熵的应用综述

熵的应用综述
摘要
熵是物理学中的一个重要基本物理概念。

本文着重介绍了物理教学中涉及到的克劳修斯熵、波尔兹曼熵和信息熵的概念。

通过对克劳修斯熵、玻耳兹曼熵的讨论,得到熵的本质和孤立系统的熵增加原理,并把孤立系统的熵增加原理推广为开放系统的熵原理。

指出熵和熵原理的应用早已超出了物理学的范畴, 广泛应用于许多自然科学和社会科学。

用信息熵理论就生命过程、生病、衰老等一系列生命现象做出了解释,以及农业科技研究中的应用。

阐述了熵原理在生命科学、宇宙热寂说和社会发展观方面的重要应用, 指出熵和熵原理有助于人们形成科学的世界观和价值观,做出科学决策。

关键词熵；信息熵；负熵；生命现象；现代农业
Discussion on application of entropy
Abstract
Entropy is an important and basic concept in physics and its essence is studied. In this paper the conceptions of the Clausius entropy and the Boltzmann entropy as well as the information entropy confronted in physics teaching are amply described. Entropy increase principle in isolated system, which is deduced from the discussion of Clausius entropy and Boltzmann entropy, has further deduced entropy principle in open system as well. The open system indicates that the application of entropy and its principle has gone far beyond physics and it has found its way in both natural and social sciences. Information entropy is used to make an explanation of life process, illness and dotage, along with the applications of entropy in the study of modem agriculture. Its application in life science, heat death, and social development is discussed. It is pointed out that entropy and entropy principle can make contributions to correct outlook formation and sound decision making.
Key words entropy; information entropy; negative entropy; biological phenomena; modem agriculture
目录
第1章绪论 (1)
1.1 引言 (1)
第2章熵的物理含义 (1)
2.1 克劳修斯熵 (1)
2.2 克劳修斯定义熵的公式中的T到底是谁的温度? (2)
2.3 波尔兹曼熵 (4)
2.4 克劳修斯熵与波尔兹曼熵的区别 (5)
第3章信息熵 (6)
3.1 信息熵的推导 (6)
3.2 信息熵的意义及性质 (7)
第4章生物熵 (9)
4.1 薛定谔的开创性工作——有机体是赖“负熵”为生 (9)
4.2 熵原理与生命科学 (10)
4.3 熵原理在某些疾病中的应用 (12)
4.4 熵原理与衰老 (13)
第5章广义熵在现代农业研究中的应用 (14)
5.1 农业系统熵 (14)
5.2 土壤系统熵 (15)
第6章社会熵 (16)
6.1 熵原理与可持续发展观 (16)
结论 (17)
致谢 (18)
参考文献 (19)
附录A 译文 (20)
最大熵原理: 基于普遍约束的熵 (20)
附录B 原文外文 (26)
第1章 绪论
1.1 引言
1865 年, 德国物理学家克劳修斯( R. E. Clausius, 1822-1888) 在提出热力学第二定律后的第15年, 首先引入了熵的概念, 并用熵增加原理来定量阐明了热力学第二定律。

此后30多年，熵得到了极其广泛的发展和应用，先后出现了由波尔兹曼（Boltzmann ）提出的统计熵；由申农（Shannon ）提出的信息熵。

从此熵就成为物理学中的一个重要概念并逐渐渗透到信息论、生命科学、宇宙学甚至某些社会科学中。

本文从熵的概念着手, 介绍了熵的本质和熵原理, 对熵原理在生命科学、宇宙热寂说和社会发展观的某些方面的应用做了初步论述。

第2章 熵的物理含义
2.1 克劳修斯熵
热力学第二定律是独立于热力学第一定律的另一个基本规律，它要解决的是与热现象有关的能量传递和转化过程的方向性和不可逆性问题。

热力学第二定律有多种不同的表述形式，在物理化学中最常用的是下面两种说法:
克劳修斯( Clausius) 的说法(1850年):不可能把热从低温物体传到高温物体而不留下任何其他变化。

