高考数学——第六讲 解析几何

第六讲 解析几何
第一节 曲线与方程
曲线与方程是解析几何的基本概念,在近年的高考试题中,重点考查曲线与方程的关系,考查曲线方程的探求方法,多以综合解答题的第⑴小问的形式出现,就这部分考题来说,属于中档题,难度值一般在0.45~0.65之间.
考试要求 ⑴了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
⑵掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程. 题型一 曲线与方程
例1 设集合{(,)|(,)0,,}x y F x y x y R =∈非空.如果命题“坐标满足方程(,)0F x y =的点都在曲线C 上”不正确,给出以下四个命题：①曲线C 上的点的坐标都满足方程(,)0F x y =；②坐标满足方程(,)0F x y =的点有些在C 上,有些不在C 上；③坐标满足方程(,)0F x y =的点都不在曲线C 上；④一定有不在曲线C 上的点,并且其坐标满足方程(,)0F x y =.那么正确命题的个数是( ).
A.1
B.2
C.3
D.4 点拨：直接用定义进行判断.
解：“坐标满足方程(,)0F x y =的点都在曲线C 上”不正确,意味着“坐标满足方程(,)0F x y =的点不都在曲线C 上”是正确的,即一定有不在曲线C 上的点,并且其坐标满足方程(,)0F x y =,∴④正确；曲线C 上的点的坐标可以有不满足方程(,)0F x y =的,∴①错；若满足方程(,)0F x y =的(,)x y 只有一解,则②错；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③错.故选A.
易错点：定义把握不准确,关键字句认识不到位,概念理解不深刻,均有可能错选其它选项. 变式与引申
1.方程22
x +
2.已知定点00(,)P x y 不在直线l ：(,)0f x y =上,则方程0
0(,)(,)0f x y f x y -=表示一条( ). A.过点P 且平行于l 的直线 B.过点P 且垂直于l 的直线 C.不过点P 但平行于l 的直线 D.不过点P 但垂直于l 的直线 题型二 代入法(相关点法)求曲线方程
例2 已知点(1,0)F ,点A 、B 分别在x 轴、y 轴上,且2AP AB =,AB FB ⊥,当点B 在y 轴上运动时,求点P
的轨迹方程.
点拨：由AB FB ⊥确定A 与B 的坐标关系,由2AP AB =建立动点P 与A 、B 的坐标关系,用代入法求轨迹方程.
解：设(,)P x y ,(,0)A a ,(0,)B b ,又(1,0)F ,则(,)AP x a y =-,(,)AB a b =-,(1,)FB b =-.由AB FB ⊥,得
2(,)(1,)0AB FB a b b a b ⋅=-⋅-=+= ①.由2AP AB =,得(,)2(,)x a y a b -=-,∴2x a a -=-,2y b =,即a x =-,2
y b =
,代入①得,22
()0y
x -+=,即24y x =,当0x =时,三点A 、B 、P 重合,不满足条件
A.
图611--
AB FB ⊥,∴0x ≠,故点P 的轨迹方程为24(0)y x x =≠.
易错点：忽视轨迹方程中的0x ≠. 变式与引申
3.已知O 为坐标原点,点M 、P 分别在x 轴、y 轴上运动,且||7MP =,动点N 满足2
5MN NP =,求动点N 的
轨迹方程.
题型三 待定系数法、直接法求曲线方程
例3 已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
⑴求椭圆C 的方程；
⑵若P 为椭圆C 的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,
||||
OP OM e =(e 为椭圆C 的离心率),求点
M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
点拨：问题⑴用待定系数法求椭圆C 的方程；问题⑵将点P 、M 的坐标代入满足的关系式中,化简后可得到点M 的轨迹方程,然后说明其轨迹是什么曲线,并指明变量x 的取值范围. 解：⑴设椭圆C 的标准方程为
22
2
2
1(0)x y a
b a b +
=>>,半焦距为c ,则17a c a c -=⎧⎨+=⎩
,解得4a =,3c =, ∴2
7b =.故椭圆C 的标准方程为
2
2
16
7
1x
y
+
=.
⑵设(,)M x y ,1(,)P x y ,其中[4,4]x ∈-.由已知得
2
2122
2x y x y
e ++=,而34
e =
,∴2222116()9()x y x y +=+.由点
P 在椭圆C 上,得2
2
1
112716
x
y -=
,代入上式并化简得29112y =,故点M 的轨迹方程为3
44)
y x =±
-≤≤轨迹是两条平行于x 轴的线段.
