湖南师范大学附属中学2021届高三数学试题

【新高考】2021届高三数学试题
一、单选题 1．已知复数z 满足
z i
i z
+=，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122
i --
2．设集合{}
[]{}
31log 1,2,0,2x A x
x B y y x =-<<==∈∣∣，则A B =（ ）
A ．[0，2)
B ．(1，3)
C ．[1，3)
D ．(1，4)
3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死，至少需要（ ）
A ．4秒钟
B ．5秒钟
C ．6秒钟
D ．7秒钟
4．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ） A ．:,:p a c b d q a b +>+>且c d >
B ．():1,1,:(0,x
p a b q f x a b a >>=->且1)a ≠的图象不过第二象限
C ．:2p x 且222,:4y q x y +
D ．():1,:log (0,a p a q f x x a >=>且1)a ≠在()0,∞+上为增函数
5．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.8，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.6，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是（ ）
A ．0.20
B ．0.48
C ．0.60
D ．0.75
6．已知、、A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外的任一点，则“点M 与点,A B 、C 共面”的充分条件的是（ ）
A ．2OM OA O
B O
C =-- B ．OM OA OB OC =+- C ．1
132OM OA OB OC =+-
D ．111
346
OM OA OB OC =++ 7．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A 、B 是圆()
2
224x c y c -+=与C 位于x 轴上方的两个交点（A 在左支，B 在右支)，且12//F A F B ，则双曲线C 的
离心率为（ ）
A ．
233+ B ．453+ C ．317
4+ D ．5114
+
8．已知0,a <函数()1
ln ,a x f x x e a x +=⋅+若()1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的最小值为（ ）
A ．1e --
B ．1e -
C ．1
e
- D ．e -
二、多选题
9．下列命题正确的有（ ）
A ．若方程22230x y mx y ++-+=表示圆，则m 的取值范围是()(
)
22-∞-+∞，
，
B ．若圆
C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是
()
()2
2
211x y -+-=
C ．已知点()P x y ，在圆C ：22 66140x y x y +--+=上，
y
x
的最大值为1 D ．已知圆221 2610C x y x y +---=：
和2221012450C x y x y +--+=：，圆1C 和圆2C 的公共弦长为27 10．下列说法正确的是（ ）
A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；
B ．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为1
4
； C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为1
9
，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率为
23
. 11．在ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，能确定C ∠为锐角的有（ ） A ．222a b c +> B ．0AC CB ⋅> C ．,A B 均为锐角，且sin cos A B > D ．sin 2sin A C =
12．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则（ ） A ．D 1D ⊥AF B ．A 1G ⊥平面AEF
C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为
10 D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍
三、填空题
13．设随机变量X 的分布列为()1,1,2,33k
P X k a k ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭
，则a 的值为___________. 14．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有________种.
15．ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20OA AB AC ++=，||||OA AB =，则CA CB ⋅=______. 16．“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数2
()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[]3,4至少有一个零点，则22a b +的最小值为
______.
四、解答题
17．已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别是,,,a b c 在以下三个条件中任先一个：⊥
22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；
⊥sin
4A =
⊥sin sin 2
B C b a B +=； 并解答以下问题：
（1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；
（2）在（1
）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值.
18．已知数列{}n a 的前n 项和2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（⊥）求数列{}n b 的通项公式；
（⊥）令1
(1)(2)
n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n
T .
19．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=,E 是棱1CC 上的动点，F 是AB 的中点，
2AC BC ==，14AA =.
（1）当E 是棱1CC 的中点时，求证：CF
平面1AEB ；
（2）在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45？若存在，求出CE 的长，若不存在，请说明理由.
20．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为40元(不足小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为11
,46
；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12
,
23
；两人滑雪时间都不会超过3小时. （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ．
21．已知椭圆C 过点1,
2⎛ ⎝⎭，且与曲线22
12
x y -=有共同的焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点2F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，设2F A =2F B λ，若[]2,1λ∈--，点()2,0T ，
求TA TB +的取值范围.
22．已知函数()x
x
f x e e -=+，其中e 是自然对数的底数.
（1）设存在[)01,x ∈+∞，使得()()
3
0003f x a x x <-+成立，求正实数a 的取值集合A ；
（2）若a A ∈，比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论.
