成都英才学校必修一第四单元《函数应用》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．已知函数
,01
()1
1,10
(
1)
x x
f x
x
f x
≤<
⎧
⎪
=⎨
--<<
⎪+
⎩
，()()4
g x f x mx m
=--，其中m是非零的实数，若函数()
g x在区间(1,1)
-内有且仅有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．
1
,(0,1)
5
⎛⎫
-∞-⋃
⎪
⎝⎭
B．
1
(,1),
5
⎛⎫
-∞-⋃+∞
⎪
⎝⎭
C．
1
(,1)0,
5
⎛⎫
-∞-⋃ ⎪
⎝⎭
D．
1
,(1,)
5
⎛⎫
-∞-⋃+∞
⎪
⎝⎭
2．已知定义在[﹣2，2]上的函数y＝f（x）和y＝g（x），其图象如图所示：给出下列四个命题：①方程f[g（x）]＝0有且仅有6个根；②方程f[f（x）]＝0有且仅有5个根方程；
③g[g（x）]＝0有且仅有3个根；④方程g[f（x）]＝0有且仅有4个根，其中正确命题的序号（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
3．已知函数
2,0
()()
21,0
x
e a x
f x a R
x x
⎧+
=∈
⎨
->
⎩
，若函数()
f x在R上有两个零点，则a的取值范围是（）
A．(,1)
-∞-B．[2,0)
-C．(1,0)
-D．[1,0)
-
4．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度.已知某种鱼失去的新鲜度h与其出水后时间t（分）满足的函数关系式为t
h m a
=⋅．若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%．那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知lg20.3
≈，结果取整数）（）
A．33分钟B．43分钟C．50分钟D．56分钟
5．设,m n R
∈，定义在区间[],m n上的函数()()
2
log4
f x x
=-的值域是[]
0,2，若关于t 的方程
||
1
10
2
t
m
⎛⎫
++=
⎪
⎝⎭
()
t R
∈有实数解，则m n
+的取值范围是（）
A．[]
0,3B．(]
3,2
--C．[]
3,1
--D．[)
1,2
6．流行病学基本参数：基本再生数0R 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：0()rt
I t N e =（其中
0N 是开始确诊病例数）描述累计感染病例()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增
长率r 与0R ，T 满足01R rT =+，有学者估计出0 3.4,6R T ==．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当0()2I t N =时，t 的值为（ln 20.69≈）（ ） A ．1.2
B ．1.7
C ．2.0
D ．2.5
7．已知函数22,()11,x x x a f x x a x
⎧--≤⎪
=⎨->⎪⎩，若函数图象与x 轴有且仅有一个交点，则实数a
的取值范围是（ ）
A ．(),1-∞-
B ．()[),11,2-∞-⋃
C ．[)1,2
D ．(]()1,1
2,-+∞
8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，且当
[]2,0x ∈-时，()112x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若在区间(]2,10-内关于x 的方程
()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，则a
的取值范围是（ ）
A
．⎡⎣
B ．()2,+∞
C ．()1,2
D
．(
9．若函数32232,01
()5,1
x x m x f x mx x ⎧-+<≤=⎨->⎩，恰有2个零点，则m 的取值范围是（ ）
A ．()5,0-
B ．()0,5
C ．1[,5)2
D ．1(0,]2
10．已知函数32
1()232
x f x ax bx c =+++的两个极值分别为1()f x 和2()f x ，若1x 和2
x 分别在区间(0,1)与(1,2)内，则2
1b a --的取值范围是（ ） A ．(1,14
)
B ．1[,1]4
C ．1(,)(1,)4-∞+∞
D ．1(,][1,)4-∞+∞
11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +--=，且当[]0,1x ∈时，
()()2log 1f x x =+，则下列结论正确的是（ ）
①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 是周期函数，且2是其一个周期；③16132f f ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；④关于x 的方程()0f x t -=（01t <<）在区间()2,7-上的所有实根之和是12.