易错点： 第⑵小问中未注意到点M 与P 的坐标关系,会造成求点M 轨迹方程的思路受阻；忽视变量x 的范围,将出现对所求轨迹曲线的错误判断. 变式与引申
4.已知椭圆C ：
222
2
1(0)x y a
b
a b +
=>>的离心率为
3
,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线
2y x =+相切.
⑴求椭圆C 的方程；
⑵设该椭圆的左、右焦点分别为1F 、2F ,直线1l 过2F 且与x 轴垂直,动直线2l 与y 轴垂直,2l 交1l 与点P ,求线段1PF 垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程,并指明曲线类型. 题型四 定义法求曲线方程与实际应用问题
例4 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过A 、B 两点的直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(如图所示).考察范围到A 、B 两点的距离之和不超过10km 的区域. ⑴求考察区域边界曲线的方程；
⑵如图所示,设线段12P P 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km ,以后每年移动的距离为前一年的2倍.问：经过多长时间,点A 恰好在冰川边界线上？
点拨：本题是应用题背景下的解析几何综合问题,利用椭圆定义求考察 区域边界曲线的方程；综合运用直线方程、点到直线的距离公式、等比数列 求和公式等知识能使第⑵小问获解.
解：⑴设考察区域边界曲线上点P 的坐标为(,)x y .则由
||||108PA PB +=>知,点P 在以A 、B 为焦点,长轴长为210a =的椭圆
上,
此时短半轴长3b =,故考察区域边界曲线的方程为
2
2
25
9
1x
y
+
=.
⑵易知过点1P 、2P 的直线方程为43470x y -+=,∴点A 到直线12P P
的距离|1647|315
d -+=
=
.设经过
n 年,点A 恰好在冰川边界线上,则由题设及等比数列求和公式,得
0.2(21)3121
5
n
--=
,解得5n =.故经过n 年,点
A 恰好在冰川边界线上.
易错点：⑴不能正确建立应用题的数学模型；⑵数学阅读分析能力不强,易出现审题错误. 变式与引申
5.某航天卫星发射前,科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为
2
2
100
25
1x
y
+
=,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、
647
(0,
)M 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为(8,0)D .观测点(3,0)A 、(5,0)B
⑴求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
⑵试问：当航天器在x 轴上方时,观测点A 、B 测得离航天器的距离 分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？ 本节主要考查：
⑴知识点有曲线与方程的关系、求曲线(轨迹)的方程；
⑵依据动点轨迹的几何条件,运用求曲线(轨迹)方程的方法解决求曲线(轨迹)方程的问题,及应用题背景下的求曲线(轨迹)方程的问题；
⑶求曲线(轨迹)方程时：①恰当建立坐标系,使所求方程更简单； ②利用圆锥曲线的定义,运用平面几何知识,可以大大简化求解运算过程.
⑷解析几何基本思想(用代数方法研究几何问题)、方程思想、等价转化思想、分类讨论思想、应用题建模思想以及分析推理能力、运算能力. 点评：
⑴求曲线(轨迹)方程的常用方法有：
①直接法：直接利用动点满足的几何条件(一些几何量的等量关系)建立x ,y 之间的关系(,)0f x y =(如例3第2问).其一般步骤是：建系设点、列式、坐标代换、化简、证明(证明或判断所求方程即为符合条件的动点轨迹方程)；
图613--
图614--
②待定系数法：已知所求曲线的类型时,可先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,求出曲线的方程(如例3第1问)；
③定义法：先根据条件能得出动点的轨迹符合某种曲线的定义,则可用曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(如例4)；
④代入法(相关点法)：有些问题中,动点(,)P x y 是随着另一动点00(,)Q x y (称之为相关点)而运动的,并且点00(,)Q x y 在某已知的曲线上,这时可先用x 、y 的代数式来表示0x 、0y ,再将0x 、0y 的表达式代入已知曲线,即得要求的动点轨迹方程(如例2及变式).
⑵要注意求曲线(轨迹)方程与求轨迹的区别：求曲线(轨迹)的方程只需根据条件求出曲线(轨迹)方程即可；求轨迹则是需先求出轨迹方程,再根据方程形式说明或讨论(含参数时)曲线图形的(形状、位置、大小)类型.解题时应根据题意作出正确、规范的解答.
