《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)阶段检测卷(四) Word含解析

因为 x>0 ，y>0 ，所以 x ⊗y ＋(2y) ⊗x ＝x2－xyy2＋4y22－xyx2＝x2＋2x2yy2≥2
x2·2y2 2 2xy 2xy ＝ 2xy ＝
2.
当且仅当 x＝ 2y 时取等号．
所以 x⊗y＋(2y)⊗x 的最小值是 2.
9．[4,12] 解析：∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而 2xy≤x2＋24y2，∴6－(x2＋4y2)≤x2＋24y2.∴x2＋
个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块 1800 平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养 鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分 X6­5­2)种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2 米，如图，设池塘所占的总面积为 S 平方米．
(1)试用 x 表示 S； (2)当 x 取何值时，才能使得 S 最大？并求出 S 的最大值．
( ) ( ) 则总面积 S＝
1800 x －4
·a＋2a
1800 x －6
( ) ( ) ＝a 54x00－16 ＝x－3 6 54x00－16
( ) ＝1832－ 10 x800＋136x ，
( ) 即 S＝1832－ 10 x800＋136x (x＞0)．
( ) (2)由 S＝1832－ 10 x800＋136x ，
B(2,1)． 由题意可知，当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两直线的距离最小，即|AB|
＝ 1－22＋2－12＝ 2.故选 B.
图 D192
6．B 解析：方法一，因为 a>b>0，且 ab＝1，所以 a>1，0<b<1.则2ba<1，log2(a＋b)>log22
ab＝1,2a＋1b>a＋1b>a＋b⇒a＋1b>log2(a＋b)．故选 B.
1b1
5
1
方法二，取 a＝2，b＝2，2a＝8，log2(a＋b)＝log22∈(1,2)，a＋b＝4.故选 B.
[ ] 7. 12，4 解析：如图 D193，将点 A(0,4)，C(1,1)分别与点 B(－1,0)求斜率，得最小值为
12，最大值为 4.
图 D193 8. 2解析：由新定义运算知，x⊗y＝x2－xyy2，(2y)⊗x＝2y22y－x x2＝4y22－xyx2.
2．(2017 年新课标Ⅱ)设 x，y 满足约束条件Error!则 z＝2x＋y 的最小值是( )
A．－15 B．－9 C．1 D．9 3．当 x>1 时，不等式 x＋x－1 1≥a 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
4．某辆汽车购买时的费用是 15 万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5
图 X6­5­2 12．(12 分)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产 一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超 过 10 小时．一个伞兵可 获利润 3 元． (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 ω(单位：元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 13．(14 分)已知函数 f(x)＝x2m＋xn(m，n∈R)在 x＝1 处取到极值 2. (1)求 f(x)的解析式； (2)设函数 g(x)＝ln x＋ax.若对任意的 x1∈R，总存在 x2∈[1，e]，使得 g(x2)≤f(x1)＋72，求 实数 a 的取值范围．
＋…＋(n－1)·2n1－1＋n·21n，两式相减，得 12Sn＝1＋12＋212＋…＋2n1－1－n·21n＝2－n＋2n2.所以 Sn＝
4－n2＋n－21.于是由不等式|λ＋1|<4－2n2－1对一切 n∈N*恒成立，得|λ＋1|<2.解得－3<λ<1.
11．解：(1)由题图知，3a＋6＝x，∴a＝x－3 6.
图 D191
3．D
4．B 解析：汽车使用 n 年平均费用为15＋1.5n＋0.3nn＋nn－2 1 × 0.3＝1n5＋32n0＋1.65≥2
15 3n
15 3n
n × 20＋1.65＝4.65(万元)，当且仅当 n ＝20，3n2＝300，n2＝100，n＝10，即 n＝10 时
“＝”成立，故这辆汽车报废的最佳年限为 10 年． 5．B 解析：画出不等式的平面区域如图 D192，则Error!得 A(1,2)．则Error!得
整理，得Error!
目标函数为 ω＝2x＋3y＋300，作出可行域如图 D194，
图 D194
作初始直线 l0：2x＋3y＝0，平移 l0，当 l0 经过点 A 时，ω 有最大值， 由Error!得Error!
所以最优解为 A(50,50)，此时 ωmax＝550 元． 故每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，且最大利润为 550 元． 13．解：(1)f′(x)＝mx2＋x2＋n－n22mx2＝－mx2x＋2＋nm2 n.
