【全国百强校】江苏省南京师范大学附属中学、淮阴、天一、海门四校2016届高三联考数学试题解析(解析版)

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）
1.设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ，则实数a 的值为________． 【答案】1- 【解析】
试题分析：由}1{=B A 可知12=+a 或132=+a ，即1-=a ,所以答案应填：1-． 考点：集合的求交运算及元素与集合的关系．
2.设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z ________． 【答案】5
43i
z +=
考点：复数的乘、除法运算法则．
3.右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．
【答案】5 【解析】
试题分析：由流程图可以看出当5=k 时，042>-k k ，所以答案应填：5． 考点：算法流程图的识读及分析、判断能力．
4.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆．
【答案】1700
考点：频率分布直方图的识读及频率、频数之间的关系和运算求解能力． 5.将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8
π
个单位，得到函数)(x f y =的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则=ϕ_________． 【答案】
4
3π 【解析】
试题分析：由题设可知])8
(2sin[)(ϕπ
++=x x f ，
由题意0)0(=f ，即0)4
sin(=+ϕπ
，
注意到πϕ<<0所以43πϕ=
，所以答案应填：4
3π
． 考点：三角函数的图象和性质、简单三角方程的求解． 6.已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为21，乙胜的概率为3
1
，则甲胜的概率为________． 【答案】
1
6
【解析】
试题分析：由题设可知甲胜的概率为“乙不胜”，即“乙和与输”，由题意甲胜的概率为6
1
31211=--
=p ，
即甲胜的概率为
16，所以答案应填：16
． 考点：古典概型的计算和对立事件的概率公式的运用．
7.设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是_______． 【答案】[]0,1 【解析】
试题分析：由题设和偶函数的单调性可知1|12|≤-x ，解之得10≤≤x ，所以答案应填：[]0,1． 考点：偶函数的性质、函数单调性的定义及运用．
【易错点晴】本题主要考查的是函数单调性及运用，属于中档偏难题．解题时一定要注意等价转化．解题过程中巧妙地运用了偶函数的一个重要性质|)(|)()(x f x f x f ==-，从而避免了繁冗的分类讨论,简化了运算的过程．解本题的关键是如何去掉不等式)1()12(f x f ≤-中的函数符f ,从而进行等价转化获得答案． 8.在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数，则=10a ________． 【答案】512
考点：等比数列的通项公式和性质．
9.如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32，侧面积为2
38cm ，则它的体积为________．
A
B
C
D
P
【答案】4 【解析】
试题分析：设侧面三角形的高为h ，则38322
1
4=⨯⨯
h ，解之可得2=h ，故棱锥的高为
13222=-=H ，所以棱锥的体积为41)32(3
1
2=⨯⨯=V ，答案应填：4．
考点：正四棱锥的侧面面积和体积公式．
10.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心率
的取值范围为_________． 【答案】)2,1(
考点：1、点到直线的距离公式；2、圆与直线的位置关系；3、双曲线的渐近线、离心率．
11.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2
,log 2
,)21()(3
x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是________．
【答案】]2,1( 【解析】
试题分析：当2≤x 时，2)2
1
()(32=≥-x f ，即函数的值域为),2[+∞；当2>x 且1>a 时，2log )(a x f >，即函数的值域为),2(log +∞a ，由),2[),2(log +∞⊂+∞a ，所以22log ≥a ，解之得：21≤<a ；若2
>x 且10<<a 时，2log )(a x f <，与题设不符，所以实数的取值范围是21≤
<a ，即]2,1(，答案应填：
]2,1(．
考点：1、指数函数的单调性及应用；2、对数函数的单调性及应用；3、函数值域的内涵及分类整合的思想和意识．
【易错点晴】本题主要考查的是函数值域的理解，属于一道逆向型的问题，中档偏难题．解题时一定要注意对底数a 进行分类．解题过程中还运用了函数值域内涵中的一个重要性质),2[),2(log +∞⊂+∞a ，并以
此为基点建立不等式求出了参数a 的取值范围．解本题的关键是如何理解题设中“值域为),2[+∞”并能建立等价的不等式．
12.已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且2=+，||||=，则=⋅________． 【答案】12
考点：1、向量的几何形式的运算和数量积公式；2、圆的有关知识和解直角三角形． 13．已知y x ,为正实数，则
x
y
y x x ++22的最小值为________．
【答案】
2
3 【解析】 试题分析：由
x
y y x x ++22可得
2321221)21()21(122=-≥-+++=++x y x
y x y y x x ，当且仅当21
=x y ，即y x 2=时取等号，故
x
y y x x ++22的最小值为23，答案应填：23
．
考点：1、基本不等式的灵活运用；2、分式变形的运用和技巧．
14．设0))(3(2
≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为________． 【答案】{2,8}- 【解析】
试题分析：当0≥a 时，直线3+=ax y 单调递增且过定点)3,0(，而抛物线的开口向上，不等式
0))(3(2≤-+b x ax 在),0[+∞不恒成立,故0<a ,此时0≥b ,否则不合题设,所以欲使不等式0))(3(2≤-+b x ax 在),0[+∞恒成立（当且仅当b a