⑶在求出曲线(轨迹)的方程时,要注意动点的取值范围,及时补漏和去除“杂点”,以保证所求曲线(轨迹)方程的完整性.
习题6-1
1.方程2x xy x +=的曲线是( ).
A.一个点
B.一条直线
C.一个点和一条直线
D.两条直线
2.已知双曲线
222
2
1(0,0)x y a
b
a b -
=>>的一条渐近线方程是y =,它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点
相同.则双曲线的方程为__________.
3.已知椭圆
222
2
1(0)x y a
b
a b +
=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,离心率2
e =
,右准线方程为2x =.
⑴求椭圆的标准方程；
⑵过点1F 的直线l 与该椭圆交于M 、N 两点,且222263
||F M F N +=
,求直线l 的方程.
4．（2011高考江西卷·文）已知过抛物线()y px p =2>0的焦点，斜率为(,)A x y 11 和(,)()B x y x x 2212<两点，且AB =9. （1）求该抛物线的方程；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+，求λ的值．
第二节 圆锥曲线
圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、几何性质等的考查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三角形、直线等结合时,多以综合解答题的形式考查,属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在0.3~0.7之间.
考试要求 ⑴了解圆锥曲线的实际背景；⑵掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质；⑷了解抛物线的定义、几何图形、标准方程,知道其简单几何性质；⑸了解圆锥曲线的简单应用；⑹掌握数形结合、等价转化的思想方法. 题型一 圆锥曲线的定义及应用 例1 ⑴已知点F 为椭圆
2
2
9
5
1x
y
+
=的左焦点,M 是此椭圆上的动点,(1,1)A 是一定点,则||||MA MF +的
最大值和最小值分别为________.
⑵已知双曲线的虚轴长为6,
离心率为
2
,1F 、2F 分别是它的左、右焦点,若过1F 的直线与双曲线的左
支交于A 、B 两点,且||AB 是2||AF 与2||BF 的等差中项,则||AB =________.
点拨：题⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题⑵是圆锥曲线与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长a 的值,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求||AB 的值. 解：⑴设椭圆右焦点为1F ,则1||||6MF MF +=,∴1||||||||6MA MF MA MF +=-+.又
111||||||||AF MA MF AF -≤-≤(当M 、A 、1F 共线时等号成立).
又1||AF =,
∴||||6MA MF +≤+
||||6MA MF +≥.故||||MA MF +
的最大值为6+
最小值为6
⑵依题意有222226c
a b c a b =⎧⎪
⎪=⎨⎪⎪=+⎩,
解得a =∵A 、B 在双曲线的左支上,∴21||||2AF AF a -=,
21||||2BF BF a -=,∴2211||||(||||)4AF BF AF BF a +-+=.又22||||2||AF BF AB +=,11||||||AF BF AB +=.
∴2||||4AB AB a -=,即||4AB a =.
∴||4AB =⨯
易错点：在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻；⑵忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；⑶由M 、A 、1F 三点共线求出||||MA MF +的最值也是值得注意的问题.
变式与引申
1.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定的点(2,4)A ,||PA d +的最小值为( ).
A.
B.1
1
2.设1F 、2F 分别是椭圆E ：
2
24
1x
y +=的左、
右焦点,过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点,且||AB 是2||AF 与2||BF 的等差中项,则||AB =________. 题型二 圆锥曲线的标准方程
例2 已知抛物线1C ：2
2
x by b +=经过椭圆2C ：222
2
1(0)x y a
b
a b +
=>>
⑴求椭圆2C 的离心率；
⑵设(3,)Q b ,又M ,N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点,若QMN ∆的 重心在抛物线1C 上,求1C 和2C 的方程.
点拨：问题⑴：将2C 的焦点坐标代入1C 的方程,得出,b c 的关系式,进而求出2C 的离心率；问题⑵：利用
图621--
问题⑴的答案,联立1C 、2C 的方程先得出M 、N 坐标,再利用QMN ∆的重心在抛物线1C 上,求1C 、2C 的方程.
解：⑴∵抛物线1C 经过椭圆2C 的两个焦点1(,0)F c -,2(,0)F c ,∴220c b b +⨯=,即22c b =, ∴22222a b c c =+=,∴椭圆2C
的离心率2c a e ==
.
