江西省宜春中学高中数学《2.5.1平面向量的数量积》教学案新人教版必修4

2.5.1 平面向量的数量积
一、课前自主导学
【学习目标】
1．理解平面向量数量积的概念；
2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π； 3．掌握两向量共线及垂直的充要条件； 4．掌握向量数量积的性质。

【重点、难点】向量数量积及其重要性质； 【温故而知新】 预习填空：
1．向量的夹角：
已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b =，则
AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角。

当0θ=时，a 与b 同向； 当180θ=时，a 与b 反向；
当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． 2．向量数量积的定义：
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．
说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其 夹角有关；
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数 量；实数与向量的积是一个向量； ③规定，零向量与任一向量的数量积是0． 3．数量积的几何意义： （1）投影的概念：
如图，OA a =，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．
||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是一负值；当90θ=时，它是0；当0θ=时，它是||b ；当180θ=时，它是||b - （2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。

（3）数量积的性质：
设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则①cos ||||
a b
a b θ⋅=
；
图（2）
A
b
θ
B b
1B O 1 1()B
②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =
⋅；③||||||a b a b ⋅≤；
④a b ⊥0a b ⇔⋅=；
⑤若e 是与b 方向相同的单位向量，则||cos e a a e a θ⋅=⋅= 平面向量数量积的运算律
1．交换律：a b b a
⋅=⋅
2．数乘结合律：b a ⋅）（λ =）（b a
⋅λ = ）（b a λ⋅
3．分配律：c b c a c b a
⋅+⋅=⋅+)（
说明：（1）一般地，）（（c b a c b a
⋅⋅≠⋅⋅) （2）b
a c c
b
c a =⇒≠⋅=⋅0，（3）有如下常用性质：2
2a a =，))d c b a +⋅+（（＝c a ⋅＋d a ⋅＋c b ⋅＋d b ⋅
2
222)(b b a a b a +⋅+=+
【我的困惑】
二、课堂互动探究
【例1】2.()1(,120,322
20
b a b a -==求的夹角为与 解：（1）5942
2
-=-=-=-
（27====
【例2】已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅． 解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120，
∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 122()362
=⨯⨯-⨯=-．
【例3】（1）已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a
+k b 与a -k b 互
A
B C
相垂直?
（2）已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b
|,求向量b 与a -b 的夹角.
解:（1）a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a
-k b )=0,
即2a -2k 2b =0.∵2a =9,2b =16,∴169-2
k =0.∴k =±4
3.
也就是说,当k =±4
3
时,a +k b 与a -k b 互相垂直.
（2）∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2
=(a +b )2
.∴|b |2
=|a |2
+2a ·b +|b |2
.
∴a ·b =-
2
1|b |2 b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |
2
(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(2
1-)|b |2+|b |2=3|b |2
∴|a -b |=3|b |.
∵cos〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --∙,得cos 〈b ,a -b 〉=-23
23|
|3||||2-
=∙b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］, ∴〈b ,a -b 〉=
6
5π
. 【例4】（1）设向量c =m a +n b (m,n ∈R),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c
=-4,且b 与c
的夹角为120°,求m,n 的值.
（2）已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a
+λb 的夹角为锐角,
求实数λ的取值范围.
解:（1）∵a ⊥c ,∴a ·c =0. 又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,
即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c . 由已知|c |2
=16,b ·c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b . ∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4, ∴|b |·4·(2
1-
)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2
-4a ·b ,
∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m. 再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2
.
∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12. 联立①②得2m 2=12,即m 2
=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4 （2）λ<
68511--或λ>6
85
11+- 【我的收获】
三、三、课后知能检测
1. 判断下列说法的正误，并说明理由.
(1) 在ABC ∆中，若0AB BC ⋅<，则ABC ∆是锐角三角形. （ 错 ） (2) 在ABC ∆中，若0AB BC ⋅>，则ABC ∆是钝角三角形. （ 对 ）
(3) ABC ∆为直角三角形，则必有0AB BC ⋅=. （ 错 ）
2. 在平面直角坐标系中，向量||4AB =，AB 与x 轴正方向的夹角为120，则AB 在x 轴、y 轴上的射影分别为 （ C ）
A. B. 2,-- C. -2,-3. 已知向量a b 、满足0a b ⋅=，||1,||2a b ==，则|2|a b -=（ B ）
A. 0
B. 4
D. 8
4. 设两个向量a 与b 的夹角为θ，a b ⨯为向量a 、b 的“外积”，其长度为
||||||sin a b a b θ⨯=，已知||1a =，||5b =，4a b ⋅=-，则||a b ⨯=（ C ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 已知向量a 、b 满足：||1a =，||2b =，||2a b -=，则||a b +=（ D ）
A. 1
6. 已知(1,1)a =，且a 与2a b +的方向相同，则a b ⋅取值范围是 (1,)-+∞ .
7. 已知||2||0a b =≠，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 夹 角的取值范围是 ,3ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
. 8. 已知||2a =，||1b =，a 与b 的夹角为60，则
2m a b =+与4n a b =-的夹角θ的余弦值为 . 9. 设两个向量1e ，2e 满足1||2e =，2||1e =，1e 与2e 夹角为60，若向量1227te e +与
12e te +的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是141(7,(,)2
--- 10. 设向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，()a b c -⊥，a b ⊥，若||1a =，求
222||||||a b c ++的值
【答案】4
11．已知1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，1232a e e =-， 1223b e e =- (1)求a b ⋅; (2)求a b +与a b -的夹角
【答案】 (1) 11
2
a b ⋅= (2) 2π。