北京市2018届高三理科数学一轮复习试题选编19：空间角与空间距离(学生版)

北京市2018届高三理科数学一轮复习试题选编19：空间角与空间
距离
一、选择题
1 ．（2009高考(北京理)）若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为1,1AB 与底面ABCD 成
60°角,则11AC 到底面
ABCD 的距离为 （ ） A
B ．1 C
D
2 ．（2018届北京西城区一模理科）如图，正方体1111ABCD A BC D -中，
P 为底面ABCD 上的动点，1PE AC ⊥于
E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是 （ ）
A ．线段
B ．圆弧
C ．椭圆的一部分
D ．抛物线的一部分
二、解答题 3 ．（北京市东城区2018届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，在菱形ABCD 中，
60DAB ∠=，E 是AB 的中点， MA ⊥平面
ABCD ，且在矩形ADNM 中，2AD =
，
7
AM =
． （Ⅰ）求证：AC ⊥BN ； （Ⅱ）求证：AN // 平面MEC ； （Ⅲ）求二面角M EC D --的大小.
A
B
C
D
E
N
M
4 ．（2018届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，
NB ∥MD ，且NB=1，MD=2； （Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;
（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，
求
ME
MN
的值. .
6 ．（北京市丰台区2018届高三上学期期末考试 数学理试题 ）
如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，
3BC =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点.
（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小.
7 ．（2018北京房山二模数学理科试题及答案）如图, ABCD 是正方形, DE ⊥平面ABCD ,
DE AF //,3DE DA AF ==. (Ⅰ) 求证:AC ⊥BE ;
(Ⅱ) 求二面角D BE F --的余弦值;
(Ⅲ)设点M 是线段BD 上一个动点,试确定点M 的位置,使得//AM 平面BEF ,证明你的结论.
F E
D
C
B A
8 ．（2018届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC D 是等边三角形，D
是BC 的中点．
（Ⅰ）求证：A 1B //平面ADC 1；
（Ⅱ）若AB=BB 1=2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．
9 ．（2018
ABCD 为菱形，
60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2.
(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面（Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD （Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M C BD M --的大小为 60，求CP
CM
的值.
10．（北京市西城区2018届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，四棱锥ABCD P -中，
底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，
E 为棱PD 的中点．
（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．
11．（2018北京朝阳二模数学理科试题）如图,四边形ABCD 是正方形,EA ⊥平面
A B C D ,EA
PD ,22AD PD EA ===,F ,G , H 分别为PB ,EB ,PC 的中点.
(Ⅰ)求证:FG 平面PED ;
(Ⅱ)求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小;
(Ⅲ)在线段PC 上是否存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成的角为60?若存在,求出
线段PM 的长;若不存在,请说明理由.
12．（北京市通州区2018届高三上学期期末考试理科数学试题 ）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1
中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC =2
，AB =CC 1=4，M 是棱CC 1上一点． （Ⅰ）求证：BC ⊥AM ； （Ⅱ）若N 是AB 上一点，且
1
AN CM
AB CC =
，求证： CN //平面AB 1M ； （Ⅲ）若5
2
CM =
，求二面角A-MB 1-C 的大小．
13．（北京市房山区2018届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在长方体
1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，E 为1BB 中点. （Ⅰ）证明：1AC D E ⊥；
（Ⅱ）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由.
A
D
B
C
P
E
F
G
H
A B
C
A 1
B 1
C 1
M
N
D 1
C 1
B 1
A 1
E
D C
B
A
14．（2018北京顺义二模数学理科试题及答案）如图,在长方体1
111D C B A ABCD -中,11==AD AA ,E 为CD 的中点,F 为1AA 的中点. (I)求证:⊥1AD 平面E B A 11; (II)求证://DF 平面E AB 1;
(III)若二面角11A E B A --的大小为 45,求AB 的长.
1
B
15．（2018届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为
等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，
60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．
（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；
A 1
B 1
E
C
B
D 1
C 1
A
D
（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．
16．（北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学理试题 ）在长方体1111ABCD-A BC D 中，
1
2AA=AD=，点E 在棱CD 上，且1
3
CE=CD ． （Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ；
（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在点P ，使DP ∥平面
1B AE ？
若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明
理由；
（Ⅲ）若二面角11A-B E-A 棱
AB 的
长．
17．（2018北京海淀二模数学理科试题及答案）如图1,在直角梯形A B C D
中,90ABC DAB ∠=∠=,30CAB ∠=,2BC =,
4AD =. 把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置,如图2所示,使得点P 在平面ABC 上
的正投影H 恰好落在线段AC 上,连接PB ,点,E F 分别为线段,PA AB 的中点. (I) 求证:平面//EFH 平面PBC ;
(II)求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值;
(III)在棱PA 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等?请说明理由.
18．（北京东城区普通校2018届高三12月联考理科数学）(本小题满分13分)
已知:如图,在四棱锥ABCD P -中,四边形ABCD 为正方形,ABCD PA 面⊥,且
2==AB PA ,E 为PD 中点.
(Ⅰ)证明:PB //平面AEC ;
(Ⅱ)证明:平面⊥PCD 平面PAD ; (Ⅲ)求二面角D AC E --的正弦值
P
D
B A
C
E
19．（北京市海淀区2018届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，在直三棱柱111
ABC A B C -C
D
B
A
图1
H E C
P
B
A
F
图2
中，90BAC ∠=︒，
12,AB AC AA ===E 是BC 中点.