【新高考】高三数学试题
参考答案
1．A 2．C 3．B 【分析】先根据题意推理n 秒时新被杀死的病毒为13n -个，即可计算累计杀死的总病毒数n S ，再解方程110n S ≥的正整数解，即得结果. 【详解】
1秒时，新被杀死的病毒为1个，自身新增长3个； 2秒时，新被杀死的病毒为3个，自身新增长23个； 3秒时，新被杀死的病毒为23个，自身新增长33个； …
以此类推n 秒时，新被杀死的病毒为13n -个，自身新增长3n 个，
故累计杀死病毒数为：23
113333n n S -=++++
+，
由110n S ≥得1311013
n
n S -=-，3221n ∴，解得正整数 5.n
故选：B.
4．A 【详解】A 选项中，由不等式的性质可知：当a b >且c d >，则a c b d +>+. 当取5,6,7,3a b c d ====时，129a c b d +=>+=，但不满足a b > 所以故p 是q 的必要不充分条件；
B 选项中，当1,1a b >>时，函数()(0,x
f x a b a =->且1)a ≠的图象不过第二象限，所以由p q ⇒成立 当函数()(0,x
f x a b a =->且1)a ≠的图象不过第二象限时，则1,1a b >≥，所以由q p ⇒不成立
所以p 是q 的充分不必要条件； C 选项中，当2x ≥且2y ≥，有2
2
4x y
+成立.
当取5,1x y ==时，有2
2
4x y
+成立，但不满足2y ≥.
所以p 是q 的充分不必要条件；
D 选项中，若()log (0,a f x x a =>且1)a ≠在()0,∞+上为增函数,则1a >，p 是q 的充要条件；
故选：A. 5．D 【分析】
记事件:A 电视机的显像管开关了10000次还能继续使用，记事件:B 电视机的显像管开关了15000次后还能继续使用，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】
记事件:A 电视机的显像管开关了10000次还能继续使用，记事件:B 电视机的显像管开关了15000次后还能继续使用，则()0.6P AB =，()0.8P A =，
所以，已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率为
()()()
0.6
0.750.8
P AB P B A P A =
=
=. 故选：D. 6．B 【分析】
根据点M 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案. 【详解】
设OM xOA yOB zOC =++， 若点M 与点,,A B C 共面， 则1x y z ++=，
对于选项A ：2110x y z ++=--=，不满足题意； 对于选项B ：1111x y z ++=+-=，满足题意；
对于选项C ：115
11326x y z ++=+
-=≠，不满足题意； 对于选项D ：111
1346
x y z ++=++≠，不满足题意；
【新高考】高三数学试题
故选：B. 7．C 【分析】
连接1F B 、2F A ，利用双曲线的定义可得122AF c a =-，122BF c a =+，利用余弦定理求出12cos AF F ∠和21cos BF F ∠，由12//F A F B 可得出1221cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，可得出关于a 、c 的齐次等式，进而可解得双曲线C 的离心率. 【详解】
连接1F B 、2F A ，则222AF BF c ==，如下图所示：
由双曲线的定义可得12222AF AF a c a =-=-，12222BF BF a c a =+=+， 在12AF F △中，由余弦定理可得()()
2
22
124224cos 22222c c a c c a
AF F c c a c
+---∠=
=
⋅⋅-， 在12BF F △中，由余弦定理可得()
2
2222212
44222cos 2222c c c a c ac a BF F c c
c +-+--∠=
=
⋅⋅， 因为12//F A F B ，所以1221AF F BF F π∠+∠=，即1221cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，
即222
2022c ac a c a c c
---+=，即22310e e --=，1e >，解得34
e +=
. 故选：C.
【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 8．D 【分析】
设()x
g x xe =，()0f x ≥可等价为()()
ln a f x f x -≥，再利用()f x 的单调性转化为求最值即可求解.
