北京师范大学附属实验中学九年级数学上册第四单元《圆》检测(答案解析)

一、选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，P 是直线y ＝2上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5 2．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，弦D
E ⊥AB 于点C ，若OC ：OB ＝3：5，连接DO ，则
DE 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
3．下列说法正确的是（ ）
A ．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角也相等
B ．三点确定一个圆
C ．平分弦的直径垂直于这条弦
D ．90°的圆心角所对的弦是直径
4．如图，在半径为8的O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，30D ︒∠=，下列结论不正确的是（ ）
A ．OA BC ⊥
B ．83B
C =C ．四边形ABOC 是菱形
D ．扇形OAC 的面积为643
π 5．如图，AB 圆O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ）
A ．CM DM =
B ．CB BD =
C ．AC
D ADC ∠=∠ D ．OM MB = 6．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6AB =，120AOC ∠=︒，P 为O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为（ ）
A ．37
B ．3272+
C ．237+
D ．33722+ 7．以O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 如图所示摆放，直角顶点B 在零刻度线所在直线D
E 上，且量角器与三角板只有一个公共点P ，∠POB ＝40°，则∠CBD 的度数是（ ）
A ．50°
B ．45°
C ．35°
D ．40°
8．如图，EM 经过圆心O ，EM CD ⊥于M ，若4CD =，6EM =，则CED 所在圆的半径为（ ）
A ．103
B ．83
C ．3
D ．4
9．已知
O 的半径为4，点P 在O 外，OP 的长可能是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
10．下列命题中，正确的是（ ）
A ．平面上三个点确定一个圆
B ．等弧所对的圆周角相等
C ．三角形的外心在三角形的外面
D ．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线
11．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，28CDB ∠=︒，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则E ∠等于（ ）
A ．28︒
B ．34︒
C ．44︒
D ．56︒ 12．如图，AB 是⊙的直径，DB 、D
E 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝35°，则∠D 的度数
是（ ）
A ．65°
B ．55°
C ．60°
D ．70°
二、填空题
13．下列说法：①弦是圆上任意两点之间的部分；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧；④直径是最长的弦；⑤弦的垂直平分线经过圆心；⑥直径是圆的对称轴．其中正确的是________．
14．如图，等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4．平面内的直线l 经过点A ，作CE ⊥l 于点E ，连接BE.则当直线l 绕着点A 转动时，线段BE 长度的最大值是________．
15．已知O 的面积为π，则其内接正六边形的边长为______．
16．如图，AB 是半圆O 的直径，且4AB =，30BAC ︒∠=，则AC 的长为_________．
17．如图，O 的半径为6，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从点D 逆时针方向运动到点C 的过程中，当∠QCN 度数取最大值时，线段CQ 的长为______．
18．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A ，D 为圆心，以AB ，DC 为半径作扇形ABF ，扇形DCE ．则图中阴影部分的面积是______．
19．在ABC 中，90,3,4C AC BC ∠===，则ABC 的内切圆的周长为___________．
20．如图，AB AC 、分别为O 的内接正方形、内接正三角形的边，BC 是圆内接正n 边形的一边，则n 的值为_______________________．
三、解答题
21．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，E 是AB 上一点，30AEO DAC ∠=∠=︒，连接BD ．
△≌△；
（1）求证：OAE CDB
OA=，求BC的长．
（2）连接DE，若DE AB
⊥，2
22．如图，AB是⊙O的弦，点C在AB上，点D是AB的中点．将AC沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为25，AB＝8．则AC的长是_______．
23．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°．
（1）作∠ABC的角平分线交AC于点P，以点P为圆心，PA长为半径作⊙P，则⊙P与BC 的位置关系是．
