高三数学名校试题分类汇编1月第二期E单元不等式含解析

E 单元 不等式
目录
E 单元 不等式 1
E1 不等式的概念与性质 1 E2 绝对值不等式的解法 4 E3 一元二次不等式的解法 4 E4 简单的一元高次不等式的解法 4 E5 简单的线性规划问题 4
E6 2a b
+≤
18
E7 不等式的证明方式 24 E8 不等式的综合应用 24 E9 单元综合 27
E1 不等式的概念与性质 【【名校精品解析系列】数学理卷·2021届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（202101）word 版】22．（本小题满分14分） 设数列
{}
n a 的前n 项和为
n S ，已知11,6,1321===a a a ，且
,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中,A B 为常数。

（1）证明：数列
{}n a 为等差数列；
（2）证明：不等式
1
5>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立。

【知识点】等差数列的概念与求和公式、不等式 D2 E1 【答案】（1）略；（2）略.
解：由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S
由
B
An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知
⎩⎨
⎧+=-+=--B
A S S
B A S S 2122732312，即⎩
⎨
⎧-+-=+48228B A B A 解得8,20-=-=B A . （4分） （1）
8
20)25()85(1--=+--+n S n S n n n ①
所以
28
20)75()35(12--=+--++n S n S n n n ②
②-①得 20
)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20
)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④
④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n
因为
n
n n S S a -=++11
所以
)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n
因为 0)25(≠+n 所以 0
2123=+-+++n n n a a a
所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n
又 5
1223=-=-a a a a
所以数列
}
{n a 为等差数列 （5分）
（2） 由（1）可知，4
5)1(51-=-+=n n a n ，
要证 1
5>-n m mn a a a
只要证 n
m n m mn a a a a a 215++>，
因为
4
5-=mn a mn ，
16
)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，
故只要证 >-)45(5mn n
m a a n m mn 216)(20251+++-+，
即只要证
n
m a a n m 2372020>-+，因为
37
2020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m
所以命题得证 （5分）
【思路点拨】按照已知求得
123
,S ,S S 的值，结合
,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n 可求得
8,20-=-=B A ，即
8
20)25()85(1--=+--+n S n S n n n ，然后利用等差中项，证明数列{an}为等差数列；要
证
1
5>-n m mn a a a 移项平方可得
n
m n m mn a a a a a 215++>，即16
)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m
，利用不等式
m n
a a ≤+证得.
【【名校精品解析系列】数学理卷·2021届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）
（202112）word 版】(7)设
331
sin(810),tan(
),lg 85a b c π=-==，则它们的大小关系为
(A)a<b<c (B)a<c<b (C)b<c<a (D)c<a<b
【知识点】数值大小的比力. E1
【答案】【解析】B 解析：∵
()1
1,0,lg 1,085a b tan
c π
=-=>=∈-，∴a<c<b,故选B.
【思路点拨】先求出各数值或确定其大致范围，从而获得它们的大小按次.
【【名校精品解析系列】数学文卷·2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试
（202101）】9．定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为()x f '，满足
()()x f x f '
>，且(),10=f 则不等式()1
<x
e x
f 的解集为（ )
A. ()0,∞-
B. ()+∞,0
C.()2,∞-
D.()+∞,2 【知识点】导数的运算；其他不等式的解法．B11 E1
【答案】【解析】B 解析：设
x f x
g x
e ， 则
2
x
x
x
x
f
x e f x e f
x f x
g x
e e ， ∵
()()x f x f '
>，∴0
g x ，即函数
g x
单调递减．
∵(),10=f ∴
01,
f g f e ，
则不等式()1<x
e x
f 等价为00
x f x f e
e ，即0
g x
g ，
∵函数
g x
单调递增．∴0x ，
∴不等式()1<x
e x
f 的解集为()+∞,0，故选：B ．
【思路点拨】按照条件构造函数
x f x
g x
e ，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．
E2 绝对值不等式的解法 【【名校精品解析系列】数学理卷·2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（202101）】12. 已知不等式a x x >-++|2||1|的解集为R ，则实数a 的取值范围是 。

【知识点】绝对值不等式的解法．E2
【答案】【解析】3a 解析：令f （x ）=|x ﹣2|+|x+1|， 则f （x ）=|x ﹣2|+|x+1|≥|（x ﹣2）﹣（x+1））|=3， ∴f （x ）min=3．
∵|x ﹣2|+|x+1|＞a 的解集为R ⇔a ＜f （x ）min 恒成立， ∴a ＜3，即实数a 的取值范围是3a ． 故答案为：3a ．
【思路点拨】令f （x ）=|x ﹣2|+|x+1|，可求得f （x ）min=3，依题意，a ＜f （x ）min ，从而可得实数a 的取值范围．
E3 一元二次不等式的解法
E4 简单的一元高次不等式的解法
E5 简单的线性规划问题
【数学理卷·2021届湖北省部分高中高三元月调考（202101）】7．已知函数若x ，y 满足约
束条件1,
1,22,x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
方针函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是
( ) A.