（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；
（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
20．（北京市海淀区2018届高三5月查缺补漏数学（理））已知正三角形ACE 与平行四边形
ABCD 所在的平面互相垂直.
又90ACD ∠=,
且2CD AC ==,点,O F 分别为,AC AD 的中点. (I) 求证:CF DE ⊥
(Ⅱ) 求二面角O DE C --值.
21．（2018北京丰台二模数学理科试题及答案）如图(1),等腰直角三角形ABC 的底边AB=4,
点D 在线段AC 上,DE AB ⊥于E,现将△ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置(如图(2)). (Ⅰ)求证:PB ⊥DE;
(Ⅱ)若PE ⊥BE,直线PD 与平面PBC 所成的角为30°,求PE 长.
图(1) 图(2)
22．（2018北京东城高三二模数学理科）如图,△BCD 是等边三角形, AB AD =,90BAD ∠=,
将△BCD 沿BD 折叠到△'BC D 的位置,使得'AD C B ⊥. (Ⅰ)求证:'AD AC ⊥;
(Ⅱ)若M ,N 分别是BD ,C
B '的中点,求二面角N AM B --的余弦值.
A
B
C
D
B C
D
23．（2018年高考（北京理））如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 是菱
形,AB=2,60BAD ∠=︒
(Ⅰ)求证:BD PAC ⊥平面
(Ⅱ)若PA AB =,求PN 与AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面PBC 与平面PDC 垂直时,求PA 的长.
24．（2018届北京市高考压轴卷理科数学）如图所示,在棱锥
A
B
C
D
P
P ABCD -中, ⊥PA 平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,2,4PA AD DC AB ====且
AB //CD ,
90=∠BAD
,
(Ⅰ)求证:PC BC ⊥
(Ⅱ)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值. 25．（2018北京昌平二模数学理科试题及答案）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边
长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,
且PA PD AD ==,E 、
F 分别为PC 、BD 的中点.
(Ⅰ) 求证:EF //平面PAD ; (Ⅱ) 求证:面PAB ⊥平面PDC ;
(Ⅲ) 在线段AB 上是否存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为1
3
?说明理由.
P F
E
D
C
B
A
26．（北京市石景山区2018届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图1，在Rt ABC ∆中，
90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE
折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；
（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值； （Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．
27．（北京市海淀区北师特学校2018届高三第四次
月考理科数学）如图所示，正方形D D AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22==AD AB ,点E 为AB 的中点。

（Ⅰ）求证：DE A BD 11//平面
(Ⅱ) 求证：D A E D 11⊥
（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点M ，使二面角
D MC D --1的大小为6
π
？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

28．（北京市石景山区2018届高三一模数学理试题）
如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC=90o ,PD ⊥平面ABCD,AD
(I)求证:BD ⊥PC;
(II)求直线AB 与平面PDC 所成的角;
(Ⅲ)设点E 在棱PC 上,PE PC λ=,若DE ∥平面PAB,求λ的值
.
图1
图2
A 1
B
C
D
E
D 1
E
B
D
C
A A 1
北京市2018届高三理科数学一轮复习试题选编19：空间角与空间距离参考答案
一、选择题 1. 【答案】D
【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、
直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. (第4题解答图) 属于基础知识、基本运算的考查.
依题意,160B AB ︒∠=,如图
,
11tan60BB ︒=⨯,故选D. 2. A
二、解答题 3. 解：（Ⅰ）连结BD ，则AC BD ⊥.
由已知DN ⊥平面ABCD ， 因为DN
DB D =，
所以AC ⊥平面NDB (2)
又因为BN ⊂平面NDB ，
所以AC BN ⊥.……………………4分 （Ⅱ）CM 与BN 交于F ，连结EF . 由已知可得四边形BCNM 是平行四边形， 所以F 是BN 的中点. 因为E 是AB 的中点，
所以//AN EF .…………………………7分 又EF ⊂平面MEC ，
AN ⊄平面MEC ，
所以//AN 平面MEC . ……………………………………………………………9分
（Ⅲ）由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥. 如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，E , (0,2,0)C ，
1,
7
M -. (3, 2.0)CE =-，(0,1,
7
EM =-.…………………………………………10分 设平面MEC 的法向量为(,,)x y z =n .
则0,0.CE EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以20,0.y y z -=⎨=⎪⎩
令2
x=.
所以
3
=
n.……………………………………………………………12分又平面ADE的法向量(0,0,1)
=
m，
所以
1
cos,
2
⋅
<>==
m n
m n
m n
.
所以二面角M EC D
--的大小是60°. ………………………………………14分
4. 解：（Ⅰ）∵ABCD是正方形,
∴BC∥AD.
∵BC⊄平面AMD,AD⊂平面AMD,
∴BC∥平面AMD.
∵NB∥MD,
∵NB⊄平面AMD,MD⊂平面AMD,
∴NB∥平面AMD.
∵NB BC=B,NB⊂平面BCN, BC⊂平面BCN,
∴平面AMD∥平面BCN…………………………………………………………………………………3分
∵AM⊂平面AMD,
∴AM∥平面BCN…………………………………………………………………………………………4分(也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分)
（Ⅱ）⊥
MD平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）…………………………………………………………………5分
则()0,0,2A，()2,0,0
M，()0,2,0
C,()1,2,2
N.