（2）在（1）的条件下，若AB=3，BC=5，求⊙P的面积．
=，以BC为直径的O交AB于点O，过点D作24．已知：如图，ABC中，BC AC
⊥于点E，交BC的延长线于点F．
DE AC
=，（2）DF是O的切线．
求证：（1）AD BD
25．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上．
（1）若∠ABC=120°，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，若点B 是弧AC 的中点，求证：四边形OABC 为菱形．
26．如图，AB ，AC 是⊙O 的弦，过点C 作CE AB ⊥于点D ，交⊙O 于点E ，过点B 作BF AC ⊥于点F ，交CE 于点G ，连接BE ．
（1）求证：BE BG =；
（2）过点B 作BH AB ⊥交⊙O 于点H ，若BE 的长等于半径，4BH =，43AC =求CD 的长．
参考答案
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
连接PQ 、OP ，如图，根据切线的性质得：PQ ⊥OQ ，再利用勾股定理得出OQ ，利用垂线段最短，当OP 最小时，OQ 最小，即可求解．
【详解】
连接PQ 、OP ，如图，
∵直线OQ 切⊙P 于点Q ，
∴PQ ⊥OQ ，
在直角OPQ △中，2221OQ OP PQ OP --，
当OP 最小时，OQ 最小，
当OP ⊥直线y ＝2时，OP 有最小值2，
∴OQ 的最小值为2213-=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据题意可求出OC 长度，再根据勾股定理求出CD 长度，最后根据垂径定理即可得到DE 长度．
【详解】
∵AB ＝10，
∴OB =5
OC ：OB ＝3：5，
∴OC ＝3，
在Rt OCD △ 中，2222534CD OD OC =-=-=
∵DE ⊥AB ，
∴DE ＝2CD ＝8，
故选：D ．
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理．掌握垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
利用等弧和弦的概念，垂径定理以及弧，弦与圆心角之间的关系进行判断．
【详解】
解：A 、弧的度数与所对圆心角的度数相等，所以同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等，故本选项正确；
B 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C 、应强调这条弦不是直径，故本选项错误；
D 、90°的圆周角所对的弦是直径，故本选项错误．
故选：A ．
本题考查了圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件．熟练掌握相关概念是解题的关键． 4．D
解析：D
【分析】
利用垂径定理可对A 进行判断；根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D=60°，则△OAC 为等边三
角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出BC =B 进行判断；利用AB=AC=OA=OC=OB 可对C 进行判断；通过判断△AOB 为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对D 进行判断．
【详解】
解：A.∵点A 是劣弧BC 的中点，
∴OA ⊥BC ，所以A 正确，不符合题意；
B.∵∠AOC=2∠D=60°，OA=OC ，
∴△OAC 为等边三角形，
∴BC=2×8×sin30°
B 正确，不符合题意； C. 同理可得△AOB 为等边三角形，
∴AB=AC=OA=OC=OB ，
∴四边形ABOC 是菱形，所以C 正确，不符合题意；
D.∵∠AOC=60°，OC=8
∴扇形OAC 的面积为2608323603
ππ⨯=，所以D 错误，符合题意． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
5．D
解析：D
【分析】
根据垂径定理得到CM=DM ，BC BD =，AC AD =，然后根据圆周角定理得
∠ACD=∠ADC ，而对于OM 与MB 的大小关系不能判断．
【详解】
解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，
∴CM=DM ，BC BD =，AC AD =，
∴∠ACD=∠ADC ．
而无法比较OM ，MB 的大小，
故选：D ．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
6．D
解析：D
【分析】
如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．首先证明点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，利用勾股定理求出CK 即可解决问题；
【详解】
如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．
∵AQ ＝QP ，
∴OQ ⊥PA ，
∴∠AQO ＝90°，
∴点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，
当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大,
∵120AOC ∠=︒∴∠COH ＝60°
在Rt △OCH 中，∵∠COH ＝60°，OC=
12AB=3， ∴OH ＝12OC ＝32，CH 22332
OC OH +=， 在Rt △CKH 中，CK 223332⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
