2023-2024学年上海市曹杨第二中学高三上学期期中考试数学试卷含详解

上海市曹杨二中2023学年度第一学期
高三年级期中考试数学试卷
考生注意：
1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.
2、本试卷共有21道试卷，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.若集合
{}
1,3,A m =，
{}
3,5B =，
{}
1,2,3,5A B ⋃=，则实数m =______.
2.
若幂函数的图像经过点
)，则此幂函数的表达式为()f x =______.
3.已知复数
()()
3i 34i 13i
z +-=
-（其中i 为虚数单位），则
z =
______.
4.已知扇形圆心角
60,αα=
所对的弧长6πl =，则该扇形面积为__________.5.
将向量
(
OP = 绕坐标原点
O 顺时针旋转30︒
得到
1
OP ，则
1
OP 的坐标为______.
6.已知1a >，则2
1a a +
-的最小值为_______.
7.在ABC 中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=______.
8.已知
()y f x x =+是奇函数，且
()11
f =，若
()()2
g x f x =+，则
()1g -=
______.
9.如果一个整数的各位数码从左至右是逐渐增大或逐渐减小的，那么这个数称为“严格单调数”.不大于5000的四位“严格单调数”共有______个.
10.已知lg lg lg 5a b c
a b c =
，
lg lg lg b c a a b c =abc 的值为___________.11.在ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于点P ，交边
AC 于点Q （P 、Q 为不同两点），且AP AB λ=uu u r uu u r
，
AQ AC μ=
，则λμ+的取值范围为______.
12.已知,a b ∈R ，设(
)2
e
x f x ax =+，若函数
()
y f x =在区间[]1,2
上存在零点，则当22a b +取到最小值
时
()
y f x =的零点为______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13.“1x ≥”是“1x >”的（）
A .
充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
14.已知{}n a 是等比数列，公比为q ，若存在无穷多个不同的(),1n n n ∈≥N 满足21n n n a a a ++≤≤，则下列选项之中，不可能成立的为（）A.0
q > B.
0q < C.1q < D.1
q >15.我们称：两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面的夹角；由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”.则在正方体中，两个不重合的“表截面”的夹角大小不可能为（）
A.30︒
B.45︒
C.60︒
D.90︒
16.若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212x x x x ≠、，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()y f x =在其定义域D 上是“k -利普希兹函数”.有如下两个命题：命题p ：若R 上的函数()y g x =的导函数为()y g x '=，满足()2g x '<，则函数()g x 在R 上是“2-利普希兹函数”.命题q ：若()y h x =是[]0,1上的“1-利普希兹函数”，满足()()01h h =，则不存在[]12,0,1x x ∈，使得()()212
3
h x h x -=.下列说法正确的是（）
A.命题p 、q 都是真命题
B.命题p 为真命题，命题q 为假命题
C.命题p 为假命题，命题q 为真命题
D.命题p 、q 都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90CBA ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1
12
AB BC AD ==
=.
（1）求证：PC CD ⊥；
（2）已知三棱锥A PCD -的体积为1
3
，求直线PC 与平面PAB 所成角的大小.18.已知()()sin 0f x x ωω=>.
（1）函数()y f x =的最小正周期是4π，求ω，并求此时1
()2
f x =的解集；
（2）已知1ω=，2
π
()()()(
)2
g x f x x f x =+--，求函数()y g x =，π[0,4x ∈的值域.
19.已知数列{}n a 满足11a =，()1232n n a a n -=+≥.（1）证明：数列{}3n a +为等比数列，并求{}n a 的通项公式；
（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在不同的
三项m d 、k d 、p d （其中m 、k 、p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m 、k 、p ；若不存在，请说明理由.
20.已知双曲线Γ：22
143
x y -
=的左、右焦点为1F 、2F ，直线l 与双曲线Γ交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.（1）已知l 过2F 且垂直于12F F ，求AB ；
（2）已知直线l 的斜率为1-，且直线l 不过点()4,3P ，设直线PA 、PB 的斜率分别为PA k 、PB k ，求PA PB k k +的值；
（3）当直线l 过2F 时，直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N .是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S = ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.已知()ln 1f x x a x =+-，其中a ∈R .