{ } 10．已知 Sn 是数列
n 2n－1
的前 n 项和，若不等式|λ＋1|<Sn＋2nn－1对一切 n∈N*恒成立，
则 λ 的取值范围是__________． 三、解答题：本大题共 3 小题，共 40 分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步
骤． 11．(12 分)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一
阶段检测卷(四)
(不等式)
时间：50 分钟 满分：100 分 一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，有且只有一个正确答案，请将 正确选项填入题后的括号中．
1．(2017 年新课标Ⅰ)设 x，y 满足约束条件Error!则 z＝x＋y 的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
阶段检测卷(四)
1．D 解析：可行域如图 D190，目标函数 z＝x＋y 经过 A(3，0)时最大，故 zmax＝3＋0 ＝3.故选 D.
图 D190 2．A 解析：绘制不等式组表示的可行域(如图 D191)，目标函数即 y＝－2x＋z，其中 z 表示斜率为 k＝－2 的直线系与可行域有交点时直线的截距，数形结合可得目标函数在点 B(－6，－3)处取得最小值 z＝－12－3＝－15.故选 A.
得 S≤1832－2 10 x800·136x＝1832－2×240＝1352.
10 当且仅当
x800＝136x，此时，x＝45.
即当 x 为 45 米时，S 最大，且 S 最大值为 1352 平方米．
12．解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100－x－y，
所以利润 ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300(x，y∈N)． (2)约束条件为Error!
题意．
综上所述，实数 a 的取值范围为 a≤ e.
由 f(x)在 x＝1 处取到极值 2，得 f′(1)＝0，f(1)＝2.
即Error!解得Error!
经检验，当 m＝4，n＝1 时，f(x)在 x＝1 处取得极值． 故 f(x)＝x24＋x 1. (2)由(1)知，f(x)的定义域为 R，且 f(－x)＝－f(x)． 故 f(x)为奇函数，且 f(0)＝0. 当 x＞0 时，f(x)＞0,0<f(x)＝x＋4 1x≤2， 当且仅当 x＝1 时取“＝”； 当 x<0 时，－2≤f(x)＝－－x＋4 －1x<0， 当且仅当 x＝－1 时，取“＝”． 故 f(x)的值域为[－2,2]．从而 f(x1)＋72≥32. 依题意有 g(x)最小值≤32. 函数 g(x)＝ln x＋ax的定义域为(0，＋∞)， g′(x)＝1x－xa2＝x－x2 a. ①当 a≤1 时，g′(x)＞0，函数 g(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为 g(1)＝a≤1<32，符合 题意；
4y2≥4(当且仅当 x＝2y 时取等号)．又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即 2xy≥－6.∴z＝x2＋4y2＝6－
2xy≤12.综上所述，4≤x2＋4y2≤12.
10．－3<λ<1 解析：由 Sn＝1＋2×12＋3×212＋…＋(n－1)·2n1－2＋n·2n1－1，12Sn＝1×12＋2×212
②当 1<a<e 时，函数 g(x)在[1，a)上有 g′(x)<0，单调递减，在(a，e]上有 g′(x)>0，单调
递增， 所以函数 g(x)的最小值为 g(a)＝ln a＋1.由 ln a＋1≤32，得 0<a≤ e.从而知 1<a≤ e符
合题意； ③当 a≥e 时，显然函数 g(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为 g(e)＝1＋ae≥2>32，不符合
7．(2013 年大纲)记不等式组Error!所表示的平面区域为 D，若直线 y＝a(x＋1)与 D 有
公共点，则 a 的取值范围是________． 8．定义运算“⊗”：x⊗y＝x2－xyy2(x，y∈R，xy≠0)．当 x>0，y>0 时，x⊗y＋(2y)⊗x 的最小值
是________．
9．已知 x，y∈R 且满足 x2＋2xy＋4y2＝6，则 z＝x2＋4y2 的取值范围为________．
万元．年维修保养费用第一年 3000 元，以后逐年递增 3000 元，则这辆汽车报废的最佳年限
(即使用多少年的年平均费用最少)是( )
A．8 年 B．10 年 C．12 年 D．15 年
5．若平面区域Error!夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离
的最小值是( )
A.3 5 5 B. 2 C.3 2 2 D. 5 6．(2017 年山东)若 a>b>0，且 ab＝1，则下列不等式成立的是( ) A．a＋1b<2ba<log2(a＋b) B.2ba<log2(a＋b)<a＋1b C．a＋1b<log2(a＋b)<2ba D．log2(a＋b)<a＋1b<2ba 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分，把答案填在题中横线上．