集合论在中学中的作用

集合论在中学数学中的作用
摘要：集合论是数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。

集合论在中学数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。

一、集合简介
集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员关集合论或集论是研系等最基本的数学概念。

在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。

集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。

二、中学数学的集合理论
（一）集合的概念：
某些指定的对象集在一起就是集合。

一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。

（二）元素与集合的关系：
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

(三) 集合的分类：
1、并集、交集、补级
（1）并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B 的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。

（2）交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B 的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

(3)补集：属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A}。

2、无限极、有限集、空集
（1）无限集：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有无限个元素的集合叫做无限集。

（2）有限集：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素的集合叫做有限集。

（3）空集：空集是不含任何元素的集，记做Φ。

3、子集、真子级
（1）子集：若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为B的子集，符号为A⊆ B。

（2）真子级：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A 叫做B的真子级。

注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。

任何集合是它本身的子集。

子集，真子集都具有传递性。

(四)集合元素的性质：
1、确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。

这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。

2、互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。

如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。

互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。

3、无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。

4、纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。

集合A={x|x<2}，集合A 中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。

5、完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。

完备性与纯粹性是遥相呼应的。

三、集合论的思想方法在中学数学中的作用
集合概念是数学中最基本、最普遍的概念，具有高度的概括性和广泛的应用性。

十九世纪晚期，德国数学家康托首先系统地研究了集合理论。

今天，离散数学、连续数学以及绝大多数数学分支都以集合论的知识为基础，中学数学也不例外。

集合语言简洁、表达直观，集合论的思想方法在中学数学中有着举足轻重的重要作用。

1、从集合论的高度概括中学数学内容，能更好的从整体上把握
中学数学的研究对象：
中学数学的研究对象是在通常的数集(N、Z、Q、R、C)和通常的空间(1R、2R、3R)中研究数、式、形，包括数和式的运算和变形，方程和不等式的解，函数的图象和性质，几何图形的结构和变换，形与数之间的对应关系，等等。

它们可以在集合论的观点下联系和统一起来，并归结到某一种集合或几种集合间的某些关系当中去研究，例如：
方程的解集；
不等式的解集；
1
R、2R或3R中满足一定条件的点集(图形、曲线)；
运算、函数、序是集合上的某种关系；
几何元素间的各种结合关系、平行与垂直是集合间的某种关系；
从自然数集到整数集、有理数集、实数集的扩充过程都可通过对前一个集按集合的某种等价关系分类而得；
平面几何中图形的平移、旋转、反射、相似等几何变换都是2
R中集合间满足一定条件的对应关系等等。

2．用集合论的语言表述有关概念更为简洁：
例如解析几何中关于曲线方程“纯粹性”和“完备性”的叙述：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”；“以这个方程的解为坐标的点都是曲线的点”用集合论的语言可以简单表述为
C={( X ，Y) | f(X ，Y)=0，(X ，Y)∈2R )。

此外，诸如方程组的解集、不等式的同解变形等概念，用集合论的语言来表示也都十分简洁．特别在表明概念间的层次关系、形成概念体系时，用集合论的语言则更为清晰，例如 {正方形}⊂{矩形、菱形}⊂{平行四边形}⊂ {四边形}； {多面体}⊃ {六面体} ⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体} ⊃{长方体} ⊃{正方体}。

3．集合论的思想方法对解题的指导作用：
一般地，对任意两个有限集 A 、B ，有：
Card(AUB)=Card(A)+Card(B)-Card(A B)。

实际上，这是关于两个集合的基数公式，也就是所谓的容斥原理。

更一般地，设有限集I 的m 个子集为12,,m A A A ，为简便起见，用n(A)表示有限集 的元素的个数，则有基数公式：
i 1n()m i A = =(A )i n ∑-(A )i j n A ∑ +k (A )i j n A A ∑ -11()(1)m
m i i n A +=- 。

灵活运用基数公式可以使某些比较复杂的问题变得简单。

例：甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题． 解：设 A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三人各解出数学题的集合，则n(AuBuC)=100，n(A)=n(B)=n(C)=60。

由基数公式得
n(AnB)+n(BnC)+n(CnA)一n(A n B n C)= n(A)+n(B)+n(C)一n(A U
B U C)=80。

设 表示难题的个数，结合文氏图可知，S= 100一【n(A
n B)+n(B n C)+n(C nA)一2n(A n B n C)】=100—80+n(A n B n C)，所以S—n(A n B n C)=20。

即难题比容易题多20道。

把集合解释为几何图形(点集)，集合的基数换成几何图形的面积或体积，基数公式仍然成立。

参考文献
【l】钱佩玲、邵光华．数学思想方法与中学数学【M】．北京师范大学出版社．1999．7．
【2】王仲建．集合论方法浅析【J】．陕西教育学院学报，1997．2．【3】戌健君．集合基数公式在中学数学中的应用【J】．数学通报．2001 ．10．。