（1）若曲线()y f x =在点()()
22f ,处的切线与直线230x y ++=垂直，求a 的值；（2）设()()1
g x f x x
=+，函数()y g x =在0x x =时取到最小值()0g x ，求a 关于0x 的表达式，并求()0g x 的最大值；
（3）当1a =-时，设()()T x f x x =+，数列{}(),1n a n n ∈≥N 满足()10,1a ∈，且()1n n a T a +=，证明：
()
1322,1n n n a a a n n ++++>∈≥N .
上海市曹杨二中2023学年度第一学期
高三年级期中考试数学试卷
考生注意：
1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.
2、本试卷共有21道试卷，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.若集合
{}
1,3,A m =，
{}
3,5B =，
{}
1,2,3,5A B ⋃=，则实数m =______.
【答案】2
【分析】根据并集的定义可求得m 的值.
【详解】集合{}1,3,A m =，{}3,5B =，{}1,2,3,5A B ⋃=，则2m =.故答案为：2.
2.若幂函数的图像经过点)
，则此幂函数的表达式为()f x =______.
【答案】4
x
【分析】设此幂函数的表达式为()f x x α
=，从而可得
3α
=，求解即可.
【详解】设此幂函数的表达式为()f x x α
=，
依题意可得，
3α
=，即433α
=，解得4α=，
所以此幂函数的表达式为()4
f x x =.故答案为：4x .3.已知复数()()3i 34i 13i
z +-=-（其中i 为虚数单位）
，则z
=______.
【答案】5
【分析】利用复数的乘法运算可计算出43i z =+，再由共轭复数定义及模长公式即可得5z =.【详解】易知()()
()()()()
23i 34i 139i 13i 912i 3i 4i 139i 13i 13i 13i 13i 13i z +--+-+--=
===
----+
22
1339i 9i 27i 4030i 43i 19i 10
+--+===+-，所以43i z =-，可得
5z ==.
故答案为：5
4.已知扇形圆心角60,αα= 所对的弧长6πl =，则该扇形面积为__________.【答案】54π
【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解.【详解】由弧长公式可得π6π183l r r =⇒==，所以扇形面积为11
6π1854π22
S lr ==⨯⨯=，故答案为：54π
5.将向量(OP = 绕坐标原点O 顺时针旋转30︒得到1OP ，则1
OP
的坐标为
______.【答案】)
【详解】根据三角函数的定义以及两角差的正弦、余弦公式求解.【分析】设OP 为终边的角为α，1OP 为终边的角为β，1(,)P
x
y ，
所以1
sin ,22αα=
=
=且30βα=-
，12OP OP == ,
所以311
sin sin(30)sin cos ,222
βααα=-=
-= 313cos cos(30)cos sin ,222
βααα=-=
+= 且
11
1sin ,cos ,22y x OP OP ββ====
所以1x y =
=，即1OP =
,故答案为:.6.已知1a >，则2
1
a a +-
的最小值为_______.【答案】1
+
【分析】由1111
22a a a a +
=-++--，然后结合基本不等式即可求解．
【详解】因为1a >，则1111
22
a a a a +=-++--11≥+=，
当且仅当2
11
a a -=-时，即1a =+时取等号，
所以2
1
a a +
-的最小值为1.
故答案为：1
+7.在ABC 中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=______.【答案】
π3
【分析】由正弦定理化角为边后，利用余弦定理求解．
【详解】因为()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，
变形得2
2
2
a b c ab +-=，所以2221
cos 22
a b c C ab +-==，
又0πC <<，所以π3
C =，故答案为：
π
3
．8.已知()y f x x =+是奇函数，且()11f =，若()()2g x f x =+，则()1g -=______.【答案】1
-【分析】先由函数是奇函数求出(1)3f -=-，再将其代入(1)g -求值即可得解.【详解】由题意，()y f x x =+是奇函数，且()11f =，所以()11(1)10f f ++-+-=，则(1)3f -=-，所以(1)(1)2321g f -=-+=-+=-.故答案为：1-．
9.如果一个整数的各位数码从左至右是逐渐增大或逐渐减小的，那么这个数称为“严格单调数”.不大于5000的四位“严格单调数”共有______个.【答案】126
【分析】分成逐渐增大和逐渐减小两种情况，注意先选后排（“严格单调数”选出来不需要排，自动排列）.