A ．①④
B ．①②④
C ．③④
D ．①②③
12．下列方程在区间()1,1-内存在实数解的是（ ） A ．230x x +-=
B ．10x e x --=
C ．()3ln 10x x -++=
D ．2lg 0x x -=
二、填空题
13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．
14．已知函数()()()[)
2
1,,12,1,x x x f x x ⎧+∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，当123x x x <<时，有()()()123f x f x f x ==成立，则()()123x x f x +⋅的取值范围是________． 15．M 是所有同时满足下列条件的函数()y f x =的集合：①()y f x =的定义域为
(0,)+∞；②对任意00x >，001()22f x x =
+或00
1()f x x x =+；若对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，则实数a 的取值集合是___________
16．定义在R 上的函数()f x ，满足()()f x f x -=-且()(2)f x f x =-，当01x <≤时，
2()log f x x =，则方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为___________．
17．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有0N 只，则经过____________天能达到最初的16000倍（参考数据：ln1.050.0488,ln1.50.4055,ln16007.3778≈≈≈，
ln160009.6803≈.
18．用符号[]
x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]0.60=；[]2.32=；[]55=.设函数
()()()()2222ln 22ln 2f x ax x ax x =-+-有三个零点1x ，2x ，3x ()123x x x <<且
[][][]1233x x x ++=，则a 的取值范围是_____________.
19．已知函数24
()ln(1)x f x e
-=+，()2g x x a =+-.若存在[](),1a n n n Z ∈+∈，使得
关于x 的方程()()f x g x =有四个不相等的实数解，则n 的最大值为_______. 20．设函数3
1
()(2)()2
x
f x x =+-的零点在区间(,1)n n +(n Z ∈)上，则n =______.
三、解答题
21．对于函数()y g x =，若0x R ∃∈，使00()g x mx =成立，则称0x 为()g x 关于参数m
的不动点.设函数2
()(1)1f x ax b x b =+++-(0)a ≠
（1）当1,3a b ==-时，求()f x 关于参数1的不动点；
（2）若b R ∀∈，函数()f x 恒有关于参数1的两个不动点，求a 的取值范围；
（3）当1,2a b ==时，函数()f x 在(]
0,2x ∈上存在两个关于参数m 的不动点，试求参数
m 的取值范围.
22．已知函数()2
21(0)g x ax ax b a =-++>，在区间[2,3]上有最大值4，有最小值1，
设()
()g x f x x
=
. （1）求,a b 的值；
（2）不等式()0f x k x -⋅≥在11,32
[]x ∈时恒成立，求实数k 的取值范围； （3）若方4
(|21|)(
3)0|21|
x
x
f k -+-=-程有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 23．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为
200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，
21()202C x x x =
+(万元).当年产量不小于80千件时，10000()51600C x x x
=+-(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润()L x (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 24．受“新冠”肺炎疫情的影响，实体经济萎靡，线上投资走红，某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．
（1）分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
25．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出(
)*
x x N
∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润
为310500x a ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x . （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？
26．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+. (1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约1210焦耳，试确定该次地震的类型;
(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (
3.2=)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
先求得分段函数的解析式，函数()g x 零点等价于函数()y f x =的图象与直线
4y mx m =+公共点，做出图像，数形结合，即可求得答案.
【详解】
当10x -<<时，011x <+<，满足上支范围，所以()11f x x +=+，
所以,01()11,101
x x f x x x ≤<⎧⎪
=⎨--<<⎪+⎩，
作函数()y f x =的图象，如图所示.
函数()g x 零点的个数等价于函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点的个数. 当直线4y mx m =+过点(1,1)时，15
m =， 所以当1
05
m <<
时， 直线4y mx m =+与函数()y f x =图象有两个公共点.
当直线4y mx m =+与曲线1
11
y x =
-+（10x -<<）相交时， 联立41
11y mx m y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩
消去y 得，2
4(51)0mx m x m -++=， 因此22
(51)160m m ∆=+->且510m +<时，解得1m <-.
综上知，实数m 的取值范围是1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭
. 故选：C 【点睛】
本题的关键是根据x 的范围，先求得函数解析式，做出图像，再将零点问题转化为图像交点问题，易错点为，4y mx m =+可以与函数两支都有交点，也可以与函数1
11
y x =-+单支产生交点，需分别检验和计算，属中档题.
