北师大版数学八年级上册4.2 一次函数与正比例函数 教案设计

第四章一次函数与正比例函数
一、教学目标
(1)理解一次函数和正比例函数的概念；
(2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
(3)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；
(4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力.
(5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.
(6)在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
重点：理解一次函数和正比例函数的概念.
难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.
二、教学过程设计
第一环节：复习引入
1、函数的概念：一般地，在某个变化过程中，有两个变量和，如果给定一个的值，相应地就确定了一个值，那么我们称y是的函数。

其中x是，y是。

2、函数的表示方法：、、。

第二环节：新课讲述
例1 某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:
x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm
(2)你能写出x与y之间的关系式吗?
例2 某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.
注意哦！判断一个函数是否为一次函数，应注意以下三点：（1）右边是关于x 的整式；（2）自变量x 的次数为1；（3）k ≠0。

三者缺一不可。

(1)完成下表: 汽车行驶路程
x/km
0 50 100 150 200 300
油箱剩余汽油量
y/L
(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗?
(3)汽车行驶的路程x 可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y 呢? 通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念:
一般地,若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y kx b =+(,k b 为常数,k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 是自变量,y 为因变量).特别地,当0b =时,则y 是x 的正比例函数. 第三环节：试一试，练一练
例3.在函数(1)3y x =
,(2)5y x =-,(3)4y x =-,(4)223y x x =-, (5)2y x =- (6)12
y x =-中是一次函数的是 ,是正比例函数的是 .
注意：理解定义时一定要注意以下几点：
（1）一次函数的表达式b kx y +=是一个等式，其左边是y ，右边是关于自变量x 的整式；（2）自变量x 的次数为1，系数k ≠0；（3）当b=0，而k ≠0时，y=kx 仍为一次函数，又叫正比例函数，当k=0时，它不是一次函数；（4）正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数。

例4,.已知函数：m 21x )10m (y -+-=
（1）m 为何值时，这个函数是一次函数？（2）m 为何值时，这个函数是正比例函数？ 解：（1）根据一次函数的定义，可得m-10 0，
所以当 时，这个函数是一次函数。

（2）根据正比例函数的定义，可得m-10 0且1-2m 0;
所以当 时，这个函数是正比例函数。

例5.当k = 时,函数28(3)5k
y k x -=+-是关于x 的一次函数.
实践练习：（1）下列函数：①x 3y π=、②6x 8y -=、③x 1y =、④x 82
1y -=、⑤1x 4x 5y 2+-=中是一次函数的有 ；是正比例函数的有 （只填序号）
（2）已知一次函数3x )1k (y k +-=，则k= 。

第四环节：知识提高
例6. 写出下列各题中x 与y 之间的关系式,并判断:y 是否为x 的一次函数?是否为正比例函数?
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y (千米)与行驶时间x (时)之间的关系；
(2)圆的面积y (厘米2)与它的半径x (厘米)之间的关系；
(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x 个月后这棵树的高度为y (厘米),则y 与x 的关系.
例7 某工厂加工一批产品，为了提前交货，规定每个工人完成100个以内，每个产品付酬1.5元，超过100个，超过部分每个付酬增加0.3元；超过200个，超过部分除按上述规定外，每个产品再增加0.4元，求对于一个工人：
（1）完成100个以内所得报酬y （元）与产品数x （个）之间的函数关系式；
（2）完成100个以上，但不超过200个所得报酬y （元）与产品数x （个）之间的函数关系式；
（3）完成200个以上所得报酬y （元）与产品数x （个）之间的函数关系式。

分析：（1）每个产品付酬1.5元，x 个应付 元；
（2）100个以上时，报酬应为100×1.5＋100个以上的部分× ；
（3）完成200个以上所得报酬为100×1.5＋100×1.8＋超过200个的部分× ；
解：（1）y= （x ≤100） （2）y= （100＜x ≤200）
（3）y= （x ＞100）
注意：所得报酬应根据完成零件的个数的多少分不同的价格计算！！
第五环节：课堂小结
1、若两个变量x 、y 间的对应关系可以表示成： （k,b 为常数，k 0）的形式，则y 是x 的 （x 是自变量，y 是因变量）。

特别地，当b=0时，称y 是x 的 。

2、理解一次函数定义时一定要注意以下几点：
（1）一次函数的表达式b kx y +=是一个 式，其左边是y ，右边是关于自变量x 的 式；（2）自变量x 的次数为 ，系数k 0；（3）当b=0，而k ≠0时，y=kx 仍为 ，又叫 ，当k=0时，它不是一次函数；（4）正比例函数是 的特例，但一次函数不一定是正比例函数。

第六环节: 课后练习
1、 有下列函数：①3x y -
=、②x 8y -=、③、)x 81(x x 8y 2-+=、④6x y +=、 ⑤x 43y -=、⑥5x 2y 2-=
中是一次函数的有 ；是正比例函数的有 （只填序号）
2、若函数m 5x )2m (y -+-=是一次函数，则m ；若此函数是正比例函数，则m 。

3、当m 时，函数4m x )2m (y 3m 2-+--=-是一次函数。

4、写出下列各题中y 与x 之间的关系式，并判断：y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？
（1）每盒铅笔有12支，售18元，铅笔售价y （元）与铅笔数量x （支）之间的关系；
（2）设一个长方体盒子高为8cm ，底面是正方形，求这个长方体的体积y （cm 3）与底面边长x （cm ）之间的关系；。