洛阳市七年级数学下册第二单元《实数》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．下列各式计算正确的是（ ）
A B = ±2 C = ±2 D ．
2．观察下列各等式： 231-+=
-5-6+7+8=4
-10-l1-12+13+14+15=9
-17-18-19-20+21+22+23+24=16
……
根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ）
A ．-130
B ．-131
C ．-132
D ．-133
3．若a =b =-，c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．b a c >>
D ．c b a >> 4．下列说法中，正确的是（ ）
A ．正数的算术平方根一定是正数
B ．如果a 表示一个实数，那么－a 一定是负数
C ．和数轴上的点一一对应的数是有理数
D ．1的平方根是1
5．下列实数31,7
π-，3.14，1.010010001…（从左到右，每两个1之间依次增加一个0）中，其中无理数有（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
6．下列选项中，属于无理数的是（ ）
A ．π
B ．227
- C D ．0 7．下列说法中，错误的有（ ）
①符号相反的数与为相反数； ②当0a ≠时，0a >；
③如果a b >，那么22a b >；
④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；
⑤数轴上的点不都表示有理数．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
8．已知无理数m 5π-的整数部分相同，则m 为（ ）
A B C 1 D ．π-
9．在223.14,, 5.12112111227
π
+--……中，无理数的个数为 （ ）
A．5B．2C．3D．4
10．若将
2
-，7，11分别表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是
（）
A．2
-B．7C ．11D．无法确定11．在 -1.414，2，16，π，2+3，3.212212221…，
22
7
，3.14这些数中，无理数的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣
2
π
不仅是有理数，而且是分数；④
23
7
是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（）
A．7个B．6个C．5个D．4个
二、填空题
13．把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接：
1.5
-，38，0，13
-，4-
14．先化简，再求值：()
22
2
23
3
a a
b a ab
⎛⎫
---
⎪
⎝⎭
，其中|2|
a+与3
b-互为相反数．15．()
1
1
16353cos30
2
-
⎛⎫
+-+--︒
⎪
⎝⎭
16．对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定a b a b a b
=++-．
（1）计算()
23
-的值；
（2）①当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简a b；
②当a b a c
=时，是否一定有b c
=或者b c
=-？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．
17．请你写出一个比3大且比4小的无理数，该无理数可以是：____．
18．把下列各数填入相应的集合里：
﹣3，|﹣5|，+（
1
3
-），﹣3.14，0，﹣1.2121121112…，﹣（﹣2.5），
3
4
，﹣|
4
5
-|，3π正数集合：{_____________…}；
整数集合：{_____________…}；
负分数集合：{_____________…}；
无理数集合：{_____________…}．
19．比较大小，填“＞”或“＜”号：12
_________12
20．设a ，b
是一个无理数，若a b <
<，是，则a b ＝
____． 三、解答题
21．求下列各式中x 的值．
（1）2(1)
2x +=； （2）3292
03x +=． 22．对于结论：当a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成是b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．
（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？
（2
1-的值．
23．定义一种新运算，观察下列式子：
212122128=⨯+⨯⨯=★；
2232322330=⨯+⨯⨯=★；
()()()2
