安徽省蚌埠市2020-2021学年度第一学期期末学业水平监测 高二数学(文科)PDF版

ＡＢ斜率为
ｋ＝ｙ１ ｘ１
－ｙ２ －ｘ２
＝－４（ｘ１ ８（ｙ１
＋ｘ２） ＝－１， ＋ｙ２）
直线 ＡＢ方程为 ｙ＝－ｘ＋３，…………………………………………………… ９分
{ 联立方程
ｘ２
＋２ｙ２
＝８ 消去
ｙ，得
３ｘ２
－１２ｘ＋１０＝０，
ｙ＝－ｘ＋３，
所以 ｘ１ ＋ｘ２ ＝４，ｘ１ｘ２ ＝１３０，
｜ＡＢ｜＝ 槡１＋ｋ２· 槡（ｘ１ ＋ｘ２）２ －４ｘ１ｘ２ ＝４３槡３ …………………………… １２分
１．下列命题正确的是
Ａ棱柱的每个面都是平行四边形
Ｂ一个棱柱至少有五个面
Ｃ棱柱有且只有两个面互相平行
Ｄ棱柱的侧面都是矩形
２．空间直角坐标系中，点（１，２，－３）关于 ｚ轴的对称点坐标为
Ａ（－１，－２，－３） Ｂ（１，２，３）
Ｃ（１，－２，－３） Ｄ（－１，－２，３）
３．已知函数 ｆ（ｘ） ＝ｘ３ －２ｘ，则 ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线的倾斜角为
（２）求 ｜ＡＢ｜．
２０．（本小题满分 １２分） 如图，平行四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＢ＝４５°，ＰＤ⊥ 平面 ＡＢＣＤ，ＰＡ⊥ ＢＤ，ＢＤ ＝ＰＤ，ＡＢ＝４． （１）求证：平面 ＰＢＣ⊥ 平面 ＰＢＤ； （２）若点 Ｍ，Ｎ分别是 ＰＡ，ＰＣ的中点，求三棱锥 Ｐ－ＭＢＮ的体 积．
第 ２０题图
蚌埠市高二数学（文）试卷第３页（共４页）
古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的
结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且
球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满
意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻
着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱 的两个底面及侧 面 均 相 切，圆 柱 的 底 面 直 径 与 高 都 等 于
（２）若命题 ｑ为真命题，则（ｍ ＋３）（ｍ －２） ＜０，解得 －３＜ｍ ＜２．…………… ６分
命题 ｐ∨ ｑ是真命题，命题 ｐ∧ ｑ是假命题，所以命题 ｐ和命题 ｑ一真一假．
{ 若 ｐ真 ｑ假，则 －５＜ｍ ＜－１ 解得 －５＜ｍ≤ －３ …………………… ９分 ｍ≤ －３或 ｍ≥ ２，
{ 若 ｐ假 ｑ真，则
． 蚌埠市高二数学（文）试卷第２页（共４页）
三、解答题：本大题共 ６小题，共 ７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １７．（本小题满分 １０分） 点 Ａ（－１，０）和点 Ｂ（３，０）都在圆 Ｃ上，圆 Ｃ的圆心在直线 ｙ＝２ｘ上，求圆 Ｃ的标准方程．
１８．（本小题满分 １２分） 已知命题 ｐ：直线 ｘ＋ｙ＋１＝０与圆（ｘ－ｍ）２ ＋（ｙ－２）２ ＝２相交；命题 ｑ：关于 ｘ，ｙ的方 程ｍｘ＋２ ３＋ｍｙ－２ ２ ＝１表示双曲线．
第 ６题图
球的直径，若球的体积为 ３６π，则圆柱的体积为
Ａ３６π
Ｂ４５π
Ｃ５４π
Ｄ６３π
７．“ｍ ＝２”是“直线 ２ｘ＋ｍｙ＋１＝０与直线 ｍｘ＋２ｙ－１＝０平行”的
Ａ充分不必要条件
Ｂ必要不充分条件
Ｃ既不充分也不必要条件
Ｄ充要条件
蚌埠市高二数学（文）试卷第１页（共４页）