(4,2)-
B.
(4,1)- C.(,4)
(2,)-∞-+∞ D.(,4)(1,)-∞-+∞
【知识点】简单的线性规划问题E5
【答案】A
【解析】可行域为△ABC ，如图，
当a=0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax+2y-z=0的斜率k=-2a
＞kAC=-1，a ＜2． 当a ＜0时，k=- 2a
＜kAB=2a ＞-4。

综合得-4＜a ＜2。

【思路点拨】先按照约束条件画出可行域，设z=ax+2y ，再利用z 的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y 过可行域内的点（1，
0）处取得最小值，从而获得a 的取值范围即可．
【数学理卷·2021届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考（202112）word 版】8.已知变
量,x y 满足
20
3250,120
x y x y x y x y --≤⎧+⎪
+-≥⎨
+⎪-≤⎩
则u=的值范围是 （ ）
514.,25A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11.,25B ⎡⎤--⎢⎥
⎣⎦ 15.,22C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 514.,25D ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【知识点】线性规划 E5 【答案】【解析】Ａ解析：画出约束条件所暗示的平面区域可知，该区域是由点
所围成的三角形区域（包孕边界），
，记点，得，，
所以的取值范围是.故选择Ａ.
【思路点拨】画出约束条件所暗示的平面区域可知为三角形，方针函数可化为：
3
31y u x -=
++，暗示为可行域的点与点
()1,3-连线的斜率的范围加3求得.
【数学理卷·2021届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考（202112）word 版】8.已知变
量,x y 满足20
32
50,120
x y x y x y x y --≤⎧+⎪
+-≥⎨+⎪-≤⎩则u=
的值范围是 （ ）
514.,25A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11.,25B ⎡⎤--⎢⎥
⎣⎦ 15.,22C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 514.,25D ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【知识点】线性规划 E5 【答案】【解析】Ａ解析：画出约束条件所暗示的平面区域可知，该区域是由点
所围成的三角形区域（包孕边界），
，记点，得，，
所以的取值范围是.故选择Ａ.
【思路点拨】画出约束条件所暗示的平面区域可知为三角形，方针函数可化为：
3
31y u x -=
++，暗示为可行域的点与点
()1,3-连线的斜率的范围加3求得.
【数学文卷·2021届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考（202112）】8.已知变量,x y 满
足
20
3
250,
1
20
x y
x y
x y
x
y
--≤
⎧
+
⎪
+-≥
⎨
+
⎪-≤
⎩
则u=
的值范围是（）
514
.,
25
A
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
11
.,
25
B
⎡⎤
--
⎢⎥
⎣⎦
15
.,
22
C
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
514
.,
25
D
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
【知识点】线性规划E5
【答案】【解析】Ａ解析：画出约束条件所暗示的平面区域可知，该区域是由点
所围成的三角形区域（包孕边界），
，记点，得，，所以的取值范围是.故选择Ａ.
【思路点拨】画出约束条件所暗示的平面区域可知为三角形，方针函数可化为：
3
3
1
y
u
x
-
=+
+，暗示为可行域的点与点
()
1,3
-
连线的斜率的范围加3求得.
