2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆卷·理科)(附答案)

设函数 f (x) = ax2 + bx + c(a 0), 曲线 y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））
处的切线垂直于 y 轴. （Ⅰ）用 a 分别表示 b 和 c； （Ⅱ）当 bc 取得最小值时，求函数 g(x)=-f(x)e-x 的单调区间.
（21）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分.）
(C)外切
(D)内切
(4)已知函数 y= 1− x + x + 3 的最大值为 M,最小值为 m,则 m 的值为 M
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(A) 1 4
(B) 1 2
(C) 2 2
(D) 3 2
(5)已知随机变量 服从正态分布 N(3,a2),则 P( 3) ＝
而 AD⊥DB.而 DB⊥BC,故 DB 为异面直线 AD 与 BC 的公垂线.
下求 DB 之长.在答（19）图 1 中，由 AD = AE = 2 ，得 DE = AD = 2 .
CB BC
BC AB 3
又已知 DE=3,从而 BC = 3 DE = 9 .
2
2
AB =
AC2 − BC2 =
15 2 2
(A)1+2i
(B)1-2i
(C)-1
(D)3
(2)设 m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(3)圆 O1:x2+y2-2x=0 和圆 O2:x2+y2-4y=0 的位置关系是
(A)相离
(B)相交
sin B sin C 3 9
9
（18）（本小题 13 分）
解：令 Ak , Bk ,Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满 3 局比
赛还未停止的概率为
P( A1C2B3) +
P(B1C2 A3)
=
1 23
+
1 23
=
1. 4
（Ⅱ） 的所有可能值为 2，3，4，5，6，且
（11）设集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(A B) ( C) =
.
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（12）已知函数 f(x)= (当 x 0 时) ，点在 x=0 处连续，则 lim an2 + 1 =
同理可得
cos C
=
a2
+ b2
− c2
=
7 c2 9
+ 1 c 2 −c2 9
=
−
1
,
2ab
2 7 c 1c
27
33
sin C = 1− cos2 C = 1− 1 = 3 3 . 28 2 7
从而 cot B + cot C = cos B + cos C = 5 3 − 1 3 = 14 3 .
(A) 1 5
(B) 1 4
(C) 1 3
(D) 1 2
(6)若定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意 x1,x2R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定
正确的是
(A)f(x)为奇函数
（B）f(x)为偶函数
(C) f(x)+1 为奇函数
（D）f(x)+1 为偶函数
(7)若过两点 P1(-1,2),P2(5,6)的直线与 x 轴相交于点 P，则点 P 分有向线段 P1P2 所成的比 的值
如题（19）图，在 ABC 中，B= 90 ,AC= 15 ,D、E 两点分别在 AB、AC 上.使 2
AD = AE = 2 ,DE=3.现将 ABC 沿 DE 折成直二角角，求： DB EC
（Ⅰ）异面直线 AD 与 BC 的距离；
（Ⅱ）二面角 A-EC-B 的大小（用反三角函数表示）.
（20）（本小题满分 13 分.（Ⅰ）小问 5 分.（Ⅱ）小问 8 分.）
（11） 2，5
（12） 1 3
三、解答题：满分 76 分.
（13）3
（14）-72 （15）x-y+1=0
（17）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得
（16）216
a2 = b2 + c2 − 2b cos A
＝ (1 c) 2+c2 − 2 1 c c 1 = 7 c2,
3
3 29
故a= 7. c3
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2008 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷（理工农医类）
数学试题卷(理工农医类)共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦
（Ⅱ）解法一： cot B + cot C
＝ cos B sin C + cos C sin B sin B sin C
＝ sin(B + C) = sin A , sin B sin C sin B sin C
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
sin A
=
1
a2 ·
=
2
7 c2 ·9
=
14
= 14
3.
sin B sin C sin A bc 3 1 c·c 3 3 9
连胜两局或打满 6 局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为 1 ，且各局胜负相互独立.求： 2
（Ⅰ） 打满 3 局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数 的分别列与期望 E .
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（19）（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 7 分.）
3
设各项均为正数的数列{an}满足 a1 = 2, an = aa2+1aa+2 (n N*) .
（Ⅰ）若 a2
=
1 4
，求
a3，a4，并猜想
a2cos 的值（不需证明）；
（Ⅱ）记 bn = a3a2 an (n N*), 若bn 2 2 对 n≥2 恒成立，求 a2 的值及数列{bn}的通项
公式.
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2008 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（理工农医类）答案
一、选择题：每小题 5 分，满分 50 分.