【详解】
由()0f x ≥可得1ln a x
x e a x +⋅≥-，
所以1
ln 1
ln
ln 1ln
a a x x
a a a
a x x x e e x x x ⋅≥-==⋅，
设()x
g x xe =，则上式等价于()1ln
a g x g x ⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
对于
()1,x ∈+∞恒成立， 因为()()10x
g x x e '=+>，所以()x
g x xe =在()1,+∞单调递增，
所以1
ln
a x x ≥对于()1,x ∈+∞恒成立，即ln a x x ≥-，因为ln 0x >， 所以ln x
a x ≥-对于()1,x ∈+∞恒成立，
令()ln x
h x x
=-，则()max a h x ≥，
()()()
221ln 1ln ln ln x x
x x h x x x -⋅-'=-=， 由()0h x '>可得0x e <<，由()0h x '<可得x e >， 所以()ln x
h x x
=-在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减， 所以()()max
ln e
h x h e e e
==-=-，
【新高考】高三数学试题
可得a e ≥-，
所以实数a 的最小值为e -. 故选：D. 【点睛】
思路点睛：不等式恒成立（或能成立）求参数
由不等式恒成立（或能成立）求参数，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果. 9．BD 【分析】
将圆的一般式方程化为标准方程即可得圆心坐标，可判断选项A ，设(),1C a 利用圆心到直线的距离等于半
径可求圆心坐标，即可得圆的方程，可判断选项B ，
y
x
表示圆上的点与原点()0,0 连线的斜率，可得相切时y x 取得最值，设切线为0kx y ，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求出k 的值，可得y
x
的最值，即可判断选项C ，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用弦心距、弦长的一半、半径构成直角三角形即可求出弦长，即可判断选项D ，进而得出正确选项. 【详解】
若方程2
2
230x y mx y ++-+=表示圆，则()2
2
2430m +--⨯>，即28m >，
解得m ≥
或m ≤-A 不正确；
设圆心(),1C a ()0a >，则圆心到直线430x y -=
4315
a -=
=，
解得2a =，即圆心为()2,1C ，所以圆的标准方程是()()2
2
211x y -+-=，故选项B 正确；
由2
2
66140x y x y +--+=可得()()22
334x y -+-=，y
x
表示圆上的点与原点()0,0 连线的斜率，可得相切时
y x 取得最值，设切线为0kx y
，则2d =
=，显然1k =不是方程的解，故y
x 的最
大值不是1，故选项C 不正确，
将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程43230x y +-=，由221 2610C x y x y +---=：
得()()
22
1311x y -+-=，可得圆心()11,3C
，1r =，
圆心()11,3C 到直线43230x y +-=
的距离2d =
=
所以弦长为==
，所以公共弦长为D 正确， 故选：BD 【点睛】
方法点睛：圆的弦长的求法：
（1）几何法，设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为L ，则2
222L r d ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
；
（2）代数法，设直线与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程()()222
y kx m
x a y b r
=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出12x x +，12x x ，根据弦长公式
AB =.
10．BD 【分析】
A.根据数据的变化与方差的定义进行判断.B ．利用古典概型的概率公式进行判断.C ．结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断.D ．根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可． 【详解】
A:设一组数据为X ,则每个数据都乘以同一个非零常数a 后,可得Y aX =， 则()()()2
D Y D aX a D X ==，所以方差也变为原来的2a 倍，故A 不正确.
B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为1
4
，故B 正确.
C: 由1r →，两个变量的线性相关性越强，0r →，两个变量的线性相关性越弱，故C 不正确. D: 根据题意可得()()
1
9
P A P B ⋅=, ()()()()
P A P B P A P B ⋅=⋅ 设()(),P A x P B y ==
则()()()()111911x y x y y x ⎧--=⎪⎨⎪-⋅=-⋅⎩
，得119x y xy x y ⎧--+=⎪⎨
⎪=⎩，即21219x x -+= 解得23x =
或4
3
（舍） 所以事件A 发生的概率为2
3
，故D 正确. 故选：B D 【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题. 11．ACD 【分析】
选项A 由余弦定理可判断；选项B 由向量的数量积定义可判断；选项C 由诱导公式有cos sin 2B B π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，由正弦函数的单调性可判断；选项D 由正弦定理可得2,a c =则,a c >由大边对大角可判断. 【详解】
对于222
2
2
2
,,cos 0,2a b c A a b c C C ab
∠+-+>∴=>∴为锐角，故A 正确；
对于,B AC CB ⋅()0,|cos 0,cos 0,AC CB C C C π∠>∴->∴<∴为钝角，故B 错误;
对于,,C A B 均为锐角；且sin A cos ,sin cos sin ,2B A B B π⎛⎫
>∴>=- ⎪⎝⎭
因为,2
A B π
>-可得,2
A B π
+>
则C ∠为锐角，故C 正确.
对于,
D sin 2sin ,A C =由正弦定理得,2,,a c a c =∴>则,A C C ∠>∴为锐角，故D 正确.
故选：ACD
12．BCD 【分析】
利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D 1D 、AF 是否垂直及求直线A 1G 与EF 所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A 1G 、平面AEF 是否平行. 【详解】
A 选项，由11//DD CC ，即1CC 与AF 并不垂直，所以D 1D ⊥AF 错误.
