弹塑性力学基本理论及应用

第八章能量原理及其应用
第八章能量原理及其应用
弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程
组。

然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般
的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有 15 个未知量的 6 个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。

因此，为了解决具体
的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界
元法、无网格化法及样条元法等等。

这些解法的依据都是能量原理。

本章将讨论
利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。

本章共讨论五个能量原理。

首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势
能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。

另外，还
简单介绍最大耗散能原理。

本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力
学问题的数值解法。

8.1 基本概念
1.1物体变形的热力学过程
由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学
过程。

因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中
每一点的温度。

如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没
有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。

物体的瞬态高频振动，
高速变形过程都可视为绝热过程。

令物体在变形过程中的动能为 E，应变能为 U，则在微小的 t 时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为
EUWQ(a)
其中， W 为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q 是物体由其周围介质所吸收 ( 或向外发散 ) 的热量，并以等量的功度量。

假定弹性变形过程是绝热的，
则对于静力平衡问题有
E 0，Q 0(b)
将式 (b) 代入式 (a) ，则有
U W(8.1-1)
第八章
能量原理及其应用
1.2 应变能
由第四章的式 (4.1-5b) 知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为
U 0
ij
ij
d
ij
1
(8.1-2)
2
ij ik
对于一维应力状态，在
x
x 平面内，则
U 0 实际上就是应力应变曲线与
x
轴和
x
x '
所
围成的面积 ( 图 8.1) ，即
'
U 0
X
(8.1-3)
x d
x
其中 x ' 是物体变形过程某一指定时刻的应变，应 图 8.1 应变能与应变余能
变能 U 0 表示物体在变形过程中所储存的能量。

1.3 应变余能
在图 8.1 中,
如果令 U 0' 表示应力应变曲线与
x
轴和x
x '
所围成的面积， 即
'
U 0'
x
(8.1-4)
x
d
x
式中 'x 是物体变形过程某一指定时刻的应力。

称 U 0' 为单位体积的应变余能，简称余能，有时又称其为应力能。

由于
x '
和 x '
是物体变形过程中同一时刻的应力和应变，因此有
' ' U
'
x
x
U 0
'
互补或互余对方为
'
'
矩形的面积。

显然，在线弹性情况下有
由此可见， U 0 与U
0 x
x
U 0 U 0' ，即余能与应变能在数值上相等。

尽管应变余能不像应变能那样具有明确的物理意义，但引入应变余能这一概
念后，使讨论问题的范围扩大了。

8.2 虚位移原理与最小势能原理
2.1 虚位移原理
设有变形体在外力作用下处于平衡状态。

此处，外为包括体力分量
X ，Y ，Z 及
一部分表面的面力分量 X ， Y ， Z 。

假如有一组位移分量 u ，v ， w 既能满足用位移表示的平衡方程，又能满足位移边界条件以及用位移分量表示的应力边界条件。

现在设想在变形体几何约束所允许的条件下，给它一个任意的微小变化，即所谓虚位移或
位移变分 u ， v ， w ，得到一组新的位移
u '
u u v '
v v
, w ' w w
(a)
,
194
下面考察能量发生了什么变化。

这时，外力在虚位移上所做的功(称为虚功 )为
W( X u Y v Z w)dV( X u Y v Z w)dS(8.2-1a)
V S
或
W f i u i dV F i u i dS(8.2-1b)
V S
式中， V 为变形体的全部体积， S 为变形体的全部表面积，其中给定外力的表面记
为 S ，给定位移的表面记为露 S u。

但面积分仅对给定面力的那一部分表面进行，
对于给定位移的那一部分表面，因无虚位移，故不必考虑。

应该指出，这里所说的虚位移—般并不是由实际外力所引起的，而是由其他
因素所引起，或者是为了分析问题而假想的。

虚位移发生时，约束反力是不作功
的，这是因为在约束力方向不可能产生位移。

物体产生虚位移的过程中，物体必然产生微小的虚变形，因此在变形体中就
产生虚应变能，即
U(xx yy zzxyxy yzyz zx zx )dV (8.2-2a)
V
或写为
U
V
ijij dV(8.2-2b)假定变形体在虚位移的过程中，并没有温度和速度的改变，因而也就没有热
能和动能的改变。

则按照能量守恒定律或热力学第一定律，应变能在虚位移上的
增量 U ，应当等于外力在虚位移所做的虚功，于是有
(xx yy z z xyxy yz yz zx zx )dV
V
( X u Y v Z w)dV( X u Y v Z w)dS(8.2-3)
V S
式 (8.2-3) 即为虚位移原理的位移变分方程，也称为拉格朗日(Lagrange) 变分方程，有时也称为虚功方程。