【【名校精品解析系列】数学（理）卷·2021届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（202101）】15．设点
(,)
P x y满足条件
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
≤
≥
≤
2
2
x
y
y
x
，点
(,)(0,0)
Q a b a b
≤≥满足1
≤
⋅OQ恒成立，其中O是坐标原点，则Q点的轨迹所围成图形的面积是．【知识点】简单线性规划的应用．E5
【答案】【解析】
1
2解析：∵1
≤
⋅OQ
OP，∴1
ax by
+≤，
∵作出点P（x，y）满足条件⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
≤
≥
≤
2
2
x
y
y
x
的区域，如图，
1
≤
⋅OQ
OP即1
ax by
+≤，
且点Q（a，b）满足
1
≤
⋅OQ
OP恒成立，
只须点P（x，y）在可行域内的角点处：A（1，0），B（0，2），
1
ax by
+≤成立即可，
∴
1
21
0,0
a
b
a b
-≤
⎧
⎪
≤
⎨
⎪≤≥
⎩，即
1
1
2
0,0
a
b
a b
≥-
⎧
⎪⎪
≤
⎨
⎪
≤≥
⎪⎩
，
它暗示一个长为1宽为1
2的矩形，其面积为：
1
2，故答案为
1
2．
【思路点拨】由已知中在平面直角坐标系中，点P（x，y），则满足
1
≤
⋅的点Q的
坐标满足
1
21
0,0
a
b
a b
-≤
⎧
⎪
≤
⎨
⎪≤≥
⎩，画出满足条件的图形，即可获得点Q的轨迹围成的图形的面积．
【【名校精品解析系列】数学（理）卷·2021届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试
（202101）】13.顶点在原点，经过圆
222220
C x y x
+-+=
：的圆心且准线与x轴垂直
的抛物线方程为. 【知识点】抛物线圆H3 H7
【答案】【解析】
22 y x
=
解析：因为圆的圆心坐标为(1,2
，设抛物线方程为
2
y ax
=，将圆心坐标代入得a=2，
所以所求抛物线的方程为
22
y x
=.
【思路点拨】求抛物线的标准方程时可利用待定系数法先设出方程，再利用条件求待定的系数即可.
14.设,x y满足约束条件：
,0
1
3
x y
x y
x y
≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪+≤
⎩；则2
z x y
=-的取值范围。

【知识点】简单的线性规划E5
【答案】【解析】[-3,3]
解析：作出不等式组暗示的平面区域如图，当动直线z=x-2y分别经过A,B两点时方针函数取得最大值与最小值，又A坐标为(3,0)，B坐标为(1,2)，分别代入方针函数得z=3和z=-3,
所以
2
z x y
=-的取值范围是[-3,3].
.
【思路点拨】由线性约束条件求方针函数的最值或值域问题，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可解答.
【【名校精品解析系列】数学（理）卷·2021届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试
（202101）】13.顶点在原点，经过圆
222220
C x y x
+-+=
：的圆心且准线与x轴垂直
的抛物线方程为. 【知识点】抛物线圆H3 H7
【答案】【解析】
22 y x
=
解析：因为圆的圆心坐标为(1,2
，设抛物线方程为
2
y ax
=，将圆心坐标代入得a=2，
所以所求抛物线的方程为
22
y x
=.
【思路点拨】求抛物线的标准方程时可利用待定系数法先设出方程，再利用条件求待定的系
数即可.
14.设,x y满足约束条件：
,0
1
3
x y
x y
x y
≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪+≤
⎩；则2
z x y
=-的取值范围。

【知识点】简单的线性规划E5
【答案】【解析】[-3,3]
解析：作出不等式组暗示的平面区域如图，当动直线z=x-2y分别经过A,B两点时方针函数取得最大值与最小值，又A坐标为(3,0)，B坐标为(1,2)，分别代入方针函数得z=3和z=-3,
所以
2
z x y
=-的取值范围是[-3,3].
.
【思路点拨】由线性约束条件求方针函数的最值或值域问题，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可解答.
【【名校精品解析系列】数学（理）卷·2021届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试
（202101）】13.顶点在原点，经过圆
222220
C x y x
+-+=
：的圆心且准线与x轴垂直
的抛物线方程为. 【知识点】抛物线圆H3 H7
【答案】【解析】
22 y x
=
解析：因为圆的圆心坐标为(1,2
，设抛物线方程为
2
y ax
=，将圆心坐标代入得a=2，
所以所求抛物线的方程为
22
y x
=.
【思路点拨】求抛物线的标准方程时可利用待定系数法先设出方程，再利用条件求待定的系数即可.
