现代控制理论复习总纲

现代控制理论复习总纲
判断题部分 5题×2＝10
一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在括号里打√，反之打×。

1、具有对角标准形状态空间描述的系统可以看成是由多个一阶环节串联组成的系统。

(× ) 2、传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。

(√ ) 3、状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都具有物理意义。

( × ) 4、输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能控意味着系统输出能控。

(× ) 5、等价的状态空间模型具有相同的传递函数。

(√ )
6、若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控的。

(× )
7、若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的。

( √ )
8、若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。

(√ )
9、状态反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。

(× ) 10、如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。

(× ) 11.描述系统的状态方程不是唯一的。

√
12.用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。

×
13.对单输入单输出系统，如果1
()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。

√ 14.对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。

× 15.李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。

√
16.李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。

√ 17.线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。

√ 18.用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。

√
19.通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时可控和可观测。

√
20.对一个线性定常的单输入单输出5阶系统，假定系统可控可观测，通过设计输出至输入的反馈矩阵H 的参数能任意配置系统的闭环极点。

×
（ × ）1. 对一个系统，只能选取一组状态变量。

（ √ ）2. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性。

（ × ）4. 若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。

（ √ ）1. 相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。

（ √ ）2. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。

（ × ）3. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。

（ × ）4. 输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能控意味着系统输出能控。

（ √ ）5. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。

（ × ）6. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。

（ × ）7. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。

（ √ ）8. 若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。

（ × ）9. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。

（ × ）10. 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。

（ √ ）10.系统外部稳定性和内部稳定性等价的条件是系统既能控又能观。

（ √ ）10.系统既能控又能观的必要条件是其传递函数矩阵最小多项式表示形式()()s s ϕCP B
不存在零极点相消现象。

（ √ ）10.线性定常单输入单输出系统传递函数出现零、极点相消现象，不能确定系统是不能控的，还是不能观的，还是既不能控又不能观的。

（ √ ）10.线性定常单输入单输出系统状态完全能控、能观的充要条件是传递函数
1
()s --c I A b 无零、极点相消。

（ √ ）10.当线性定常系统既能控又能观时，系统的外部稳定性完全等价于系统的内部稳定性。

解析题 10分
1.已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出结构图。

1）61161)(232++++++=s s s s s s G 4）1
333
2)(2
32+++++=s s s s s s G （1）
[]x
y u x x 1111006116100010
=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=
结构图如图题3-1-5图1所示
1
x 2x 2x
u
6
3
x 3x
3x
y
1x 6
11
（4）
1
333
2)(23
2+++++=s s s s s s G []x
y u x x 123100331100010=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=
结构图如图题3-1-5图4所示
y
简答题部分
第一类型题：电路图分析题（A 卷2电阻2电容，B 卷1电阻1电容1电感） 1. 求图示网络的状态空间表达式，选取c u 和L i 为状态变量。

（1）
1
R 2
R o
题3-1-1图1 此题可能为A 卷
【解】： (1)
设状态变量:11c u x =、22c u x =
而
•
=111c u C i 、•
=222c u C i
根据基尔霍夫定律得：
112
2
111)](
[c c c c i u R R u u u C u +-+=•
22221c c c u R u C u +=•
整理得
[]⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21011212222121212
1211001111x x u y u C R x x C R C R C R C R R R R x x i 第二类型题：用李雅普诺夫第二判定办法判断非线性系统的稳定性（A 卷） 1.确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫稳定性理论判别其稳定性。

（15分）
22
121122
221212
()
()
x x kx x x x x kx x x =-+=--+
（1）（5分） 原点021==x x 是系统唯一的平衡状态 （2）（6分）222
212
2
2
1)(2)()(x x k X V x x X V +-=+= （)(x V 答案不唯一，仅供参考） （3）（4分）K>0 时系统大范围一致渐近稳定；K=0时 系统是李雅普诺夫意义下稳定的(或系统一致稳定)；K 〈0时 系统不稳定。