因此，虚位移原理可叙述为：在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给
予物体微小虚位移时，外力在虚位移上所做虚功等于物体的虚应变能。

现详细证明如下：
若在虚位移原理的变分方程 (8.2-3)中，因给定位移的部分表面S u上 u i0 ，而在给定面力的部分表面S 上，边界条件ij n j F i成立。

则式 (8.2-3)中右边对S 的积分可以写为对整个物体表面S 的积分，即有
W f i u i dV F i u i dS f i u i dV
S ij n j u i dS(8.2-4)
V S V
运用高斯散度定理，将上式对体积积分化为面积分，有
(
x
u)
(
y
v)(
z w)
( x ul
y vm
z wn)dS (8.2-5)
V
x
y
z
dV
S
其中 l , m, n 为外边界法线方向单位矢量 ｎ的方向余弦，即
l cos(x, ｎ ) ， m
cos( y, ｎ ) ，
n
cos(z,ｎ )
注意到
V
(
x
u) dV
V
x
udV
V
x
( u) dV S
x l udS
x
x
x
以及
v
u dV
xy
v
xy
u dV
xy (l v m u) dS
V xy
V
S
x
y
x
y
其余的类似，因此由以上两式可得
(
ij
u i ), j dV
S ij n
j u i dS
(8.2-6)
V
式中 n
j
l m n 。

将式 (8.2-6) 代入式 (8.2-4) ，有
, ,
W f i u i dV ( ij u i ), j dV
V
V
f i u i dV
(
ij ,
j
u i
ij
u
i
, j )dV
(b)
V
V
(
ij ,
j
f i ) u i dV
V ij
u i , j dV
V
当物体处于平衡状态时，因为
ij ,
j
f i 0
所以式 (b) 中笫一项积分为零。

又因
ji ,
1 ij ij
( u i , j u j ,i )
2
所以有
ij
u i , j
ij
ij
于是由式 (b) 得
W
V
ij
ij
dV
将上式与式 (8.2-2b) 比较可知，有
W
U
以上证明说明，当给予系统微小虚位移时，外力所作虚功与物体的虚应变能
相等是物体处于平衡状态的必要条件。

另外，由应变位移关系以及先变分后微分与先微分后变分等价可知
x
u
( u),
x
x
(c)
(
u
v )
xy
( v) ( u),
y x
x
y
将式 (c) 代入 (8.2-2a) ，经分部积分和利用格林公式，可得到如同下列形式的三个关系式
(
x x )dV
x
( u)dV
( x u)dV u
x
dV
V
V
x
V
x
V
x
(d)
S x l
udS
V
x
udV
x
以及下列形式的三个关系式
(
xyxy )dV
V xy
( v) ( u) dV
V
x
y
(e)
S xy (l v
m u) dS
(
xy
v
xy
u)dV
V
x
y
将式 (d) 、 (e) 所表示构六个关系式代人 (8.2-2) 式，则得
U
(
x x y
yz z xy xy yz yz zx
zx )dV
V
( x l
xy
m
xz n) u
(
yx l
y
m
yz n) v
( zx l
zy
m
z n) w dS
S
[ (
x
xy
xz )
u (
yx
y
yz )
v
(f)
V x
y
z
x
y
z
(
zx
zy
z
) w] dV
y
x
z
将式 (f) 代入式 (8.2-3) ，并加以整理，得
[(
x
xy
xz
X )
u
yx
y
yz
Y ) v
(
V
x
y
z
x
y
z
(
zx
zy
z
Z ) w]dV
[(
x l
xy m
xz n
X ) u
z
y
z
S
( yx l
y
m
yz n Y) v ( zx l
zy
m
z n Z ) w] dS 0
因为虚位移 u, v, w 各自独立，而且是完全任意的，因此上列积分式中括弧内的系数均等于零，这样我们得到三个平衡方程和三个静力边界条件。

因而证明
W U 是物体处于平衡状态的充分条件。

从以上讨沦可知，虚位移原理变分方程(8.2-3) 式等价于平衡方程与应力边界条
件。

因此，满足变分方得 (8.2-3) 式的解就一定满足平衡方程和应力边界条件。

所以，虚位移原理也可表述为：变形连续体平衡的必要与充分条件是，对于任意微小虚位移，外力所做虚功等于变形体所产生的虚变形能。

应当指出，式 (8.2-3) 等号左边表示，由于产生虚位移 u i 而引起物体内产生了虚应变能。

这种虚位移实际上应理解为真实位移的变分，而不是其他随便—种位移
函数。

也就是说。

式 (8.2-3) 中的虚应变 x , , xy 不是别的什么虚应变，而是由 u, v, w 引起的，即它们之间满足下列条件
ij
1
( u i , j u j ,i )
(8.2-7)
2
此外，位移 u i 在己知位移边界 S u 上还应满足 u i u i ，因此在己知位移边界 S u 上虚
位移应为零，即
u i 0 (8.2-8)
式 (8.2-7) 和(8.2-8) 为方程 (8.2-3) 式的附加条件。