14.设,x y 满足约束条件：
,013x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
；则2z x y =-的取值范围 。

【知识点】简单的线性规划E5 【答案】【解析】[-3,3] 解析：作出不等式组暗示的平面区域如图，当动直线z=x-2y 分别经过A,B 两点时方针函数取得最大值与最小值，又A 坐标为(3,0)，B 坐标为(1,2)，分别代入方针函数得z=3和z=-3,所以2z x y =-的取值范围是[-3,3].
.
【思路点拨】由线性约束条件求方针函数的最值或值域问题，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可解答. 【【名校精品解析系列】数学（文）卷·2021届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联
考（202101）】10．设y x ,满足约束条件
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0020
63y x y x y x ，若方针函数)
0.0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则
b a 2
3+的最小值为 A ．625 B ．38 C ．311
D ．4
【知识点】基本不等式；简单线性规划的应用．E5 E6 【答案】【解析】D 解析：不等式暗示的平面区域如图所示暗影部分，
当直线)0.0(>>+=b a by ax z
过直线x ﹣y+2=0与直线3x ﹣y ﹣6=0的交点（4，6）时， 方针函数)0.0(>>+=b a by ax z 取得最大12， ∴4a 6b 12
2a 3b 6．
∴32
3223166126
6a b
b a a b
a b
a b
2
22
4
b a b a a b
a b
．
即32
a b 的最小值为4．故答案为：4．
【思路点拨】可以作出不等式的平面区域，按照方针函数)0.0(>>+=b a by ax z 的最大值为12获得2a+3b=6，再用乘积进而用基本不等式解答． 【【名校精品解析系列】数学（文）卷·2021届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联
考（202101）】10．设y x ,满足约束条件
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0020
63y x y x y x ，若方针函数)
0.0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则b a 2
3+
的最小值为
A ．625
B ．38
C ．311
D ．4
【知识点】基本不等式；简单线性规划的应用．E5 E6
【答案】【解析】D 解析：不等式暗示的平面区域如图所示暗影部分，
当直线
)0
.0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z
过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，
方针函数
)0
.0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z取得最大12，
∴4a6b122a3b 6．
∴323223166
12
66
a b b a
a b a b a b
2224
b a b a
a b a b．
即32
a b的最小值为4．故答案为：4．
【思路点拨】可以作出不等式的平面区域，按照方针函数
)0
.0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z的最大值
为12获得2a+3b=6，再用乘积进而用基本不等式解答．
【【名校精品解析系列】数学（文）卷·2021届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试
（202101）】4.若实数x，y满足线性约束条件
3
1
2
2
x y
x y x
+≤
⎧
⎪
⎨
≤≤
⎪⎩
，则z=2x y
+的最大值为（）
A. 0
B. 4
C. 5
D. 7 【知识点】简单的线性规划E5 【答案】【解析】C
解析：作出约束条件
3
1
2
2
x y
x y x
+≤
⎧
⎪
⎨
≤≤
⎪⎩
对应的可行域，（如图暗影），变形方针函数可得
y=－2x+z，经平移直线可知，当斜率为-2的直线（红色虚线）经过点A（2，1）时，方针函数取最大值z=2×2+1=5，所以选C
.
【思路点拨】可先作出线性约束条件对应的可行域，再结合方针函数的几何意义数形结合解答.
【【名校精品解析系列】数学（文）卷·2021届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试
（202101）】4.若实数x，y满足线性约束条件
3
1
2
2
x y
x y x
+≤
⎧
⎪
⎨
≤≤
⎪⎩
，则z=2x y
+的最大值为（）
A. 0
B. 4
C. 5
D. 7 【知识点】简单的线性规划E5 【答案】【解析】C
解析：作出约束条件
3
1
2
2
x y
x y x
+≤
⎧
⎪
⎨
≤≤
⎪⎩
对应的可行域，（如图暗影），变形方针函数可得
y=－2x+z，经平移直线可知，当斜率为-2的直线（红色虚线）经过点A（2，1）时，方针函数取最大值z=2×2+1=5，所以选C
.
【思路点拨】可先作出线性约束条件对应的可行域，再结合方针函数的几何意义数形结合解答.
