2019-2020学年湖南省长沙市雨花区九年级(上)月考数学试卷(10月份)解析版

2019-2020学年湖南省长沙市雨花区九年级（上）月考数学试卷（10
月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（）
A．＝±4B．C．D．•＝2
3．（3分）已知x＝﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a为（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．2
4．（3分）下列语句中，正确的有（）
（1）相等的圆心角所对的弧相等；
（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）长度相等的两条弧是等弧；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．（3分）在同一坐标系中一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（）
A．B．
C．D．
6．（3分）一个三角形的两边长为3和8，第三边的边长是x（x﹣9）﹣13（x﹣9）＝0的根，则这个三角形的周长是（）
A．20B．20或24C．9和13D．24
7．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB 上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）
A．40°B．30°C．38°D．15°
8．（3分）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+＝6；③x2＝0；④x＝3x2⑤（x+1）（x ﹣1）＝x2+4x中，一元二次方程的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）某商品原价800元，连续两次降价a%后售价为578元，下列所列方程正确的是（）A．800（1+a%）2＝578B．800（1﹣a%）2＝578
C．800（1﹣2a%）＝578D．800（1﹣a2%）＝578
10．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一根为0，则k＝（）A．1B．﹣1C．±1D．0
二.填空题（共8题；共24分）
11．（3分）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个解，则m（m+1）2﹣m2（m+3）+4的值为．12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为．13．（3分）二次函数y＝3（x﹣2）2﹣6的最小值是．
14．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m（m+1）2﹣m2（m+3）+4的值为．15．（3分）用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为．
16．（3分）已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为．
17．（3分）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．
（1）若△PDE的周长为10，则PA的长为；
（2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为度．
18．（3分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，则△ABC的周长为．
三.解答题（66分）
19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC＝5，OB＝3，且cos∠BOE＝．求证：CB是⊙O的切线．
20．（8分）按要求解方程．
（1）x2+3x+1＝0（公式法）；
（2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0（因式分解法）．
21．某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米．设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米
（1）用含x的代数式表示平行于墙的一边的长为米，x的取值范围为；
（2）这个苗圃园的面积为88平方米时，求x的值．
22．（8分）已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法转化成y＝a（x﹣h）2+k，再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性．
23．（10分）已知∠MAN＝135°，正方形ABCD绕点A旋转．
（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM、AN分别与正方形ABCD的边CB、CD的延长线交于点M、N，连接MN．
①如图1，若BM＝DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是
②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系关系是否仍成立？并说明理由．
（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM、AN分别与直线BD 交于点M、N，探究：以线段BM、MN、DN的长度为三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．
24．（10分）如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC长．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．解：A、是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故错误；
C、不是中心对称图形．故正确；
D、是中心对称图形．故错误．
故选：C．
2．解：A、错误，算术平方根的结果是一个非负数，应该等于4；
B、错误，要注意系数与系数相减，根式不变，应等于；
C、错误，应该等于＝2；
D、正确，＝＝2．
故选：D．
3．解：∵x＝﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2＝0的一个根，
∴2×（﹣1）2+a×（﹣1）﹣a2＝0，
∴a2+a﹣2＝0，
∴（a+2）（a﹣1）＝0，
∴a＝﹣2或1．故选C．
4．解：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误；
（2）平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误；
（3）在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故本小题错误；
（4）每一条直径所在的直线是圆的对称轴．对称轴是直线，而直径是线段，故本小题错误．故选：A．
5．解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，正确；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：C．
6．解：方程x（x﹣9）﹣13（x﹣9）＝0，
分解因式得：（x﹣13）（x﹣9）＝0，
解得：x1＝13，x2＝9，
当第三边为13时，3+8＝11＜13，不能构成三角形，舍去；
则三角形周长为3+8+9＝20．
故选：A．
7．解：由题意得，∠AOD＝30°，∠BOC＝30°，
又∠AOC＝100°，
∴∠DOB＝100°﹣30°﹣30°＝40°，
故选：A．
8．解：①当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程；②x2+＝6是分式方程；③x2＝0是一元二次方程；④x＝3x2是一元二次方程⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x，整理后不含x的二次项，不是一元二次方程．