因此，在应用虚位移方程式
(8.2-3) 时，所选取的解不必预先满足平衡力程和应力边界条件，但要求所给虚位
移 u, v, w 能满足附加条件 (8.2-7) 式和 (8.2-8) 式，即应满足变形协调条件和几何边界条件。

应当指出，由于虚位移原理的成立与材料本构关系无关，因此，虚位移原理既适用于线弹性体、非线性弹性体，也适用于弹塑性体和理想塑料体等固体材料。

例 8.1 如图 8.2 所示跨长为 l ，抗弯刚度为 EI ，受分布荷重 q(x) 作用的简支梁，试用虚位移原理写出梁的挠曲线微分方程和边界条件。

解: 梁在平衡状态时，如果产生一虚
位移 w ，由虚位移原理
U
W
(1)
此处
l
x dA]dx
(2)
U[
A
x
由材料力学知，有
图 8.2 受均布荷重简支梁
x zw
"
,
x
Ezw "
(3)
根据变分法则知
x
z (w " )
z( w)"
(4)
将式 (3) 、 (4) 代入式 (2) 并整理后，得
U
l Ezw " z( w) "
dA dx
l
"
( w) "
dx
EI w
A
对上式进行两次分布积分后，可化为
第八章
能量原理及其应用
U EI w " ( w) '
0l
w (3)' w 0l
l
(4 ) wdx
w
外力所做虚功为
l W
q( x) wdx 0
将式 (5) 、 (6) 代入式 (1) ，则得
l (4)
q(x) wdx EIw " ( w) '
0l
EIw ( 3) w 0l
EIw
由于在支座处的虚位移应满足简支条件要求，所以边界条件为
x 0 : w w " 0
x l :
w w "
(5)
(6)
0 (7)
考虑 w 的任意灶，于是要使式 (7) 成立，必有
EIw ( 4) q( x) 0
(8)
式(8) 即为该梁的挠曲线微分方程。

例 8.2 如图 8.3 所示受均布荷重 q 的简支梁，抗弯刚度为 EI ，跨中由弹性支座
支承，试写出梁的边界条件和挠曲线微分方程。

解﹕ 由例 8.1 知，变形能经两次分部积分后为
U 2EI w " ( w) '
0l
w ( 3)' w 0l
l
( 4) wdx
w
图 8.3 受均布荷重简支梁
令弹簧内的反力为 R ，则外力功为
W 2 l
R w c
(9)
q wdx
式中 w c 为梁在弹性支座 C 处的挠度。

因 U
W ，因此可由以上两式得
l ( 4 )
)
2
" ( ) ' l
2
( 3)
l
2 (
EIw q wdx
EIw R w c
(10)
w
EIw
w 0
于是，由式 (10) 可知，根据简支条件和对称条件，边界条件应为
( w)'
x l
0,
( w) x 0 0,
w "
x 0
同时，考虑到 w 除弹性支座处外，均为任意性，要使式
(10) 成立，必有
( w) x l w c ,
2EIw (3)
x l
R
挠曲函数必须满足
EIw (4)
q 0
及
w x 00,w,x l0 。

2.2最小势能原理
从位移变分方程 (8.2-3)出发，可以导出虚功方程。

假定物体从平衡位置有微小虚位移，物体的几何尺寸的变化略去不计，则原来作用在物体上的体力X ,Y, Z 和面力 X ,Y, Z 的大小与方向都保持不变。

于是，按照变分原理，式(8.2-3)中变分的
运算与积分的运算可以交换次序，故有
(x x y y z z xy xyyz yz zx zx )dV
V(g)
( Xu Yv Zw)dV( X u Yv Zw)dS
V S
由第四章的 (4.1-5a)知，有
ij
U 0
ij
在式 (g) 中左边积分项中引入各向同性弹性体的广义虎克定律，并注意到
ij ij x x xy xy xz xz yx yx y y yz yz zx zx zy zy z z
2221222
x y z( xy yz zx)
2
则有
U 0G ij ij2(h)
2
由第四章知，式中x y z ii。

