定义为：
s 2 y (t) y 2 (t) 2 u y 2 0 td0 T T R L y ( )d
(3-4-4)
称为(chēnɡ wéi)泰
勒扩散公式 它表示在平稳的紊流场中扩散距离方差与 u成y2 正比，也与扩散
历时t 有关。
对其他方向 x 和 z 也有类似公式。
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两种特殊情况：
第四节 紊动扩散理论
第三节 紊流统计(tǒngjì)量和紊流尺度
紊流的特性
脉动性：各种流动参量如流速、压力等的值呈现强烈的脉动 现象，具有一定的随机性
不规则性：流体质点做极不规则的运动 扩散性：流体的各项特性如动量、能量、温度和含有物质的
浓度等通过紊动向各方向传递 三维有涡性：紊流是有涡运动，而且总具有三维的特性 大雷诺数：流体的雷诺数超过(chāoguò)某个临界值后，流
上式表明，对短的扩散历时（ t＜＜TLy）距离方差σi2与t 2成正比，
这是与分子扩散规律不同(bù tónɡ)的，属于非费克型扩散。
sx2与扩散历时t成正比的扩散—费克型扩散
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第四节 紊动扩散(kuòsàn)理论
（2）t ＞＞TLy
此时(cǐ
第三节 紊流统计量和紊流尺度
ui(t)
ui(t)
ui(t)ui(t)
图 拉格朗日相关流速分量示意图
指跟踪一个质点看，在不同时刻、同一方向(fāngxiàng)的脉动 流速分量的乘积的统计平均值。
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第三节 紊流统计量和紊流尺度
三、拉格朗日相关和紊流尺度
ui(t)
ui(t)
相应(xiāngyīng)的相关系数为：
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第三节 紊流统计量和紊流尺度
3、欧拉紊流尺度(chǐdù) （比尺） （1）欧拉空间平均尺度
对均匀紊流来说，取距离为ξ的两点，如果涡体的平均尺 度较大(jiào dà)，两点处于同一涡体，则空间相关系数 Ri(ξ)就大；
如果涡体平均尺度小，两点分别处于两个涡体中，Ri(ξ)就 小。
Ri(ξ)与涡体平均尺度有密切关系。
T L i 0 R L(i )d
(3-3-9)
拉格朗日空间平均尺度(chǐdù)（或称为扩散平均尺度(chǐdù)）定义
为：
Li vi'2TLi
(3-3-10)
式中： v i 2 称为i 方向的紊流强度。
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第四节 紊动扩散(kuòsàn)理论
❖ 由于紊流脉动流速的作用使污染物质发生输移的现象称为 (chēnɡ wéi)紊动扩散。
从前面介绍的拉格朗日脉动(màidòng)流速相关系数可以看到，示踪 质点的脉动(màidòng)速度在运动过程的一段时间内都是相关的。
只有当经历的时间间隔t >>TLi之后（或经历的位移L>>ΛLi之后） 才能认为此时的脉动流速与t 之前的脉动流速无关。
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第四节 紊动扩散理论
一、单个质点(zhìdiǎn)的紊动扩散
泰勒（Taylor）1921年首先应用统计(tǒngjì)理论和拉格 朗日方法来研究单个质点的紊动扩散问题。
不失一般性，讨论水流以时间平均流速 u沿 x 方向作均 匀流动时，示踪质点由于紊动在 y 方向的扩散。如果在速度为
的动u 坐标系统上观察，质点由于在 y 方向上脉动速度u 的作
用，在 y 方向上的随机位移为y ，则在某一指定时刻T, y2随时
涡体空间在i方向上的空间平均尺度定义为：
LEi0Ri()d
(3-3-5)
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LEi0Ri()d
第三节 紊流统计量和紊流尺度
图 欧拉空间平均(píngjūn)尺度LEi 图中假想(jiǎxiǎng)的矩形面积与Ri(ξ)曲线下的面积相等。 LEi的意义是体现了涡体尺度在i方向上的空间平均值。
紊流的脉动流速是随机性，因而使污染物质质点的位移也 是随机性的，它们的随机性与液体分子运动的随机性是否 相类似？
由于液体分子运动的作用使污染物质点发生随机运动时的距离方
差与扩散历时成正比：sx2 =2D 。
在紊动扩散问题上的距离方差是否也具有与历时成正比的同样规律
呢？分子扩散系数D是反映由于液体分子运动使污染物质点发生位
（1） t＜＜TLy（TLy为y方向上的拉格朗日时间(shíjiān)平均尺度） 此时有τ趋近于0， RLy ≈1：