开尔文( Kelvin) 的说法(1851年):不可能从单一热源吸热并使之全部转变为功而不留下任何其他变化。

为了能定量描述热力学第二定律，1854年德国科学家克劳修斯提出了一个新的态函数——熵S 。

论述了熵是热温比，是系统内分子热运动无序性的一种量度。

1865 年又将热力学第二定律用不等式:ΔS ≥0定量来描述。

并相应地把热力学第二定律表达为“熵增原理”：“在孤立系统内实际发生的过程，总使整个系统熵的数值增大。

”克劳修斯定义熵的公式的标准写法为【1】：
T 可逆Q ds δ=
(对应于可逆过程) T 不可逆Q ds δ> (对应于不可逆过程) （1）
上式中的d s 最微小熵变，δQ 是体系从环境吸收的微小热量， T 为体系的绝对温度。

对于孤立系统δQ = 0 ，所以有d S ≥0这就是克劳修斯的“熵增公式”。

式中“ >”号对应于不可逆过程，即是指非平衡态孤立系统；“=”号对应于可逆过程，即是指平衡态孤立系统。

熵增公式说明，在系统孤立的状态下:
当d s > 0 时，系统处于从非平衡态到平衡态的自发演化过程;
当d s = 0 时，系统处于平衡态；
当d s < 0 时，系统处于非平衡态性增加的演化过程，此过程在孤立系统中不可能发生。

热力学第二定律就暗含着熵增加原理的内容，就意味着熵永远不可能减少。

无论是克劳修斯描述还是开尔文描述，其实都具有相同的热力学原理，都说明孤立系统中的熵永不减少，都否定了制造出效率为100%的热机的可能性。

热力学第二定律要揭示的规律是：自然界一切宏观实际过程都是单向的不可逆过程，总是沿着大量分子热运动无序性增大的方向进行。

这一点要补充的是，这是一条统计规律，而不只是针对局部系统或者少数分子，例如高温热源部分将热量传递给低温热源后，其温度降低，分子运动变慢，有序性增加，但是就整个高温加低温的系统而言是无序性的增加和扩散。

2.2 克劳修斯定义熵的公式中的T 到底是谁的温度?
T Q
ds δ≥是热力学用来计算热力学体系熵变的公式。

按照一般热力学教科书
的解释，此公式中的d s 是体系的熵变值，δQ 是体系在与其相互作用的热源中所吸收的热量，而T 则是热源的温度。

在对此公式作进一步解释时，一般的相关教科书往往还指出，由于T Q
ds δ>对应于不可逆熵变过程，体系和热源的温度
相等，所以，此等式中的T 也可看作是所求熵变体系的温度。

热力学教科书中的上述解释是否成立呢?现在就让我们设计一种方式来确证T Q ds δ≥
中的T 到底指的是谁的温度？
在可逆过程的熵变中，由于体系和热源的温度是相同的，所以把描述这一过程中体系熵变的公式T Q
ds δ=中的T 看作是体系的温度还是热源的温度其结果
都是一样的。

但是，在不可逆过程的熵变中，把T Q
ds δ>中的T 看作是体系的
温度还是热源的温度其结果则大不一样。

让我们设计一个实际的例子来对不可逆过程的熵变情景予以剖析。

设定一绝热系统，该系统由A 、B 两个分别处于T 1 和T 2 温度的子系构成，且T 1 >T 2 。

假定在一微小过程中有热量δQ 从A 转移到B(见图1) ，求整个绝热系统的熵变d s 。

图1 热传导图
在此系统中，A 以B 为其热量变化之热源，B 以A 为其热量变化之热源，热δQ 从A 转移到B ，意味着A 减少了热量δQ ，B 增加了热量δQ 。

由于T 1 >T 2 ，所以就整个系统而言，其熵变过程为不可逆过程。

整个系统熵变应服从T Q
ds δ>，而依据熵的容量性质，又有B A ds ds ds +=。

若假定T Q ds δ≥
中之T 为热源温度，则有： 2T Q ds A δ-=；1T Q ds B δ=；2
1T Q T Q ds δδ-= 因为T 1 >T 2，所以有:
21T Q T Q
δδ< 021<-T Q T Q δδ ； d s < 0
这样，整个系统的熵变将会小于0。