372 ∴CQ 的最大值为
33722 故选：D ．
【点睛】
本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q 的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 7．D
解析：D
【分析】
根据切线的性质得到∠OPB ＝90°，证出OP //BC ，根据平行线的性质得到∠POB ＝∠CBD ，
于是得到结果．
【详解】
∵AB 是⊙O 的切线，
∴∠OPB ＝90°，
∵∠ABC ＝90°，
∴OP //BC ，
∴∠CBD ＝∠POB ＝40°，
故选D ．
【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
如图，连接OD ，设半径为r ，则OM=6-r;再由垂径定理求出MD 的长，然后根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：如图，连接OD ，设半径为r ，则OM=6-r
∵EM CD ⊥
∴MD=12
CD=2 在Rt △MOD 中，OD=r ，OM=6-r ，MD=2 ∴222OM MD OD +=,即()22262r r -+=，解得r=
103
． 故答案为A ．
【点睛】
本题考查了圆的垂径定理和勾股定理，根据垂径定理求得MD 的长是解答本题的关键． 9．D
解析：D
【分析】
根据题意可以求得OP 的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP＞4，
故选：D．
【点睛】
本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．10．B
解析：B
【分析】
根据在一条直线上的三点就不能确定一个圆可以判断A，再利用圆周角定理得出B正确；由不同三角形判断C项，以及利用切线的判定对D进行判定．
【详解】
A．平面上不共线的三个点确定一个圆，所以A选项错误；
B．等弧所对的圆周角相等，所以B选项正确；
C．钝角三角形的外心在三角形的外面，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心为斜边的中点，所以C选项错误；
D．过半径的外端与半径垂直的直线为圆的切线，所以D选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了切线的判断和圆的确定、圆周角定理以及外心等知识，熟练掌握定义是解题关键．
11．B
解析：B
【分析】
连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数．
【详解】
解：连接OC，
∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠COE=90°，
∵∠CDB与∠BAC都对BC，且∠CDB=28°，
∴∠BAC=∠CDB=28°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=28°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=56°，
则∠E=34°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
连结BC，则由已知可以求得∠BCD与∠CBD的度数，最后由三角形的内角和定理可以得到∠D的度数．
【详解】
解：如图，连结BC，则由弦切角定理可知：∠ABC=∠ACE=35°，
∵DB与⊙O相切，∴∠CBD=90°-∠ABC=90°-35°=55°，
∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=180°-∠ACE-∠90°=55°，
∴∠D=180°-∠BCD-∠CBD=70°，
故选D ．
【点睛】
本题考查圆的应用，灵活运用直线与圆相切的性质求解是解题关键．
二、填空题
13．④⑤【分析】根据弦的定义垂径定理圆的对称性即可求解【详解】解：①连接圆上两点间的线段才是弦故原说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦故原说法错误；③垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧故原说法错误
解析：④⑤．
【分析】
根据弦的定义、垂径定理、圆的对称性即可求解．
【详解】
解：①、连接圆上两点间的线段才是弦，故原说法错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
③垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，故原说法错误；
④直径是最长的弦，正确；
⑤弦的垂直平分线经过圆心，正确；
⑥直径所在的直线是圆的对称轴，故原说法错误；
所以，正确的结论有④⑤．
故答案为：④⑤．
【点睛】
本题考查了圆的对称性，垂径定理的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．
14．【分析】以AC为直径作圆O连接BO并延长交圆O于点可得BO+O＞B从而可得BO+OE＞B即BE为最大值再由勾股定理求出BO的长即可解决问题【详解】解：由题意知CE⊥l于点E∴以AC为直径作圆O∵CE
解析：225
+
【分析】
以AC为直径作圆O，连接BO，并延长交圆O于点E'，可得BO+O E'＞B E'，从而可得BO+OE＞B E'，即BE为最大值，再由勾股定理求出BO的长即可解决问题．
【详解】
解：由题意知，CE⊥l于点E，
∴以AC为直径作圆O，
∵CE⊥AE,
∴点E在圆O上运动，
连接BO，并延长交圆O于点E'，如图，
∴BO+O E'＞B E'，
∵OE=O E'，
∴BO+OE＞B E'，
∴BE的长为最大值，
∵AO=OC=OE，且AB=AC=4，
∴
1
2
2
OE AC
==