B 选项，如下图，延长FE 、GB 交于G ’连接AG ’、GF ，有GF//BE 又E ，F ，G 分别为B
C ，CC 1，BB 1的
中点，所以11GG BB AA '==，而1//AA GG '，即1//AG AG '；又因为面11ABB A 面AEF =AG ，且
1AG ⊄面AEF ，1
AG ⊂面11ABB A ，所以A 1G ∥平面AEF ，故正确.
C 选项，取11B C 中点H ，连接GH ，由题意知GH 与EF 平行且相等，所以异面直线A 1G 与EF 所成角的
平面角为1AGH ∠，若正方体棱长为2，则有1
1GH AG A H ==1A GH 中有
1
cos AGH ∠=，故正确.
D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为
1
h、
2
h，则由
1
11
33
A GEF GEF G AEF AEF
V AB S V h S
--
=⋅⋅==⋅⋅且
2
11
33
A CEF CEF C AEF AEF
V AB S V h S
--
=⋅⋅==⋅⋅，知
1
2
2
GEF
CEF
S
h
h S
==，故正确.
故选：BCD
【点睛】
思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的
判定、线面垂直的性质证明.
1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为(0,]
2
π
.
2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.
3、由
A GEF G AEF
V V
--
=、
A CEF C AEF
V V
--
=即可求G、C到平面AEF的距离比.
13．
27
13
【分析】
根据离散型随机变量的分布列的性质，随机变量对应事件的概率之和等于1求解. 【详解】
因为随机变量X 的分布列为()1,1,2,3,3k
P X k a k ⎛⎫
==⋅= ⎪⎝⎭
所以根据分布列的性质有2
3
1111,333a a a ⎛⎫⎛⎫
⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以111131,392727a a ⎛⎫
⋅++=⨯=
⎪⎝⎭
所以27.13a =
故答案为：27
13
14．18. 【解析】
先分成三组，每组2张卡片，其中1,2在同一组.再排列即可23
43182
C A =.
15．3 【分析】
利用向量的运算法则将已知等式化简得到OB OC =-,得到BC 为直径,故ABC 为直角三角形,求出三边长可得ACB ∠的值,利用两个向量的数量积的定义求出CA CB ⋅的值. 【详解】
20OA AB AC ++
= 0OA AB OA AC ∴+++
=
,OB OC ∴=-.
O ∴,B,C 共线,BC 为圆的直径,AB AC ∴⊥.
||1OA AB OA AB =∴=
= 2,BC AC == ,故6
ACB π
∠=
.
则32cos 36
π
CA CB ⋅=⨯=, 【点睛】
本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的充要条件、圆的直径对的圆周角为直角,求出
ABC 为直角三角形及三边长,是解题的关键.
16．
1100
【分析】
把等式看成关于a ，
b 的直线方程：（x 2﹣1）
a +2x
b +x ﹣2＝0，由于直线上一点（a ，b ）到原点的距离大≥
a 2+
b 2
22
2
21()51(24)2
x x x x -≥=
+-++-；从而解得． 【详解】
把等式看成关于a ，b 的直线方程：（
x 2﹣1）a +2
xb +x ﹣2＝0， 由于直线上一点（a ，b ）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，
≥
所以a 2+b 2222
21()51(24)2
x x x x -≥=
+-++-，
∵x ﹣25
2x +-在[3，4]是减函数，
∴252+≤x ﹣25
2
x +
≤-1+5； 即9
2
≤x ﹣252x +
≤-6； 故211
5100
(24)2
x x ≥
-++-；
当x ＝3，a 225=-，b 3
50
=-时取等号，
故a 2+b 2的最小值为1
100
．
故答案为
1100
． 【点睛】
本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a ，b 的直线方程（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0是难点，属于较难题．
17．（1）条件选择见解析；60A =；（2）(
{}2m ∈⋃，max S =. 【分析】
（1）若选①，先化简，再结合正弦定理进行边化角，再利用余弦定理求得1
cos 2
A =，结合范围即得结果；若选②，利用二倍角以此计算cos
2
A
、cos A ，结合范围即得结果；若选③，利用正弦定理进行边化角，再结合sin
sin 2
B C
A +=，进行化简求得1sin ,22A =结合范围即得结果； （2）先根据三角形有一解知sin a b A =或a b ≥，解得参数m 的取值范围，再分别讨论m 在不同取值下面积的取值范围，即得最值. 【详解】
解：（1）若选①，由已知化简得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，
由正弦定理得222b c a bc +-=，
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-==.