这显然与熵增原理所断定的绝热系统中不可逆过程的熵变只能大于零的情况不相符合。

据此，将T Q ds δ>
中的T 认定为是热源温度的说法是不能成立的。

若假定T Q
ds δ≥中的T 为所测熵变系统的温度，则有：
12T Q T Q
δδ> 01
2>-T Q T Q δδ； ds > 0 此结果与熵增原理所描述的热力学第二定律相符。

根据上述计算的例子，T Q
ds δ>中的T 理应被看成是所测熵变体系的温度，
T 2 T 1 A
B
δQ
至于T Q
ds δ=中的T ，就其实质而言，它也理应是所测熵变体系的温度，因为只
有体系自身的温度才能成为体系熵变的权重因子。

2.3 波尔兹曼熵
由于克劳修斯只有“转化”、“变化”的意义上把握熵概念，只是指出了“熵增现象”，而关于某一物理系统本身所具的熵的绝对值，以及熵所具有的那种更为一般性的创造性意义和价值，在克劳修斯那里，则并未得到明确的规定和解释。

波尔兹曼从分子运动论的角度，运用统计方法对熵的物理意义，以及熵增原理作出概率性解释。

他指出，孤立系统必然要从包含微观态数目少的宏观状态向包含微观态数目多的宏观状态演化；必然要从各微观态概率分布不均匀的状态向各微观态概率分布均匀的状态演化。

1877 年，波尔兹曼给出了平衡态熵的统计公式:
Ω=ln k S （2） 式中k =1.3806505×10²³J/K 称玻耳兹曼常数，Ω是体系的微观状态数。

任意系统的每一宏观状态都对应着一定微观态数目，都有一个热力学的概率数Ω，这个Ω 越小则它所对应的微观态数目越小，说明它的有序性越高，如果Ω 越大，说明它所对应的微观态数目越多，说明它的无序性越大。

该关系式说明了熵是系
统内部无序性或混乱度的量度。

【2】
这一公式对应微观态等概出现的平衡态体系。

若一个系统共有Ω个微观状态数，且出现的概率相等，即每一个微观状态出现的概率就是p =1 /Ω ，则Boltzmann 关系就可写为:
∑-=p p k S ln （3） 波尔兹曼工作的杰出之处不仅在于它引入了概率方法，为体系熵的绝对值的计算提供了一种可行的方案，而且更在于他通过这种计算揭示了熵概念的一般性的创造性意义和价值：熵所描述的并不是体系的一般性质量和能量的存在方式和状态，而是这些质量和能量的组构、匹配、分布的方式和状态。

波尔兹曼的工作揭示了正是从熵概念的引入启始，科学的视野开始从对一般物的质量、能量的研究转入对一般物的结构和关系的研究，另外，波尔兹曼的工
作还为熵概念和熵理论的广义化的发展提供了科学的依据，因为如果所面对的系统要素不再是热力学意义上的分子，那么，系统要素的结构和关系，以及对这一结构和关系进行描述的熵便能够获得更为普遍性的品格。

这就是为什么熵概念百余年来魅力不减，并与“信息”、“负熵”等概念联姻，广泛渗透，跨越了众多学科，并触发形成了一系列新兴、边缘、交叉、综合性学科的原因所在。

2.4 克劳修斯熵与波尔兹曼熵的区别
熵、信息、负熵、熵增、熵减这样一些概念在科学中的引入，以及借助于这一些概念对各类不同性质的系统所进行的定量化描述，极大地开阔了科学的视野。

但是，在不同的学科领域，以及在不同的科学家那里，这些概念往往具有十分不同的具体含义。

如果对这些具体含义不能真切把握，则很难理清其间的一致性和差异性，这就会给人们对这些概念的理解和应用带来诸多方面的混乱。

在熵理论中，一个带普遍性的混乱之处是把克劳修斯熵和波尔兹曼熵不加区别地予以泛化解释。

其实，克劳修斯熵的适用范围是极为狭隘的，它所描述的仅仅是由大量分子构成的热力学体系中的组构方式的变化。

克劳修斯的熵公式T Q
ds δ≥所能度量的范围有三方面的限制。

第一个限制是：
它只度量了体系的熵变的量，而并不是体系自身熵值的多少，即是说，此公式度量的是d s (ΔS) ，而不是S ；第二个限制是：它只对由热能的增减这一单一因素(组构方式的变化)的影响所引起的体系的熵变量进行了度量，至于由其它因素所可能引起的体系结构组构方式的变化(熵变) 则是此公式所无法说明的，从公式的形式来看，这一点也是很明白的，那就是公式的结果只和δQ (热能的改变量) 和T (体系热的强度)相关；第三个限制是：它对体系熵变的度量并不是直接性的，就是说它并未曾直接去考察体系结构的组构方式的变化本身，而是通过热量的变化及其对体系影响的强度的度量间接地体现出其结构组构方式变化的方向和程度。