又∵∠BAC=90°
∴22222
4220 BO AO AB
=+=+=
∴25BO = ∴BE=252BO OE +=+
故答案为：225+
【点睛】
此题主要考查了求线段的最大值，构造出△ACE 的外接贺是解答本题的关键．
15．1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论【详解】解：如图的面积为设半径为r ∴解得∵OA=OB 为等边三角形故故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆熟知正六边形
解析：1
【分析】
首先根据圆的面积求出圆的半径，再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论．
【详解】
解：如图，
O 的面积为π，设半径为r ，
2S r ππ∴==，
∴21r =，
解得，1r =，
∵360606
AOB ︒∠==︒，OA=OB AOB ∴为等边三角形，
故1AB OA ==．
故答案为：1
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的半径与边长相等是解答此题的关键． 16．【分析】先根据可求得进而可求得再利用弧长公式计算即可求得答案【详解】解：∵∴∴∵∴∴的长为故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理弧长公式的应用熟练掌握圆周角定理弧长公式是解决本题的关键
解析：43
π 【分析】
先根据30BAC ∠=︒可求得260BOC BAC ∠=∠=︒，进而可求得
180120AOC BOC ∠=︒-∠=︒，再利用弧长公式计算即可求得答案．
【详解】
解：∵30BAC ∠=︒，
∴260BOC BAC ∠=∠=︒，
∴180120AOC BOC ∠=︒-∠=︒，
∵4AB =， ∴122AO AB ==， ∴AC 的长为120241803
ππ⋅⋅=， 故答案为：43
π． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，弧长公式的应用，熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解决本题的关键．
17．【分析】利用矩形的性质得出OQ ＝MN ＝OP ＝3再利用当CQ 与此圆相切时∠QCN 最大此时在直角三角形CQ′O 中通过勾股定理求得答案【详解】连接OQ ∵MN ＝OP （矩形对角线相等）⊙O 的半径为6∴OQ ＝M 解析：33
【分析】
利用矩形的性质得出OQ ＝12MN ＝12
OP ＝3，再利用当CQ 与此圆相切时，∠QCN 最大，此时，在直角三角形CQ′O 中，通过勾股定理求得答案．
【详解】
连接OQ ，
∵MN ＝OP （矩形对角线相等），⊙O 的半径为6，
∴OQ ＝12MN ＝12
OP ＝3， 可得点Q 的运动轨迹是以O 为圆心，3为半径的半圆，当CQ 与此圆相切时，∠QCN 最大，
此时，在直角三角形CQ′O 中，
∠CQ′O ＝90°，OQ′＝3，CO ＝6，
∴CQ′22CO OQ -'33
即线段CQ 的长为
故答案为：′
【点睛】 此题主要考查了矩形的性质、点的轨迹，圆的切线等，得出当CQ 与此圆相切时，∠QCN 最大是解题的关键．
18．﹣【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积从而可以解答本题【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2∴正六边形ABCDEF 的面积是：6××22＝∠FAB ＝∠EDC
解析：83π 【分析】
根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，
∴正六边形ABCDEF 的面积是：6×
4
×22＝，∠FAB ＝∠EDC ＝120°， ∴图中阴影部分的面积是：2×21202
360
π⋅⋅＝83π，
故答案为：83
π． 【点睛】
本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．【分析】先根据勾股定理求出斜边AB 的长再根据直角三角形内切圆的半径公式求出半径再算出周长【详解】解：根据勾股定理内切圆半径内切圆周长故答案是：【点睛】本题考查三角形的内切圆解题的关键是掌握直角三角形 解析：2π
【分析】
先根据勾股定理求出斜边AB 的长，再根据直角三角形内切圆的半径公式求出半径，再算出周长．
【详解】
解：根据勾股定理，5AB =
=， 内切圆半径345122
AC BC AB +-+-===， 内切圆周长22r ππ==．
故答案是：2π．
【点睛】
本题考查三角形的内切圆，解题的关键是掌握直角三角形内切圆半径的求解方法． 20．【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出进而得出即可得出n 的值
【详解】解：如图所示连接AOBOCO ∵ABAC 分别为⊙O 的内接正方形内接正三边形的一边∴∴∴故答案为：12【点睛】此题主要考查了正多边形
解析：12
【分析】 根据正方形以及正三边形的性质得出360904
AOB ︒∠=
=︒，3603120AOC ==︒∠︒，进而得出30BOC ∠=︒，即可得出n 的值．
【详解】
解：如图所示，连接AO ，BO ，CO ．
∵AB 、AC 分别为⊙O 的内接正方形、内接正三边形的一边，
∴360904
AOB ︒∠==︒，3603120AOC ==︒∠︒， ∴30BOC ∠=︒， ∴3601230n ︒==︒
， 故答案为：12．
【点睛】
此题主要考查了正多边形和圆的性质，根据已知得出30BOC ∠=︒是解题关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）
77
. 【分析】
(1)借助同圆中，同弧上的圆周角相等，利用AAS 证明全等；
(2) 过O 作OH AB ⊥，利用三角形全等，勾股定理，建立一元二次方程求解即可.