【【名校精品解析系列】数学理卷·2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试
（202101）】5. 已知点
(,)
P x y在不等式组
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
-
+
≤
-
≤
-
2
2
1
2
y
x
y
x
暗示的平面区域上运动，则
z x y
=-的取值范围是（）
A.[]
2,1
--
B.
[]
2,1
-
C.
[]
1,2
-
D.
[]
1,2
【知识点】简单线性规划．E5
【答案】【解析】C 解析：作出不等式组⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
-
+
≤
-
≤
-
2
2
1
2
y
x
y
x
暗示的平面区域，
获得如图的△ABC及其内部，
其中A（2，0），B（2，1），C（0，1）
设
z x y，将直线l：z x y进行平移，
观察x轴上的截距变化，当l经过点C时，z达到最小值；l经过点A时，z达到最大值
∴z最小值=F（0，1）=﹣1，z最大值=F（2，0）=2,即
z x y的取值范围是1,2,故选：C.
【思路点拨】作出题中不等式组暗示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将方针函数
z x y对应的直线进行平移，观察x轴上的截距变化，得出方针函数的最大、最小值，即可获得
z x y的取值范围．
【【名校精品解析系列】数学理卷·2021届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性
测试（202101）word版】6．设,x y满足约束条件
4312
x
y x
x y
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+≤
⎩，则
23
1
x y
x
++
+取值范围是（▲ ）。

A．
[1,5]B．[2,6]C．[3,10]D．[3,11]
【知识点】线性规划E5
【答案】D【解析】解析：按照约束条件画出可行域，
∵方针函数为
()
21
23
1
11
y
x y
x x
+
++
=+
++，令
1
1
y
k
x
+
=
+，即为可行域的点到点
()
1,1
--
的斜率的范围问题，由图像可知：当直线l过
()
0,4
A
时，k最大，此时方针函数最大为11，当直线l过
()
0,0
B
时，k最小，此时方针函数最小为3．故选择D.
【思路点拨】再按照约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出当直线l过()
0,4
A
时，k最大，此时方针函数最大为11，当直线l过
()
0,0
B
时，k最小，此时方针函数最小为3．
【【名校精品解析系列】数学文卷·2021届湖北省部分高中高三元月调考（202101）】4．若y
x,满足约束条件
02
02
32
x
y
x y
≤≤
⎧
⎪
≤≤
⎨
⎪≤-
⎩，则2
z x y
=-的最小值为（）
A．2 B．4 C．2
-D．4
-
【知识点】简单的线性规划问题E5
【答案】C
【解析】由
02
02
32
x
y
x y
≤≤
⎧
⎪
≤≤
⎨
⎪≤-
⎩可行域知，2
z x y
=-在（0,2）处取得最小值，z=2⨯0-2=-2.
【思路点拨】按照可行域及方针函数的单调性确定在（0,2）处取得最小值求出。

【【名校精品解析系列】数学文卷·2021届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性
测试（202101）word版】15．若实数x、y满足
20,
,
,
x y
y x
y x b
-≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥-+
⎩且2
z x y的最小值为3，
则实数b的值为▲。

【知识点】线性规划E5
【答案】
9
4【解析】解析：由题得：b＞0，
20,
,
,
x y
y x
y x b
-≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥-+
⎩对应的可行域如图：
3
202
3
b
x
y x b
x y b
y
-+
⇒
⎧
⎪
⎧⎪
⎨⎨
⎩⎪
⎪
-
⎩
＝
＝
＝
＝
，3
3
2b
B
b
∴（，）
由图得，当方针函数过B时，z=2x+y有最小值，所以
2
23
33
b b
⨯+=
，解得
9
4
b=
故答案为
9
4.
【思路点拨】画出满足条件的可行域，按照方针函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后按照分析列出一个含参数b的方程组，消参后即可获得b的取值．
E6
2a b +≤
【数学理卷·2021届湖北省部分高中高三元月调考（202101）】13.设正数c b a ,,满足
c b a c b a ++≤++36941，则=
+++c b a c b 32 .
