附录24圆锥曲线的极坐标方程

CHENLI
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建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
A F
ep
B
x
1ecos
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
| AB|1e2co2s
;
1 1 2 | AF| | BF| ep
设 A(1), B(2)
故 | AB | |A| F |B| F 121eecpos1eceops()
叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位及它的
正方向。这样就建立了一个极坐意一点M O
X
用ρ表示线段OM的长度， 用θ表示从OX到OM的角度
有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标
ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角
CHENLI
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极坐标系的分类
常用极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈R 狭义极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈[0，2π) 广义极坐标系： ρ ,θ∈R
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极坐标与直角坐标的互化
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合 （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 （3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法： 类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
sin
y
x
cos
y
sin
CHENLI
cos
x
tan
y x
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特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0) Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, ) 2
O
x
O
x
l
(a , 3 )
2
方 ①直线 0 程 ② 0(R)
③ 0 和
0
cosa
cosa
sina
CHENLI
sina
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特殊圆的极坐标方程
图
(r, ) 2
O
x
( r ,0)
1eecpos1eecpos 1e22ecpos2
1 1 11
| AF| | BF| 1 2
1ecos1ecos() 2
ep
ep
ep
CHENLI
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练习1.圆锥曲线统一的极坐标方程
(1)(1983年全国)如图,若椭圆的|A1A2|=6,焦距|F1F2|= 4 2
过椭圆焦点F1作一直线
M
交椭圆于两点M，N
则椭圆的极坐标方程为
1
32 2cos
α
F1
N
F2 X
故 |M | |F 1 N M | |F 2 N |1 2
321 2cos321 2cos98c6o2s 2
得 cos 3又因
2
0
.故
或5
6
6
CHENLI
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(2)(2014年新课标Ⅱ)设F为抛物线 C : y2 =3x 的焦点，
过F且倾斜角为300的直线交于C于A，B两点，则|AB|=
注① 负极径的定义：先正后对称
注② 极坐标的多值性与单值性：
ⅰ:在常用极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (, 2k) (kZ)
ⅱ:在广义极坐标系中，同一个点的极坐标有无数个
即 (,2 k )和 ( － ,2 k ) ( k Z)
ⅲ :在狭义极坐标系中，除极点(0,θ)外，
其他点的极坐标是唯一的CHENLI
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
即普通方程与极坐标方程的互化
CHENLI
1
常见的坐标系
平面坐标 空间坐标
直角坐标 (x,y)
极坐标 (ρ,θ)
直角坐标 (x,y,z)
极坐标 球坐标 (r,φ,θ) 柱坐标(ρ,θ,z)
CHENLI
2
极坐标系
1.概念
①极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点；引一条射线OX，
附录24 圆锥曲线的极坐标方程
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep
F
x
1ecos
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b 2
c
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
| AB|1e2co2s
;
1 1 2 | AF| | BF| ep
2 2
y2 b2
1
的离心率为
3 2
过右焦点F且斜率为 k 的直线与C相交于A，B两点
若 AF3FB，则k=
A.1 B. 2
C. 3
D.2 A
法1：直角坐标系普通方程+设而不求
A.
30 3
B.6
C.12
D. 7 3
法1：直角坐标系普通方程+设而不求
法2：直角坐标系参数方程+设而不求
F
法3：极坐标方程
B
若AB为焦点弦，则 | AB|1e22ecpo2s ;
由题意得离心率 e=1 , 焦参数 p 3
2
| AB|1co32s300 =12
CHENLI
, 300
A x
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(3)(2010年全国Ⅱ)已知椭圆C：ax
CHENLI
1eco1s0
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系， 则圆锥曲线有统一的极坐标方程
ep 1ecos
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b 2 c
A F
B
x
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
| AB|1e2co2s ;
1 1 2 | AF| | BF| ep
设∠F2F1M=α（0≤α＜π）
当α取什么值时，
A1
α
F1
N
|MN|等于椭圆短轴的长？
F2 A2
法1：直角坐标系普通方程+设而不求
法2：直角坐标系参数方程+设而不求
法3：极坐标方程
CHENLI
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法3：极坐标方程
由题意得,离心率为 e 2 2 , 焦点到准线距离 p
3
建立如图所示的极坐标系
M
2 4
CHENLI
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附录24 圆锥曲线的极坐标方程
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep
F
x
1ecos
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b 2
c
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
| AB|1e2co2s
;
1 1 2 | AF| | BF| ep
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
即普通方程与极坐标方程的互化
CHENLI
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一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
其中 l 是准线， FK P
由圆锥曲线的统一定义得
MF e
MA
A
M()
K
FB x
l
而 MA KB KF FB pcos
即
e Pcos
整理得圆锥曲线统一的极坐标方程为： ep
(r,) O
像
O
xO
x
x
O
x
(r , 3 )
2
方
程
r
2rcos 2rcos 2rsin 2rsin
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求极坐标方程常用的方法
公式法 方程法
直接法 间接法
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数 2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程 ①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程