⑵由⑴可知2
2
2a b =,椭圆2C 的方程为
2
22
2
21x
y b
b
+
=,联立抛物线1C 的方程22x by b +=,
得2220y by b --=,解得2
b
y =-或y b =(舍去),
∴2
x =±
,
即2
2
(,)b M -
,2
2
,)b
N -,
∴QMN ∆的重心坐标为(1,0).∵重心在1C 上,∴2210b b +⨯=,得1b =.∴22a =. ∴抛物线1C 的方程为2
1x y +=,椭圆2C 的方程为
2
22
1x
y +=.
易错点：忘记用第⑴小问的答案；记错重心坐标公式；联立1C 、2C 的方程后,计算错M 、N 坐标. 变式与引申
3.
求经过两点2)A -
和(B -的椭圆的标准方程.
4.已知椭圆221(0,0)mx ny m n +=>>与直线10x y +-=相交于A 、B 两点,C 是AB 的中点,
若
AB =OC
的斜率为
2
,求椭圆的方程.
题型三 圆锥曲线的几何性质 例3 如图62-,已知F 为椭圆
22
2
2
1(0)x y
a
b a b +
=>>的左焦点,过点F
b
椭圆于点A 、B 两点.
⑴若直线AB 的倾斜角为θ,求证：cos e θ=(e 为椭圆的离心率)； ⑵若BF FA λ=,且12
23(,)λ∈,求椭圆的离心率e 的取值范围.
点拨：这是一道过椭圆焦点的直线与椭圆性质的有关问题,依据题给条件, 运用三角公式、斜率与倾斜角的关系以及椭圆离心率知识可使问题⑴获证；对于⑵则运用平几性质、焦半径公式及题给条件建立含离心率e 的不等式,进而求出e 的取值范围. ⑴解法1：∵tan b
c θ=,∴
2222
22sin 1cos cos cos b c
θθθ
θ
-=
=
,即2
22
2
2
2
2cos b a
c
c
c
e θ+=
=
=,又tan 0b
c
θ=>,
∴cos 0θ>,故cos e θ=.
解法2：依题意直线AB 的分别为()b
b
c
c
y x c x b =+=+,∴点A 的坐标为(0,)b ,故cos c a
e θ=
=.
⑵解：∵BF FA λ=,∴||||||
||
B F F x x BF FA x λ-=
=
.将直线b c
y x b =+代入椭圆
222
2
1x y a
b
+
=,整理得
2
2
22(
1)0a
a c
c
x x ++
=,∴0A x =,2
2
2
2B c a a c
x +=-
.∵BF FA λ=,∴222
2||||||||
||
B F F x x BF FA x a c c a c
c
λ--++=
=
=
图622--
2222
2
2
2
2
2
2112123
1(,)a
a c e a c
a c
e
-+++-=
-=
=
∈,解不等式22
1122
13
e e
+-<
<,得21153e <<,∴
5
3
e <<
,
故椭圆的离心率e 的取值范围为5
3
.
易错点：问题⑴中忽视斜率的正负,会导致cos θ的符号出错；问题⑵中不适时联想平几性质，解题思路将受阻.
变式与引申
5.给定抛物线C ：24y x =,过点(1,0)A -斜率为k 的直线与C 交于M ,N 两点. (Ⅰ)设线段MN 的中点在直线3x =上,求k 的值；
(Ⅱ)设AM AN λ=,2
3
[
k ∈,求λ的取值范围.
题型四 以圆锥曲线为载体的探索性问题
例4 已知椭圆C ：
222
2
1(0)x
y a
b
a b +
=>>的离心率为
3
,过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点.当l
的斜率为1时,坐标原点O 到l 的距离为2
.
⑴求a 、b 的值；
⑵C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OP OA OB =+成立？若存在,求出所有的点P 的坐标与l 的方程.若不存在,说明理由.
点拨：问题⑴可先写出l 的方程,再利用点O 到l 的距离和椭圆的离心率求出a 、b 的值；问题⑵是存在性探索问题,可先探索命题成立的充要条件,将向量坐标化,再综合运用题给条件,逐步推出满足题意的l 是否存在.但需考虑l 转动时斜率不存在情形.
解：⑴设(,0)F c ,当l 的斜率为1时,其方程为0x y c --=,点O 到l |00|
2
c c --=
=
,
∴1c =.由3
c a
e =
=
,得a =b =
⑵C 上存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OP OA OB =+成立.由⑴知C 的方程为 22236x y +=.设11(,)A x y ,22(,)B x y .