∴)1,2,0(
=, ………………………………
………6分
)1
,2,2(-
=
MN，)2
,2,0(-
=
MC,
设平面MNC的法向量()z y
x
n,
,
=,
则⎩⎨⎧=-=-+0220
22z y z y x ，令2=z ，则()1,2,2,n =- … 7分 设AN 与平面MNC 所成角为θ,
∴55
23
52122sin =
⨯⨯+⨯=
=θ. ……9分 （Ⅲ）设(,,)E x y z ，ME
MN λ=，ME MN λ∴=， 又(,,2),(2,2,1)ME x y z MN =-=-，
∴
E 点的坐标为
(2λ
λλ-， …………………………………………………………………11分
AD ⊥面MDC,AD MC ∴⊥，
欲使平面ADE ⊥平面MNC ，只要AE MC ⊥，
(22,2,2),AE λλλ=--(0,2,2)MC =-，
0AE MC ⋅=42(2)0λλ∴--=，
2
3
λ∴=
∴
2
3
ME MN =. ………………………………………………………………………………14分 5. 解:(1) E O ，分别是AC SC ,的中点
∴OE //SA 又⊄OE 平面SAB ∴OE //平面SAB
(2) 在SAC ∆中,OE //AS , 90=∠ASC ∴SC OE ⊥
平面⊥SAC 平面ABC , 90=∠BCA
∴⊥BC 平面ASC ,⊂OE 平面ASC ∴OE BC ⊥
∴⊥OE 平面BSC
⊂SF 平面BSC ∴SF OE ⊥
所以无论F 在BC 的何处,都有SF OE ⊥ (3) 由(2)⊥BC 平面ASC ∴BC AS ⊥
又 90=∠ASC
∴AS SC ⊥
∴⊥AS 平面BCS ∴SB AS ⊥
∴BSC ∠是二面角C AS B --的平面角
在Rt BCS ∆中所以二面角C AS B --的平面角的余弦值为
法二:
(2) O 是AC 的中点,SC SA =∴ AC SO ⊥ 又 平面⊥SAC 平面ABC ∴SO ⊥平面ABC
同理可得⊥BC 平面ASC
在平面ABC 内,过O 作AC OM ⊥ 以O 为原点,OS OC OM ,,所在直线为x,,y z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则)0,0,0(O )0,1,0(-A ,)0,1,1(B ,)0,1,0(C ,)1,0,0(S ,
)1,1,0(=AS ,)0,
2,1(=AB ,
BC F ∈,设)0,1,(x F ,则)1,1,(-=x SF ,0=⋅OE SF 恒成立,所以无论F 在BC 的何处,都有SF OE ⊥
(3)由(2)知平面ASC 的法向量为BC = (1,0,0)-
设平面SAB 的法向量为(,,)n
x y z =
即⎩⎨⎧=+=+020y x z y 令1=y ,则2-=x ,1-=z
)1,1,2(--=n
所以二面角C AS B --的平面角的余弦值为6. 解：（Ⅰ） D 、E 分别为AB 、AC 中点，
∴DE//BC ．
DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，
∴DE //平面PBC ．…………………………4分 （Ⅱ）连结PD ，
PA=PB ，
∴ PD ⊥ AB ． (5)
//DE BC ，BC ⊥ AB ， ∴
DE ⊥
AB ． .... .......................................................................................................6分 又 PD
DE D = ，
∴AB ⊥平面
PDE ．......................................................................................................8分 PE ⊂平面PDE ，
∴AB ⊥PE ． ...............................................................
...........................................9分
（Ⅲ） 平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ，PD ⊥ AB ，
∴ PD ⊥平面
ABC ．................................................................................................10分 如图,以D 为原点建立空间直角坐标系
∴B (1,0,0)，P (0,0,
3)，
E(0,3
2
,0) ,
． ∴PB
=(1,0, )，PE =(0, 3
2
, 设平面PBE 的法向量1(,,)n x y z =，
∴0,
3
0,2x y ⎧=⎪
⎨=⎪⎩
令z =
得
1n =． ............................11分 DE ⊥平面PAB ，
∴平面PAB 的法向量为
2(
0,1,0)
n =．………………….......................................12分 设二面角的A PB E --大小为θ， 由图知，121212
||1
cos cos ,2n n n n n n θ⋅=<>==
⋅，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
所
以
60,θ=︒即二面角的A PB E --大小为
60︒． ..........................................14分[
7. (Ⅰ)证明: 因为DE ⊥平面ABCD ,
所以AC DE ⊥
因为ABCD 是正方形, 所以BD AC ⊥,
所以AC ⊥平面BDE , 从而 AC ⊥BE
(Ⅱ)解:因为DE DC DA ,,两两垂直, 所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示
设3=AD ,可知1,3==AF DE
则)0,0,0(D ,(3,0,0)A ,)1,0,3(F ,)3,0,0(E ,(3,3,0)B ,(0,3,0)C , 所以)1,3,0(-=,)2,0,3(-=,
设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ,则0
BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即⎩⎨⎧=-=+-．023,03z x z y ,
令3=z ,则=n )3,1,2(
因为AC ⊥平面BDE ,所以CA 为平面BDE 的法向量, (3,3,0)CA =-,
所以14
7
,cos =
=
>< 因为二面角为锐角,所以二面角D BE F --的余弦值为
14
7
(Ⅲ)解
:点M 是线段BD 上一个动点,设(,,0)(0M t t t ≤≤. 则(3,,0)AM t t =-,因为//AM 平面BEF ,所以AM ⋅n 0=, 即0)3(2=+-t t ,解得2=t
此时,点M 坐标为(2,2,0),1
3
BM BD =,符合题意
8. 证明：（I ）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形11A ACC 是矩形。

连结1A C 交1AC 于O ，则O 是1A C 的中点，又D 是BC 的中点，所以在1ADC ∆中，1//OD A B 。

因为1A B ⊄平面1ADC ，OD ⊂平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC 。

（II ）因为ABC ∆是等边三角形，D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥。

以D 为原点，建立如图
所示空间坐标系D xyz -。

由已知12AB BB ==，得：
(0,0,0)D
，A
，1A ，1(0,1,2)C -.