【详解】先考虑从左往右逐渐增大的情况，因为不超过5000，所以分成千位数取值为1，2，3，4四种情况考虑：若千位数为1，则从剩下8个数字中选3个不重复的从左到右依次增大，共有3
856C =种选法；若千位数为2，则从剩下7个数字中选3个不重复的从左到右依次增大，共有3
735C =种选法；若千位数为3，则从剩下6个数字中选3个不重复的从左到右依次增大，共有3
620C =种选法；
若千位数为4，则从剩下5个数字中选3个不重复的从左到右依次增大，共有3
5
10C =种选法；再考虑从左往右逐渐减小的情况，因为不超过5000，所以分成千位数取值为4和3两种情况：
若千位数为4，则从剩下4个数字中选3个不重复的从左到右依次减小，共有3
44C =种选法；
若千位数为3，则从剩下3个数字中选3个不重复的从左到右依次减小，共有3
31C =种选法；所以一共有5635201041126+++++=种情况，故答案为：126
10.已知lg lg lg
5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =abc 的值为___________.
【答案】10或
1
10
【分析】对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得()2
lg 1abc =，由此可求得结果.
【详解】由lg lg lg 5a b c a b c =得：()()()222
lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg5a
b c a b c a b c ++=++=，
由lg lg lg b c a a b c =
lg lg lg 1
lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 22
b
c a a
b c a b b c a c ++=++==，
2lg lg 2lg lg 2lg lg lg 2a b b c a c ∴++=，
()()()()
2
2
2
2
lg lg lg 2lg lg 2lg lg 2lg lg lg lg lg a b c a b b c a c a b c ∴+++++=++()2
lg lg 5lg 21abc ==+=，
lg 1abc ∴=或lg 1abc =-，10abc ∴=或110
abc =
.故答案为：10或
110
.11.在ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于点P ，交边AC 于点Q （P 、Q 为不同两点），且AP AB λ=uu u r uu u r
，
AQ AC μ=
，则λμ+的取值范围为______.
【答案】43,32
⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
【分析】利用重心性质有1331AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，代入已知AP AB λ=uu u r uu u r ，AQ AC μ=
得1133AG AP AQ λμ
=
+ ，由
,,P G Q 三点共线，得
11133λμ
+=，然后λμ+可化为一元函数，再利用导数求得值域．【详解】由题意
112λ≤≤，1
12
μ≤≤，延长AG 交BC 于D ，则D 是BC 中点，
22111()33233
AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r
,
又AP AB λ=uu u r uu u r ，AQ AC μ=
，所以1133AG AP AQ λ
μ
=
+ ，又,,P G Q 三点共线，所以
11133λμ+=，31
λ
μλ=-，31
λλμλλ+=+
-，设()31
f λ
λλλ=+
-，则223133(32)()1(31)(31)f λλλλλλλ---'=+=--，
12
23
λ<<时，()0f λ'<，()f λ递减，213λ<<时，()0f λ'>，()f λ递增，
min 24()()33f f λ==，又13()(1)22f f ==，即max 3
()2
f λ=，
所以λμ+的取值范围是43
[,32
，
故答案为：43
[,32
，
12.已知,a b ∈R ，设()
2
e x
f x ax =+-，若函数()y f x =在区间[]1,2上存在零点，则当22a b +取到最小值时()y f x =的零点为______.
【答案】
512
【分析】设函数()y f x =在区间[]1,2上的零点为t ，带入函数变形得到(2
t e a t =+，再利用柯西不等式得到
2
2
2
e t a b t t +≥+，构造函数，求2e t
t t
+取最小值时的t 值即可.【详解】设函数()y f x =在区间[]1,2上的零点为t ，
则20e t a t +=
，即2e t
at =+，
两边平方得(2
e t at =+，
由柯西不等式可得(
()()
2
2
22e t
a
b t t at ++=≤+
，当且仅当0bt -=时等号成立，
即2
2
2e t
a b t t
+≥+，[]1,2t ∈，
设()2e t
g x t t
=+，[]1,2t ∈，
则()()
(
)()
2
22
221515e e 122t
t t t t t g x t t t t
⎛⎫⎛-+-- ⎪--⎝⎭⎝⎭'==++，[]1,2t ∈令()0g x '>，得1522t +<<，()g x
在12⎛⎫+
⎪⎝⎭
上单调递增，令()0g x '
<，得15
12
t +
<<，()g x 在151,
2⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝
⎭上单调递减，所以当15
2
t +=时，()2e t g x t t =+在[]1,2上取最小值，即22a b +取最小值.