在式 (h) 中代入应变位移关系，得
U 0(u,v, w)E(u v w )2G (u )2(v )2(w)2
2(1)(1 2 )x y z x y z
G ( u v )2( w
v )2(
u
w)2
(8.2-9)
2y x y z z x
当存在应变能 U 0 (u i ) 时，式(g)可写为
U 0 (u i )dV( Xu Yv Zw)dV( X u Yv Z w) dS 0
V V S
于是有
P(U W )0(8.2-10a)
也可写为
P(U V ) 0(8.2-10b)
其中
p
[U 0 (u i )
f i u i ] dVF i u i dS
(8.2-10c)
V
S
附加条件为
u i u i ( 在 S u 上) (8.2-10d)
式中 p 称为总势能， V (=- W ) 称为外力势能， U 称为弹性变形体的应变势能。

当
物体在不受外力作用的自然状态下，应变势能与外力的势能均为零。

式
(8.2-10)
说明，在给走的外力作用下，实际的位移应使总势能的一阶变分为零，即使总势
能取驻值。

下面进一步让明有真实的位移总是使物体的总势能取最小值。

对于稳定的平衡状态，物体偏离平衡状态而有虚位移时，其总势能的增量恒
为正。

实际上可以让明，总势能量
P 的二阶变分为正。

为此，令
u i ' 为变形许可的
位移场， u i 为真实解的位移场，与之相应的应变张量分别为 ij '
和
ij ，于是当物体
有虚位移时，有
'
u i
u,
'
u i ij
ij
ij
将 U 0 ( ij ' ) 进行泰勒级数展开，并忽略二阶以上的高阶微量，可得
U 0 ( '
U 0 ( ij )
U 0
1 2U 0
(
ij )
2
(k) ij )
ij
2 2
ij
ij
于是，变形许可状态的总势能与真实变形状态总势能之差为
'
U 0
' U 0 (
ij ) dV
f i u i dV
F i u i dS
(l)
pp
V ( ij )
S
V
因为
'
1 2
(m)
p
p
p
2
p
由式 (8.2-9) 知
p
V U 0 dV
f i u i dV
S F i u i dS
(n)
V
比较式 (k) ，(m) 可得
2
2 0 dV
1 2
U 0
kl
dV
(q) p
V U 2
V
ij
ij
kl
当 ij 足够小时，式 (q) 必为正，因为如果令
ij
0 ，则 ij
0 ，则式 (k) 可化为
U 0 (
ij )
1 2U 0 (
ij
) 2
2
2
IJ
从而得
'
p ( ij ' )
p ( ij )
2
p
V
U (
ij )dV
由式 (h) 知， U 0 ( ij ) 为正定，所以
2
0, ' (8.2-11)
p
pp
上式表明如下一个原理： 在给定外力作用下而保持平衡的弹性体，在满足位移边
界条件的位移场中，真实的位移场使总势能取最小值。

该原理称为 最小势能原理。

物体在外力作用下所产生的位移场，除了满足位移边界条件外，还必须满足以位移表示的平衡力程以及应力边界条件。

最小总势能原理说明，真实的位移除满足几何边界条件外，还要满足最小势能原理的变分方程。

实际上以上已经证
明．变分方程 (8.2-3) 完全等价于平衡力程与应力边界条件。

同样的结论也适用于
式(8.2-9) 。

用最小势能原理和用泛定方程求解边值问题，只是形式上不同。

以后将看到，这种解题手段的变更，在不少情况下．将带来很大的力便，同时也扩大Ｉ解题的范围。

由最小总势能原理可导出熟知的卡氏 (Castigliano) 第一定理：当应变能 U 0 用广
义位移表示为 U 0 ( i ) 对，则广义力 F i = U 0 ( i ) / i 。

例 8.3 试由最小势能原理，弄略去剪应力影响，导出图 8.2 所示梁的挠曲线方程。

解 : 根据应变能密度和虎克定律，梁的变形能为有
U
U 0dV
1 V x 2
dxdydz
(1)
V
2E
由材料力学知，其中
x
My ,
M
EI d 2 w 2 ， I
y 2 dzdy
(2)
I
dx
A
将式 (2) 代入式 (1) ，经整理后得
1
l
d 2 w 2
dx
(3)
U
EI (
2 )
2 0
dx
外力功为
W
l
qwdx
根据最小势能原理
P
(U
W )
0 的变分量为 w ，并注意到
w '
(
dw
) d w ( w)'
dx dx
EI (w " ) 2 2EIw " ( w) " 2EIw " (w " )
因而
l
w) "
dx l
q wdx
(4)
p
EIw "
(
将上式等号右边第一项分部积分两次，可得
l " ( w) " dx EIw " ( w) '
l 0
EIw (3) w 0l
l
( 4)
wdx (5)
EIw EIw
对于简支端，有边界条件为
EIw " (
) ' l
EIw "
w
l 0
(6)
w 0 0
将式 (5) 代入式 (4) ，并注意到 (6) ，得
l
( EIw (4)
q) wdx
由于 w 任意性，因此有
EIw (4)
q 0
上式即为梁的挠曲线方程。