故选：B．
9．解：由题意可得：800（1﹣a%）2＝578．
故选：B．
10．解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0，
得k2﹣1＝0，
解得k＝﹣1或1；
又k﹣1≠0，
即k≠1；
所以k＝﹣1．
故选：B．
二.填空题（共8题；共24分）
11．解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个解，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m（m+1）2﹣m2（m+3）+4
＝m3+2m2+m﹣m3﹣3m2+4
＝﹣m2+m+4
＝﹣（m2﹣m）+4
＝﹣1+4
＝3，
故答案为：3．
12．解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，∴b2﹣ab+b＝0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1＝0，
∴a﹣b＝1．
故答案为：1．
13．解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2﹣6，
∴最小值是﹣6；
故答案为﹣6．
14．解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2＝m+1，
∴m（m+1）2﹣m2（m+3）+4
＝m（m2+2m+1）﹣（m+1）（m+3）+4
＝m（m+1+2m+1）﹣（m2+4m+3）+4
＝3m2+2m﹣m2﹣4m﹣3+4
＝2m2﹣2m+1
＝2（m+1）﹣2m+1
＝2m+2﹣2m+1
＝3．
故答案为3．
15．解：设这个圆锥的底面圆的半径为R，
由题意：2πR＝，
解得R＝2．
故答案为2．
16．解：函数的图象如图：
根据图象知道当y＝3时，对应成立的x有恰好有三个，
∴k＝3．
故答案为：3．
17．解：（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10；
∴C
△PDE
∴PA＝PB＝5；
（2）连接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一点F，连接AF、BF，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B；
∴∠PAO＝∠PRO＝90°
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；
∴∠AFB＝∠AOB＝65°，
∵∠AFB+∠BCA＝180°
∴∠BCA＝180°﹣65°＝115°；
故答案是：5，115°．
18．解：①当a为腰长时，将x＝4代入x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0中得：10﹣4k＝0，
解得：k＝，
∴原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝4，x2＝2，
∵4，4，2满足任意两边之和大于第三边，
∴C＝4+4+2＝10；
②当a为底边长时，方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0有两个相等的实数根，
∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝0，
解得：k＝．
当k＝时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x＝2，
∵2，2，4不满足任意两边之和大于第三边，
∴a为底边长不符合题意．
综上可知：△ABC的周长为10．
故答案为：10．
三.解答题（66分）
19．证明：连接OD，可得OB＝OD，
∵AB＝AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB＝3，cos∠BOE＝，
∴OE＝，
根据勾股定理得：BE＝＝，CE＝OC﹣OE＝，
在Rt△CEB中，BC＝＝4，
∵OB＝3，BC＝4，OC＝5，
∴OB2+BC2＝OC2，
∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线．
20．解：（1）x2+3x+1＝0，
△＝32﹣4×1×1＝5，
x＝，
解得x1＝，x2＝；
（2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3+4x＝0，
解得x1＝3，x2＝．
21．解：（1）由题意，得
（30﹣2x），
∵
∴6≤x＜15．
故答案为：（30﹣2x），6≤x＜15；
（2）由题意得
x（30﹣2x）＝88，
解得：x1＝4，x2＝11，
因为6≤x＜15，
所以x＝4不符合题意，舍去，故x的值为11米．
答：x＝11．
22．解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3．
∴该函数的图象的顶点坐标是（﹣1，3），对称轴为x＝﹣1，抛物线开口方向向下，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
23．解：（1）①如图1，若BM＝DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN＝BM+DN．理
由如下：
在△ADN与△ABM中，
，
∴△ADN≌△ABM（SAS），
∴AN＝AM，∠NAD＝∠MAB，
∵∠MAN＝135°，∠BAD＝90°，
∴∠NAD＝∠MAB＝（360°﹣135°﹣90°）＝67.5°，
作AE⊥MN于E，则MN＝2NE，∠NAE＝∠MAN＝67.5°．
在△ADN与△AEN中，
，
∴△ADN≌△AEN（AAS），
∴DN＝EN，
∵BM＝DN，MN＝2EN，
∴MN＝BM+DN．
故答案为MN＝BM+DN；
②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：
将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，易知N、D、E三点共线．
∵AM＝AE，∠MAE＝90°
∴∠EAN＝360°﹣∠MAN﹣∠MAE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠MAN＝∠NAE，
在△ANM与△ANE中，
，
∴△ANM≌△ANE（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴MN＝BM+DN；
（2）结论：以线段BM、DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由：将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接NE，
∵∠MAE＝90°，∠MAN＝135°，
∴∠NAE＝360°﹣∠MAN﹣∠MAE＝135°
∴∠EAN＝∠MAN，
∵AM＝AE，AN＝AN，
∴△AMN≌△AEN，
∴MN＝EN，
∵∠ADE＝∠ABM＝∠BDA＝45°，
∴∠BDE＝∠BDA+∠ADE＝90°
∴DN2+DE2＝NE2，∵BM＝DE，MN＝EN，
∴DN2+BM2＝MN2
∴以线段BM、MN、DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．
24．（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
则DF为圆O的切线；
（2）解：连接OG，
∵AC与圆O相切，
∴OG⊥AC，
∴∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，且OG＝OD，
∴四边形ODFG为边长为3的正方形，
设AB＝AC＝x，则有AG＝x﹣3﹣1＝x﹣4，AO＝x﹣3，
在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2＝AG2+OG2，即（x﹣3）2＝（x﹣4）2+32，解得：x＝8，
则AC＝8．。