①当l 不垂直x 轴时,设l 的方程为(1)y k x =-.C 上的点P 使OP OA OB =+成立的充要条件是
P 的坐标为1212(,)x x y y ++,且2212122()3()6x x y y +++=,即2222112
21223234x y x y x x ++++ 1266y y +=.又A 、B 在C 上,∴2211236x y +=,22
2
2236x y +=,∴12122330x x y y ++= ① 将(1)y k x =-代入22236x y += ,整理得2222(23)6360k x k x k +-+-=, 于是 22
12623k
k
x x ++=,2
2
126323k k
x x -+=
,22
2
1212423(1)(1)k
k
y y k x x -+=--=
.代入①解得,22k =,
此时1232x x +=
,于是12122
(2)k
y y k x x +=+-=-,即32
2
(,)k
P -.因此,当k =,32
2
(P ,
0y +-=；当k =,32
2
(,P ,l 0y -.
②当l 垂直于x 轴时,由(2,0)OA OB +=知,C 上不存在点P ,使OP OA OB =+成立.
综上,C 上存在点3
22
(,P 使OP OA OB =+成立,此时l 0y ±=.
易错点：本题涉及字母较多,思路不清晰,运算能力不强易导致错解发生；直线l 垂直于x 轴情形易遗漏,
需值得注意. 变式与引申
6.如图,过点(0,1)N 和(,1)(0)M m m -≠的动直线l 与抛物线C ：22x py =交于P 、Q 两点(点P 在M 、N 之
间),O 为坐标原点.
⑴若2p =,2m =,求OPQ ∆的面积S ；
⑵对于任意的动直线l ,是否存在常数p ，总有MOP PON ∠=∠？ 若存在,求出p 的值；若不存在,请说明理由.
本节主要考查：
⑴知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质(焦点、离心率、焦点三角形, 焦半径等)以及这些知识的综合应用；
⑵以平面向量、三角形、导数为背景的圆锥曲线的方程问题、参数范围问题、最值问题、定值问题等相关的综合问题；
⑶圆锥曲线定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化” 等解析几何的基本方法；
⑷数形结合思想、方程思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力. 点评：
⑴圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,同时又是高考的热点和压轴点之一,主要考查圆锥曲线的定义(如例1)与性质(如例3)、求圆锥曲线方程(如例2)、直线与圆锥曲线的位置关系、以圆锥曲线为载体的探索性问题(如例4)等.
⑵圆锥曲线的定义,揭示了圆锥曲线存在的条件性质、几何特征与焦点、离心率相关的问题,恰当利用圆锥曲线定义和数形结合思想解题,可避免繁琐的推理与运算.
⑶求圆锥曲线的标准方程：①定型——确定是椭圆、抛物线、或双曲线；②定位——判断焦点的位置；③定量——建立基本量a 、b 、c 的关系式,并求其值；④定式——据a 、b 、c 的值写出圆锥曲线方程. ⑷圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考的重点热点.此类问题,它源于课本,又有拓宽引申、高于课本,是高考试题的题源之一,应引起重视,注意掌握好这一类问题的求解方法与策略.如对于求离心率的大小或范围问题,只需列出关于基本量a 、b 、c 的一个方程(求大小)或找到关于基本量a 、b 、c 间的不等关系(求范围)即可.
⑸求参数取值范围是圆锥曲线中的一种常见问题,主要有两种求解方法：一是根据题给条件建立含参数的等式后,再分离参数求其值域；另一是正确列出含参数的不等式,进而求之.其列不等式的思路有：①运用判别式0∆>或0∆<；②点在圆锥曲线内部(一侧)或外部(另一侧)；③利用圆锥曲线的几何意义(如椭圆中a x a -≤≤等)；④根据三角形两边之和大于第三边(注意三点共线的情况).
⑹解有关圆锥曲线与向量结合的问题时,通性通法是向量坐标化,将一几何问题变成纯代数问题.
⑺探索性问题是将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,它要求学生具有观察分析问题的能力、具有创造性地运用所学知识和方法解决问题的能力以及探索精神.解题思路往往是先假设满足题意,即从承认结论、变结论为条件出发,然后通过归纳,逐步探索待求结论.
习题6-2
1.已知椭圆中心在原点,左、右焦点1F 、2F 在x 轴上,A 、B 是椭圆的长、短轴端点,P 是椭圆上一点,且
1PF x ⊥轴,2//PF AB ,则此椭圆的离心率是( ).
A.12
B.