8.3 位移变分法的应用
基于虚位移原理的位移变分力程，提供了以位移作为基本未知数的弹塑性力
学问题的近似解法。

瑞利—里兹 (Rayleigh-Ritz)
和伽辽金 (Galerkin) 提出了各自
解法，现分别介绍如下：
3.1 瑞利—里兹法
当给定面力和几何约束条件时，可以利用位移变分方程求解。

因此时应力边
界条件和位移边界条件为已知，由虚位移原理或最小势能原理所导出的变分方程
(8.2-3) 和 (8.2-10a) 均等价于平衡方程和应力边界条件，所以采用式
(8.2-3) 和
(8.2-10a) 求解肘，所选取的位移函数不需要先满足应力边界条件，只需满足位移
边界条件。

设位移函数为
n
u u 0
a k u k ( x, y, z)
k 1
n
(8.3-1)
v v 0
b k v k (x, y, z)
k 1
n
w
w 0 c k w k (x, y, z)
k 1
式中， a k , b k ,c k 为未知的待定的常数， u 0 ,v 0 , w 0 满足边界条件，即在已知位移边界
S u上，应有
u0 u,v0v,w0w
而 u k (x, y, z), v k ( x, y, z), w k ( x, y, z)(k1,2,, n) 为坐标线性独立的识定函数，且在己知位移边界 S u上满足
u k ( x, y, z) v k (x, y, z)w k (x, y, z)0,(k 1,2, , n)
这样，无论 n 如何取值，位移函数总是能满足位移边界条件。

由于 u k (x, y, z), v k (x, y, z), w k ( x, y, z) 是设定的已知函数，因此对位移进行一阶变分时，只需对系数a k , b k ,c k取一阶变分，即
n n n
u u k ( x, y, z) a k，v v k ( x, y, z) b k ,ww k ( x, y, z) c k(a) k1k 1k 1
将式 (8.3-1)代入虚位移原理变分方程(8.2-3) 或最小势能原理变分方程
(8.2-9a) ，由a k,b k , c k的任意性，可得确定全部系数 a k ,b k , c k的线性代数方程组。

例如，将式 (8.3-1)代入式 (8.2-10a)，可得
n
U U U c k
a k
b k
V
(u k X a k v k Y b k w k Z c k )dV k 1
a k
b k
c k
u k X a k v k Y b k w k Z c k0
S
式中系数a k , b k , c k的变分是完全任意的，彼此无关。

于是，将上式整理后得
U X u
k dV Xu k dS
a k V S
U Yv
k dv Yv k dS(8.3-2)
b k V S
U Zw
k dV Zw k dS
c k V S
由应变能函数表达式 (8.2-9)及位移分量表达式 (8.3-1)可知，应变能 U 应是待定系数 a k ,b k , c k的二次函数，因而式(8.3-2)将是各个待定系数的线性方程组，共有3 n个方程。

从方程组 (8.3-2)可解全部系数 a k , b k ,c k后，即可由式(8.3-1)求得位移分量。

式 (8.3-2)也可写为
p
a k
p
(k 1,2, ,n)(8.3-3)
b k
p
c k
这一方法称为瑞利 - 里兹法，也称为里兹法。

选择合适的 u0 ,v0 , w0和 u k , v k , w k，以及项数 n ，可以获得精确度较高的位移解。

将求得的位移代入用位移表示的应力表达式，在计算应力分量时需对位移求导，
通常近似解的精度往往会因求导而降低，因此应力近似解的精度一般都较差。

这
是因为应力分量并不精确地满足平衡方程，只是满足平衡方程与一个加权函数u i 乘秋的积分为零的条件，即
P(ij ,j f i )u i dV( ij n j F i )u i dS0
V S
要提高精度，只有增加式 (83.3-1)中位移函数的项数n，当项数n时，则其解将收敛于精确解。