2．C
解析：C 【分析】
函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，借助函数的零点，结合函数的图象采用数形结合思想逐一判断即可. 【详解】
由图象可得﹣2≤g （x ）≤2，﹣2≤f （x ）≤2，
①由于满足方程f [g （x ）]＝0 的g （x ）有三个不同值，由于每个值g （x ）对应了2个x 值，故满足f [g （x ）]＝0的x 值有6个，即方程f [g （x ）]＝0有且仅有6个根，故①正确；
②由于满足方程f [f （x ）]＝0的f （x ）有3个不同的值，从图中可知，一个f （x ）等于0，一个f （x ）∈（﹣2，﹣1），一个f （x ）∈（1，2），而当f （x ）＝0对应了3个不同的x 值；当f （x ）∈（﹣2，﹣1）时，只对应一个x 值；当f （x ）∈（1，2）时，也只对应一个x 值.故满足方程f [f （x ）]＝0的x 值共有5个，故②正确；
③由于满足方程g [g （x ）]＝0 的g （x ）值有2个，而结合图象可得，每个g （x ）值对应2个不同的x 值，故满足方程g [g （x ）]＝0 的x 值有4个，即方程g [g （x ）]＝0有且仅有4个根，故③不正确；
④由于满足方程g [f （x ）]＝0的f （x ）有2个不同的值，从图中可知，每一个值f （x ）， 一个f （x ）的值在（﹣2，﹣1）上，令一个f （x ）的值在（0，1）上，当f （x ）的值在（﹣2，﹣1）上时，原方程有一个解，f （x ）的值在（0，1）上，原方程有3个解. 故满足方程g [f （x ）]＝0的x 值有4个，故④正确； 故选：C . 【点睛】
由于函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决，此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.
3．B
解析：B 【分析】
当0x >时，()21f x x =-有一个零点1
2
x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可. 【详解】
因为函数()2,0
21,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨
->⎩
, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点1
2
x =， 所以只需当0x ≤时，202
x
x
a
e a e +==-
即有一个根即可， 因为2x
y e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1x
e ∈，所以(]
0,2a -∈，即[)2,0a ∈-， 故选：B. 【点睛】
已知函数有零点（方程有根），求参数取值范围的三种常用的方法：
（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合求解．
4．B
【分析】
根据已知条件可得出1020
0.1
0.2
m a m a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可求得m 、a 的值，可得出h 关于t 的函数关系式，然后令1h =求出t 的值，即可得解. 【详解】
由题意可得10
200.10.2m a m a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得1101202
m a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以，101220t h =⨯， 令101
2120
t
h =⨯=，可得10220t =，
所以，()()210lg10lg 2101lg 210lg 2010 1.3
10log 2043lg 2lg 2lg 20.3
t ++⨯==
==≈≈（分钟）. 因此，打上来的这种鱼在43分钟后开始失去全部新鲜度. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中的条件，结合给定的函数模型以及题中的数据求解函数模型的解析式，即可求解.
5．D
解析：D 【分析】
首先利用函数值域确定自变量范围，再初步确定m ，n 的关系，然后结合指数函数的性质整理计算即可求得最终结果． 【详解】
函数2()log (4||)f x x =-的值域是[0，2]，
14||4x ∴-， 0||3x ∴，
3m ∴=-，03n ，或30m -，3n =；
又
关于t 的方程||
1()10()2
t m t R ++=∈ 有实数解，
∴||1()12
t m =--有解，
||1
1()122
t <+，
21m ∴-<-，
则3n =， 则12m n +<， 故选：D
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
6．B
解析：B 【分析】
根据所给模型求得0.4r =，代入已知模型，再由0()2I t N =，得002rt
N e N =，求解t 值
得答案 【详解】
解：把0 3.4,6R T ==代入01R rT =+，得3.416r =+，解得0.4r =，
所以0.40()t
I t N e =，
由0()2I t N =，得0.4002t
N e
N =，则0.42t e =，
两边取对数得，0.4ln 2t =，得ln 20.69
1.70.40.4
t =≈≈， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题
7．B
解析：B 【分析】
讨论a 的范围，分别确定x a ≤、x a >上与x 轴的交点情况，即可确定实数a 的取值范围. 【详解】
∵当x a ≤时，()(2)(1)f x x x =-+， ∴当2a ≥时，()f x 在x a ≤与x 轴有2个交点； 当12a -≤<时，()f x 在x a ≤与x 轴有1个交点； 当1a <-时，()f x 在x a ≤与x 轴无交点；
∵当x a >时，1
(1)f x x
=-
，与x 轴有交点时交点为(1,0)， ∴当1a ≥时，()f x 在x a >与x 轴无交点； 当1a <时，()f x 在x a >与x 轴有1个交点；
综上要使()f x 在R 上与x 轴有且仅有一个交点，即12a ≤<或1a <-， 故选：B 【点睛】
易错点睛：讨论不等式的参数时，要注意参数边界是否可以取等号.
