电工技术教案 功率因数提高、串并联谐振-11

实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有 ω 0 L R
jω L 则：Z 2 1 ω LC j ω R C RC
1 L j (ω C 1 ωL )
1. 谐振条件
jω L 由： Z 2 1 ω LC j ω R C RC
得出：
1 L j (ω C 1 ） ωL
f
电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力 ——称为选择性。 Q值越大，曲线越尖锐，选择性越好。
例 某收音机输入回路 L=0.3mH，R=10， 为收到天津电台567kHz信号，求：(1)调谐电容 C值；(2) 如输入电压为1.5V，求品质因数、谐 振电流和此时的电容电压。
(1) C
由于 U L UC U 可能会击穿线圈或电容， 因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但 在无线电工程上，可利用这一特点达到选择信号 的作用。 2 LI QL LI L U 0 0 0 0 0 L 令：Q 2 RI 0 PR RI 0 R U
谐振时电感(或电容)中无功功率的绝对值 谐振时电阻消耗的有功 功率
I1 U0 0 L R 2 (0 L) 2 U0
相量图
IC
I C 0CU 0
1 并联谐振时：0 L C R 0
于是
支路电流可能 大于总电流
I U
I1
I L I C I 0
并联支路中的电流近似相等，可能比总电流大。
I1 0 L 1 并联品质因数： Q I0 R 0CR
含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全
补偿，使电路的功率因数等于1，即：v、 i 同相，
便称此电路处于谐振状态。
串联谐振：L 与 C 串联时
谐振
并联谐振：L 与 C 并联时
v、 i v、i
同相
同相
谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用非常 广泛。
5.8.1 串联谐振
串联谐振电路
1. 谐振条件
相量图：
U U R
U 电容、电感电压： U L C
大小相等、相位相差180
U C
I
U L I0 X L U C I0 X C
(5) 品质因数 当 X L X C R时：
有： U L UC U R U
UC 、UL将大于 电源电压U
P C (tan 1 tan ) 2 ωU
思考题: 电感性负载采用串联电容的方法是否可提高功率因数 , 为什么?
例1: 一感性负载,其功率P=10kW, cos 0.6， 接在电压U=220V , ƒ=50Hz的电源上。 问：如将功率因数提高到 cos 0.95 ,需要 并联多大的电容C,求并C前后的线路的电流。 解： (1)
Q—品质因数， 表征串联谐振电路的谐振质量。
4. 谐振曲线 (1) 串联电路的阻抗频率特性 阻抗随频率变化的关系。
X L 2 f L
1 XC 2fc
XC
Z R j( X L XC )
Z R L 1
2

C
2
XL
0 Z
0 Z R
2 2
U 当电源电压一定时：I I 0 R 、I 同相 (3) U X L XC arctan 0 R 电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗， QL 和 QC 相互
补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。
(4) 电压关系 电阻电压：UR = Io R = U
U L
(2) 电流最大
U I (10 j25) 10 j70 所以U S R1 S P jQ, P 120W
2 2 U 20 Q I L 2 X L C (2 2) 2 25 200 40 160 var XC 10
所以S 120 j160VA
0 Z
0
Z
( 0 )
容性
( 0 )
感性
R
f0
f
(2) 谐振曲线
电流随频率变化的关系曲线。
U I ( ) Z
谐振电流 分析：
R
U
2 2
Z, I
R (L - 1 C ) I 0 U I0 R I0
Q大
Q小
Z
I0
Q
0L
R
0
f0
S P Q P S cos Q S si n
2
2
5.6 复杂正弦交流电路的分析方法
正弦交流电路，用相量表示正弦量，用复数阻抗表示 电路参数，则直流电路中的基尔霍夫定律、支路电流 法、回路电流法、结点电压法、戴维宁定律、诺顿定 律、最大传输功率定律都能适用。 1、据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)；
R
j L
1 j C
Z
U
S
电压三角形 Q
U U R (U L U C )2
2

R
U U X L XC L C
U R
U R U cos U X U sin
U
U L
U C
P
阻抗三角形
Z R 2 ( X L X C )2
功率三角形
R Z cos X Z sin
、 i I u U
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图； 3、用复数符号法或相量图求解分析； 4、将结果变换成要求的形式。
1 R R 、 L j L、 C jC
5.7.2 电路中，R1=R2=10Ω,L=0.25H, C=10-3F,电压表读数为20V， 功率表的读数为120W，试求电源电压US和电源视在功率。
可得谐振频率：
1 或： 2 f 0 L 2 f 0 C
或
0
1 LC
f0
1 2 LC
使电路发生谐振的方法：
(1)电源频率 f 一定，调参数L、C 使 fo= f ； (2)电路参数LC 一定，调电源频率 f，使 f = fo 3. 串联谐振特怔 (1) 阻抗最小
Z R ( X L XC ) R
周期性方波的分解周期性方波的分解直流分量基波五次谐波三次谐波七次谐波基波基波直流分量直流分量直流分量直流分量基波基波三次谐波三次谐波直流分量直流分量基波基波三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波五次谐波五次谐波非正弦周期电流i的有效值为非正弦周期电压u的有效值为coscos
交流电路元件电压电流关系
元 电路符 u i 瞬时 ui有效值 u i相量、 件 号 关系 关系 复阻抗 i
R u i u R u Ri 向量图
U R I U L I
RI U
j LI U
I U