2a b +≤
E6
【答案】13
6
【解析】：∵正数a ，b ，c 满足c b a c b a ++≤
++36941，
∴
（
a+b+c
）
(1a +4b +9c )=14+b a +c a +4a b +4c b +9a c +9b
c 14≥+
≥36 当且仅当2c=3b=6a 时取等号．∴23b c a b c +++=13
6．
【思路点拨】由于正数a ，b ，c 满足c b a c b a ++≤
++36941，
可得（a+b+c ）(1a +4b +9c )=14+b a +c a +4a b +4c b +9a c +9b
c ，再利用基本不等式的性质即可
得出． 【【名校精品解析系列】数学（理）卷·2021届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（202101）】9．函数
1)3(log -+=x y a )
1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在
直线02=++ny mx 上，其中0,0m n >>，则21
m n +
的最小值为( )
A
． B ．4 C ．52 D ．92
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用．E6
【答案】【解析】D 解析：∵x=﹣2时，y=loga1﹣1=﹣1，
∴函数
1
)3
(
log-
+
=x
y
a
)1
,0
(≠
>a
a且的图象恒过定点A（﹣2，﹣1），
∵点A在直线mx+ny+2=0上，∴﹣2m﹣n+2=0，即2m+n=2，∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，
() 2112
11229
=25
222
n m
m n
m n m n m n
⎛⎫⎛⎫
+++=++≥
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭．故选D．
【思路点拨】按照对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．
【【名校精品解析系列】数学（文）卷·2021届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（202101）】10．设
y
x,满足约束条件
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≥
≥
+
-
≤
-
-
,0
2
6
3
y
x
y
x
y
x
，若方针函数
)0
.0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z
的最大值为12，则b
a
2
3
+
的最小值为
A．6
25
B．3
8
C．3
11
D．4
【知识点】基本不等式；简单线性规划的应用．E5 E6
【答案】【解析】D 解析：不等式暗示的平面区域如图所示暗影部分，
当直线
)0
.0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z
过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，
方针函数
)0
.0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z取得最大12，
∴4a6b122a3b 6．
∴323223166
12
66
a b b a a
b a b a b
2224
b a b a
a b a b．
即
32
a b的最小值为4．故答案为：4．
【思路点拨】可以作出不等式的平面区域，按照方针函数
)0
.0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z的最大值为12获得2a+3b=6，再用乘积进而用基本不等式解答．
【【名校精品解析系列】数学（文）卷·2021届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（202101）】10．设
y
x,满足约束条件
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≥
≥
+
-
≤
-
-
,0
2
6
3
y
x
y
x
y
x
，若方针函数
)0
.0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z
的最大值为12，则b
a
2
3
+
的最小值为
A．6
25
B．3
8
C．3
11
D．4
【知识点】基本不等式；简单线性规划的应用．E5 E6
【答案】【解析】D 解析：不等式暗示的平面区域如图所示暗影部分，
当直线
)0
.0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z
过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，
方针函数
)0
.0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z取得最大12，
∴4a 6b 122a 3b 6．
∴32
3223166126
6a b
b a a b
a b
a b
2
22
4
b a b a a b
a b
．
即32
a b 的最小值为4．故答案为：4．
【思路点拨】可以作出不等式的平面区域，按照方针函数)0.0(>>+=b a by ax z 的最大值为12获得2a+3b=6，再用乘积进而用基本不等式解答． 【【名校精品解析系列】数学理卷·2021届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性
测试（202101）word 版】8．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的摆布焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的任意一点，若2
12||||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是
（ ▲ ）。

A ．()1+∞，
B ．
(]1,2 C ．( D ．
(]1,3
【知识点】双曲线的性质 基本不等式 H6 E6
【答案】D 【解析】解析：因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以
12
2PF
a PF =+，所
以
212||||
PF PF 2224448a PF a a a
PF =++≥=，当且仅当
212,4PF a PF a
==，可得242a a c +≥解得3e ≤，又因为双曲线离心率大于1，故选择
D.
【思路点拨】因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以12
2PF a
PF =+，所以
212||||
PF PF 2224448a PF a a a
PF =++≥=，解得
212,4PF a PF a
==，再
利用
1122
PF F F PF 、、之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围.
【【名校精品解析系列】数学理卷·2021届四川省石室中学高三一诊模拟（202112）word 版】13．函数
()
110,1x y a a a ->+=≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线
()100mx ny mn +-=>上，则11m n +的最上值为__________.