21212212-=⨯-+⨯⨯-=-★； ()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；
；
（1）计算：()32-★的值；
（2）猜想：a b =★________； （3）若
12162
a +=-★，求a 的值． 24．求下列各式中x 的值 （1）()328x -=
（2）2
1
(3)753x -= 25
)10152-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭
26．求下列各式中的x 的值．
（1）4x 2＝9； （2）（2x ﹣1）3＝﹣27．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可．
【详解】
解：∵-1= 2= 2，，
故只有A计算正确；
故选:A．
【点睛】
本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根．
2．C
解析：C
【分析】
通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
【详解】
解：第一行：211
=；
第二行：224
=；
=；
第三行：239
=；
第四行：2416
……
第n行：2n；
∴第11行：2
=．
11121
∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据乘方运算，可得平方根、立方根，根据绝对值，可得绝对值表示的数，根据正数大于负数，可得答案．
【详解】
c==--=，
解：∵3
a==-，b=，()22
>>，
∴c b a
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数比较大小，先化简，再比较，解题的关键是掌握乘方运算，绝对值的化简．
4．A
解析：A
【分析】
根据算术平方根、实数与数轴上的点是一一对应关系、实数、平方根，即可解答．
【详解】
A、正数的算术平方根一定是正数，故选项正确；
B、如果a表示一个实数，那么-a不一定是负数，例如a=0，故选项错误；
C、和数轴上的点一一对应的数是实数，故选项错误；
D、1的平方根是±1，故选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了实数，实数与数轴，解决本题的关键是熟记实数的有关性质．
5．C
解析：C
【分析】
根据无理数的定义、算术平方根与立方根逐个判断即可得．
【详解】
31
4.428571
=小数点后的428571是无限循环的，属于有理数，
7
=-属于有理数，
3
=
-⋯，共有3个，
则无理数为π
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数、算术平方根与立方根，熟记各定义是解题关键．
6．A
解析：A
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【详解】
解：A.π是无理数；
B.
22
7
-是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
D.0是整数，属于有理数．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为
无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
7．D
解析：D
【分析】
根据相反数、绝对值、数轴表示数以及有理数的乘法运算等知识综合进行判断即可．【详解】
解：符号相反，但绝对值不等的两个数就不是相反数，例如5和-3，因此①不正确；
a≠0，即a＞0或a＜0，也就是a是正数或负数，因此|a|＞0，所以②正确；
例如-1＞-3，而（-1）2＜（-3）2，因此③不正确；
例如-5表示的点到原点的距离比1表示的点到原点的距离远，但-5＜1，因此④不正确；数轴上的点与实数一一对应，而实数包括有理数和无理数，因此⑤正确；
综上所述，错误的结论有：①③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查相反数、绝对值、数轴表示数，对每个选项进行判断是得出正确答案的前提．8．C
解析：C
【分析】
m的整数部分与小数部分，进而可得答案．
【详解】
解：因为23， 3.14
π≈，
2，5π
-的整数部分为1，
所以无理数m的整数部分是12，
所以121
m=+=．
故选：C．
【点睛】
m的整数部分与小数部分是解
9．D
解析：D
【分析】
根据无理数的概念逐一判断即可，其中无限不循环小数是无理数．
【详解】
3.14是有理数，2
π是无理数，
===是无理数，
0.1=-是有理数，2+227-
是有理数， 5.121121112-……是无理数；
故选D ．
【点睛】
本题考查了无理数的概念，熟记无限不循环小数为无理数是本题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
首先利用估算的方法分别得到间），从而可判断出被覆盖的数．
【详解】 ∵
221，23<<，34<<
而墨迹覆盖的范围是1-3
∴
故选B.