证明柯西不等式：()(
)()2
22
2
2ax by a b x
y +≤++，
证明：()(
)()
2
22
2
2ax by a b
x
y +-++()2222222222222a x b y abxy a x b y a y b x =++-+++()2
222220a y abxy b x ay bx =-+-=--≤，
即()(
)()
2
22
2
2ax by a b
x
y +≤++故答案为：
51
2
.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13.“1x ≥”是“1x >”的（）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】根据必要非充分条件的定义，可得答案.
【详解】设{}
1A x x =≥，{}
1B x x =>，由A B ，则“1x ≥”是“1x >”的必要非充分条件.
故答案为：B.
14.已知{}n a 是等比数列，公比为q ，若存在无穷多个不同的(),1n n n ∈≥N 满足21n n n a a a ++≤≤，则下列选项之中，不可能成立的为（）A.0q > B.
0q < C.1q < D.1
q >【答案】C
【分析】分类讨论，结合等比数列的通项和性质分析判断.【详解】当0q >时，则有：
①当1q =，则{}n a 为非零常数列，故21,1n n n a a a q ++===符合题意，A 可能成立；②当1q ≠，则{}n a 为单调数列，故21n n n a a a ++≤≤恒不成立，即0q >且1q ≠不合题意；当0q <时，可得2211
10n n n a a a q -+=<，则有：
①当1q =-，若10,a n >为偶数时，则210n n n a a a ++=<<；若10,a n <为奇数时，则210n n n a a a ++=<<；故1q =-符合题意，B 可能成立；
②当1q <-，若10,a n >为偶数时，则1200,0,n n n a a a ++<<>，且(
)
2
210n n n a a a q +-=-<，即21n n n a a a ++<<；
若10,a n <为奇数时，则1200,0,n n n a a a ++<<>，且()
2
210n n n a a a q +-=-<，
即21n n n a a a ++<<；故1q <-符合题意，D 可能成立；③当10q -<<，若2
1n n n a a a ++≤≤，可得()
()2
2110
10
n n n n n n a a a q a a a q ++⎧-=-≤⎪⎨-=-≤⎪⎩，
10q -<< ，则210,10q p -<->，可得0
n n a a ≥⎧⎨≤⎩，则0n a =，这与等比数列相矛盾，
故10q -<<和01q <<均不合题意，C 不可能成立.故选：C.
15.我们称：两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面的夹角；由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”.则在正方体中，两个不重合的“表截面”的夹角大小不可能为（）
A.30︒
B.45︒
C.60︒
D.90︒
【答案】A
【分析】根据两个平面的夹角的知识，结合空间向量法求得正确答案.【详解】平面ABCD 和平面11ADD D 的夹角为90︒，D 选项错误.平面11BDD B 和平面11ACC A 的夹角为45︒，B 选项错误.设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，
则()()()11,0,0,1,1,0,0,0,1A B D ，()()10,1,0,1,1,1AB BD ==--
，设平面11ABC D 的法向量为()111,,m x y z =
，
则1111100m AB y m BD x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，故可设()1,0,1m = .()1,0,0CB = ，设平面11A BCD 的法向量为()222,,x n y z =
，则212220
n CB x n BD x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，故可设()0,1,1n = ，设平面11ABC D 与平面11A BCD 的夹角为θ，
则
1cos 2
m n
m n
θ⋅===
⋅
，由于090θ︒≤≤︒，所以60θ=︒，所以C 选项错误.