【知识点】指数函数 基本不等式B6 E6 【答案】
【解析】3+
解析：因为点A 坐标为(1,2)，则有m+2n=1，由mn ＞0知m ＞0,n ＞0，所以
(
)11112233n m
m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭.
【思路点拨】可利用1的代换，把所求的式子转化成基本不等式特征，利用基本不等式求最值. 【【名校精品解析系列】数学理卷·2021届四川省石室中学高三一诊模拟（202112）word 版】13．函数
()
110,1x y a a a ->+=≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线
()100mx ny mn +-=>上，则11
m n +的最上值为__________.
【知识点】指数函数 基本不等式B6 E6 【答案】
【解析】3+
解析：因为点A 坐标为(1,2)，则有m+2n=1，由mn ＞0知m ＞0,n ＞0，所以
(
)11112233n m
m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭.
【思路点拨】可利用1的代换，把所求的式子转化成基本不等式特征，利用基本不等式求最值. 【【名校精品解析系列】数学理卷·2021届四川省石室中学高三一诊模拟（202112）word 版】13．函数
()
110,1x y a a a ->+=≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线
()100mx ny mn +-=>上，则
11
m n +的最上值为__________. 【知识点】指数函数 基本不等式B6 E6 【答案】
【解析】3+
解析：因为点A 坐标为(1,2)，则有m+2n=1，由mn ＞0知m ＞0,n ＞0，所以
(
)11112233n m
m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭.
【思路点拨】可利用1的代换，把所求的式子转化成基本不等式特征，利用基本不等式求最值. 【【名校精品解析系列】数学文卷·2021届重庆一中高三12月月考（202112）word 版】14.已知0>b ，直线2
(1)20b x ay +-+=与直线2
10x b y +-=互相垂直，则
的最小值
为__________．
【知识点】两直线位置关系 基本不等式H2 E6 【答案】【解析】2
解析：由两直线互相垂直可得斜率之积为-1，所以，因为b 所以=b+，即最小为2，故答案为2.
【思路点拨】由直线垂直可转换成代数关系，再运用基本不等式可解出答案. 【【名校精品解析系列】数学文卷·2021届湖北省部分高中高三元月调考（202101）】12．已知1x >，则函数
4
221y x x =+
-的最小值为 .
2a b ab +≤
E6
【答案】5
【解析】y=2x+2+ 121x -,y =(2x -1 )+ 1
21x -+ 3≥2+3=5，当且仅当 (2x -1 ) = 1
21x -时，等号成立，
【思路点拨】y=2x+2+121x -y =(2x -1 )+ 1
21x -+3，利用基本不等式求得其最小值．
【【名校精品解析系列】数学文卷·2021届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性
测试（202101）word 版】17．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的摆布焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的任意一点，若
2
12||||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ 。

【知识点】双曲线的性质 基本不等式 H6 E6
【答案】
(]1,3【解析】解析：因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以1
2
2PF a PF =+，
所以212||||
PF
PF 2224448a PF a a a
PF =++≥=，当且仅当
212,4PF a PF a
==，可得242a a c +≥解得3e ≤，又因为双曲线离心率大于1，故答案
为
(]1,3.
【思路点拨】因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以12
2PF a PF =+，所以
212||||PF
PF 2224448a PF a a a
PF =++≥=，解得212,4PF a PF a ==，再
利用
1122
PF F F PF 、、之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围.
【【名校精品解析系列】数学文卷·2021届四川省石室中学高三一诊模拟（202112）word
版】13．若0+2=1m n m n >，，且，则11
m n +
的最小值为________.
【知识点】基本不等式E6 【答案】
【解析】3+ 解
析
：
因
为
0+2=1
m n m n >，，且，所以
(
)11112233n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭.
【思路点拨】可利用1的代换，把所求的式子转化成基本不等式特征，利用基本不等式求最值.
E7 不等式的证明方式
E8 不等式的综合应用 【【名校精品解析系列】数学理卷·2021届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（202112）word 版】（22)（本小题满分12分）
设函数
(),ln bx
f x ax e x =
-为自然对数的底数
(1)若函数f(x)的图象在点 22(,())e f e 处的切线方程为
2
340x y e +-=，求实数a ，b
的值；
(2)当b=l 时，若存在
212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦
，使
12()'()f x f x a ≤+成立，求实数a 的最小值
【知识点】导数的几何意义；导数的应用；不等式的有关知识. B11 B12 E8
【答案】【解析】(1)a=1,b=1；(2) 2
1124e - .