1x =时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a >与x 轴无交点则1a ≥. 1x =-时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a ≤与x 轴无交点则1a <-. 8．A
解析：A 【分析】
作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象，根据题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】
对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，
当[]2,0x ∈-时，()1
12x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象如下图所示：
由于在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，
则()()log 623log 10231a a a ⎧+≤⎪
+>⎨⎪>⎩
，解得3212a ≤< 因此，实数a 的取值范围是312⎡⎣.
故选：A. 【点睛】
函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
9．D
解析：D 【分析】
先求出()g x 的单调性，然后根据题意，得到满足条件时有(0)0
(1)0
g g >⎧⎨≤⎩，求出m 的范围，然
后再根据m 的范围，求出满足前述条件时，()5h x mx =-有零点的情况，进而可求解
【详解】
令3
2
()232g x x x m =-+，'()6(1)g x x x =-，故()g x 在(]0,1处单调递减，所以，
()g x 在(]0,1上至多有一个零点，而对于()5h x mx =-，在(1,)+∞上至多有一个零点，
由题意得，
()g x 在(]0,1上有一个零点，()5h x mx =-，在(1,)+∞上有一个零点，故有(0)0
(1)0g g >⎧⎨≤⎩
，
求出
1
02
m ≥>，此时，()5h x mx =-，在(1,)+∞上单调递增，所以，(1)0h <即可满足题意，解得5m <，根据1
25m m
⎧≥>⎪⎨⎪>⎩，得102m ≥>
故选：D 【点睛】
关键点睛：解题关键在于先求出3
2
()232g x x x m =-+的单调性，并根据()g x 的单调性
得出()g x 在(]0,1上有一个零点，()5h x mx =-，在(1,)+∞上有一个零点，然后进行求解，难度属于中档题
10．A
解析：A 【分析】
由极值点的所在区间即可知()f x 的导函数2
()2f x x ax b '=++的零点区间，应用根的分
布可得1310
a b ->>-⎧⎨>>⎩，结合目标式的几何意义即可求其范围.
【详解】
由题意知：2
()2f x x ax b '=++，而()f x 两个极值点1x 和2x 分别在区间(0,1)与(1,2)
内，
∴方程220x ax b ++=两个根在(0,1)与(1,2)内，()'f x 开口向上，
∴0
12020
b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
，可得1310a b ->>-⎧⎨>>⎩，即214122a b ->->-⎧⎨->->-⎩，
∴令1,2x a y b =-=-，问题转化为在24,12x y ->>-->>-的可行域内的点与原点所成直线斜率
y
x
的取值范围，如下图示：
有
1
(,1)4y x ∈， 故选：A 【点睛】
本题考查了根据函数极值点的所在区间求目标式的范围，应用了极值点与导数关系、根的分布、不等式的性质，结合线性规划及目标式的几何意义求范围，属于中档题.
11．A
解析：A 【分析】
由对称性判断①，由周期性判断②，周期性与奇偶性、单调性判断③，作出函数
()y f x =的大致图象与直线y t =，由它们交点的性质判断④．
【详解】
由()()20f x f x +--=可知()f x 的图象关于直线1x =对称，①正确； 因为()f x 是奇函数，所以()()()2f x f x f x +=-=-，所以
()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2
是()f x 的周期，故②错误； 由()f x 的周期性和对称性可得1644243333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.又当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，所以()f x 在[]0,1x ∈时单调递增，所以1223f f ⎛⎫
⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即
16132f f ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，③错误； 又[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则可画出()f x 在区间[]
2,8-上对应的函数图象变化趋势，如图
易得()0f x t -=（01t <<）即()f x t =（01t <<）在区间()2,7-上的根分别关于1，5对称，故零点之和为()21512⨯+=，④正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、对称性、单调性，考查函数的零点，掌握函数的基本性质是解题基础．函数零点问题常用转化为函数图象与直线的交点问题，利用数形结合思想求解．
12．B
解析：B 【分析】
利用方程和函数之间的关系分别进行判断即可得到结论. 【详解】
A ：令2()3f x x x =+-，因为抛物线开口向上，()()1010f f -<<，，所以在区间
()1,1-内无实数解；
B ：令()10x
f x e x =--=，解得0x =，所以在区间()1,1-内有实数解；
C ：令()()3ln 1f x x x =-++，则1