【详解】
解：（1）证明：∵AC 是O 的直径，
∴90ADC ∠=︒．
∵30CAD ∠=︒，
∴2AC CD =．
∵2AC OA =，
∴OA CD =．
∵BC BC =，CD CD =， ∴EAO CDB ∠=∠，CAD CBD ∠=∠．
∵AEO DAC ∠=∠，
∴AEO CBD ∠=∠．
∴OAE CDB △≌△；
（2）解：连接DE ，过O 作OH AB ⊥于H ，
∴AH HB =．
∵AO OC =，
∴2BC OH =．
设OH x =，
∵30OEA CAD ∠=∠=︒， ∴3HE x =．
由（1）知OAE CDB △≌△，
∴AE DB =．
∵AD AD =，
∴60ABD ACD ∠=∠=︒．
∵DE AB ⊥，
∴30BDE ∠=︒．
∴2DB BE =，AE DB =．
∴2AE BE =．
设AH HB y ==，
则AE y =+，BE y =-．
∴()2y y =．
∴y =．
在Rt OAH 中，2OA =，AH =，OH x =，
222OH AH OA +=，
()2
222x +=．
解得1
7x =，27x =-（舍去）．
∴7
OH =．
∴27BC OH ==
． 【点睛】
本题考查了圆周角的性质，垂径定理，勾股定理，方程思想，熟练运用圆周角定理，作辅助线，构造垂径定理是解题的关键.
22．【分析】
延长BO 交⊙O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⊥AB 于H ．首先证明
∠CAE=∠CAH=45°，推出∠BOC=90°，推出，设AH=CH=x ，则BH=8-x ，在
Rt △BCH 中，根据222CH BH BC +=，构建方程求出x 即可解决问题
【详解】
解：如图，延长BO 交⊙O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⊥AB 于H ． ∵AD ＝DB ，
∴OD ⊥AB ，
∴∠ADO ＝90°，
∵OA ＝AD ＝DB ＝4，
∴OD 2，
∵BE 是直径，
∴∠BAE ＝90°，
∵AD ＝DB ，EO ＝OB ，
∴OD//AE ，AE ＝2OD ＝4，
∴AE ＝AD ，
∴AD AE =，
∴EC CD =，
∴∠CAE ＝∠CAH ＝45°，
∴∠BOC ＝2∠CAB ＝90°，
∴BC ＝2OC ＝210，
∵CH ⊥AB ，
∴∠CAH ＝∠ACH ＝45°，
∴AH ＝CH ，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ，
在Rt △BCH 中，∵222CH BH BC +=，
∴()()2
228210x x +-=， ∴x ＝6或2（舍弃），
在Rt △ACH 中，∵AC ＝
22AH CH +，
∴AC ＝62．
故答案为：62．
【点睛】
本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性比较强，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
23．（1）相切；（2）
94
π 【分析】
（1）先利用角平分线的性质得到点P 到BC 的距离等于PA ，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．
（2）由全等三角形的性质，先求出CD=2，由勾股定理求出AC=4，再利用勾股定理求出PD 的长度即可．
【详解】
解：（1）作PD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图：
∵PB 平分∠ABC ，
∴点P 到BC 的距离等于PA ，
∴PA=PD ，
∴BC 为⊙P 的切线．
故答案为：相切．
（2）由（1）可知，易得△ABP ≌△DBP ，
∴BD=AB=3，
∴CD=5-3=2，
∵在直角△ABC 中，由勾股定理，得
4AC ==，
设PA PD r ==，
∴4PC r =-，
在直角△PDC 中，由勾股定理，则
()22242r r -=+， 解得：32
r =， ∴圆的面积为：223924
S r πππ=