=-
3
,即92=b a 时才能满足）,注意到b a ,是整数,所以当9,1=-=b a 或1,3=-=b a 时，92=b a 成立，故8=+b a 或2-,答案应填：{2,8}-．
考点：1、一次函数、二次函数的图象和性质；2、不等式恒成立的转化与化归；3、分类整合的思想、推理证明的思想和意识．
【易错点晴】本题借助不等式恒成立考查的是分类整合的数学思想和函数的图象与性质，属于较难的问题．解题时一定要充分借助一次函数、二次函数的图象，并对参数b a ,进行合理的分类，从而将问题进行分析和转化．解题过程中还运用了题设中b a ,为整数这一条件，并以此为基点建立关于b a ,的等式求出了参数b a ,的值．解本题的关键是如何理解题设中“对任意),0[+∞∈x 不等式0))(3(2≤-+b x ax 恒成立”，并能建立与此等价的关于b a ,的等式．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222． （1）求B 的大小；
（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，,1,32==BD AD 求C cos 的值．
A
B
C
D
【答案】(1) 2
3
B π=
；
（2
所以2221cos 222
a c
b a
c B ac ac +-===-, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为()0,B π∈， 所以2
3
B π=
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
考点：1、余弦定理及运用；2、正弦定理及运用；3、两角和与差的正弦、余弦公式及运用．
【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理及两角和差的三角函数的运用，属于中档题．解答第3问时运用了三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和，从而借助两角差的余弦公式将问题进行分析和转化，从而使问题获解．解题过程中还运用二倍角公式及同角之间三角函数关系的等基础知识，体现了知识运用的综合性、灵活性． 16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且AD BC 2=，CD PB CD AD ⊥⊥,，点E 在棱PD 上， 且ED PE 2=．
（1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ； （2）求证://PB 平面AEC ．
P
C
B
D
A
E
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
考点：1、线面平行的判定；2、线面及面面垂直的判定． 17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率22=e ，且点)1,2(P 在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若点B A ,都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上． ①求直线AB 的斜率； ②求AOB ∆面积的最大值．
【答案】（1）22163x y +=；（2）①1k =-
（2）①法一、设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，直线AB 的斜率为k
则22
1122
22163
1
6
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴22221212063x x y y --+=， ∴
00
22063
x y k +=．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又直线1:,2OP y x M =在线段OP 上，所以001
2
y x =，
所以1k =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
法三、设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，直线AB 的方程为y kx m =+，
则2216
3y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，∴()222124260k x kmx m +++-=，
由题意，0∆> 所以122
412km
x x k
+=-+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∴()02212km
x i k =-
+ 又直线1:,2OP y x M =在线段OP 上，所以()001
2y x ii =，
M 在直线AB 上，∴()00y kx m iii =+
解()()()i ii iii 得：1k =-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②设直线AB 的方程为(),0,3y x m m =-+∈，
则2216
3y x m
x y =-+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，∴2234260x mx m -+-=，
考点：1、椭圆的定义及离心率等有关概念；2、直线与椭圆的位置关系；3、目标函数的最值及求解方法；
4、运算求解能力和分析问题解决问题的能力．
【易错点晴】本题主要考查的圆锥曲线中的代表椭圆的有关性质与知识，第（1）问中的问题借助题设建立方程组求出了基本量c b a ,,，体现了方程思想的运用；第（2）通过直线与椭圆的位置关系为平台，考查方程与函数思想和运算求解能力的运用，体现了有效考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，体现了知识运用的综合性、灵活性．
18．（本小题满分16分）
如图，B A ,是海岸线OM ，ON 的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上，测得
Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2，
km 5
107． （1）求水上旅游线AB 的长； （2）海中km PQ P 6(=，且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为 km t r 2
3 66=．若与此同时，一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ，试研究强水波是否波 及游轮的航行?