所以夹角大小不可能为30︒.故选：
A
16.若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212x x x x ≠、，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()y f x =在其定义域D 上是“k -利普希兹函数”.有如下两个命题：命题p ：若R 上的函数()y g x =的导函数为()y g x '=，满足()2g x '<，则函数()g x 在R 上是“2-利普希兹函数”.命题q ：若()y h x =是[]0,1上的“1-利普
希兹函数”，满足()()01h h =，则不存在[]12,0,1x x ∈，使得()()212
3
h x h x -=.下列说法正确的是（）
A.命题p 、q 都是真命题
B.命题p 为真命题，命题q 为假命题
C.命题p 为假命题，命题q 为真命题
D.命题p 、q 都是假命题
【答案】A
【分析】由于命题p 中含有导数，因此可结合拉格朗日中值定理进行证明（先证明拉格朗日中值定理），命题q ，利用新函数定义对21x x -按小于23和不小于2
3
分类讨论，前者直接利用新函数定义，后者利用(0)(1)h h =，利用绝对值的性质及新定义证明．
【详解】先证明预备定理1，设连续函数()g x 在(,)a b 上的导函数是()g x '，()g x 在[,]a b 上连续且()()g a g b =，则存在(,)c a b ∈，使得()0g c '=，
用反证法：假设对任意(,)x a b ∈，都有()0g x '>，则()g x 在(,)a b 上单调递增，而()()g a g b =与()g x 在x b =处连续矛盾，所以(,)x a b ∈，()0g x '>不可能恒成立，同理也不可能对所有(,)x a b ∈，()0g x '<恒成立，所以存在12,(,)x x a b ∈，使得12()()0g x g x ''<，由零点存在定理，存在12(,)(,)c x x a b ∈⊆，使得()0g c '=，
预备定理2，设()f x 是[,]a b 上的连续函数，()f x 的导函数是()f x '，则存在(,)c a b ∈，使得()()
()f b f a f c b a
-'=-，
构造函数()()
()()()()f b f a F x x a f a f x b a
-=
-+--，
()()
()()f b f a F x f x b a
-''=--，
显然()()0F a F b ==，根据预备定理1，存在(,)c a b ∈，使得()0F c '=，所以()()()()0f b f a F c f c b a -''=
-=-，即()()
()f b f a f c b a
-'=-，
正面证明命题,p q 的真假，
命题p ：假设存在12,R x x ∈，使得1212()()2g x g x x x ->-，即
1212
()()
2g x g x x x ->-，
由预备定理2，存在12(,)c x x ∈，使得2121()()()g x g x g c x x -'=
-，所以2121
()()
()2g x g x g c x x -'=
>-，与已知矛盾，因此对任意12,R x x ∈，1212()()2g x g x x x -≤-，所以函数()g x 在R 上是“2-利普希兹函数”，命题p 为真．命题q ：对任意[]12,0,1x x ∈，不妨设12x x <，
当2123x x -<
时，因为()y h x =是[]0,1上的“1-利普希兹函数”，所以12122()()3h x h x x x -≤-<，当2123x x -≥时，由于[]12,0,1x x ∈，因此212
13
x x ≤-≤，
12121212()()()(0)(1)()()(0)(1)()01h x h x h x h h h x h x h h h x x x -=-+-≤-+-≤-+-211
1()3
x x =--≤，
综上，()()212
3
h x h x -<恒成立，因此命题q 是真命题．
故选：A ．
【点睛】方法点睛：命题p 中涉及到函数的平均变化率与导数问题，因此联想拉格朗日中值定理进行证明，命题q 中的技巧：利用(0)(1)h h =进行变形然后由绝对值性质进行放缩，从而得到证明：
121212()()()(0)(1)()()(0)(1)()h x h x h x h h h x h x h h h x -=-+-≤-+-．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90CBA ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1
12
AB BC AD ==
=.
（1）求证：PC CD ⊥；
（2）已知三棱锥A PCD -的体积为1
3
，求直线PC 与平面PAB 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）2arctan
2
【分析】（1）利用线面垂直得到先证明线线垂直，然后应用线面垂直的判定在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直即可.