则(3,0,0)DA =，1(0,1,2)DC =-，设平面1ADC 的法向量为(,,)n x y z =。

由100
n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
，得到020
y z =-+=⎪⎩，令1z =，则0x =，2y =，所以(0,2,1)n =.
又1(3,0,2)DA =
，得1020122n DA ⋅=⨯+⨯=。

所以1cos ,DA n <>=
=设1A D 与平面1ADC 所成角为θ
，则1sin |cos |DA n θ=<>=
所以1A D 与平面1ADC。

9. (Ⅰ)证明：因为侧面PAB 是正三角形，AB 的中点为Q ，所以AB PQ ⊥，
因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，⊂PQ 侧面PAB ， 所以⊥PQ 平面ABCD . ………3分（Ⅱ）连结AC ，设O BD AC = ，建立空间直角坐标系xyz O -， 则)0,0,0(O ，)0,0,3(B ，)0,1,0(C ，)0,0,3(-D ，)3,2
1
,23(
-P ，………5分 )3,2
1,233(--
=,平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m
， 设斜线PD 与平面ABCD 所成角的为α，
则1030
34
1
4273|
|||||,cos |sin =++==><=PD m m
α. ………8分 （Ⅲ）设t =)3,23,23(
t t t -=，则M )3,12
3
,23(t t t +-， =)3,12
3
,323(
t t t +--，)0,0,1(32=， ………10分 设平面MBD 的法向量为),,(z y x n =
，则00·=⇔=⇔⊥x DB n DB n ， ⇔=⇔⊥0·n n 03)12
3()323(=++-+-tz y t x t ，
取3=z ，得)3,2
36,0(-=t t n ，又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m
………12分
所以|60cos ||,cos |||||·|
=><=n m n m n m ，所以
2
1)
2
36(332=-+t t ， 解得2=t （舍去）或5
2=
t .所以，此时CP CM 52=. ………14分
10. （Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．
因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 因为 E 为棱PD 中点． 所以 EO PB //． ………………3因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，
所以直线PB //平面EAC ． ………………4分
（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分
因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，
所以⊥CD 平面PAD ． ………………7分
所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分 （Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．
由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分
设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ． 所以 )1,0,3(-=，)0,4,4(-=．
设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,
0.
EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
所以 ⎩
⎨⎧=+-=-．
044,
03y x z x
取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分 易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分 所以 |||cos ,|||||11
⋅=
=
〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11
11
3-
． ………………14分 解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ． 由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分
设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．
设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,
0.
EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
所以 ⎩
⎨⎧=+-=-．
044,
03y x z x 取1=x ，得=n )3,1
,1(． ………………11分 易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分 所以|||cos ,|||||⋅=
=
〈〉n v n v n v ． ………………13分
由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11
11
3-
． ………………14分 11. (Ⅰ)证明:因为F ,G 分别为PB ,BE 的中点,所以
FG
PE .
又FG ⊄平面PED ,PE ⊂平面PED , 所以
FG 平面PED
(Ⅱ)因为EA ⊥平面ABCD ,EA
PD ,
所以PD ⊥平面ABCD , 所以PD AD ⊥,PD CD ⊥. 又因为四边形ABCD 是正方形, 所以AD CD ⊥.
如图,建立空间直角坐标系, 因为22AD PD EA ===,
所以D ()0,0,0,P ()0,0,2,A ()2,0,0,
C ()0,2,0,B ()2,2,0,(2,0,1)E .
因为F ,G , H 分别为PB ,EB ,PC 的中点,
所以F ()1,1,1,G 1(2,1,)2,H (0,1,1). 所以1(1,0,)2GF =-,1
(2,0,)2
GH =-.
设1111(,,)x y z =n 为平面FGH 的一个法向量,则110
0GF GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即1111
1021202
x z x z ⎧
-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,
再令11y =,得1(0,1,0)=n .(2,2,2)PB =-,(0,2,2)PC =-.