【点睛】
本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力．
11．C
解析：C
【分析】
先计算算术平方根，再根据无理数的定义即可得．
【详解】
4=，
22 3.1428577=小数点后的142857是无限循环的，
,2π+⋯，共4个，
【点睛】
本题考查了算术平方根、无理数，熟记无理数的定义是解题关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．
【详解】
解：①没有最小的整数，所以原说法错误；
②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；
③﹣2π是无理数，所以原说法错误； ④237
是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误； ⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；
⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；
⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；
⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误；
故其中错误的说法的个数为6个．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
二、填空题
13．数轴见解析＜＜0＜＜【分析】根据用数轴表示数的方法在数轴上先表示出各数再由数轴上右边的数总比左边的数大把这些数用＜连接即可【详解】解：在数轴上表示各数如图：∴＜＜0＜＜【点睛】本题主要考查了实数的大 解析：数轴见解析，13-＜ 1.5-＜0＜38＜4-．
【分析】
根据用数轴表示数的方法，在数轴上先表示出各数，再由“数轴上右边的数总比左边的数大”把这些数用“＜”连接即可．
【详解】
解：在数轴上表示各数如图：
∴ 1.5-＜0
4-．
【点睛】
本题主要考查了实数的大小比较的方法，掌握利用数轴比较实数的大小是解题的关键． 14．ab ；-6【分析】原式去括号合并得到最简结果利用相反数及非负数的性质求出a 与b 的值代入计算即可求出值【详解】解：原式=2a2-2ab-（2a2-3ab ）=2a2-2ab-2a2+3ab=ab ∵与互为
解析：ab ；-6．
【分析】
原式去括号合并得到最简结果，利用相反数及非负数的性质求出a 与b 的值，代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式=2a 2-2ab-（2a 2-3ab ）
=2a 2-2ab-2a 2+3ab
= ab ， ∵2a +
∴
，
∴a+2=0，30b -=，
解得：a=-2，3b =，
当a=-2，b=3时，
原式=-6．
【点睛】
此题考查了整式的加减-化简求值，以及算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．【分析】根据平方根定义负指数幂零指数幂特殊角的三角函数值计算即可；【详解】解：原式【点睛】本题主要考查了实数的运算结合负整数指数幂零指数幂特殊角的三角函数值计算是解题的关键 解析：32
【分析】
根据平方根定义、负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算即可；
【详解】
解：原式33421421222
=-+-=-+-=． 【点睛】
本题主要考查了实数的运算，结合负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算是解题的关键． 16．（1）6；（2）①；②不一定理由见解析【分析】（1）根据新定义可得
然后按有理数的运算法则计算即可；（2）①首先根据数轴可得 然后根据新定义可得去掉绝对值符号之后按整式加减运算法则化简即可；②举反例： 解析：（1）6；（2）①2b -；②不一定，理由见解析．
【分析】
（1）根据新定义可得()()()2
32323-=+-+--☉，然后按有理数的运算法则计算即可；
（2）①首先根据数轴可得0a b +<，0a b -> ，然后根据新定义可得
a b a b a b =++-☉，去掉绝对值符号之后按整式加减运算法则化简即可； ②举反例：当5a =-，4b =，3c =时，a b a c =☉☉成立；
【详解】
（1）()2
3-☉()()2323=+-+--15=-+15=+6=； （2）①从a ，b 在数轴上的位置可得0a b +<，0a b -> ，
()()2a b a b a b a b a b a b b ∴==++-=-++-=-；
②不一定有b c =或者b c =-，举反例如下，
当5a =-，4b =，3c =时，10a
b a b a b =++-=☉，10a
c a c a c =++-=☉， 此时a b a c =☉☉成立，但b c ≠且b c ≠-．
【点睛】
本题考查新定义运算，解答的关键是根据新定义，转化成有理数的运算，整式的运算． 17．答案不唯一如：【分析】无限不循环小数是无理数根据无理数的三种形式解答即可【详解】设该无理数是x 由题意得∴x=10或11或12或13或14或15该无理数可以是：答案不唯一如：故答案为：答案不唯一如：【
解析：【分析】
无限不循环小数是无理数，根据无理数的三种形式解答即可．
【详解】
设该无理数是x x <<
∴x=10或11或12或13或14或15，
【点睛】