（2）先根据等体积法求出PA 的值，再作出线面角，最后求出线面角的正切值，再求出该线面角即可.【小问1详解】在梯形ABCD 中，
由1
12
AB BC AD ==
=，AD BC ∥，90CBA ∠=︒，得AC CD ==，所以222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥，
又因为PA ⊥平面ABCD ，且CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，
因为PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以CD ⊥平面PAC 又PC ⊂平面PAC ，所以CD PC ⊥.【小问2详解】由（1）知1
2112
ACD S =⨯⨯= ，所以11
33
A PCD
P ACD ACD V V S PA --==⨯⨯=△，解得1PA =，
又因为PA ⊥平面ABCD 且BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为90CBA ∠=︒，所以BA BC ⊥，
因为PA ⊂平面PAB ，BA ⊂平面PAB ，且PA BA A = ，所以BC ⊥平面PAB ，
故PB 是PC 在平面PAB 上的投影，
所以CPB ∠即为直线PC 与平面PAB 所成的角的平面角，
在PAB 中，解得PB ==所以2
tan 2
BC CPB PB ∠=
=
，所以2arctan 2CPB ∠=所以直线PC 与平面PAB 所成角大小为2arctan 2
18.已知()()sin 0f x x ωω=>.
（1）函数()y f x =的最小正周期是4π，求ω，并求此时1
()2
f x =的解集；
（2）已知1ω=，2
π
()()()(
)2
g x f x x f x =+--，求函数()y g x =，π[0,4x ∈的值域.
【答案】（1）12ω=，π{|4π3x x k =+或5π
4π,Z}3
x k k =+
∈；（2）1
[,0]2
-.
【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出ω，再求出方程的解集即得.
（2）利用二倍角公式及辅助角公式求出()g x ，再利用正弦函数性质求出值域即可.【小问1详解】
依题意，
2π
4πω=，解得12ω=
，则1
()sin 2f x x =，由1()2f x =，得1sin 22x =，
解得π2π26x k =+或5π2π,Z 26x k k =+
∈，即π
4π3x k =+或5π4π,Z 3
x k k =+∈
所以1()2f x =
的解集为π{|4π3x x k =+或5π
4π,Z}3
x k k =+
∈.【小问2详解】
依题意，()sin f x x =，2
π
11
()sin )sin()cos 2cos 2
22
g x x x x x x x =--=
--1131πcos 2sin 2sin(2)22226
x x x =
--=-+，当π
[0,]4
x ∈时，ππ2π2[,]663x +
∈，则有1πsin(2)126x ≤+≤，11π
sin(2)0226
x -≤-+≤，所以函数()y g x =，π[0,]4x ∈的值域为1
[,0]2
-.
19.已知数列{}n a 满足11a =，()1232n n a a n -=+≥.（1）证明：数列{}3n a +为等比数列，并求{}n a 的通项公式；
（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在不同的三项m d 、k d 、p d （其中m 、k 、p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m 、k 、p ；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析，1
23
n n a +=-（2）不存在，理由见解析
【分析】（1）利用等比数列的定义可证明出数列{}3n a +为等比数列，确定数列{}3n a +的首项和公比，可求得数列{}3n a +的通项公式，进而可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）根据等差数列的定义出n d ，假设存在满足条件的三项m d 、k d 、p d （其中m 、k 、p 成等差数列），由已知可得出2k m p =+，根据等比数列的定义可得出2
k m p d d d =，化简得出()()()2
111k m p +=++，再利用作差法推
出矛盾，即可得出结论.【小问1详解】
解：因为数列{}n a 满足11a =，()1232n n a a n -=+≥，则当2n ≥时，()1323n n a a -+=+，且134a +=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，2为公比的等比数列.所以，1
13422n n n a -++=⋅=，故123n n a +=-.
【小问2详解】
解：在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，
则()()
211123232111
n n n n n n
a a d n n n ++++----===+++，假设数列{}n d 中是否存在不同的三项m d 、k d 、p d （其中m 、k 、p 成等差数列）成等比数列，
则2
k m p d d d =，即2
111222111k m p k m p +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即()()()222222111k m p m p k +++=+++，
由已知可得2k m p =+，所以，()()()2
111k m p +=++，
事实上，()()()()
()2
2
2
111211k m p k k mp m p k mp
+-++=++-+++=-()2
2
22240244m p m p m p mp mp mp -+++-⎛⎫
=-=
=> ⎪⎝⎭
，即()()()2
111k m p +>++，矛盾，假设不成立，故不存在这样的三项m d 、k d 、p d 成等比数列.