设2222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量,则220
PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,
即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩,令21z =,得2(0,1,1)=n .所以12
cos ,n n =1212
⋅⋅n n n n
所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为
4
π
(Ⅲ)假设在线段PC 上存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60. 依题意可设PM PC λ=,其中01λ≤≤.由(0,2,2)PC =-,则(0,2,2)PM λλ=-. 又因为FM FP PM =+,(1,1,1)FP =--,所以(1,21,12)FM λλ=---. 因为直线FM 与直线PA 所成角为60,(2,0,2)PA =-,
所以cos ,FM PA =12,
即12=,解得5
8λ=.
所以55(0,,)44PM =-,52
PM =所以在线段PC 上存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为
60,此时4
PM = 12.证明：
（Ⅰ）因为 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ，
所以 CC 1⊥BC ． ……………………1分 因为 AC =
BC =2，AB =，
所以 由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………2分 又因为AC ∩CC 1=C ，
所以 BC ⊥平面ACC 1A 1． ……………………3分 因为 AM ⊂平面ACC 1A 1，
所以 BC ⊥AM ． ……………………4分
（Ⅱ）过N 作NP ∥BB 1交AB 1于P ，连结MP ，
则
NP ∥CC 1，且ANP ∆∽1ABB ∆． ……………5分 于是有
1
NP AN BB AB
=．
由已知
1
AN CM AB CC =，有11NP CM
BB CC =
． 因为 BB 1=CC 1． 所以 NP =CM ．
所以 四边形MCNP 是平行四边形． ……………………6分
M
P
C 1B 1
A 1
N C
B
A
所以 CN //MP ． ……………………7分 因为 CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ， ……………………8分 所以 CN //平面AB 1 M ． ……………………9分 （Ⅲ）因为 BC ⊥AC ，且CC 1⊥平面ABC ，
所以 以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴
建立空间
直角坐标系C -xyz ．…………………10分 因为 52
CM =
，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，
5(0,0,)2M ，5
(2,0,)2
AM =-，
13
(0,2,)2
B M =--． ……………………11分
设平面1AMB 的法向量(,,)x y z =n ，则0AM ⋅=n ，10B M ⋅=n ．
即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.
2
x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，
令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-． ……………………12分 又平面MB 1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA ， 所以 2
cos ,2
||||n n >=
n CA CA CA ⋅<=
． ……………………13分 由图可知二面角A -MB 1-C 为锐角， 所以 二面角A -MB 1-C 的大小为4
π
． ……………………14分 13. （Ⅰ）证明：连接BD
∵1111ABCD A B C D -是长方体，
∴1D D ⊥平面ABCD ， 又AC ⊂平面ABCD
∴1D D AC ⊥ ………………1分 在长方形ABCD 中，AB BC =
∴BD AC ⊥ ………………2分 又1BD
D D D =
z
y
x
D 1
C 1
B 1
A 1
E
D
C
B
A
∴AC ⊥平面11BB D D ， ………………3分 而1D E ⊂平面11BB D D ∴1AC D E ⊥ ………………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则
1(1,0,0),(0,0,2),(1,1,1),(1,1,0)A D E B ,1(0,1,1),(1,0,2),(1,1,1)AE AD DE ==-= 设平面1AD E 的法向量为(,,)n x y z =，则
10
n AD n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩
200x z y z -+=⎧⎨+=⎩ 令1z =，则(2,1,1)n =- ………………7分
cos ,3n DE n DE n DE
<>=
=
=
⨯
………………9分
所以 DE 与平面1AD E
………………10分 （Ⅲ）假设在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E .
设P 的坐标为(,0,0)(01)t t ≤≤，则(1,1,0)BP t =-- 因为 BP ∥平面1AD E 所以 BP n ⊥， 即0BP n =， 2(1)10t -+=，解得1
2
t =
， ………………13分 所以 在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ,此时DP 的长1
2
.……14分 14. (I)证明:在长方体1111D C B A ABCD -中,
因为⊥11B A 平面11ADD A ,所以111AD B A ⊥. 因为AD AA =1,所以四边形11A ADD 为正方形,
因此D A AD 11⊥,又1111A D A B A =⋂,所以⊥1AD 平面D B A 11. 又CD B A //11,且CD B A =11,所以四边形CD B A 11为平行四边形. 又E 在CD 上,所以⊥1AD 平面E B A 11 (II)取1AB 的中点为N ,连接NF . 因为F 为1AA 的中点,所以1121//
B A NF 且112
1
B A NF =,
因为E 为CD 的中点,所以CD DE 2
1
=
,而11//B A CD ,且11B A CD =, 所以DE NF //,且DE NF =,因此四边形NEDF 为平行四边形,
所以EN DF //,而⊂EN 平面E AB 1,所以//DF 平面E AB 1
(III)如图,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系xyz A -,设a AB =,
则()()()()1,0,,0,1,2,1,1,0,0,1,0,0,0,011a B a E D D A ⎪⎭⎫
⎝⎛,
故()()⎪⎭
⎫
⎝⎛===0,1,2,1,0,,1,1,011a a AB AD .
由(I)可知⊥1AD 平面E B A 11, 所以1AD 是平面E B A 11的一个法向量. 设平面E AB 1的一个法向量为()z y x ,,=, 则0,01=⋅=⋅AB ,
所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02,
0y x a z ax
令1=x ,则a z a
y -=-
=,2
, 所以⎪⎭
⎫
⎝⎛--=a a ,2,1.