s 2 y (t) y 2 (t) 2 u y 2 0 td0 T T R L y ( )d
s2 y(t)y2(t)uy2t2
或
( 3-4-5a )
sy(t) y2(t)uy2t
( 3-4-5b )
移时用于表达通量与浓度梯度成比例的一个系数（费克定律），那 么，由于紊动而使示踪质点发生输移时，是否还要使用类似的系数 呢？
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第四节 紊动扩散理论
❖ 液体分子运动的速度和紊流脉动流速的随机特征是不同的。 ❖ 液体分子运动的下一步状态(zhuàngtài)，只与当前的状态
(zhuàngtài)有关，而与以前的运动历史无关。
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第三节 紊流统计(tǒngjì)量和紊流尺度
1、欧拉空间(kōngjiān)相关 定义为：
ui(a)ui(a)
u
' i
x
xa
xa + Dx
图 脉动流速分量示意图
指同一瞬时、不同两点的 同一方向脉动流速分量的 乘积的统计平均值。
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第三节 紊流统计量和紊流尺度
相应(xiāngyīng)的相关系数为:
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第三节 紊流统计(tǒngjì)量和紊流尺度
(2)欧拉时间平均尺度 类似地，当紊流场是平稳的，可以(kěyǐ)用时间相关系数定义时 间平均尺度：
T E i0 R i()d
(3-3-6)
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三、拉格朗日相关和紊流尺度
从拉格朗日观点出发，一个 液体(yètǐ)质点在运行过程中的 脉动流速的相关矩定义为：
二、欧拉相关(xiāngguān) 和紊流尺度
1、欧拉空间相关 定义为：
ui(a)ui(a)
u
' i
xa
x xa + Dx
图 脉动流速分量示意图
其中:
u
' i
为在i方向上的脉动流速分量；
a 为a点的某一方向的坐标，例如取为xa或ya ;
a + 为另一点的同一方向的坐标，相应为xa + Dx 或
ya + Dy。
xp xP(q)dq
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第三节 紊流统计(tǒngjì)量和紊流尺度
❖ 因为紊流和紊动扩散是随机过程，在描述它的运动时，常用统计 平均方法。
❖ 统计平均方法通常有时间平均法（简称时均法）、空间平均 法和总体平均法共三种平均法。
❖ 如果随机过程是各态历经的，则时均值、空间平均值、总 体平均值三者是互等的。
一、紊流的分类(fēn
lèi) ❖ 在均匀紊流中，如果各种物理量的统计平均值还与方向无
关，亦即当坐标轴作任何旋转或镜射时，各种物理量的统
计平均值仍保持不变，例如有
v 1' v 2' v 3'
❖
v1 '2v2 '2v3 '2
❖ 则称这种紊流为均匀各向同性紊流，或简称(jiǎnchēng)
为各向同性紊流。
上式是对一个(yī ɡè)示踪质点而论的
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第四节 紊动扩散理论
第四节 紊动扩散理论
如果(rúguǒ)观察大量示踪质点，然后取总体平均， 则有：
(3-4-2)
式中的t T 。
设：时间间隔(jiàn gé)t =T-t υy¢(t)υy¢(T )为同一个质点在时间间隔(jiàn gé)为t 的两个脉动
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Ri()ui(a)u uii2(a)
第三节 紊流统计(tǒngjì)量和紊流尺度
图 欧拉空间(kōngjiān)相关系数 Ri(x)
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2、欧拉时间(shíjiān)相关 定义为:
相应的相关ui系(t数)u为i(:t)
第三节 紊流统计量和紊流尺度
指同一空间点，同一方向的脉动流
速分量，在不同瞬时(相隔时段为 )
图 拉格朗日相关流速分量示意图
R L(i )
ui(t)ui(t) ui2(t) ui2(t)
如果(rúguǒ)紊流场是平稳的，上式变为：
(3-3-7)
RL(i)ui(t)u uii(2t)
(3-3-8)
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第三节 紊流统计量和紊流尺度
在 i 方向上，拉格朗日时间平均尺度(chǐdù)的定义为：