由于存在着这三方面的限制，克劳修斯熵公式对体系熵变的度量便是相对的而非绝对的(就其第一个限制而言)、狭隘的(就其第二个限制而言) 、模糊而不清晰的(就其第三个限制而言) 。

所以，当人们把克劳修斯熵不加改造和说明地从热力学体系搬运到更为广泛的领域，并对之进行一般性的泛化解释和运用时，便
不可避免地遇到了种种困难，同时也带为了诸多方面的混乱。

波尔兹曼的统计熵明显地克服了克劳修斯熵的上述三个方面的局限，相应呈现出了三方面的优点:其一是它能对体系自身的熵值进行度量；其二是它把体系的熵的大小直接与体系微观态的数目及其各自的发生概率相关起来，而不是通过热量的变化和对体系的影响的中间环节来间接地测度体系熵的变化；由其二又产生了其三，就是波尔兹曼熵内在包含着对热量之外的因素所规定的体系熵值的度量。

由于存在这三方面的优长，波尔兹曼熵便很容易被拓展为广义熵，只要不拘泥于分子体系的组构方式，波尔兹曼熵便能获得最为宽泛的普遍性品格。

由于克劳修斯熵和波尔兹曼熵之间存在着诸多方面的差别，所以，在对熵概念进行泛化解释时便不能不格外地小心。

如果无论什么体系中熵都要用克劳修斯熵公式去度量，那显然是错误的。

至于波尔兹曼熵的泛化则要注意对其公式中的微观状态的具体规定赋予更为宽泛的外延。

第3章 信息熵
3.1 信息熵的推导
1948 年，申农(C. E. Shannon) 将统计熵概念扩展到了信息论的研究之中， 给熵以新的意义。

在现代信息论中，把从两种可能性中作出判断所需的信息量称为1比特（bit ）。

一般地，若是从种N 可能性中作出判断所需的信息量为2log n N =， 换成自然对数信息量n ，即为ln ln 2ln N
n K N ==，其中 K =1/ln2=1.4427。

如用概
率表述， 在对N 种可能性完全无知的情况下， 概率p =1/N ，这时为作出判断所缺的信息量为：
ln ln S K N K p ==- （4） 申农把它称为信息熵。