设1AD 与所成的角为θ,
则2
24122cos a a a a ++--
=
=
θ. 因为二面角11A E B A --的大小为 45,所以 45cos cos =θ,即
2
2
4
512232
=
+
a a , 解得1=a ,即AB 的长为1
15. （Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，
在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=， 所以 BC AC ⊥． (2)
又因为 AC FB ⊥，
所以⊥AC 平面FBC ． ………………4（Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．
因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………5分 所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． ………………6分在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =． 设1BC =，所以11
(0,0,0),(0,1,0),,0),,1)22
C A B
D
E --． 所以 )1,2
1
,23(
-=，)0,0,3(=，)0,1,0(=． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,
0.
CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
所以 1
0,2
0.x y z -+== 取1z =，得=n (0,2,1)． ………………8分 设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则 ||sin |cos ,|5||||
CB CB CB ⋅=〈〉=
=θn n n 所以 BC 与平面EAC 所成角的正弦值为
5
5
2． (9)
A 1
B 1
E
C
B
D 1
C 1
A
D
分
（Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下： ………………10分
假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(
t Q - )10(≤≤t ，所以),2
1
,23(t CQ -=． 设平面QBC 的法向量为=m
),,(c b a ，则有0,
0.
CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m
所以 0,
1
0.
2b b tc =⎧-+= 取 1=c ，得=m )1,0,32
(t -． ………………12分 要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ， ………………13分 即 002110⨯+⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． ………………14分 16. 证明：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-A BC D 中，
因为11A B ⊥面11A D DA ，
所以111A B AD ⊥． ……………………2分 在矩形11A D DA 中，因为12AA=AD=， 所以11AD A D ⊥．
所以1AD ⊥面11A B D ． ………………………4分
（Ⅱ）如图，在长方体1111ABCD-A BC D 中，以1D 为原点建立空间直角坐标系1D xyz -． 依题意可知，11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2)D A D ，
(2,0,2)A ，
设AB 的长为x ，则11(0,,0),(2,,0)C x B x ，
2
(0,,2),(0,,2)3
C x E x ．
假设在棱1AA 上存在点P ，使得DP ∥平面
1B AE ．
设点P (2,0,)y ，则(2,0,-2)DP y =，
(0,0,-2)AP y =．
易知112
(-2,-,2),(-2,,0)33
B E=x AE x =．
设平面1B AE 的一个法向量为(,,)a b c =n ，
则100
B E =AE =⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩n n ，即1-2-203
2-2+03a xb c =a xb =⎧
+⎪⎪⎨⎪⎪⎩
．………………………………………………7分 令3b =得，3,2a x c x ==
，所以3
(,3,)2
x x =n ． 因为DP ∥平面1B AE ，等价于0DP ⋅=n 且DP ⊄平面1B AE ．
得32+(-2)02x y x ⋅=，所以2
3y =．
所以4(0,0,-)3AP =，43AP =，所以AP 的长为4
3
．………………………………9分
（Ⅲ）因为CD ∥11A B ，且点E CD ∈，
所以平面11A B E 、平面11A B D 与面11A B CD 是同一个平面． 由（Ⅰ）可知，1AD ⊥面11A B D ，
所以1(2,0,2)D A =是平面11A B E 的一个法向量． ………………………………11分
由（Ⅱ）可知，平面1B AE 的一个法向量为3
(,3,)2
x x =n ．
因为二面角11A-B E-A
所以11cos
D A AD
θ⋅===⋅n n
，解得x =
故AB 的长为 …………………………………………………………14分 17.解:(I)因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上
所以PH ⊥平面ABC ,所以PH ⊥AC
因为在直角梯形ABCD 中,90ABC DAB ∠=∠=,30CAB ∠=,
2BC =,4AD =
所以4AC =,60CAB ∠=,所以ADC ∆是等边三角形, 所以H 是AC 中点, 所以//HE PC 同理可证//EF PB 又,HE EF E CP PB P ==
所以//EFH PBC 平面PBC
(II)在平面ABC 内过H 作AC 的垂线 如图建立空间直角坐标系
,
则(0,2,0)A -
,P
,B
因为(0,E -
,(0,HE =- 设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z = 因为(3,1,0)HB =
,HP =
所以有00HB n HP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,
即00y z +==⎪⎩,
令x =则3,y =- 所以 (3,3,0)n =-
cos ,||||22n
HE n HE n HE ⋅<>=
==
⋅⋅ 所以直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值为
(III)存在,事实上记点E 为M 即可
因为在直角三角形PHA 中,1
2
2EH PE EA PA ====, 在直角三角形PHB 中,点4,PB =1
2
2EF PB ==
所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等
18. (本小题满分13分)
解: (Ⅰ)
O
E
C
A
B D
P
证明:连结BD 交AC 于点O,连结EO O 为BD 中点,E 为PD 中点, ∴EO//P B
EO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC, ∴ PB//平面AE C.
P
D
B A
C
E
(Ⅱ)证明:
PA⊥平面ABC D. ⊂CD 平面ABCD, ∴CD PA ⊥
又 在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂, ∴CD ⊥平面PA D 又 ⊂CD 平面PCD,
∴平面⊥PCD 平面PAD
(Ⅲ)如图,以A 为坐标原点,AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空 间直角坐标系
z y
x
E
C
A
B
D
P
由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1)
PA ⊥平面ABCD,∴AP 是平面ABCD 的法向量,AP =(0, 0, 2).
