江苏省南京市励志高级中学2023-2024学年高一下学期第三次调研考试数学试题(无答案)

励志高级中学2023-2024学年高一年级第二学期第三次调研考试
数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
考生注意
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．
2．答题前考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作案无效．4．本卷命题范围是苏教版必修第二册第9－13章
第I 卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（基础题）设复数满足；则（
）
A ．
B
C
D ．2
2．（基础题）已知，则与方向相反的单位向量的坐标为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．3.（基础题）己知向量，，若，
的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．4．（基础题）已知角的终边经过点，则（ ）A ．5
B ．C
．
D ．5．（基础题）已知中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，且，则的值为（
）
z ()1i 2i +=z =z 1
2
()4,2=
a
a ()2,1()2,1--⎛ ⎝()1,2=--
a ()1,=
b λ a b λ1,2⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
()1,22,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
1,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
()
2,+∞θ()2,3-πtan 4⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
θ15
-
15
5
-△ABC 2
2
22318-=+b a a 3=c cos B
A
B ．
C ．
D ．6．
（中等题）已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是（ ）A ．4
B ．3
C ．2
D ．0.5
7．（中等题）如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 不平行于平面MNQ 的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（中等题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．（基础题）下列选项中，正确的有（
）
A ．设，都是非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件
B ．若角的终边过点且，则
C ．在中，
D ．若，则10．（基础题）如图所示，AB 是半圆O 的直径，A 垂直于半圆O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B
14
14
-
5π8π81π
416π
9π
274
π a b 12= a b =
a a b
b
α()3,-P m sin =α2=±m △ABC sin sin cos cos ⇔<⇔><B A B A A B π1sin 33⎛⎫-=
⎪⎝⎭απ1cos 63⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
α
的任意一点，M ，N 分别为，的中点，则下列结论正确的是（
）
A ．平面VAC
B ．平面AB
C C ．MN 与BC 所成的角为
D ．平面平面VBC
11．（创新题）任何一个复数（其中
a ，，i 为虚数单位）都可以表示成：
的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A ．
B ．当，时，
C ．当，时，
D ．当，时，若n 为偶数，则复数
为纯虚数第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分．把答案填在答题卡上的相应位置）
12．（基础题）如图，菱形ABCD 的边长为2，，M 为DC 的中点，则的值为________．
13．（基础题）已知圆台下底面的半径为2，高为
2，则这个圆台的体积为________．14．（创新题）如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C 处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从D ，C 到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若
VA VC ⊥OC ∥MN 90︒
⊥VAC i =+z a b ∈R b ()cos isin =+z r θθz ()()()*c cos isi os in n s i =+=+⎡⎣∈⎤⎦
N n
n n z r r n n n θθθθ2
2
=z z
1=r π3
=
θ3
1=z 1=r π3=
θ12=z 1=r π4
=
θn
z 60∠=︒A ⋅AM AB 120︒80m =DA 60m =BC
，则甲，乙两人相距________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（基础题）（13
分）若，，．
（1）若，求实数m 的值；
（2）若与的夹角为，求实数m 的值．
16．（基础题）
（15分）已知，，
且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若中内角A ，B
，C 的对边分别为a ，b ，c 且，，，求a ，
c 的值及的面积．
17．（中等题）（15分）如图，在三棱台中，H 在AC 边上，平面平面ABC ，
，，，，．
（
1）证明：；（2）若
的体积．18．（中等题）（17分）中，，，．
40m =AB 1= a = b m 2+=
a b 23+=
a b + a b - a b 2π
3
)
,cos =
x x m ωω()()cos ,cos 0,∈=->
x x n x R ωωω()1
2=⋅- f x m n ()f x π2
()f x △ABC =b ()0=f B 3sin sin =A C △ABC -ABC DEF ⊥ACFD 60∠=︒ACD 2=CH 4=CD =BC ⊥BH BC ⊥EF BD △ABC -D ABH △ABC 120∠=︒BAC ⊥AC AE 1=AE
（1）若，求AC 的长度；（2）若，求
．
19．（创新题）（17分）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．（1）设，求证：；（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；（3）已知点满足：
，向量的“相伴函数”在处取得最大值．当点M 运动时，求的取值范围．
2=AB 2=EC BE tan ∠AEC (),=OM a b ()()sin cos =+∈f x a x x b x R (),=OM a b ()sin cos =+x f x a b x ()()()πcos 2cos 6⎛
⎫
=+
-+ ⎪⎝
∈⎭
h x x x a a R ()∈h x S ()h x (),M a b (∈b
a
OM ()f x 0=x x 0tan 2x。