L
L
i
di uL dt
U
I

C u
du C i C dt
1 U 1 U j I C I C
I
U


交流电路元件的功率
元 UI相量 件 关系 瞬时功率 p 有功功率 P 无功功率 Q
解
1 ( 2 f ) L
2
263pF

I
R j L
U
1/j C
U 1.5μ ( 2) I 0 0.15μ A R 10
U C I 0 X C 160.3μV UC Q 106.9
5.8.2 并联谐振
I
1. 谐振条件
+
I C
-
1 ( R jω L) jω C Z 1 ( R jω L) jω C R jω L 1 j ω RC ω 2 LC
问题与讨论
功率因素补偿问题
功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿
成以下三种情况:
IC
0
V
I
IC
0
V
IC

0
I V
I RL
呈电容性。
I
IRL
呈电感性
I RL
呈电阻性
cos 1
cos 1
cos 1
5.8 正弦电路的谐振
谐振概念：
1 谐 振 条 件： ω0 C 0 (当满足 0L R时) ω0 L
2. 谐振频率
ω0
1 LC
1 或 f f 0 2 LC
L (1) 阻抗模最大，呈电阻性 Z 0 RC
(2)恒压源供电时，总电流最小
3. 并联谐振的特征
U U I0 L Z0 RC
4.并联支路中的电流
I

常用电路的功率因数
纯电阻电路 纯电感电路或 纯电容电路
cos 1 ( 0) cos 0 ( 90) 1 cos 0 (90 90) cos 0.2 ~ 0.3 cos 0.7 ~ 0.9 cos 0.5 ~ 0.6
R-L-C串联电路
在感性负载两端并电容
I I 1
I
I C
cos cos I

I
I 1
U
+
U
R
I L 1
C
I C
1
-
I I I 1 C
结论： 原负载并联电容 C 后：
(1) 电路的总电流 I ，电路总功率因数 cos
电路总视在功率S
(2) 原感性支路的工作状态不变:
5.7 功率因素及补偿
问题的提出：工业生产和日常生活中负载表现为感性。
i
日光灯、 电动机、 v …
R L
vR
vL
V L
V

V R
I
其中负载消耗的有功功率为：
P = PR = VICOS
(1)功率因数提高，使电能充分利用,提高用电效率； (2)降低输电线上的电流和功率损耗，提高输电效率。 当V、P 一定时， COS
RI R U
2 U UI (1 cos 2t ) UI I 2R R
0
U2 UI X LI 2 XL
U2 UI XC I 2 XC
j LI L U
UI sin 2t
0 0
j 1 I CU
C
UI sin 2t
I
U R
电动机 空载 电动机 满载 日光灯 （R-L串联电路）
（ C OS ） 功率因数 和电路参数的关系
i u
负 载
Z

R
X L XC
XL XC tg R
1
说明：
cos
由负载性质决定。与电路的参数 和频率有关，与电路的电压、电流无关。
功率因数的提高
(1) 提高功率因数的原则： 必须保证原负载的工作状态不变。即： 加至负载上的电压和负载的有功功率不变。 (2) 提高功率因数的措施:
2000 解：设U 由 U 20 40W R2 10 200 所以 I R2 2 R2 40, I R2
2 2
* *
R1
XL
W
XC
U S
R2
V
由 I R1 2 R1 120 40 80W ，I R1 2 2
0 1 所以I C 290 ， R2 , 100, X L L 25 c 2 2450 I R1
例 求：电路的谐振频率 0 iC (t) i (t) 解： I
R
L
IC 2 IC



u (t) 2i (t)
C

C

I IC 3

1 1 U ( R j L) I I C [ R j( L ) ]I jC 3C
P C (tan 1 tan ) 2 ωU 10 10 3 所以C (tan53 tan18 ) F 656 μ F 2 314 220
（2）求并 C 前后的线路电流
P 10 103 A 75.6A 并C前: I1 Ucos1 220 0.6
P 10 103 A 47.8 A 并C后: I Ucos 220 0.95
感性支路的功率因数 cos 1 不变
感性支路的电流 I1 不变
I C
(3) 电路总的有功功率不变
因为电路中电阻没有变， 所以消耗的功率也不变。
1

I
I 1
U
并联电容值的计算： 已知负载端压、功率、功率因数
I
相量图:
C
I C
+
U
R
I L 1
I C
-
所以 IC Uω C
又由相量图可得：
1
I1sin 1

I
I C
U
I C I1sin 1 I sin
Isin
I 1
即: Uω C I1sin1 Isin
Uω C I1sin1 Isin
P UI1 cos 1
P UI cos
P P U ωC sin1 sin Ucos1 Ucos
、 同相 由定义，谐振时：U I
即
+
R
i
L C
u _R uL
uC
_ _ + +
+
X L XC arctan 0 R
谐振条件：
X L XC
谐振时的角频率
u
_
1 或： o L oC
2. 谐振频率
1 根据谐振条件：ωo L ωo C
2. 谐振频率
1 ωo L ωo C