因为0180A <<︒︒，所以60A =︒；
若选②，由二倍角公式2cos
12sin 24A A =-=
，故21cos 2cos 122A A =-=， 因为0180A <<︒︒，所以60A =︒；
若选③，由题设及正弦定理得sin sin
sin sin 2
B C
B A B +=. 因为0180A <<︒︒，sin 0,B ≠所以sin
sin .2
B C
A += 由180,A
B
C ++=可得sin
cos ,22B C A +=故cos 2sin cos 222
A A A
=， 因为0902
A ︒<
<︒，cos 0,2A ≠故1sin ,22A =26A π
=，因此60A =︒；
（2）由已知60A =︒，当ABC 有且只有一解时，sin a b A =或a b ≥，
sin
3
m π
=0m ≥>，故2m =或03m
<，(
{}2m ∴∈⋃，
①当2m =时，ABC 为直角三角形，B 为直角，2,2sin 60b a ==︒=1c =，所以
11
1222
S ac =
=⋅=
； ②当03m
<时,3,3
a A π
==
，
由余弦定理可得222
2cos 2,a b c bc A bc bc bc =+--=
3,bc ∴当且仅当b c =时等号成立，
∴三角形面积为11sin 322S bc A =⨯⨯=ABC 面积的最大值max S =.
综上，ABC 面积的最大值max 4
S =. 【点睛】 方法点睛：
求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立+a b ，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.
18．（Ⅰ）31n b n =+;（Ⅱ）2
32n n T n +=⋅
【详解】
试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1
312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项
和n T .
试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，
由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d
=+=+，可解得14,3b d ==，
所以31n b n =+．
（2）由（1）知()()
()1
16631233n n n n
n c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得
()2341
322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，
()3452
2322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得
()()
()2341
2
22
421322222
12
34123221n n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
所以232n n T n +=⋅．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】
本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.
19．（1）见解析；（2）在棱1CC 上存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45， 此时5
2
CE = 【详解】
（1）证明：取AB 1的中点G ，联结EG ，FG ：
,F G 分别是棱AB 、AB 1中点，
111
//,2
FG BB FG BB ∴=
又
//,FG EC FG EC =
∴四边形FGEC 是平行四边形，
//.CF DG ∴
CF ⊄平面AEB 1，EG ⊂平面AEB 1
//CF ∴平面AEB 1．
（2）解：以C 为坐标原点，射线CA ，CB ，CC 1为,,x y z 轴正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.C xyz - 则C （0，0，0），A （2，0，0），B 1（0，2，4）
设(0,0,)
E m，平面AEB1的法向量(,,)
n x y z
=
则
1
(2,2,4),(2,0,)
AB AE m
=-=-
且
1
,
AB n AE n
⊥⊥
于是1
2240,
{
200
AB n x y z
AE n x y mz
⋅=-++=
⋅=-++=
所以
,
2
{
4
2
mz
x
mz z
y
=
-
=
取2,(,4,2)
z n m m
==-
则
三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，
平面ABC，
又平面ABC
平面ECBB1
CA
∴是平面EBB1的法向量，
(2,0,0)CA =
二面角A —EB 1—B 的大小是45°，
则cos 452
2CA n CA n
m ⋅︒==
=
⋅⨯ 解得5.2
m =
∴在棱CC 1上存在点E ，使得二面角A —EB 1—B 的大小是45°．此时5.2
CE =
20．(1)
5
12
(2)见解析 【解析】
试题分析：（1）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．
试题解析：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，
两人都付0元的概率为1111
4624P =
⨯=， 两人都付40元的概率为2121
233P =⨯=，
两人都付80元的概率为3
1112111(1)(1)42634624
P =--⨯--=⨯=，则两人所付费用相同的概率为123
1115
2432412
P P P P =++=++=. (2)由题意得，ξ所有可能的取值为0,40,80,120,160.
111(0)4624
P ξ==⨯=，
12111
(40)43264
P ξ==⨯+⨯=，
1112115
(80)46234612P ξ==⨯+⨯+⨯=，
11121
(120)26434P ξ==⨯+⨯=，
111
(160)4624
P ξ==⨯=，
ξ的分布列为：
()040801201608024412424
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互
斥事件的概率和公式、独立事件概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(,)X B n p ），则此随机变量的期望可直接
利用这种典型分布的期望公式（()E X np =）求得.
21．（1）22
12x y +=；（2）2,8⎡⎢⎣⎦
.