()101
f x x '=+
>+在()1,1-成立，所以函数在()1,1-上单调递增，又(1)0f <，故在区间()1,1-内无实数解；
D ：当(0,1)x ∈时，()2
0,1x ∈，lg (,0)x ∈-∞，则2lg 0x x ->，此时方程在()1,1-内无
解. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查函数与方程以及零点存在定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题
13．1120【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝30＞2
解析：1120 【分析】
明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】
由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，
y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪
=-≤⎨⎪-+⎩
，＜，
＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100
∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，
故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】
本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．
14．【分析】由函数解析式得到函数图象根据已知条件结合图象知即可求的取值范围【详解】由解析式可得如下图象：如图知：当时有成立则且即∴故答案为：【点睛】关键点点睛：由函数解析式画出函数图象由已知条件知的范围 解析：(]8,4--
【分析】
由函数解析式得到函数图象，根据已知条件结合图象知()()()123[2,4)f x f x f x ==∈，
12
12x x +=-，即可求()()123x x f x +⋅的取值范围. 【详解】
由解析式可得如下图象：
如图知：123,,x x x R ∃∈，当123x x x <<时，有()()()123f x f x f x ==成立，则
()()()123[2,4)f x f x f x ==∈，且
12
12
x x +=-，即122x x +=-， ∴()()123(8,4]x x f x +⋅∈--， 故答案为：(]
8,4--. 【点睛】
关键点点睛：由函数解析式画出函数图象，由已知条件知()3f x 的范围以及()12x x +的值，进而求出对应函数式的范围.
15．【分析】根据条件可知当且仅当时对一切关于的方程恒有解由此求的取值范围【详解】对任意或当且仅当时对一切关于的方程恒有解此时则实数的取值集合是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解求参数的取值范 解析：2{32
±
【分析】
根据条件可知当且仅当000
112=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，，由此求a 的取值范围. 【详解】
对任意00x >，001
()22
f x x =+或0001()f x x x =+
当且仅当
000
11
2=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解， 此时0=22x 02()32f x =±，则实数a 的取值集合是2
{32
± 故答案为：2
{3± 【点睛】
关键点点睛：本题考查方程有解，求参数的取值范围，关键是利用题意，正确求解0x >时，
000
11
2=2x x x ++时满足题意. 16．0【分析】首先由条件求出函数周期为再利用当时作出和的图象方程在上的实数根之和为由图象结合奇函数的性质即可求解【详解】因为函数满足且所以即所以所以函数周期为由可得所以对称轴为当时作函数和图象如图所示：
解析：0 【分析】
首先由条件求出函数()f x 周期为4，再利用当01x <≤时，2()log f x x =，作出和
y x =-的图象，方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为1234x x x x +++，由图象结
合奇函数的性质即可求解. 【详解】
因为函数()f x 满足()()f x f x -=-且()(2)f x f x =-， 所以[](2)2(2)()f x f x f x +=-+=-，即(2)()f x f x +=-， 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 周期为4，
由()(2)f x f x =-可得(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 对称轴为1x =， 当01x <≤时，2()log f x x =， 作函数()y f x =和y x =-图象如图所示：
其中()y f x =时奇函数，y x =-也是奇函数， 设两个函数图象交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x
方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为1234x x x x +++， 由图象结合奇函数的性质可得：14230x x x x +=+=，O 所以12340x x x x +++=，
方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为0， 故答案为：0 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用已知条件求出()f x 周期为4，方程()f x x =-在
()2,2-上的实数根之和等价于()y f x =
和y x =-图象交点的横坐标之和，关键点是作出
()y f x =在()2,2-的图象，数形结合即可求解.