O M N
P
B A Q
【答案】
（1）；（2）强水波不会波及游轮的航行．
(2) 设试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，
由()0h t '=得13t =或53
t =（舍去）
∴()()()3
223max 116266812033h t h ⎛⎫⎛⎫⎡⎤==⨯--+-=-<⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦
⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ∴102
t ≤≤时，()0h t <，即r PC <恒成立， 亦即强水波不会波及游轮的航行．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
考点：1、直线的方程及应用；2、圆的方程及运用；3、运用数学知识分析解决生活实践中的实际问题；
4、建立目标函数的建模意识和运算求解能力、分析问题解决问题的能力．
【易错点晴】本题主要考查数学知识在日常生活与生产实践中的具体运用，通过建立平面直角坐标系，巧妙运用直线与圆的方程等数学模型，将生活实际中的问题转化为直线与圆等纯数学的问题，有效地检测了解答数学问题的应用思想和意识，体现了函数与方程思想在实际问题的运用，同时也考查学生综合运用所学知识分析解决实际生活中的问题的应用意识和能力．
19．（本小题满分16分）
设R b a ∈,，函数a x a e x f x
--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切 线方程为0)1(=+--b y x e ．
（1）求实数b a ,的值；
（2）求证:函数)(x f y =存在极小值；
（3）若),2
1[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--x m x x e x 成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）10a b =⎧⎨=⎩；（2）证明见解析；（3）121ln 2,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭
．
结合函数()f x '在()0,+∞是增函数有：
∴函数()f x 存在极小值()0f x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（3）1,2x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭
，使得不等式ln 0x
e m x x x --≤成立， 1,2x ⎡⎫⇔∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln x m e x x ≥-成立（*）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：1、导数法求曲线的切线方程；2、函数的单调性与极值的关系；3、存在型不等式成立的参数范围的求解方法；4、转化化归能力、运算求解能力和分析问题解决问题的能力．
【易错点晴】本题主要考查运用导数的有关知识在解决函数的相切、极值等问题中的具体运用，通过对函数的导数的研究，解决了函数中的直线与曲线相切的问题；利用导数值的的正负研究了函数的单调,第(2)问依据极值的定义，证明函数极值的存在性，有效地检测了推理论证的能力．第（3）问设置的存在型的不等式成立问题，求解时运用分类参数的方法将参数分离出来得到ln x m e x x ≥-，将问题转化为求函数x x e x h x ln )(-=的最小值问题，学生易犯的错误是求其最大值，有效地检测了运用导数解答数学问题的
应用思想和意识，体现了函数与方程思想灵活运用，同时也考查学生综合运用所学知识分析解决问题的意识和能力．
20．（本小题满分16分）
正项数列:*),4(,,,21N m m a a a m ∈≥ ，满足: *),(,,,,1321N k m k a a a a a k k ∈<- 是公差为d 的等 差数列， k k m m a a a a a ,,,,,111+- 是公比为2的等比数列．
（1）若8,21===k d a ，求数列m a a a ,,,21 的所有项的和m S ；
（2）若2016,21<==m d a ，求m 的最大值；
（3）是否存在正整数k ，满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在，求出k 的 值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）84；（2）1033；（3）存在4k =满足题设．
（2）()*1231,,,,,,k k a a a a a k m k N -<∈是首项为2，公差为2 的等差数列，
故*,,2n k m k N a n <∈=，从而2k a k =，
而111,,,,,m m k k a a a a a -+首项为2，公比为2的等比数列且22m k k a -+=，
故有222m k k -+=；即12m k k -+=,即k 必是2的整数幂．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
又122+=⋅m k k ，要m 最大，k 必需最大，2016k m <<，故k 的最大值为10