８．已知空间中 ｌ，ｍ，ｎ是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是
{ｘ２ １ ８ ｘ２ ２
＋ｙ２ １ ４
＋ｙ２ ２
＝１，两式相减得，（ｘ１ ＝１，
－ｘ２）（ｘ１ ８
＋ｘ２）＋（ｙ１
－ｙ２）（ｙ１ ４
＋ｙ２）
＝０，
８４
…………………………………………………………………………………… ６分
由点
Ｐ（２，１）是线段
ＡＢ的中点知，ｘ１
＋ｘ２ ２
＝２，ｙ１ ＋ｙ２ ２
＝１，
直线
２１．（本小题满分 １２分）
已知函数
ｆ（ｘ）
＝ｘ－
ａ ｘ
－ｌｎｘ．
（１）当 ａ＝－２时，求函数 ｆ（ｘ）的极值； （２）若 ｆ（ｘ） ＞ｘ－ｘ２在（１，＋∞）上恒成立，求实数 ａ的取值范围．
２２．（本小题满分 １２分） 温馨提示：本大题为选做试题，其中省示范高中、北师大附中、北大培文一律选做 Ｂ，其余学 校的考生自主选择，请先在答题卷相应位置按要求作标注再答题． （Ａ）已知抛物线 Ｃ的方程为 ｘ２ ＝４ｙ，过点 Ｐ作抛物线 Ｃ的两条切线，切点分别为 Ａ，Ｂ． （１）若点 Ｐ坐标为（０，－１），求切线 ＰＡ，ＰＢ的方程； （２）若点 Ｐ是抛物线 Ｃ的准线上的任意一点，求证：切线 ＰＡ和 ＰＢ互相垂直． （Ｂ）已知抛物线 Ｃ的方程为 ｘ２ ＝４ｙ，点 Ｐ是抛物线 Ｃ的准线上的任意一点，过点 Ｐ作抛物 线 Ｃ的两条切线，切点分别为 Ａ，Ｂ，点 Ｍ是 ＡＢ的中点． （１）求证：切线 ＰＡ和 ＰＢ互相垂直； （２）求证：直线 ＰＭ与 ｙ轴平行； （３）求 △ＰＡＢ面积的最小值．
蚌埠市 ２０２０—２０２１学年度第一学期期末学业水平监测
高 二 数 学 （文 科 ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 １５０分，考试时间 １２０分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共 ６０分）
一、选择题：本大题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分．在每小题给出的 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个选项
中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上．
三、解答题： １７．（本题满分 １０分） 解：由题意，圆心在线段 ＡＢ的垂直平分线上，易知 ＡＢ的中垂线为直线 ｘ＝１，……… ２分
{ 联立方程 ｘ＝１，解得圆心坐标为（１，２）， ………………………………………… ４分 ｙ＝２ｘ，
所以半径 ｒ＝ 槡（３－１）２ ＋（０－２）２ ＝２槡２，……………………………………… ８分
蚌埠市高二数学（文）试卷第４页（共４页）
蚌埠市 ２０２０—２０２１学年度第一学期期末学业水平监测
高二数学参考答案及评分标准（文科）
一．选择题：（每小题 ５分，共 ６０分）
题号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答案
ＢＡＣＣＡＡＤＢＤＣＢＡ
二．填空题：（每小题 ５分，共 ２０分） １３．ｘ∈ （１，＋∞），ｘ２≤ ４ １４．２ｘ±ｙ＝０ １５．－１ １６．２０π
（１）若命题 ｐ是真命题，求实数 ｍ的取值范围； （２）若命题 ｐ∨ ｑ是真命题，命题 ｐ∧ ｑ是假命题，求实数 ｍ的取值范围．
１９．（本小题满分 １２分）
已知椭圆
Ｃ：ａｘ２２
＋ｙ２ ４
＝１（ａ＞２）的离心率为槡２２，点
Ａ，Ｂ是椭圆
Ｃ上的两个点，点
Ｐ（２，１）
是线段 ＡＢ的中点．
（１）求椭圆 Ｃ的标准方程；
ｍ≤ －５或
ｍ≥