17．199【分析】设过天能达到最初的16000倍得到方程结合对数的运算性质即可求解【详解】设过天能达到最初的16000倍由已知解得又因为所以过199天能达到最初的16000倍故答案为：199【点睛】本题
解析：199 【分析】
设过x 天能达到最初的16000倍，得到方程00(10.05)16000x
N N +=，结合对数的运算性
质，即可求解. 【详解】
设过x 天能达到最初的16000倍，
由已知00(10.05)16000x
N N +=，解得ln16000
198.4ln1.05
x =
≈，
又因为x ∈N ，所以过199天能达到最初的16000倍. 故答案为：199. 【点睛】
本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出方程，结合对数的运算公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
18．【分析】由题意可知得；令可知单调递增区间为单调递减为作出的草图由图可知所以而所以即可得由此即可求出结果【详解】因为所以①或②由①得由②得令则所以当时单调递增时单调递减事实上当时当时由图显然所以而所以
解析：2ln 2,ln 69⎡⎫
--⎪⎢
⎣⎭
【分析】
由题意可知()()()
2
1ln 22ln 20f x x ax x =-+=，得22ln 2x a x -=
；令()
2
2ln 2x
g x x =，
可知()g x 单调递增区间为0,2⎛ ⎝⎭，()g x 单调递减为,2⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
，作出()g x 的草图，
由图可知()10,1x ∈，()21,22
e
x =
∈，所以[]1
0x =，[]21x =，而[][][]1233x x x ++=，所以[]32x =，即[)32,3x ∈，可得()()23a g a g ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩
，由此即可求出结果. 【详解】
因为()()()2
2
2
2
ln 22ln 22ln 21ln 22ln 21ln 2f x ax ax x x x ax x x x =-+-=-+-
()()21ln 22ln 20x ax x =-+=，0x >，
所以1ln 20x -=①或22ln 20ax x +=②. 由①得2e x =，由②得2
2ln 2x a x -=
. 令()22ln 2x g x x =
，则()()3212ln 20x g x x -'==，所以e
x =. 当0,2e x ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，
,2e x ⎛⎫
∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<，()g x 单调递减.
事实上，当1
02
x <<
时，()0g x <，当1x >时，()0g x >. 由图显然()10,1x ∈，()21,22
e
x =
∈，所以[]10x =，[]21x =， 而[][][]1233x x x ++=，所以[]32x =，即[)32,3x ∈.
所以()()23a g a g ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，即2ln 4,4
2ln 6,
9a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩
解得2ln 6ln 29a -≤<-
. 故答案为：2ln 2,ln 69⎡
⎫--⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题主要考查了导函数在函数零点中的应用，属于难题.
19．2【分析】由题意得令显然为偶函数则方程有四个实根函数x ＞0有两个零点令x ＞0则关于t 的方程即在内有两个不相等的实根结合函数的图象可得由此可求出答案【详解】解：方程令则显然为偶函数∴方程有四个实根函数
解析：2 【分析】
由题意得24
2
()()10x x a f x g x e
e
-+-=⇔+-=，令24
2
()1x x a h x e
e
-+-=+-，x ∈R ，显
然()h x 为偶函数，则方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()1x x a h x e e -+-=+-，x ＞0有两个零点，令2x t e -=，x ＞0，则关于t 的方程210a t e t -+=，即1a
e t t
=+在
(
)
2
e -+∞，内有两个不相等的实根，结合函数1
y t t =+的图象可得4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+-⎨<+⎩
，由
此可求出答案． 【详解】
解：方程()()f x g x =⇔24
ln(1)2x e x a -+=+-24210x x a e e -+-⇔+-=，
令24
2
()1x x a h x e
e
-+-=+-，x ∈R ，则显然()h x 为偶函数，
∴方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()1x x a h x e e -+-=+-，x ＞0有两个零点， 令2x t e -=，x ＞0，则关于t 的方程210a t e t -+=，
即1
a
e t t
=+在(
)
2
e -+∞，
内有两个不相等的实根， 结合函数1y t t
=+，2t e ->的图象，得222a e e e -<<+， 即4
ln 2ln(1)2a e <<+-，
∵存在[],1a n n ∈+，使得4ln 2ln(1)2a e <<+-，
∴4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+-⎨<+⎩，结合n Z ∈，得max 2n =， 故答案为：2． 【点睛】
本题主要考查函数与方程，考查方程的实数解个数问题，考查转化与化归思想，属于中档题．