（1）A
（2）A
（3）B
（4）C
（5）D
（6）C
（7）A
（8）C
（9）D
（10）B
二、填空题：每小题 4 分，满分 24 分.
如图（21）图，M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点，动点 P 满足： PM + PN = 6.
（Ⅰ）求点 P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若 PM ·PN ＝
2
,求点 P 的坐标.
1− cos MPN
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（22）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分.）
−
y2 b2
=1
(D) x2 5b2
−
y2 b2
=1
(9)如解（9）图，体积为 V 的大球内有 4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有
且只有一个交点，4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点.V1 为小球相交部分（图 中阴影部分）的体积，V2 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下 列关系中正确的是
DB = 2, EC = 1 15 = 5 , 32 2
因此 sin BCE = DB = 4 . EC 5
从而在 Rt△DFE 中，DE=3,
DF = DE sin DEF = DE sin BCE = 3 4 = 12 . 55= 6.
因 DB = 1 , 故DB＝2. AB 3
（Ⅱ）在第（19）图 2 中，过 D 作 DF⊥CE,交 CE 的延长线于 F，连接 AF.由（1）知， AD⊥底面 DBCE,由三垂线定理知 AF⊥FC,故∠AFD 为二面角 A-BC-B 的平面 角. 在底面 DBCE 中，∠DEF=∠BCE,
方程为
.
(16)某人有 4 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的 6 个点 A、B、C、
A1、B1、C1 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种
颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有
种（用数字作答）.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. （17）（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 7 分）
P(
=
2) =
P( A1A2 ) + P(B1B2 )
=
1 22
+
1 22
=
1, 2
P(
=
3)
=
P( A1C2C3) +
P( B1C2C3 )
=
1 23
+
1 23
=
1. 4
1 11
P(
=
4) =
P( A1C2B3B4 ) + P(B1C2 A3 A4 )
=
24
+
24
=
. 8
11 1
P( = 5)
=
P( A1C2B3 A4 A5 ) + P(B1C2 A3B4B5 ) =
25
+
25
=, 16
P(
=
6)
=
P( A1C2B3 A4C5 ) + P(B1C2 A3B4C5 )
=
1 25
+
1 25
=
1, 16
故有分布列
2
3
4
5
6
P1 1 1
11
2 4 8 16 16
从而 E = 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 = 47 （局）. 2 4 8 16 16 16
.
x→ a2n2 + n
1
(13)已知 a 2
=
4 (a>0) 9
，则 log2
3
a
=
.
(14)设 Sn=是等差数列{an}的前 n 项和，a12=-8,S9=-9,则 S16=
.
（15）直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点 A，B，弦 AB 的中点为（0，1），则直线 l 的
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn(K)=kmPk(1-P)n-k 以 R 为半径的球的体积 V= 4 πR3.
3
一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一
项是符合题目要求的.
（1）复数 1+ 2 = i2
干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)
3
故 cot B + cot C = 14 3 . 9
解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
cos B
=
a2
+ c2
− b2
=
7 c2 9
+ c2
− (1 c)2 3
2ac
2 7cc
3
＝5. 27
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故 sin B = 1− cos2 B = 1− 25 = 3 . 28 2 7
设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，且 A= 60 ，c=3b.求：
（Ⅰ） a 的值； c
（Ⅱ）cotB +cot C 的值.
（18）（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 8 分.） 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前 一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人
（19）（本小题 13 分）
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解法一：
（Ⅰ）在答（19）图 1 中，因 AD = AE ，故 BE∥BC.又因 B＝90°，从而 DB CE
AD⊥DE.
在第（19）图 2 中，因 A-DE-B 是直二面角，AD⊥DE,故 AD⊥底面 DBCE，从
（A）V1= V 2
（C）V1> V2
(B) V2= V 2
（D）V1< V2
(10)函数 f(x)=
sin x −1
( 0 x 2 ) 的值域是
3 − 2cos x − 2sin x
（A）[- 2 , 0 ] 2
(B)[-1,0] （C）[- 2,0 ] （D）[- 3, 0 ]
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填写在答题卡相应位置上
为
(A)－ 1 3
(B) － 1 5
(C) 1 5
(D) 1 3
(8)已知双曲线 x2 − y2 = 1（a＞0,b＞0）的一条渐近线为 y=kx(k＞0),离心率 e= 5k ,则双曲线 a2 b2
方程为
（A） x2 － y2 =1 a2 4a2
(B) x2 a2
y2 − 5a2
=1
(C) x2 4b2