设平面AEC 的法向量为),,(z y x =, )0,2,2(1),,1,0(==,
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.
0,0AC n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y ∴ ⎩
⎨⎧-=-=.,y x y z
∴ 令1-=y ,则)1,1,1(-= ∴3
13
22|
|||,cos =⨯=
⋅>=
<n AP ,
二面角D AC E --的正弦值为
3
6
19. (I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO
因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点， 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线， 所以1//EO A B
(2)
分
又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC
………………4分
（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E 设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--，
因为11B M C E ⊥，所以 110B M C E ⋅=，解得1m =，所以1AM = ………………8分 （Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==， 设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =，
则有100
AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，
令
1,
y =-则1,1x z ==，所以可以取
(1,1,1)n =-， ………………10分
因为AC ⊥平面1ABB A 1,取平面1ABB A 1的法向量为 (0,2,0)AC = ………………11分
所
以
c
o
|A A
C A
⋅<>
………………13分[来源:] 平
面
1
AEC 与平面1
A
B B A 1
所成锐
二面角的余弦值为
………………14分 20. (I)因为在正三角形ACE 中,O 为AC 中点,
所以EO AC ⊥
又平面ACE ⊥平面ABCD ,且平面ACE 平面ABCD AC =,
所以EO ⊥平面ABCD ,所以EO ⊥CF
在Rt ACD ∆
中,tan tan FCO ODC ∠=
∠=所以FCO ODC ∠=∠,所以90FCD ODC ∠+∠=, 即CF DO ⊥,又DO OE O = 所以CF ⊥平面DOE ,所以CF DE ⊥
(Ⅱ)以O 为坐标原点,,
,OF OA OE 所在直线为坐标轴建立坐标系
, 则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),
O F A C E -,1,0)D -
由(I)得平面DOE 的法向量为2
(CF = 设平面DCE 的法向量为(,,)n x y z =
因为(2,0,0),CD CE ==
所以0,0,
CD n CE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩解得00x y =⎧⎪⎨
=⎪⎩,取(0,3,n =
所以2
cos ,=
n CF <>, 所以二面角O DE
C --的值为π4
. 21. 解: (Ⅰ)
DE AB
⊥,DE BE ∴⊥,DE ⊥PE,
E PE BE = , ∴DE ⊥平面PEB, PEB PB 平面⊂ ,∴ BP ⊥ DE;
(Ⅱ) PE ⊥BE, PE ⊥DE,DE BE ⊥,所以,可由DE,BE,PE 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系(如图),
∴设PE=a ,则B(0,4-a ,0),D(a ,0,0),C(2,2-a ,0),P(0,0, a ),
(0,4,)PB a a =--,(2,2,0)BC =-,
设面PBC 的法向量),,(z y x n =,
(4)0,
220,
a y az x y --=⎧∴⎨
-=⎩令1y =, ∴4(1,1,)a n a -=, (,0,)PD a a =-,
BC 与平面PCD 所成角为30°, ∴sin30cos ,PD n ︒=
1
2
= , 解得:a =45,或a =4(舍),所以,PE 的长为45
22. (共14分)
(Ⅰ)证明:因为90BAD ∠= 所以AD AB ⊥,
又因为'C B AD ⊥,且'AB C B B =, 所以 AD ⊥平面'C AB ,
x
y
z
因为'AC ⊂平面'C AB , 所以 'AD AC ⊥.
(Ⅱ)因为△BCD 是等边三角形,
AB AD =,90BAD ∠=,
不防设1AB =,则
BC CD BD ===又因为M ,N 分别为BD ,'C B 的中点,
由此以A 为原点,AB ,AD ,'AC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz -.
则有(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,1,0)D ,'(0,0,1)C ,11(,,0)22M ,11
(,0,)22
N .
所以11(,,0)22AM =,11
(,0,)22
AN =.
设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =m .
则00.
AM AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m ,m 即1
10,22
110.22
x y x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令1x =,则1y z ==-.所以(1,1,1)=--m
.
又平面ABM 的一个法向量为(0,0,1)
=n . 所以 cos ,3⋅<>=
=
=-
m n m n m n 所以二面角N AM B --的余弦值为
3
23. 【命题立意】本题考查了空间的点、线、面的位置关系,线线垂直、线面垂直的转化,会
利用空间直角坐标计算空间角和空间距离.
【解析】因为四边形ABCD是菱形,所以AC BD
⊥,
又因为PA⊥平面ABCD,所以PA BD
⊥,
所以BD⊥平面PAC
(Ⅱ)设AC BD O
=.因为60
BAD
∠=︒, PA=AB=2,所以
如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O xyz
-,
则2),(0,(1,0,0),
P A B C
-,所以(1,3,2),(0,2
PB AC
=-=.
设PB与AC所成的角为θ,
则cos =
||||2
2
PB AC
PB AC
θ=
⋅
(Ⅲ)由(Ⅱ)知(1
BC=
-.设(0)(0)
P t t>,则(1,)
Bp t
=-.
设平面PBC 的法向量(,,)
m x
y z
=,则
BC m=,0
BP m=
所以
x
x tz
⎧-+=
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
令y则3
x=,
6
z
t
=,所以
6
(3,3,)
m
t
=
同理,平面PDC 的法向量
6
(3,3,)
n
t
=-,
因为平面PBD⊥平面PDC
,所以0
m n=,即
2
36
60
t
-+=,解得t.