20.已知双曲线Γ：22
143
x y -
=的左、右焦点为1F 、2F ，直线l 与双曲线Γ交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.（1）已知l 过2F 且垂直于12F F ，求AB ；
（2）已知直线l 的斜率为1-，且直线l 不过点()4,3P ，设直线PA 、PB 的斜率分别为PA k 、PB k ，求PA PB k k +的值；
（3）当直线l 过2F 时，直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N .是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S = ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3（2）0
（3）存在，(14
y x =±
-【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出AB 的值；（2）先设出直线和得到韦达定理，然后列出斜率之和的式子带入即可；
（3）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可.【小问1详解】
因为224,3a b ==，所以2227c a b c =+=⇒=
所以)
2
F ，当直线l 过点2F 且12l F F ⊥时，此时l x ⊥轴，所以12x x ==，
代入可得1232
32y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，所以123AB y y =-=；
【小问2详解】
设直线y x m =-+，因为直线不经过点()4,3P ，所以1m ≠，
联立2214
3y x m x y =-+⎧⎪
⎨-=⎪⎩，得2284120x mx m -++=，
所以(
)
2
Δ4810m =->，
由韦达定理128x x m +=，2
12412
x x m =+121212123333
4444
PA PB y y x m x m k k x x x x ---+--+-+=
+=+----()()()
()222121222112183824882480
6
41231426
1x x x x m x x m m m m m
m m x x -++++---+++-=
+-++-+==故0PA PB k k +=.【小问3详解】
如图所示，
若直线l 的斜率为0，此时为x 轴，,A B 为左右顶点，
此时1,,F A B 不构成三角形，矛盾，所以直线l 的斜率不为0，设l
：x ty =+
由22124
3x ty x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，得(
)
223490t y -++=，
满足()
2
2
340Δ14410t t ⎧-≠⎪⎨=+>⎪⎩
，此时1AF
：y x =
+，
故M ⎛⎫ ⎝
，同理N ⎛⎫ ⎝
，
2111212121211
22
B F F A F A F B F S S S F F y y y y =⨯-=⨯-=-△△△
，1112F MN F M N S x y y =
⨯-=△
--
=故由11F AB F MN
S S = ，得()2
1212287
t y y y
y +++=而12234
y y t +=-
-，12
2934y y t =-代入可得22229842873434t t t t -+=--，解得214
3
t =或27
t =-（舍），所有3
t =±
，经检验此时满足0∆>且2340t -≠，故存在满足条件的直线l
，其方程为42
3
x y =±
+法二：11F AB F MN S S = 即
1111111111111
sin 21
sin 2
F AB F MN
F A F B AF B S F A F B S F M F N F M F N MF N ∠==⋅∠△△，
由相似三角形可知
1111F A F B F M
F N
=
所以
111F AB F MN
S S =
△△（*）.
若l 斜率不存在，则,A B 均在右支，此时11F AB F MN S S >△
△，矛盾，舍去；所以设l ：(y
k x =，
联立(22
1
4
3y k x x y ⎧=⎪⎨⎪
-=⎩，可得()
2222
3428120k x x k -+--=（**），需满足22
340
Δ990k k ⎧-≠⎨=+>⎩
，由韦达定理，2
2
8743
A B x x k +=-，22281243A B k x x k +=-，
代入（*
2228120k ++=
或者()
222
28121443k k ++=--，
解得2
17k =-
（舍）或者2314k =，所以4214
k =±，经检验，此时满足Δ0>且2340k -≠.故l
方程为：(42
14
y x =±
-.【点睛】关键点睛：碰到面积相等或者成比例的题的时候，往往可以利用同角的边成比例来解决，可以降低思维量和运算量.
21.已知()ln 1f x x a x =+-，其中a ∈R .
（1）若曲线()y f x =在点()()
22f ,处的切线与直线230x y ++=垂直，求a 的值；（2）设()()1
g x f x x
=+，函数()y g x =在0x x =时取到最小值()0g x ，求a 关于0x 的表达式，并求()0g x 的最大值；
（3）当1a =-时，设()(
)T x f x x =+，数列{}(),1n a n n ∈≥N 满足()10,1a ∈，且()1n n a T a +=，证明：
()1322,1n n n a a a n n ++++>∈≥N .