20．【分析】由函数单调性质判断函数是增函数运用零点存在性定理得解【详解】是上增函数是上减函数在上增函数又在上存在零点函数的零点在区间上故答案为：【点睛】本题考查函数零点分布区间判断函数零点分布区间的方法 解析：1-
【分析】
由函数单调性质判断函数31()(2)()2
x
f x x =+-是增函数，(1)0f -< ，(0)0f >运用零
点存在性定理得解. 【详解】
3(2)y x =+是R 上增函数，1
()2
x y = 是R 上减函数，
31
()(2)()2
x f x x ∴=+-在R 上增函数，
又(1)0f -< ，(0)0f >，
31
()(2)()2
x f x x ∴=+-在(1,0)-上存在零点
函数3
1()(2)()
2
x
f x x =+-的零点在区间(,1)n n +上
1n ∴=-
故答案为：1- 【点睛】
本题考查函数零点分布区间. 判断函数零点分布区间的方法：
（1）解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上； （2）定理法：利用零点存在性定理进行判断；
（3）数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
三、解答题
21．（1）1-和4；（2）01a <<；（3）1152
m <. 【分析】
（1）当1a =，3b =-时，结合已知可得2()24f x x x x =--=，解方程可求； （2）由题意可得，2(1)1ax b x b x +++-=恒有2个不同的实数根(0)a ≠，结合二次方程的根的存在条件可求；
（3）方法一：问题转化为()2
310x m x +-+=在(]
0,2上有两个不同解，再利用二次函
数的图象列式可得．
方法二，当1a =，2b =时，转化为问题2()64f x x x mx =++=在(0,2]上有两个不同实数解，进行分离m ，结合对勾函数的性质可求． 【详解】
（1）当1,3a b ==-时，2
()24f x x x =--
令()f x x =，可得224x x x --=即2340x x --= 解得4x =或1x =-
当1,3a b ==-时，求()f x 关于参数1的不动点为1-和4
（2）依题意得，b R ∀∈，关于x 的方程210ax bx b ++-=都有两个不等实数根
从而有2
1Δ4(1)0b a b =-->对b R ∀∈都成立
即关于b 的不等式2440b ab a -+>对b R ∀∈都成立
故有2
2Δ(4)160a a =--<
解得01a <<
（3）依题意，得方程231x x mx ++=在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数解 法一：即2
(3)10x m x +-+=在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数根(*) 令2()(3)1h x x m x =+-+，要使(*)成立
2(0)10
(2)112011
Δ(3)40523022h h m m m m =>⎧⎪=-⎪⎪⎨=-->⇒<⎪
⎪-<<⎪
⎩
法二：即1
3m x x
=++在2(]0,x ∈上恒有两个不等实数根 令1()3F x x x
=+
+ 则直线y m =与函数()((0,2]y F x x =∈的图象有两个不同交点 由于函数1
()3F x x x
=++在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增 且11(1)5,(2)2F F ==，结合函数()y F x =的图象可知11
52
m
<. 【点睛】
思路点睛：本题考查了二次函数的性质与图象，以及根据函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意变形时让含有自变量的函数式子尽量简单一些．
22．（1）10
a b =⎧⎨=⎩；（2）(-∞，1]；（3）1
(,0)4-．
【分析】
（1）由函数2
()(1)1g x a x b a =-++-，0a >，所以()g x 在区间[2，3]上是增函数，
故(3)4(2)1g g =⎧⎨=⎩
，由此解得a 、b 的值．
（2）由已知可得1()2f x x x
=+
-，继而得到22121
1(1)k x x x -+=-，从而求得k 的取值
范围；
（3）令|21|x m -=，则原方程有三个不同的实数解转化为2(32)410m k m k -+++=有两个不等的根，其中一根大于1，一根大于0且小于1，即可求出． 【详解】
（1）2
()21g x ax ax b =-++，其对称轴为1x =，则()g x 在[2，3]上为增函数，
函数()[2g x ，3]上最大值4，有最小值1
∴(3)4
(2)1g g =⎧⎨
=⎩
，
即96144411a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩
， 可得10a b =⎧⎨=⎩
，
1a ，0b =；
（2）由（1）可得2
()21g x x x =-+，
()1
()2g x f x x x x
∴=
=+-， 不等式()0f x kx -在11
,32
[]x ∈时恒成立， ()
f x k x
∴在1[3，1]2上恒成立， 221211(1)k
x x x
∴-+=-， 由于2
1(1)1x
-，
1k ∴；
故k 的取值范围为(-∞，1]．
（3）令|21|x
m -=，则方程4
(|21|)(
3)0|21|
x
x
f k -+-=-三个不同的实数解， 等价于4
()(
3)0f m k m
+-=有两个不等的根， 其中一根大于1，一根大于0且小于1，或一个根在(0,1)内，一个根等于1， 4()(
3)0f m k m +-=可化为14
2(3)0m k m m
+-+-=， 化简可得()2
(23)410h m m k m k =-+++=，
因为0m ≠，
所以两个根分别介于(0,1)，(1,)+∞， 或一个根在(0,1)内，一个根等于1，
当一个根为1时，可得0k =，此时方程为2210m m -+=不合题意；。