3.2伽辽金法
如果选择的位移因数表达式(8.3-1)，不仅能满足位移边界条件，还能满足应力边
界条件，那么变分方程 (8.2-3)或(8.2-10a)为
U W
或
U 0
f i u i dV F i u i dS ij u i , j dV
ij dV V S V
V
(8.3-4)
ij
S ij
n
j
dS
V
ij
,
j
u
i dV
注意到所取位移函数满足应力边界条件，因此由上式得
(ij ,j f i ) u i dV0
V
即
x xy xz X u yx y yz Y v
V x y z x y z
(b)
zx zy z Z w dV0
x y z
将式 (b) 展开为三个方程，则每个方程均含有n 个积分，并注意到变分关系式(a)和 a k , b k , c k为任意值，所以耍使式(b)成立，则只能每个积分式均等于零，于是可得
x xy xz X u k dV0
V x y z
yx y yz
Y v k dV0 ( k 1,2, ,n)(8.3-5) V x y z
zx zy z Z w k dV0
V x y z
对于各向同性弹性变形体，将以上三个方程中的应力分量，通过广义虎克定律方
程(4.2-14b) 、几何方程 (3.2-9) 转换用位移分量表示，可得
E
) 11 2 u X u k dV0
V2(12x
E
) 11 2 v Y v k dV0k 1,2, , n (8.3-6)
V
2(12y
E
) 11 2 w Z w k dV0
V2(12z
式中u v w。

由式 (8.3-1)可知，位移分量 u, v, w 是系数a k,b k, c k的线性
xy z
函数，所以式 (8.3-5)和式 (8.3-6)将是这些系数的线性方程组。

求解此方程组，可解得 3n 个系数，从而由式 (8.3-1)求得位移分量。

这个方法称为伽辽金法。

比较以上两种基于虚位移原理的近似计算方法可知，在位移函数的选择上，
伽辽金法比瑞利 - 里兹法更为严格，它不仅要满足位移边界条件，还必须满足应力
边界条件；但在应用上伽辽金法比较方便，因为可不必导出泛函。

仅根据熟知的
平衡方程就能列凼伽辽金方程。

例 8.4 如图 8.4 所示受均布荷重悬臂梁，梁跨长为l ，抗弯刚度为 EI ，试根据初
等理论，不计体力和用瑞利 - 里兹法和伽
辽金法分别求梁的挠度和固端弯矩。

解： (1) 瑞利 - 里兹法求解
当不计剪切对挠度的影响，现设
挠曲线方程为
图 8.4受均布荷重悬臂梁w(x) a(1 cos
x )(1) 2l
上式满足固定端条件
w(0) 0,dw
0 dx x 0
由初等理论知，梁的弯矩为
M (x)EI d 4 w EI () 2 a cos
x
dx 42l2l 梁的变形能为
U1M 2( x)dx1
l
2EI02EI l
2x2EI4
EI acos dx a 2(2) 04l22l64l3
对于本问题，应用瑞利 - 里兹法，位移函数表达式 (8.3-1) 仅保留第三式，又因所选位移函数式 (1) 满足边界条件，所以相应的线性方程组 (8.3-2) 也仅保留第三式。

在不计
体力的条件下，该式成为
U l cos x
)dx(3)
q(1
a02l
将式 (2) 代入式 (3)后，并求解可得
a ql 432 (1 2 )(4)
4EI
将式 (4) 代入式 (1) ，得梁的挠曲线表达式为
w( x)ql 432 (12
)(1cos
x
)(5)
4EI2l 最大挠度发生在 x l 处，即
w
max ql 432 (1 2 )0.1194 ql
4
4EI EI
这个结果与材料力学解解 w max ql 40.125 ql
4误差仅为 4.5%。

8EI EI 利用
M (x)EI d 2 w8ql 2(12
) cos x
dx 222l 可得
M max M
x 0
8ql 22
)0.2945ql
2
2(1
与精确解M X0ql 20.5ql 2相比，误差达 41%。

2
如果取挠曲线函数为
w( x) a 1 (1 cos x
)
a 2 (1 cos
3 x
)
2l
2l
此式也能满足前述边界条件。

U
EI
2
l
2
a 1 cos
x
3 2
cos
3
M (x)
EI
a 2
2l
2l
2l
2l
2
x 2
3 2
EI
3
3 cos
dx
2 2 2l
a 1 cos
a 2
2l
32l 2
a 1 27a 2
2l
2l
根据瑞利 - 里兹法
U
EI
3
l
x
a 1
q(1 cos )dx
a 1 32l 3
2l U
27EI
3
a 2
l
q(1 cos 3 x )dx
a 2
32l 3
2l
解以上联立方程，可得参数为
a 1
ql 4 32 (1
2
)，
a 2
ql 4
32 (1 2 )
4 EI
4
27 EI
3
故挠曲线为
w( x) 32ql 4 1
2
1 cos
x
1 1
2 1 cos
3 x
4
EI 2l
27
3 2l
则最大挠度和最大弯矩分别为
w(l ) max
0.129 ql 4
EI
M ( 0) max
0.318ql 2
由上式可见，无论挠度还是弯矩，其精度均有所提高，但弯矩提高不大明显。