－１ 解得
－１≤
ｍ
＜２，
－３＜ｍ ＜２，
综上可知，实数 ｍ的取值范围是（－５，－３］∪ ［－１，２）．…………………… １２分 １９．（本题满分 １２分）
解：（１）由条件知，ａｃ
＝槡２２，所以
槡ａ２ －４
ａ
＝槡２２，………………………………………
２分
解得
ａ＝２槡２，所以椭圆的标准方程为
Ａ若 ｍ∥ α，ｎ∥ α，则 ｍ∥ ｎ
Ｂ若 ｍ⊥ α，ｍ⊥ β，则 α∥ β
Ｃ若 ｍ∥ α，ｍ∥ β，则 α∥ β
Ｄ若 ｌ⊥ ｍ，ｌ⊥ ｎ，则 ｍ∥ ｎ
９．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反
射光线平 行 于 抛 物 线 的 轴．探 照 灯、手 电 筒 也 是 利 用 这 个 原 理 设 计 的．已 知 抛 物 线 ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，从点 Ｆ出发的光线经第一象限内抛物线上一点 Ｐ反射后的光
（２）由（１）可知，ＢＤ⊥ ＡＤ，而 ∠ＤＡＢ ＝４５°，则 △ＡＤＢ为等腰直角三角形，又 ＡＢ ＝４，
所以 ＰＤ ＝ＢＤ ＝ＡＤ ＝２槡２．…………………………………………………… ８分 连接 ＡＣ，由点 Ｍ，Ｎ分别是 ＰＡ，ＰＣ的中点，所以 △ＰＭＮ∽ △ＰＡＣ且 ＭＮ ＝ １２ＡＣ，
所以 Ｓ△ＰＭＮ ＝ １ ４Ｓ△ＰＡＣ，则 ＶＰ－ＭＢＮ ＝ ＶＢ－ＰＭＮ ＝ １４ＶＢ－ＰＡＣ ＝ １４ＶＰ－ＡＢＣ．………… １０分
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ １１．已知点 Ｆ是椭圆 Ｃ：ａｘ２２ ＋ｙ ｂ２ ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的一个焦点，点 Ｐ是椭圆 Ｃ上的任意一点且点
Ｐ不在 ｘ轴上，点 Ｍ是线段 ＰＦ的中点，点 Ｏ为坐标原点．连接 ＯＭ并延长交圆 ｘ２ ＋ｙ２ ＝ａ２
于点 Ｎ，则 △ＰＦＮ的形状是
１３．已知命题 ｐ：ｘ∈ （１，＋∞），ｘ２ ＞４，则命题 ｐ为
．
１４．双曲线
ｙ２ ４
－ｘ２
＝１的渐近线方程为
１５．已知 ｆ（ｘ） ＝ｆ′（π３）·ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，则 ｆ（π３）
．
１６．三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ⊥ 平面 ＡＢＣ，ＰＡ＝ＢＣ ＝２，∠ＢＡＣ ＝３０°，则三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ的外
接球表面积为
２０．（本题满分 １２分） 解：（１）因为 ＰＤ⊥ 平面 ＡＢＣＤ，ＢＤ 平面 ＡＢＣＤ，所以 ＰＤ⊥ ＢＤ． 又 ＰＡ⊥ ＢＤ，ＰＡ∩ ＰＤ ＝Ｐ，平面 ＰＤ 平面 ＰＡＤ，ＰＡ 平面 ＰＡＤ， 所以 ＢＤ⊥ 平面 ＰＡＤ，…………………………………………………………… ２分 而 ＡＤ 平面 ＰＡＤ，所以 ＢＤ⊥ ＡＤ．在平行四边形 ＡＢＣＤ中， ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ＢＤ⊥ ＢＣ． 由 ＰＤ⊥ 平面 ＡＢＣＤ，ＢＣ 平面 ＡＢＣＤ，所以 ＰＤ⊥ ＢＣ， …………………… ４分 而 ＢＤ∩ ＰＤ ＝Ｄ，ＰＤ 平面 ＰＢＤ，ＢＤ 平面 ＰＢＤ，所以 ＢＣ⊥ 平面 ＰＢＤ． 又 ＢＣ 平面 ＰＢＣ，所以平面 ＰＢＣ⊥ 平面 ＰＢＤ． …………………………… ６分 蚌埠市高二数学（文）试卷答案第２页（共４页）
线所在直线方程为 ｙ＝２，若入射光线 ＦＰ的斜率为 ４３，则抛物线方程为