由上式可知可能性越多即N 越大，其结果相应出现的概率P 越小，则信息熵S 越大。

对于各种可能性概率Pi 等的情况，信息熵定义为【3】：
1ln N
i i i S K P P ==-∑ （5）
即S等于各种情况的信息熵按概率Pi加权平均。

其中常数K=1.4427，N 为信息源的总个数，第i个事件发生的概率为Pi，每个事件的概率大小在0 和1 之间，N个事件的概率总和为1。

同时，作为信息熵的对立面，信息量I被定义为信息熵增量的负值，即：-
=（6）I∆
S
上式又称为信息的负熵原理【4】。

一个开放系统，获取信息就等同于吸取了负熵。

即可使系统的不确定度、紊乱度减少并趋于有序；丢失信息时，其熵增加，无序度随之增加。

因此，信息与熵是彼此互补的，信息就是负熵，而熵就是系统丢失了的信息的量度。

3.2 信息熵的意义及性质
信息熵S小，意味着信息量大，信息的有序性高，概率分布趋于集中。

获取了信息则意味着有序程度增加，即是负熵。

任何使得随机事件产生组织性，法则性，有序性的过程，其熵就是负值；相反的过程则是无序度增大，熵就增加，为正值。

显然信息熵是不确定程度的度量，或者是无知或缺乏信息的度量。

比较式（2）与式（4），式（3）与式（5），可见申农已将熵概念在信息论中得到了推广和泛化。

由此可见，熵不仅不必一定要与热力学过程相联系，而且也不必与微观的分子运动相联系它可成为系统状态（该状态可以是热学的，也可以是非热学的）不确定程度的量度。

当我们从数学上分析，由于概率Pi的值在0≤Pi≤1 的范围内变化，所以ln Pi的值在―∞≤ln Pi≤0 的区间内波动，因此信息熵不可能为负值。

熵可以成为系统状态不确定程度的度量,用这个概念可以研究系统内部某种分布的差异,如海洋中盐分浓度的分布、大气中水汽含量的分布以及人的财产、昆虫密度的分布等。

随着熵的概念在不断扩大,信息熵的内涵也不断丰富。

在不同场合,针对不同对象,它可以作为系统状态的混乱度、不确定性、信息缺乏度、不均匀性、丰富度等的量度。

众所周知,在宏观意义下,一切自发的过程总是一步一步地向着平衡态变化的。

与此同时,系统的熵也在一步一步地增大,不难想象,当系统达到平衡时,其熵便达到最大不再增加,这就是信息熵的最值性所以系统的熵越大它就越接近于平衡态。

换句话说,熵的大小反映了系统接近平衡的程度。

因此,从宏观意义上说,熵是
系统接近平衡态的一种度量。

在微观意义上,人们通过大量的试验得出,随着系统微观状态数Ω增加,系统的熵也在不断地增加。

当系统趋于平衡态时,其微观状态数达最大值,此时熵也达最大。

由此可见,系统熵与它的微观状态数的对数呈正比,即系统的微观状态越多,则其熵就越大,系统的微观状态数就越多,则说明系统越混乱越无秩序。

因此,从微观上来看熵是系统无序性(亦即混乱度)的一种度量。

熵的增加就意味着系统向无序性的增加,所以从微观的角度上讲,孤立系统中一切不可逆过程(或自发过程)总是向着无序性(即混乱度)增大的方向进行的。

如前所述，信息系统熵值的增长，将会导致人们所不希望的结果的出现。

为了避免这种局面的产生，就必须要对系统作功，以负熵来抑制信息熵的增大，使系统能按照人们所希望的方向发展。

具体来说，关于信息系统的负熵工作大致有如下若干项：
根据各信息机构的业务范围，尽可能的把有关信息收集到手。

【5】
a. 信息部门对收集到的信息，进行整理、分类、编辑、加工，使之成为信息目录、文摘、汇编等。

b. 把类型相同的信息，按照逻辑与格式输入，使之成为一个信息库。

c. 信息系统只有在运动中才能发挥社会作用。

d.设置信息咨询。

1957年，杰恩斯（E.T.Jaynes）将信息熵引入统计力学，建立了系统“微观态”出现的概率与系统的不确定性之间的关系。

因而，信息熵是“熵"概念的泛化的标志。

在“熵"概念泛化过程中，克劳修斯熵、波尔兹曼熵与申农熵之间存在着包含关系。

三者之间的包含关系表示为：
克劳修斯熵⊂波尔兹曼熵⊂申农熵
信息熵自提出以来，不断向其他领域泛化。

“熵"是关于概率分布函数的函数。

在自然科学和社会科学的各个领域，存在着大量的不同层次不同类别的随机事件的集合，每一种随机事件的集合所包含的不确定性和无序度都具有各自相应的概率分布特征。

所有这些不确定性和无序度都不受各个学科内容的限制，都可用“熵”这一统一的概念来描述，这就是熵概念能够广泛使用的实践与理论基础。

目前，各类熵已遍及自然科学和社会科学的众多领域。

第4章生物熵
自19 世纪末以来，科学界一直存在着两种对立的进化观点，即物理学中以熵增原理为基础的进化观念与生物学中达尔文的进化论。

从热力学角度讲，根据熵增原理，系统总是向熵增加的方向即从有序向无序演化。

生物进化过程是由有序趋于无序、非平衡趋于平衡的，即是使生物系统不断远离平衡态的不可逆过程，是一切物理系统所不能自发具有的走向无序的过程。

对宇宙而言，热力学第二定律可简短地表述为: 宇宙的熵趋向极大。

宇宙越是接近这个熵是极大的极限状态，进一步变化的能力就越小；如果最后完全到达了这个状态，那就任何进一步的变化都不会发生，这时宇宙就会进入一个“死寂的永恒状态”。

这就是所谓的“热寂说”( heat death)【6】。

而达尔文的生物进化理论表明，生物进化的结果总是由低级到高级，由简单到复杂即有序度增加的方向发展，进化过程是驱使生物系统向着高度复杂性和组织性，即高度有序性的过程。