如果将挠曲函数的项数增加，则随项数的增大，无论是挠度值还是应力值均会逐步接近精确值。

(2) 伽辽金法解
依据伽辽金法位移函数不仅要满足位移边界条件，而且还要满足静力边界条
件，因此设想取挠曲线函数为
w a( x 4 Ax 3 Bx 2 )
(6)
由梁固定端位移边界条件
(0) 0, dw
0 ，可知满足位移边界条件。

同时满足
w
dx x 0
静力力边界条件。

再由自由端的静力边界条件，w " (l )w '" (l ) 0 ，可解得
A4l ,B6l 2
因此，梁的挠曲线函数为
()(44362
x 2 )
(7)
w x a x lx l
由伽辽金方程 (8.3-5) 知，因在 x, y 方向无外载荷，又由初等理论知，第一、
二式自动满足，因此 (8.3-5) 式化为
zx Z w
k dV0
V x
即
l
( F S ) z
q w k dx0
0x
式中 F S z系梁中的剪力, w k( x 44lx 36l 2 x 2 ) 。

再由材料力学知EIw (3 )F S (x) ，所以上式化为
l
( 4)q)(x 44lx36l 2 x 2 ) dx 0(8)
( EIw
将式 (6) 代入式 (7) ，并积分后得
a
q 24EI
将它代入式 (6) ，最后得挠曲线表达式、是大挠度和最大弯矩分别为
w( x)q( x44lx 36l 2 x2 )
24 EI
w(l ) max ql 4 8EI
M (0) max EI d 2 w ql 2 dx 22
这个结果与材料力学结果完全相同。

8.4 虚应力原理和最小余能原理
虚位移原理是从位移变分出发可直接求出位移分量。

但在工程实际问题中，往往感兴趣的是直接得到表征结构强度的应力分量。

而位移变分法得到的位移分量，必须通过几何方程和本构方程求出烹形体内的应力分量，在计算过程中因需经多次微分往往会产生较大的误差。

为此，真接以应力分量为未知数求解变形体问题的应力法便具有重要的价值。

同时，对一些特殊的问题，例如，平面问题，柱体扭转等，可以引进应力而数，此时应力法更具有极大的方便。

4.1 虚应力原理
对于处于平衡状态的变形体应用变分原理时，取虚位移
u i ，即对位移分量进
行变分，这些位移的变分必须是几何上可能的。

为此，引入虚应力概念。

所谓虚
应力是满足平衡方程及指定的力边界料的、 任意的、微小的应力。

虚应力记为
ij ，
即对应力分量进行变分，这些应力的变分必须是静力上可能的，即经变分后，新的应力分量必须满足平衡方程和应力边界条件。

设 ij 为实际存在于变形体内的应力分量， 则它应该满足平衡方程， 应力边界
条件和应力协调条件。

现让这些应力分量发生静力许可的微小变化，得到新的应
力分量为
'
(a) ij
ij ij
它们必须满足平衡方程和应力边界条件，于是新的平衡方程为
(
(
x
x ) (
x
yx yx )
(
xy xy )
(
y
y
y )
(
xz
xz )
X
z
yz
yz )
(b)
Y
(
x zx zx )
(
z
y
zy
zy )
(
y
z
z z )
z
Z
式中 X ,Y, Z 为给定的体力， 设想没有改变。

将式 (B) 与发生应力变分前的平衡方程相减，得
( x )
( xy )
( xz )
x y
z
( yx )
(
y )
(
yz )
(8.4-1)
x y
z
(
zx )
(
zy )
(
z )
x
y
z
变形体的表面分为两帝分，即给定面力的部分表面 S 和给定位移部分的表面 S u 。

在表
面力没有给定的边界 S u 上，由于应力分量的变化， 表面力也发生相应的变化， 即 X , Y, Z 。

新的表面力变成
X
X,
Y Y, Z Z
因此，新的应力分量在此边界面上应满足边界条件，即
(
(
(
x
x )l (
yx
yx )l
( zx
zx
)l
(
xy
xy
)m
(
y
y )m (
zy
zy
)m (
xz
xz
)n
X X
yz yz
)n
Y
Y (c)
z
z )n Z
Z
将式 (c) 与原边界条件式相减，得
l
l
l
x
yx zx
m
m
m xy y zy
n
n
n xz yz z
X
Y
(8.4-2)
Z
此外，对于表面力已给定的边界 S 上，表面力不能变化，即
X
Y
Z
故应力变分在该边界上应满足的条件为
l x m xy n l yx m y n l
zx
m
zy
n
xz yz z
(8.4-3)
因此，为了使应力变分是静力许可的，它必须满足式 (8.4-1) 、 (8.4-2) 和式
(8.4-3) 。