5
C.13
D.
2
2.过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，交其准线于C 点，若3CB BF =，则直线l 的斜率为___________．
3.已知定点(1,0)A -,(2,0)F ,定直线l ：1
2
x =,不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2
倍.设点P 的轨迹为E ,过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N . ⑴求E 的方程；
⑵试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ,并说明理由.
图623--
4.如图,已知直线l ：2y kx =-与抛物线C ：22(0)x py p =->交于A 、B 两点,O 为坐标原
点,(4,12)OA OB +=--. ⑴求直线l 和抛物线C 的方程；
⑵若抛物线上一动点P 从A 到B 运动时,求ABP ∆面积的最大值.
第三节 直线与圆锥曲线的位置关系
近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等.分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等直线与圆锥曲线的关系是高考的必考内容，是命题的热点也是难点.一般出现一小（选择题或填空题）一大（解答题）两道，小题通常属于中低档题，难度系数为0.5-0.7左右，大题通常是高考的压轴题，难度系数为0.3～0.5左右.
考试要求：(1) 直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之中,在高考中以高难度题、压轴题出现，主要涉及弦长，弦中点，对称，参变量的取值范围，求曲线方程等问题.突出考查了数形结合，分类讨论，函数与方程，等价转化等数学思想方法.
（2）直线与圆锥曲线联系在一起的综合题要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联系方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
题型一 直线与圆锥曲线的交点问题
例1 在平面直角坐标系y x 0中,经过点()2,0且斜率k 的直线l 与椭圆12
22
=+y x 有两个不同的交点P 和Q.（1）求k 的取值范围.（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B,是否存在常数k ,
使的向量Q O P O +与B A
共线？如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.
点拨:(1)设出L 的方程2+
=kx y 与椭圆组成联立方程组,再利用判别式法求出k 的范围.
(2)利用向量共线的充要条件及韦达定理即可解出k ,再根据k 的取值范围确定k 是否存在.
解： (1)由已知条件,直线l 的方程为2+=kx y 代入椭圆方程得1)2(2
22
=++kx x ① 整理得(0122)2
1(2
2=+++kx x k 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于
△=024)21(482
22>-=+-k k k 解得.2
222>-
<k k 或 即k 的的取值范围为).,2
2
()22,(+∞⋃-
-∞ (2)设P(),(),,2211y x Q y x , 则Q O P O +=),(2121y y x x ++ 由方程①得,21242
21k
k
x x +=+ 图624--
又22)(2121++=+x x k y y 而A ),1,2(),1,0(),0,2(-=B A B 所以Q O P O +与B A
共线等
价于)(22121y y x x +-=+ 解得,2
2=
k 由(1)知.2
222>-
<k k 或矛盾,故没有符合题意的常数k . 易错点: 忽视k 的取值范围导致错误. 变式与引申
1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的右焦点为F,若过点F 且只有一个交点,则此双曲线离心率是( )
A ．(1,2]
B ．)2,1(
C ．[2，+∞)
D ．),2(+∞ 题型二 直线与圆锥曲线的弦长问题
例2如图，直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A 、B 两点，记AOB ∆的面积为S . （1）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （2）当||2,1AB S ==时，求直线AB 的方程.
点拨:(1)联立方程组解出A 、B 两点的坐标,求出ABO ∆的面积,再利用均值不等式求解.(2)根据已知列方程组,求出k,b.
解（1）：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由2214
x b +=
，解得12x =±，212
1
x x b S -=
=212b b -2211b b +-=≤．
当且仅当b =
S 取到最大值1． （2）：由⎪
⎩⎪⎨⎧=++=142
2y x b kx y 得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 22
41k b ∆=-+，
11||||AB x x =-222
2424
k b k -==+ …………②
设O 到AB
的距离为d ，则 21||S
d AB =
=，又因为d =，
所以221b k =+，代入②式并整理，得42
1
04
k k -+=， 解得2
12k =
，2
32
b =，代入①式检验，0∆>，故直线AB 的方程是
2y x =
或2y x =
2y x =-+
，或2y x =--易错点：（1）忘记均值不等式的应用导致寸步难行.（2）忘记弦长公式与点到直线的距离公式导致出错. 变式与引申
2.设椭圆12
2
=+by ax 与直线01=-+y x 相交于A ﹑B 两点，点C 是AB 的中点，若,22=AB OC
的斜率为
,2
2
求椭圆的方程. 题型三 直线与圆锥曲线中点弦的问题
例3 已知双曲线的方程为.13
2
2
=-y x （1）求以A （2，1）为中点的弦所在直线的方程；
（2）以点B （1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在直线的方程；若不存在，请说明理由. 点拨:（1）利用设而不求法和点差法构建方程，结合直线的斜率公式与中点坐标公式求出斜率.也可设 点斜式方程,与双曲线方程联立，利用韦达定理与中点坐标公式求出斜率k. (2)仿照（1）求出方程，但要验证直线与双曲线是否有交点.