【答案】（1）2（2）()000
1
0a x x x =
->，1（3）证明见解析
【分析】（1）根据导数与函数曲线切线的关系，结合直线垂直斜率的关系，可得答案；（2）根据导数与函数单调性的关系，利用换元法，建立新函数，可得答案；（3）利用综合法，整理不等式，构建新函数，利用导数研究函数单调性求最值.【小问1详解】
由()ln 1f x x a x =+-，则()1a f x x '=+，由直线230x y ++=，则其斜率为12
-，由切线与上述直线垂直，则122
a
+=，解得2a =.【小问2详解】解法一：
由()()11ln 1g x f x x a x x x =+=+-+，则()2211
1a x ax g x x x x
+-=+-='，
当0x =时，显然2110x ax +-=-<，则210x ax +-=有两异号实根，设0x 为其正根，
则在()00,x 上()0g x '
<，在()0,x +∞上()0g x '>，
即在()00,x 上()g x 为严格减函数，在()0,x +∞上()g x 为严格增函数，故()00010a x x x =
->，()g x 的最小值()00000011
ln 1g x x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭
.令()11ln 1F x x x x x x ⎛⎫=+
+-- ⎪⎝⎭，()211ln F x x x '⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，在()0,1上()0F x '>，()F x 为严格增函数；在()1,+∞上()0F x '<，()F x 为严格减函数；
()F x 的最大值在1x =取到，故()()11F x F ≤=.
综上：00
1
a x x =-，()0g x 的最大值为1.解法二：
由()()11ln 1g x f x x a x x x =+=+-+，则()2211
1a x ax g x x x x
+-=+-='，
当0x =时，显然2110x ax +-=-<，则210x ax +-=有两异号实根，设0x 为其正根，满足在()00,x 上()0g x '
<，在()0,x +∞上()0g x '>，
即在()00,x 上()g x 为严格减函数，在()0,x +∞上()g x 为严格增函数，且00
1
a x x =
-，由求根公式，042
a x -+=
，
令()()(
)000min
1
4ln 1ln
12
a
h a g x g x x a x a x -===++-=-，由(
)ln 12a h a a -=-，则(
)ln
2
a h a ='，
当()0,a ∈+∞时，()2
242a a +<+，故()0h a '<，此时()h a 为严格减函数，
当(),0a ∈-∞时，()2
242a a +>+，故()0h a '>，此时()h a 为严格增函数，
故()()01h a h ≤=.综上：00
1
a x x =
-，()0g x 的最大值为1.【小问3详解】
要证1322n n n a a a ++++>，即证3221n n n n a a a a ++++->-，
由()1n n T a a +=，则不等式等价于()()2211n n n n T a a T a a ++++->-.
由1a =-，则()(
)ln 1ln 1T x f x x x x x x =+=--+=-，令()(
)ln 1G x T x x x x =-=--，
则(
)21311242102G x x x
⎫-'--⎪⎝⎭=⨯-=<，对任意0x >恒成立，故()G x 在()0,∞+为严格减函数，
要证()()2211n n n n T a a T a a ++++->-，只需证明()()21n n G a G a ++>，即证明21n n a a ++<.由()1n n T a a +=，即证()11n n T a a ++<，即证()10n G a +<，
而()10G =，()G x 在()0,∞+为严格减函数，即证11n a +>.
由(
)ln 1T x x =-，则(
)11122T x x x
-=⨯='，在()0,1上()0T x '<，()T x 为严格减函数；在()1,+∞上()0T x '>，()T x 为严格增函数.所以()()11T x T ≥=，又()10,1a ∈，所以()11T a >，同理()11n n a T a +=>.
所以1322n n n a a a ++++>.
【点睛】本题的解题关键在于导数研究函数的单调性，对于导数的化简一般有两种方法：1、对其进行分解因式；2、当导数为分式时，分子与分母分开研究；3、建立新函数，再次求导研究新函数的单调性和最值.。