【分析】
（1）由题意可得1c =，设22
221(0)x y a b a b +=>>，将点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
代入即可求解. （2）设直线l 的方程为1x my =+，将直线与椭圆方程联立，设()()112212,,,,0A x y B x y y y ≠，利用韦达
定理可得212221422y y m y y m ++=-+，再由22F A F B λ=，可得2
21422
m m λλ++=-+，根据[]2,1λ∈--，可得2
207
m ≤≤
，由()()222
1212||4TA TB x x y y +=+-++，结合m 的取值范围即可求解. 【详解】
（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得1c =，
设椭圆C 的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
则22
1
121a b += 又221a b =+
解得21b =或2
1
(2
b =-
舍去)， 所认221 2.a b =+=
故椭圆C 的标准方程为2
2 1.2
x y +=
（2）由题意设直线l 的方程为 1.x my =+
将直线l 的方程代入2212
x y +=中，得()
22
2210m y my ++-=
设()()112212,,,,0,A x y B x y y y ≠可得122
22
m
y y m +=-
+，① 1221
2
y y m =-
+，②
将上面两式①式平方除以②式，得
2
1222142.2
y y m y y m ++=-+ 因为22,F A F B λ=所以1
2
,y y λ=且0.λ< 则
22
12222141422,22
y y m m y y m m λλ++=-⇒++=-++ 由[]225111142,12200,2222
m m λλλλλ∈--⇒-≤+≤-⇒-≤++≤⇒-≤-≤+
所以2
2
07
m ≤≤
，因为()()11222,,2,,TA x y TB x y =-=- 所以()12124,TA TB x x y y +=+-+
又12222m y y m +=-+，所以()()
21212241
422
m x x m y y m ++-=+-=-+，
故()()2
2
2
1212||4TA TB x x y y +=+-++
(
)
()
()
(
)
()
()
()
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2161
1622828
4288
1622
2
22
m m m m
m m
m
m
m ++-++=
+
=
=-
+
+++++
令212t m =
+，因为2
207
m ≤≤，
所以
27111622m ≤≤+，即71,162t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 所以2
2
2
717||82816842TA TB t t t ⎛⎫+=-+=-- ⎪⎝⎭
.
而71
,,162t ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
所以2169||4,.32TA TB ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 所以2,8TA TB ⎡+∈⎢⎣⎦
【点睛】
关键点点睛：本题考查了待定系数法求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设直线l 的方程为
1x my =+，利用韦达定理得出2
21
422
m m λλ++=-+，求出2m 的取值范围，考查了运算求解能力.
22．（1）1,2e e ∞-⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
；（2）答案见解析. 【分析】
（1）令函数()()
31
3x
x g x e a x x e
=+
--+，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性及最小值，当且仅当最小值()10g <，即可得到参数的取值范围；
（2）构造函数()()1ln 1h x x e x =---，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．
【详解】
解：（1）令函数()()
31
3x
x g x e a x x e
=+
--+， 则()()
21
31x
x g x e a x e
+'=-
-. 当1x 时，21
0,10x
x e x e
-
>-， 又0,a >故()0g x '>
所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数，
因此()g x 在[)1,+∞的最小值是()1
12.g e e a -=+-
由于存在[)01,,x ∞∈+使()
00
3
0030x
x e e
a x x -+--+<成立
当且仅当最小值()10.g <
故1
20,e e a -+-<即1
,2e e a -+>则1,.2e e A ∞-⎛⎫+=+
⎪⎝⎭
（2）令函数()()1ln 1,h x x e x =---则()1
1e h x x
-=-'. 令()0,h x '=得1x e =-，
当()0,1x e ∈-时(),0,h x '<故()h x 是()0,1e -上的单调减函数.
当()1,x e ∞∈-+时(),0,h x '>故()h x 是()1,e -+∞上的单调增函数 所以()h x 在()0,∞+上的最小值是()1h e -. 注意到()()10h h e ==，
所以当()()1,10,1x e e ∈-⊆-时()()(),110.h e h x h -<<= 当()()1,1,x e e e ∞∈-⊆-+时()(),0h x h e <= 所以()0h x <对任意的()1,x e ∈成立.
①当()1,1,2e e a e e -⎛⎫
+∈⊆
⎪⎝⎭
时(),0,h a <即()11ln ,a e a -<-从而11;a e e a --< ②当a e =时1
1,a e e
a --=；
③当()(),1,a e e ∞∞∈+⊆-+时()(),0,h a h e >=即()11ln a e a ->-，
故11a e e a -->
综上所述，当1,2e e a e -⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
时11,;a e e a --< 当a e =时1
1,a e e
a --=；
当(),a e ∈+∞时，11a e e a -->. 【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。