第04讲菱形(2个知识点5类热点题型讲练习题巩固)(原卷版)

第04讲 菱形 课程标准 学习目标 ①菱形的定义与性质
②菱形的判定 1. 熟悉菱形的定义，掌握菱形的性质，并能够熟练的应
用性质。

2. 掌握菱形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方
法判定菱形。

1. 分式方程的概念：
有一组邻边 的平行四边形是菱形。

2. 菱形的性质： ①菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质。

特殊性：
②边的特殊性：四条边都 。

即：AB BC CD AD
③对角线的特殊性：对角线相互 且 每一组对角。

即：AC BD ，且∠DAC ∠BAC ∠DCA ∠BCA ，
∠ADB ∠CDB ∠ABD ∠CBD 。

④面积计算：等于对角线乘积的一半。

即BD AC S ABCD ⋅=
2
1菱形。

⑤对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。

【即学即练1】
1．菱形不具有的性质是（ ）
A ．对角相等
B ．对边平行
C ．对角线互相垂直
D ．对角线相等 【即学即练2】
2．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于O ，DE ⊥BC 于E ，连接OE ，若∠ABC ＝120°，则∠OED ＝（ ）
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．35°
【即学即练3】
3．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，连接OE ，若OA ＝3，S 菱形ABCD ＝9，则OE 的长为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ． 知识点02 菱形的判定
1.直接判定：
四条边都相等的四边形是菱形。

符号语言：∵AB = BC = CD = AD
∴四边形ABCD是菱形
2.平行四边形判定：
①邻边相等的平行四边形是菱形。

符号语言：∵在▱ABCD中，AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
②对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

符号语言：∵在▱ABCD中，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
【即学即练1】
4．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【即学即练2】
5．要使▱ABCD成为菱形，则可添加一个条件是（）
A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AD＝BC D．AC＝BD
【即学即练3】
6．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF 是菱形．
题型01 利用菱形的性质求线段或周长
【典例1】菱形的对角线长分别为10cm，8cm，则此菱形的周长为（）
A．12cm B．C．4cm
D．24cm
【变式1】若菱形的面积为216，其中一条对角线的长为24，则该菱形的周长为（）A．36B．24C．48D．60
【变式2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则AD与BC之间的距离为（）
A．6B．C．D．4
【变式3】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB ＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【变式4】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是BD上不与点B和点D重合的一个动点，过点E分别作AB和AD的垂线，垂足为F，G，则EF+EG的值为（）
A．B．2C．D．4
题型02 利用菱形的性质求角度
【典例1】如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，若∠1＝20°，则∠2的度数为．
【变式1】如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝40°，则∠OED的度数是．
【变式2】如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形ABCD和一个等边△DEF，使得点E，F分别在AB和BC上，那么∠B的度数为（）
A．105°B．100°C．95°D．80°
【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD的度数是（）
A．80°B．82°C．86°D．88°
【变式4】如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为（）A．45°B．50°C．60°D．70°
题型03 利用菱形的性质求点的坐标
【典例1】如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（）
A．B．C．D．（﹣2，﹣2）
【变式1】如图，四边形OABC是菱形，AC＝12，OB＝16，则顶点A坐标是．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（4，5），则C点的坐标为（）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣3）C．（0，﹣2.5）D．（﹣2，0）
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），则点D的坐标为（）
A．B．C．D．
【变式4】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，两对角线交于点E．若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点E的坐标为（）
A．B．C．D．
题型04 菱形的判定方法
【典例1】下列说法中，正确的是（）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
【变式1】在下列条件中，能够判定▱ABCD为菱形的是（）
A．AB⊥BC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD
【变式2】如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD
【变式3】如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的为（）
①AC＝BD；
②AC平分∠BAD；
③AB＝BC；
④AC⊥BD；
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
题型05 菱形的判定与性质
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O，求证：四边形ADCE为菱形．
【变式1】如图，在▭ABCD中，CF⊥AB于点F，过点D作DE⊥BC的延长
线于点E，且CF＝DE．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若∠B＝60°，AF＝5，求BC的长．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，
E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠CEB＝60°，DC＝4，求△ABC的面积．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是
DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．
【变式4】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是；请说明理由．
②若AB＝5，ED＝4，则四边形ADCE的面积为．
【变式5】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，．∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出相应的t值为：．
1．下列选项中，菱形不具有的性质是（）
A．四边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
2．在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（）A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．∠A＝∠B D．AC⊥BD
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，E是AB的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的边长是（）
A．2B．4C．6D．8
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝3，DB＝4，则点A到BC的距离为（）A．B．C．D．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝6，BD＝2，则菱形ABCD的周长为（）A．24B．8C．D．
6．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F分别是CB，CD上两点，连接AE，
AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是（）
A．∠CEF＝αB．∠F AD＝60°﹣α
C．∠EFC＝60°﹣αD．∠AFD＝90°﹣α
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，
BD＝4，则对角线AC的长为（）
A．B．C．4D．8
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，在条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，选择一个条件，使得四边形ABCD是菱形，可选择的条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
9．如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：
甲：分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点M，交BC于点N，连接MN，则四边形ABNM 为菱形；
乙：以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交BC于点H，则四边形ABHE为菱形；
根据两人的做法可判断（）
A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（）
A．B．C．D．
11．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形．
12．在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝6，则菱形ABCD的周长是．
13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为10和24，求阴影部分的面积为．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝45°，E，F分别是过CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为．
15．如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为．
16．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．（1）判断四边形AEDF的形状，并证明；
（2）当AB＝9，AC＝6时，求DF的长．
17．如图，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连接BC，
O为AC的中点，过C作CD∥AB交BO延长线于D，且AC平分∠BCD，
连接AD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数．
18．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF 交AE于点G，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面积．
19．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝10，AC＝16，BD
＝12．
①求证：▱ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD．求的值．
20．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长
线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．
（1）证明▱ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．。