Ａｙ２ ＝８ｘ
Ｂｙ２ ＝６ｘ
Ｃｙ２ ＝４ｘ
Ｄｙ２ ＝２ｘ
１０．一个圆锥中挖去了一个正方体，其直观图如图 １，正方体的下底面在圆锥底面内，正方体上
底面的四个顶点在圆锥侧面内．该几何体的俯视图如图 ２，则其主视图可能为
图 １ 图 ２ 第 １０题图
消去 ｙ，得
ｙ＝ｋｘ＋（１－２ｋ）
（２ｋ２ ＋１）ｘ２ ＋４ｋ（１－２ｋ）ｘ＋２（４ｋ２ －４ｋ－３） ＝０，
ｘ１ ＋ｘ２ ＝４ｋ２（ｋ２２ｋ＋－１１），ｘ１ｘ２ ＝２（４ｋ２２ｋ－２ ４＋ｋ１－３），……………………………… ８分
由点
Ｐ（２，１）是线段
ＡＢ的中点知，ｘ１
＋ｘ２ ２
＝２，
所以４ｋ２（ｋ２２ｋ＋－１１） ＝４，解得 ｋ＝－１，…………………………………………… １０分
圆 Ｃ的标准方程为（ｘ－１）２ ＋（ｙ－２）２ ＝８． …………………………………… １０分
１８．（本题满分 １２分）
解：（１）由条件，圆心（ｍ，２）到直线 ｘ＋ｙ＋１＝０的距离为
ｄ＝｜ｍ ＋３｜，…………………………………………………………………… ２分 槡２
依题意，｜ｍ ＋３｜＜槡２， 槡２
解得 －５＜ｍ ＜－１，即实数 ｍ的取值范围是（－５，－１）． ………………… ４分
Ａ３４π
ห้องสมุดไป่ตู้Ｂπ３
Ｃπ４
Ｄπ６
４如图所示一平面图形的直观图，则此平面图形可能是
第 ４题图 ５．直线 ｘ－ｙ＋１＝０绕它与 ｘ轴的交点逆时针旋转 １５°得到的直线方程为
Ａ槡３ｘ－ｙ＋槡３ ＝０
Ｂｘ－槡３ｙ＋１＝０
Ｃ槡３ｘ－ｙ＋１＝０
Ｄｘ－槡３ｙ＋槡３ ＝０
６．阿基米德（Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ，公元前 ２８７年 — 公元前 ２１２年）是
他推导出的结论圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二是其毕生最满意的数学发现后人按照他生前的要求在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球如图所示该球与圆柱的两个底面及侧面均相切圆柱的底面直径与高都等于球的直径若球的体积为36则圆柱的体积为a36b45c54d637
代入得 ｘ１ ＋ｘ２ ＝４，ｘ１ｘ２ ＝１３０，
｜ＡＢ｜＝ 槡１＋ｋ２· 槡（ｘ１ ＋ｘ２）２ －４ｘ１ｘ２ ＝４３槡３．…………………………… １２分
解法二：
当直线 ＡＢ斜率不存在时，线段 ＡＢ的中点在 ｘ轴上，不符合题意，
设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），其中 ｘ１≠ ｘ２，代入椭圆方程，
ｘ２ ８
＋ｙ２ ４
＝１． …………………………
４分
（２）解法一： 当直线 ＡＢ斜率不存在时，线段 ＡＢ的中点在 ｘ轴上，不符合题意， 故可设直线 ＡＢ的方程为 ｙ＝ｋ（ｘ－２）＋１，并设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 蚌埠市高二数学（文）试卷答案第１页（共４页）
{ｘ２ ＋２ｙ２ ＝８，
联立方程
Ａ锐角三角形
Ｂ直角三角形
Ｃ钝角三角形
Ｄ由点 Ｐ位置决定
１２．关于 ｘ的不等式 ｅｘ －ａｘ２ ＜０有且只有一个正整数解，则实数 ａ的取值范围是
( ] Ａ ｅ２，ｅ３ ４９
[ ) Ｂ ｅ２，ｅ３ ４９
( ] Ｃ ｅ２，ｅ ４
( ] Ｄ ｅ３，ｅ ４
第 Ⅱ 卷（非选择题，共 ９０分）
二、填空题：本大题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分．请将答案直接填在答题卡上．