解：（1）设),(),,(2
22211y x P y x P 是弦的两个端点，则有.13
,132
22
2212
1=-=-y x y x 两式相减得 .03
)
)(())((21212121=-+-
-+y y y y x x x x ①
∵A （2，1）为弦21P P 的中点，∴2,42121=+=+y y x x ， 代入①得
.3
)
(2)(42121y y x x -=
- ∴621=p p k .故直线21P P 的方程为0116),2(61=---=-y x x y 即 （2）假设满足条件的直线存在，同（1）可求.023=--y x
由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0
231
3
22y x y x 得.071262
=+-x x ∵△=,0764122
<⨯⨯-
∴所求直线与双曲线无交点. ∴以B(1,1)为中点的弦不存在.
易错点：存在性问题的结果通常是难以预料的，求时通常可求得，但不是充要条件，因此学生容易忽视.
变式与引申
3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F )0,7(，直线1-=x y 与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为3
2
-
，则此双曲线的方程是 （ ） A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15
22
2=-y x 题型四 有关对称问题 例4
椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点21,F F ,点P 在椭圆C 上，且
.3
14
,34,2121==
⊥PF PF PF PF (1) 求椭圆C 的方程；
(2) 若直线l 过圆0242
2=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A,B 关于点M 对称，求直
线l 的方程.
点拨：（1）抓住定义，点P 到两焦点的距离之和为2a ，可求a ，利用勾股定理可求c .
（2）利用“设而不求”法求解.
解：（1）因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a 即3=a
在522
1
222121=-=∆PF PF F F F PF Rt 中，
，故椭圆的半焦距c =5，
从而42
2
2
=-=c a b 所以椭圆C 的方程为14
92
2=+y x . （2）法一：已知圆的方程为()()5122
2
=-++y x 所以圆心()1,2-M ，设()().,,,2211y x B y x A 8由
题意得21x x ≠ 1492121=+y x 且 14
92
222=+y
x
得
()()()()
04
9
21212121=+-+
+-y y y y x x x x ○
1
因为A,B 关于点M 对称，所以2,42121=+-=+y y x x 代人○
1得982121=--x x y y 即直线L 的斜率为9
8
，
所以直线L 的方程为()即,29
8
1+=
-x y 02598=+-y x （经检验，所求直线方程符合题意） 法二：设()().,,,2211y x B y x A 已知圆的方程为()()5122
2
=-++y x 所以圆心()1,2-M .从而可设直
线L 的方程为()12++=x k y 代入椭圆C 方程得(
)()
027363618369422
2
2
=-+++++k k x k k
x k
因
为A,B 关于点M 对称，所以98
,29491822
221=-=++-=+k k k k x x 解得，所以直线L 的方程为02598=+-y x （经检验，所求直线方程符合题意）
易错点：单独求解A,B 两点运算量很大，容易出错.采用“设而不求”简单方便. 变式与引申
4. 在平面直角坐标系xOy 中，过定点()p C ,0作直线与抛物线()022>=p py x
(1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；
(2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.
本节主要考查：1.()0,0==++y x f C C By Ax L ：与圆锥曲线：直线的位置
关系可分为，相交，相离，相切.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物
线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但不相切.有一个公共点是直线与抛物线，双曲线相切的必要条件，但不是充分条件.
2.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.
点评：当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求来计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往能事半功倍.
习题6-3
1. 设双曲线12222=-b
y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2
+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).
A.
4
5
B. 5
C. 25
D.5
2. 已知P (1,1)为椭圆12
42
2=+y x 内一定点，经过P 引一弦，使此弦在P （1，1）点被平分，此弦所在的直线方程.
3．直线L ：y=kx+1,抛物线C:x y 42
=，当k 为何值时L 与C 有：（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点.
4. 直线y=kx+1与双曲线3x 2-y 2=1相交于A 、B 两点 （1）当k 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上；。