解析：（1）由已知得x>0，x ≠1，
()
2
(ln 1)
()ln b x f x a
x -'=
-.
则
()222
2
22be e f e ae =-=-且()2344b f e a '=-=-
，解之得a=1,b=1. （2）当b=1时，
()
2
ln 1
()ln x f x a x -'=
-=22
11111ln ln ln 24a a
x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以当211ln 2x e x =⇒=时，()max 1
4f x a
'=-.
而命题“若存在 2
12,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦
，使
12()'()f x f x a ≤+成立”等价于
“当
2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦
时，有
()()min max f x f x a
'≤+”
又当
2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，
()max 14f x a '=
-，所以
()max 14f x a '+=. 问题等价于：“当
2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()min 1
4f x ≤
”
当14a ≥时，()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，则()()222
min 124e f x f e ae ==-≤， 故
2
11
24a e ≤
-.
当14a <时，由于()2
111ln 24f x a x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭在2,e e ⎡⎤⎣
⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）当00a a -≥⇒≤时，
()0
f x '≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2
,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，
于是
()()min 1
4f x f e e ae ==->
，不合题意.
(Ⅱ)当0a -<即
1
04a <<
时，由()f x '的单调性和值域知，存在独一
()2
0,x e e ∈使 ()0f x '=，且满足：当
()
0,x e x ∈时，
()0
f x '<，f(x)为减函数；当
()
20,x x e ∈时，
()0
f x '>，f(x)为增函数；所以
()()000min 01
ln 4x f x f x ax x ==
-≤，()2
0,x e e ∈.
所以
2
001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥
->->-=，与104a <<矛盾.
综上得a 的最小值为2
11
24e -.
【思路点拨】（1）由点 22(,())e f e 在切线方程为 2
340x y e +-=及()23
44b f e a '=
-=-
得a,b 的值；（2）命题“若存在 2
12,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦
，使
12()'()f x f x a ≤+成立”等价于
“当
2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦
时，有
()()min max f x f x a
'≤+”，这样把问题转化为最值问题，然后利用
函数最值，以及导数，确定涉及到的函数的最值，进而求得实数a 的最小值. 【典例分解】本题第二小问题是具有代表性的问题，由于12
,x x 的取值彼此之间没有影响，
所以命题“若存在
2
12,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦
，使
12()'()f x f x a ≤+成立”等价于
“存在2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()()max f x f x a '≤+”，又当
2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，()max 1
4f x a '=
-，
所以
()max 14f x a '+=
. 所以问题等价于：“存在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()1
4f x ≤”，所以只需
使
()min 1
4f x ≤
即可.
【【名校精品解析系列】数学文卷·2021届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（202101）word 版】10．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC ，AD kAC =（k 为常数，且10<<k ），l BD =为定长，则ABC ∆的面积最大值为（ ▲ ）
A ．22
1k l - B ．21k l
- C ．
)1(222k l - D ．)1(22k l -
【知识点】不等式 E8 【答案】C 【解析】解析：：如图所示，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系，
设
(),,0
A x y y > ，
AB AC =，AD kAC kAB
∴==，即222AD k AB =，
222
22x l y k x y ∴-+=+（）（），
整
理
得
：
()()222
222
2
2
2
2
2221221111k x lx l l l k l y x x k k k k --+-=
=-+-≤
----，即
max 21kl
y k =
-，
BD l =，∴
()
()
()
2
max
max
21
21ABC ABD l S
S k
k ==
-.故答案为
)1(22
2
k l -.
【思路点拨】如图所示，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系，设
(),,0
A x y y >按
照题意获得AD kAC kAB ∴==，两边平方获得关系式，利用勾股定理化简后暗示出2
y ，变形后利用二次函数的性质求出y 的最大值，进而确定出三角形ABD 面积的最大值，按照
AD kAC =即可得出三角形ABC 面积的最大值．
非选择题部分（共100分）
注意事项：1．用黑色笔迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必需使用． 黑色笔迹的签字笔或钢笔描黑．
E9 单元综合。