2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
所以1103410241021022222210+==⋅=⋅m ，即m 的最大值为1033．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：1、数列求和的定义及等差、等比数列的知识；2、数列最值的求解和推理论证的能力及运用；3、存在型问题的求解方法；4、转化化归的能力、运算求解的能力和分析问题解决问题的能力．
附加题部分
【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，已知圆上是弧AC =弧BD ，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ．
（1）求证：BCD ACE ∠=∠；
（2）求证：CD AE BD ⋅=2．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
考点：1、圆中的有关定理和运用；2、相似三角形的性质及应用．
B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ． 【答案】12332133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
．
【解析】
试题分析：运用矩阵的运算法则及特征向量的概念求解即可．
试题解析：解：由题意：11Ae e λ=，∴113211a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 1213,221a a A ⎡⎤⇒+=⇒=⇒=⎢⎥⎣⎦
， ∴30A =-≠，∴1121233332
1213
333A --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：1、矩阵及逆矩阵的概念及求解方法；2、矩阵的特征向量及有关概念和求解方法．
C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为 θθρsin 2cos 4+=．曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x -的取值范围．
【答案】1⎡-+⎣．
考点：1、极坐标方程与直角坐标的互化；2、圆的参数方程与直角坐标方程的运用；3、三角函数的最值及运用．
D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ．
（1）求实数b a ,的值；
（2）求bt at ++12的最大值．
【答案】（1）1,3=-=b a ；（2）4．
【解析】
考点：1、绝对值不等式的解法；2、柯西不等式的灵活运用．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：
抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不 放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．
（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率； （2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ 元。

求ξ的分布列和)(ξE 的值。

【答案】（1）
21
2；（2）40． 【解析】
试题分析：（1）运用古典概型的公式和组合数的计算公式即可求解；（2）先求出随机变量ξ的分步列，再运用数学期望的公式求解．
试题解析：解：（1）∵2000X =，∴该顾客有4次抽奖机会，得奖金70元，则有两种情形：抽得3红球，1黑球；抽得1红球，3白球．
∴该顾客获得奖金70元的概率3113424349221C C C C P C +== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）∵1200X =，∴该顾客有2次抽奖机会，
∴ξ的值可能为20，30，40，50，60，80，
()()11243422991120,3063C C C P P C C ξξ======，()()21134222991240,50129
C C C P P C C ξξ======， ()()11232222991160,30636
C C C P P C C ξξ======，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
∴()1112112030405060804063129636
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：1、排列数组合的计算公式；2、随机变量的分布列的计算与求解；3、数学期望的求解公式及运用．
23．（本小题满分10分）
设函数2
1)2ln(21)(+=
x x f ，数列}{n a 满足：*))((,111N
n a f a a n n ∈==+． （1）求证:2
1>x 时，x x f <)(； （2）求证:121≤<n a （*N n ∈）； （3）求证:8
3)(111<
⋅-+=+∑i n i i i a a a （*N n ∈）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
考点：1、函数及函数的求导运算； 2、数列与函数的关系及应用；3、数学归纳法及推理论证的能力．
：。