此题考查无理数的定义，熟记定义并掌握无理数的三种形式是解题的关键． 18．|﹣5|﹣（﹣25）3π﹣3|﹣5|0+（）﹣314﹣||﹣12121121112…3π【分析】先根据绝对值的定义及化简符号的法则去掉绝对值的符号及多重符号再根据正数整数负分数无理数的定义求解即可【
解析：|﹣5|，﹣（﹣2.5），
34
，3π ﹣3，|﹣5|，0 +（13-），﹣3.14，﹣|45-| ﹣1.2121121112 (3)
【分析】 先根据绝对值的定义及化简符号的法则去掉绝对值的符号及多重符号，再根据正数、整数、负分数、无理数的定义求解即可．
【详解】
解：|﹣5|＝5，+（1
3-）13=-，﹣（﹣2.5）＝2.5，﹣|45-|45
=-， 19．＜【分析】根据-1＞1即可进行比较【详解】∵-1＞1∴＞即＜故答案为：＜【点睛】此题主要考查了实数大小比较
解析：＜
【分析】
＞1，即可进行比较．
【详解】 ∵
＞1，
∴＞12，即12． 故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较．
20．9【分析】求出的范围求出ab 的值代入求出即可【详解】∵2＜＜3∴a ＝2b ＝3∴ba ＝32＝9故答案为：9【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用关键是求出ab 的值
解析：9
【分析】
a 、
b 的值，代入求出即可．
【详解】
∵2
3，
∴a ＝2，b ＝3，
∴b a ＝32＝9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出a 、b 的值．
三、解答题
21．（1）11x =，21x =；（2）23x =-
． 【分析】
（1）根据平方根的意义求解即可；
（2）变形后根据立方根的意义求解即可．
【详解】
（1）2(1)2x +=，
1x +=
11x =，21x =．
（2）329203
x +=， 32923
x =-， 3827
x =-， 23
x =-． 【点睛】
本题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键．
22．（1）见解析；（2）13-=-
【分析】
（10=，则2与﹣2互为相反数进行说明.
（2）利用（1）的结论，列出方程（3﹣2x ）+（x +5）＝0，从而解出x 的值，代入可得出答案．
【详解】
解：（10=，则2与﹣2互为相反数；
（2）由已知，得（3﹣2x ）+（x +5）＝0，
解得x ＝8，
∴1=1=
1﹣4＝﹣3．
【点睛】
本题考查立方根的知识，难度一般，注意一个数的立方根有一个，它和这个数正负一致，本题的结论同学们可以记住，以后可直接运用．
23．（1）0；（2）22ab ab +；（3）5a =-
【分析】
（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；
（2）利用规定的运算方法求解即可；
（3）利用规定的运算方法得到方程，再进一步解方程即可．
【详解】
解：（1）∵212122128=⨯+⨯⨯=★；
2232322330=⨯+⨯⨯=★；
()()()2
21212212-=⨯-+⨯⨯-=-★； ()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；
； ∴()()()232322320-=⨯-+⨯⨯-=★；
（2）由（1）可得：22a b ab ab =+★．
故答案为：22ab ab +．
（3）2111222216222
a a a +++=⨯+⨯⨯=-★， 解得：5a =-．
【点睛】
此题考查有理数的混合运算以及解一元一次方程，理解运算方法是解决问题的关键． 24．（1）4x =；（2）18x =或12x =-．
【分析】
（1）利用立方根的定义得到22x -=，然后解一次方程即可；
（2）先变形为()23225x -=，然后利用平方根的定义得到x 的值．
【详解】
（1）∵()328x -=，
∴22x -=，
∴4x =；
（2）2
1(3)753x -=，
整理得：()23225x -=，
∴315x -=或315x -=-，
∴18x =或12x =-．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，平方根和立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 25．32
【分析】
根据平方根定义、负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算即可；
【详解】
解：原式33421421222
=-+-=-+-=．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，结合负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算是解题的关键．
26．（1）x＝
3
2
±；（2）x＝﹣1．
【分析】
（1）先变形为x2＝9
4
，然后利用平方根的定义得到x的值；
（2）先利用立方根的定义得到2x﹣1＝﹣3，然后解一次方程即可．
【详解】
解：（1）4x2＝9
∴x2＝9
4
，
∴x＝±3
2
；
（2）（2x﹣1）3＝﹣27，
∴2x﹣1
＝﹣3，
∴x＝﹣1．
【点睛】
本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方
根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a。