所以PA
24. (Ⅰ)在直角梯形ABCD中,AC=2
2,
取AB中点E,连接CE,
则四边形AECD为正方形,
∴AE=CE=2,又BE=2
2
1
=
AB,
则ABC
∆为等腰直角三角形,
∴BC
AC⊥,
又⊥
PA平面ABCD,⊂
BC平面ABCD,
∴BC
PA⊥,由A
PA
AC=
⋂得⊥
BC平面PAC,
⊂
PC平面PAC,所以PC
BC⊥
(Ⅱ)以A为坐标原点,AD,AB,AP分别为z
y
x,
,轴,
建立如图所示的坐标系.则)2,0,0(P,B(0,4,0),
C(2,2,0),
)0,2
,2(
BC
),2,4
,0(-
=
-
=
BP
由(Ⅰ)知BC即为平面PAC的一个法向量,
5
10
|
|||,cos =
>=
<BP BC BP BC , 即PB 与平面PAC 所成角的正弦值为5
10 25. (Ⅰ)证明:连结AC
BD F =,ABCD 为正方形,F 为AC 中点,
E 为PC 中点.∴在CPA ∆中,E
F //PA
且PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD ∴//EF PAD 平面 (Ⅱ)证明:因为平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD
面ABCD AD =
ABCD 为正方形,CD AD ⊥,CD ⊂平面ABCD 所以CD ⊥平面PAD . ∴CD PA ⊥
又2
PA PD AD ==,所以PAD ∆是等腰直角三角形, 且2
APD π
∠=
即PA PD ⊥
CD
PD D =,且CD 、PD ⊂面PDC
PA ∴⊥面PDC 又PA ⊂面PAB , ∴面PAB ⊥面PDC
(Ⅲ) 如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF . ∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,
PAD ABCD AD ⋂=平面平面, ∴PO ABCD ⊥平面,
而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB ,又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥.
∵PA PD AD ==
,∴PA PD ⊥,1OP OA ==. 以O 为原点,直线,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,
y
x
C
则有(1,0,0)A ,(0,1,0)F ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P .
若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为1
3
,连结,.PG DG
设(1,,0)(02)G a a ≤≤.
由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(1,0,1)PA =-.
设平面PGD 的法向量为(,,)n x y z =.∵(1,0,1),(2,,0)DP GD a ==--,
∴由0,0n DP n GD ⋅=⋅=可得00200
x y z x a y z +⋅+=⎧⎨-⋅-⋅+⋅=⎩,令1x =,则2
,1y z a =-=-,
故2(1,,1)n a =--
∴1
cos ,3n PA
n PA n PA
⋅<>==
=
=,解得,12a =. 所以,在线段AB 上存在点1(1,,0)2G ,使得二面角C PD G --的余弦值为1
3
26. （Ⅰ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥
1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面. 由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面
1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………4分
（Ⅱ）如图,以C
5分
1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A ． 设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量，因为(0,3,0),CB =1(2,0,4)CA =
所以30240y x z =⎧⎨+=⎩
，
令2x =，得=0,=1y z -.
所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC 的一个法向量． ……………………7分 设BE 与平面1A BC 所成角为θ．
则4
sin =cos 5
BE θ<⋅>=
=n ． 所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为4
5
． …………………9分[来源:]
（Ⅲ）设(,0,0)D x ,则1(,0,6)A x x -，
1A B =
=…………………12分 当=3x 时,1A B
的最小值是
即D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,
最小值为 …………………14分
27. （Ⅰ）的中点是为正方形，
四边形111AD O A ADD , 点E 为AB 的中点,连接OE 。

∴1ABD EO ∆为的中位线 EO ∴//1BD ……2分
又DE A OE DE A BD 111,平面平面⊂⊄
∴DE A BD 11//平面 ……4分
（II ） 正方形11A ADD 中,11AD D A ⊥
由已知可得：11A A DD AB 平面⊥，111A ADD D A 平面⊂ …….6分
D A AB 1⊥∴,A AD AB =⋂1 …….7分
E AD E D DE,A 1111平面平面⊂⊥∴D A
E
D D A 11⊥∴
…….8分
（Ⅲ）由题意可得：ABCD D D 平面⊥1,以点D
为原点，DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
x
B
)1,0,0(),1,0,1(),0,2,0(),0,0,0(11D A C D ，
………9分 设)20)(0,,1(00≤≤y y M
)1,2,0(),0,2,1(10-=--=C D y MC ……10分 设平面MC D 1的法向量为),,(1z y x n =
则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙0
0111C D n n 得 ⎩⎨⎧=-=-+-0
20)2(0z y y y x ……11分
取)2,1,2(,101y n y -==则是平面MC D 1的一个法向量，而平面MCD 的一个法向量为
)1,0,0(2=n ……12分 要使二面角D MC D --1的大小为6
π
而23
2
1)2(2|||||||,cos |6
cos
2220212121=++-=∙∙=
><=y n n n n n n π
解得：)20(3
3
200≤≤-
=y y 当AM =3
3
2-时，二面角D MC D --1的大小为6π 13分
28.。