写对平衡状态表达式2分；求出原点021==x x 是系统的平衡状态2分；说明唯一性1分。

写对李雅普诺夫函数3分；求导正确3分；正确分析出上述（3）中的3种情况分别为2分、1分、1分，其中K>0时未说明大范围和一致性稳定各扣0.5分。

第三类型题：给出状态空间表达式给出a,b ，求出完全能控能观的范围值（B 卷）
1.已知系统的动态方程为[]211010a x x u
y b x ⎧⎡⎤⎡⎤
=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩
，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完全可观。

（15分） [][]。

且观的条件是系统完全可控、完全可；
系统可观，；系统可控010.
02det ,201.
01)2(1B det ,,121
1B
2≠-≠∴≠∴≠=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-≠∴≠--=+-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+==b a b b CA C b ab b CA C V a a a AB a AB S
可控部分正确――7分：公式正确4分，可控性矩阵计算正确2分，a 值正确1分；
可观部分正确――7分：公式正确4分，可观性矩阵计算正确2分，b 值正确1分； 总结论正确1分。

2.实数,a b 满足什么条件时系统0132a u b ⎡⎤⎡⎤
=+⎢
⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
x x 状态完全能控（4分） 解（1）[]c u b
Ab =32a
b b a b ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦
22320c u a ab b =-+-<当0,0a or b ≠≠时，系统状态完全能控
5.已知系统的动态方程为[]211010a x x u
y b x ⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩
，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完全可观。

（15分）
[][]。

且观的条件是系统完全可控、完全可；
系统可观，；系统可控010.
02det ,201.
01)2(1B det ,,121
1B
2≠-≠∴≠∴≠=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-≠∴≠--=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==b a b b CA C b ab b CA C V a a a AB a AB S
第四类型题：求出两个子系统串联后整个系统的传递函数 1.已知子系统
1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
求出串联后系统状态空间表达式及传递函数。

解 组合系统状态空间表达式
11111111111111111
:=+=+⎧∑⎨=+=+⎩x A x B u A x B u y C x D u C x D u
2222122211121122212222212221112112221():()=+=++=++⎧∑⎨=+=++=++⎩x A x B y A x B C x D u B C x A x B D u y C x D y C x D C x D u D C x C x D D u
[]11111
2122121
2222120⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤∴=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，x x B x A u y D C C D D u B C A x x B D x
u
y
1
u 2
u 1y 2
y 1
∑
2
∑
[]1200101001,00010011010010x x u y x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
-⎢
⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
组合系统传递函数为
[]1
111111
()1s sI s -=-+=
+ G C A B D []1
222223
()(1)(1)
s s s s s -+=-+=
-+ G C I A B D
++===
⨯=+-+-+212
133()()()1(1)(1)(1)(1)
s s G s G s G s s s s s s 第五类型题：求出转移矩阵
1.试求下述系统的状态转移矩阵()t Φ和系统状态方程的解x 1(t)和x 2(t)。

（15分）
1122()()012()()()230x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
12(0)0,(),0(0)1t
x u t e t x -⎡⎤⎡⎤==≥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦ （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=-=Φ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-
+-+-
+-+-
++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-=------------t t t
t t t t
t e e e
e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221
11
2222}){()(22112
21221112112
213)2)(1(1
)(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+++-+++-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-++++-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-Φ+Φ=------------------------------⎰⎰t t t t t t t t t t t t t t t t
t t t t t
e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222
21
22212
21111122)(0
2222210
2344}2414)1(42212)1(4
{2)()(}
)2()1(4)
2()1()3(2{)}0(){()()
()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者
ττ
τττττττ
大题部分
1.设系统的传递函数为
()10
()(1)(2)
y s u s s s s =
++。

试用状态反馈方法，将闭环极点配置在－2，－1＋j ，－1－j 处，并写出闭环系统的动态方程和传递函数。

（15分）
（1） 系统动态方程（3分）
[]x
y u x x 0010
1003201
00010=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=
（2） 状态反馈矩阵（5分，公式正确3分）
[]
kx v u k k k k -==21
由闭环极点和闭环系统特征多项式有
4
64)
1)(1)(2()2()3()(2
3
01223+++=++-++=+++++=--λλλλλλλλλλj j k k k BK A I
比较，[]144
=k 。

（3）闭环系统的动态方程（3分）：
[]x
y v x x 0010100464100010=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= （4）闭环系统的传递函数（4分）：4
6410
U(s)Y (s)G (s)2
3+++==s s s。