这两种观点之间形成了巨大的鸿沟，引发的矛盾被称为“演化悖论”。

4.1 薛定谔的开创性工作——有机体是赖“负熵”为生
理论物理学家薛定谔（Erwin Schrödinger，1887～1961）为消除此鸿沟作了开创性的工作。

1943 年，薛定谔首次利用热力学和量子力学理论来解释生命的本质，提出了负熵的概念【7】。

在回答诸如“生命的特征是什么？一块物质什么时候可以说是活着的”等问题时，他指出：“一个生命有机体的熵是不可逆地增加的，并趋于接近最大值的危险状态，那就是死亡。

生命体作为一个非平衡的开放系统要摆脱死亡，从物理学的观点看，唯一的办法就是从环境中不断汲取负熵来抵消自身的熵增加，有机体是赖负熵为生的。

更确切地说，新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功地消除当自身活着的时候不得不产生的全部的熵，从而使其自身维持在一个稳定而又很低的熵的水平上。

”
由玻尔兹曼公式知道熵是无序性的量度，因此负熵可以代表有序性的量度，在此意义上说，生命体为了维持生命而从外界汲取“秩序”，从无序走向有序。

薛定谔还指出，生命体要生存，在从环境汲取负熵的同时，还必须向体外排放多余
的熵来维持平衡。

但熵作为一种抽象热力学系统的状态函数不可能以游离形式存在，而应是物质的一种属性。

因此，为了排出熵，就得排出带有高熵的物质。

薛定谔以此创举沟通了生物学与物理学对进化观点的鸿沟，并吸引了相当一部分物理学家在若干年后转而研究生命科学，开创了生物学研究的新局面。

4.2 熵原理与生命科学
生物物种的遗传信息是依靠基因保持与传递的，越简单的生命基因中所含的信息量越少，越是高等的生命，其基因的信息含量越大。

当细胞开始按基因上的信息自我复制时，成长起来和分化出来的细胞不断扩大，其总体的信息量是远远超过母细胞核中的基因信息量的。

生命具有自组织性，在没有外界特定的安排下，系统内部自己形成有序的结构，细胞信息不断的扩大，可以认为是信息复制和扩大过程是一个负熵的过程，这需要细胞的特殊结构，需要有一系列的细胞器配合完成，复制出的细胞又有序的排列形成器官，负责生命体中特定目的的功能。

生命体的有序性和低熵，是不断从外界吸取负熵，排除无序性即排除高熵来实现的。

在生命发育和生长过程中，就是信息扩大的过程，熵是减少的，或者说是负熵增加的过程。

与之相反的过程是生命不断耗散和有序性，组织性不断被破坏的过程，是信息不断消失的过程，它趋向于与自然界平衡，趋向于“热寂”和消亡。

生命体就是这么一个斗争的过程，不断的发育和生长，自我复制，从外界吸取负熵，如食物，能量，水，氧等，同时排除高熵物质，无序性的物质如粪便，汗水，二氧化碳等。

两个相反的过程不断的斗争，就是不断吸取负熵，然后又不断的被消耗的过程，生命在两者的斗争过程中得以延续。

生命系统在与外界进行物质和能量交换过程中，它自身的混乱程度也要随之变动，最终使整个体系的熵发生变化。

普里戈金因此提出了著名的好散结构理论，它突破了热力学第二定律只适用于孤立系统的限制，将其适用范围推广到开放系统。

生命熵【7】
i e dS dS dS =+ （7） d Se 是生命体和外界交换物质或能量而引起的熵流，其值可以为正、负或者零。

从外界吸取的熵为d Se i ，排除的熵为d Se o ，两者的差值d Se =d Se i -d Se o 就是生命体从外界交换的熵总值。

d Si 表示生命体系统内不可逆过程引起的熵增加，。