于是，应力余能的变分，参照 (8.1-4)
式或 (8.2-2a) 可写为
U '
(
xxyyzzxy
xy
yzyz
zx
zx )dV
(d)
V
将几何方程代入上式，得
U '
V
[
u
x
x
(
u
v
)
xy
]dV (e)
y
x
将上式内各项进行分部积分并利用格林公式，得如同下列形式的三个关系式
(
u
x )dV
(u
x ) dV
u (
x )dV
V x
V x
V
x (f)
ul
x dS
V u ( x )dV
S
x
和如同下列形式的另外三个关系式
( v u xy dV
(vl
um) xy
dS
v
(
xy )
u
(
xy ) dV
(g)
)
V V
x
y
s
x
y
将式 (f) 、 (g) 代入式 (d) ，得
U '
[u(l
x
m
xy
n
xz )
v(l
yx
m
y
n
yz )
S
w(l
zx m
zy n
x )]dS
{ u [
( x
( xy )
( xz
)]
(g)
V
x
y
z
v[
( yx )
( y )
(
yz
)] w[
( zx )
y ( zy )
( z
)]} dV
x
y
x
z
由式 (8.4-1) 知，上式中对体积的积分项为零；并注意在已知表面力的边界 S 上，
应满足式 (8.4-3) ，而在已知位移的边界 S u 上，因 u
u, v v, w
w ，且在该边界
因虚应力产生的附加面力应满足式 (8.4-2) 。

因此，由式 (8.3-2) 可知，上式可简
化为
U '
( u X
v Y w Z dS
(f)
S u
)
该变分方程等式的右边部分表示表面外力的增量
X, Y,
Z 与实际位移
u,v, w 所作的功 , 同时注意式 (d) ，因而式 (f) 可写为
(
x x y y z z
xy xy yz yz
zx
zx )dV
V
(8.4-4)
(u X
v Y
w Z ) dS
S u
式(8.4-4) 表示虚应力原理，又称虚功原理，表述为： 当物体在已知体力和面力作用下处于平衡状态时，微小虚面力在实际位移所作的虚功，等于虚应力在真实应
变所产生的虚应变余能。

显然，式 (8.4-4) 成立的附加条件为式 (8.4-1) 和式
(8.4-3) 。

该两式可简写为
( ij ), j 0
(在V 内 ) F i
(在S 上)
由以上讨论可以看出，虚应力原理和虚位移原理在形式上是互补的。

和虚位
移原理一样，虚应力原理的成立也与材料的本构关系无关。

应当指出，在虚位移原理中包含了实际的外力和内力，因而可理解为虚位移
原理是对系统平衡的要求；而虚应力原理则包含有实际的位移和应变，所以可把
虚应力原理看作是对物体变形协调的要求。

实际上，由虚应力原理的变分方程
(8.4-4) 不难导出变形协调方程，这就是说式 (8.4-4) 等价于应变协调条件。

于是，
按式 (8.4-4) 解题时，对于所设解答，不必预先满足变形协调条件，只须使虚应力
ij 满足物体的平衡方程和应力边界条件。

4.2 最小余能原理
由虚应力原理可直接导出最小总余能原理。

为避免混乱，今后把用应变表示
的弹性应变能函数 U ( ij ) 称为应变能函数， 或应变能；而把用应力表示的应变余能函数称为余应变能函数，或余变余能 ( 或应力能 ) ，记为 U ' ( ij ) 。

如在虚应力原理
中引进广义虎克定律，并认为应变状态是有势的，应变分量可由余应变能函数导出，即
U 0' ( ij )
ij
ij
而
U 0'
ij
ij
于是由上式可知，总的应变余能的变分为
U '
U 0'( ij )dV
V ij
ij
dV
V
因此，式 (8.4-4) 可化为
U 0'(
ij )dV
(u X v Y
w Z )dS 0(8.4-5a)
V
S u
如果存在虚应力时，在边界
S u 上，位移分量应保持不变。

于是可将上式中的
变分符号置于积分号外，即
U 0'(
ij )dV
(u i F i )dS 0
(8.4-5b)
V
S u
其中 F i 是在已知位移边界由虚应力引起伪附加表面面力。

显然，在此情况下附加
条件为
ij ,
j
f i
在V 内 )
(
ij
n
j
F i
(8.4-6)
0 (在S 上)
如果令变形体的余能为
'
' ( ij )dV
u i F i dS
P
V U 0
S u
则有
'
P
上式说明，在所有满足平衡方程和应力边界条件的静力许可的应力场中，真实的应力场使余能取极值。

进一步还可证明
2
' P 0
因此， 最小余能原理 可表述为： 在所有满足平衡方程和应力边界条件的静力许可的应力场中，真实的应力场使余能取最小值 。