=•=()． 【点睛】 本题考查了圆的定义，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据圆周角定理可得90BDC ∠=︒，再根据等腰三角形的三线合一即可得证；
（2）先根据等腰三角形的三线合一可得ACD BCD ∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得ODC BCD ∠=∠，从而可得ACD ODC ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得OD DF ⊥，最后根据圆的切线的判定即可得证．
【详解】
（1）如图，连接CD ， BC 是O 的直径，
90BDC ∴∠=︒，即CD AB ⊥，
又BC AC =，
CD ∴是AB 边上的中线（等腰三角形的三线合一），
AD BD ∴=；
（2）如图，连接OD ，
,BC AC CD AB =⊥，
ACD BCD ∴∠=∠，
=，
OC OD
∴∠=∠，
ODC BCD
∠∠，
∴=
ACD ODC
∴，
OD AC
//
⊥，
⊥，即DF AC
DE AC
∴⊥，
OD DF
又OD是O的半径，
∴是O的切线．
DF
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、圆周角定理、圆的切线的判定等知识点，较难的是题（2），熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键．
25．（1）∠AOC=120°；（2）见解析
【分析】
（1）先由圆内接四边形的性质得∠ADC=60°，再由圆周角定理即可得出答案；
（2）证△OAB和△OBC都是等边三角形，则AB=OA=OC=BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．
【详解】
（1）∵A、B、C、D四点都在⊙O上
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°；
（2）连接OB，如图所示：
∵点B是弧AC的中点，∠AOC=l20°，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB ，
∴△OAB 和△OBC 都是等边三角形，
∴AB=OA=OC=BC ，
∴四边形OABC 是菱形．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定． 26．（1）见解析；（2）6．
【分析】
（1）根据圆周角定理得到BAC BEC ∠=∠，根据直角三角形的性质、对顶角相等得到BEC BGE ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）连接OB 、OE 、AE 、CH ，根据平行四边形的判定和性质得到4CG BH ==，根据等边三角形的性质得到60BOE ∠=︒，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【详解】
（1）证明：由圆周角定理得，BAC BEC ∠=∠，
CE AB ⊥，BF AC ⊥，
90ADC GFC ∴∠=∠=︒，
CGF BAC ∴∠=∠，
BEC CGF ∴∠=∠，
BGE CGF ∠=∠，
BEC BGE ∴∠=∠，
BE BG ∴=；
（2）解：连接OB 、OE 、AE 、CH ，
BH AB ⊥，CE AB ⊥
//BH CE ∴，
四边形ABHC 是O 的内接四边形，
90ACH ABH ∴∠=∠=︒，
//BF CH ∴，
∴四边形CGBH 为平行四边形，
4CG BH ∴==，
OE OB BE ==，
BOE ∴∆为等边三角形，
60BOE ∴∠=︒，
1302
BAE BOE ∴∠=∠=︒， 12
DE AE ∴=， 设DE x =，则2AE x =，
由勾股定理得，AD ==，
BE BG =，AB CD ⊥，
DG DE x ∴==，
4CD x ∴=+，
在Rt ADC ∆中，222AD CD AC +=，即)()(22
24x ++=， 化简得：2280x x +-=
解得，12x =，240x =-<（舍去）
则24=6CD =+．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质，灵活运用圆周角定理是解题的关键．。